刚体定轴转动的动能定理

四、刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面 平行，称作刚体作平面运动，其特点是，刚体内垂直于固定平
面的直线上的各点，运动状况都相同。根据此特点，可利用与
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通 过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴 的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转 d ω ω 轴的方位，可以统一地用角速度矢量 来描述。 的大小 dt 是 ，
ω 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用 于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用 ω 将刚体上任一质点 P 的速度 v 表示为 v ω r 。 ω ω
式中 称为刚体转动角速度。面对 z 轴观察， 时针转动； 0 ，刚体顺时针转动。
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
d lim t 0 t dt
0 ，刚体逆
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时， 刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
第七章 刚体力学
（Chapter 7 Mechanics of a rigid body）
前言 刚体运动的描述
刚体的动量和质心运动定理
刚体定轴转动的角动量 • 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理 刚体平面运动的动力学 刚体的平衡
自转与旋进
§1 前
言
一、本章的基本内容及研究思路
前面几章讨论了质点和质点系的运动规律，本章将讨论具 有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体 的运动一般是较复杂的，它可以平移、转动，还可能发生形变。 为了使问题简化，一般假定物体无论受多大外力或转动得多快 都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学
这是刚体力学研究的基本方法。
二、本章的基本要求
1. 理解描写刚体定轴转动的物理量（角坐标、角位移、角速 度和角加速度）并掌握角量与线量的关系； 2. 理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量；
3. 掌握刚体定轴转动的动力学规律；
4. 了解刚体平面平行运动的特点。
三、本章的思考题及练习题
1. 思考题：在教学过程中布置； 2. 练习题：7.1.5 7.2.3 7.3.6 7.4.2 7.5.2 7.5.4 7.5.7
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
v
r r
原点在圆心的情况
v
原点不在圆心的情况
作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：
dω β dt
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
ω x i z j y k, β x i y j z k
其中
d y d x d z x , y , dt dt dt
（对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
学时，设想将它分割成许多部分，每一部分都小到可看作质点， 叫作刚体的“质元”，对于刚体，它的任意两质元之间的距离 保持不变，因此，刚体就像是一个冻结的质点系，由于每个质 元服从质点力学规律，由此出发，就能推演出刚体的运动规律。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
7.6.1
§2 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保 持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞 的往返等都是平动。
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， 称为角坐标， 规定逆时针方向转动的 为正，顺时针方向为负。
z
转轴
t ——刚体绕定轴
O 转动平面
rθ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
x
参考方向
转动的运动学方程。
描述 不同位置质元在 t 时间内的角位移 都相同，可见， 的是整个刚体转过的角度，故称为刚体转动的角位移。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长不同， 即各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同，但各个质 点角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同。由 转动平面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
刚体作定轴转动时，可令 z 轴与转轴重合，则 x y 0 ， 故 ω z k ,β z k 。前文定轴转动中讲到的 ω 和 正是 这里的 z 与 z ，它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转 轴（即 z 轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影， 均附以角标。