离散数学-数理逻辑
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群、环、域、格、布尔代数
➢第四部分 图论：点与边、 路与圈、最短路、
Euler图、Hamilton图、平面图、树
离散数学与计算机的关系
第一部分 数理逻辑
计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物。
第二部分 集合论
集合是一种重要的数据结构关系，关系数据库的理论基础 函数，所有计算机语言中不可缺少的一部分。
例1.1 下列句子中那些是命题？
（1）重庆是直辖市。 （2）教师是人类灵魂的工程师。 （3）4是素数。 （4）1+1＝2。 （5）2100年的春节是晴天。 （6）火星上有生物。 （7）请安静！ （8）今天天气多好啊! （9）现在是几点钟? （10）我正在说假话。
（11）x y 3
➢ （1）、（2）、（3）、（4）、（5）和（6）都是命题。其中 （1）、（2）、（4）是真命题，（3）是假命题。
➢ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
➢ 本章和下一章我们只从语义出发，对数理逻辑 中的命题逻辑与谓词逻辑等作一简单的、直接 的、非形式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
第一章 命题逻辑
1.1节 命题及联结词
第三部分 代数系统
计算机编码和纠错码理论数字逻辑设计基础计算机使用的 各种运算。
第四部分 图论
数据结构、操作系统、编译原理计算机网络原理的基础。
第一章 命题逻辑
➢ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式结 构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用数学 符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
➢ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算——即 集合论、模型论、递归论、证明论和命题逻辑演 算、谓词逻辑演算，但现在提到数理逻辑，一般 是指命题逻辑和谓词逻辑。本书也只研究这两个 逻辑演算。
复合命题：由简单命题通过联结词联结而成 的陈述句。
如：
命题“如果2是素数，则3也是素数”通过“如 果……，则……” 组合而成，是复合命题，而 “2是素数”和“3是素数”是简单命题。
2. 命题联结词
➢ 在日常语言中，一些简单的陈述句，可以通过某些联 结词联结起来，组成较为复杂的语句。 例如可以说：“如果下星期日是晴天，那么我就去春 游。”这里就是用：“如果……，那么……”把两个 陈述句“下星期日是晴天”和“我去春游”联结起来 组成的一个新复合命题。 在日常语言中还有许多联结词，如“不”、“并且”、 “或者”、“当且仅当”，“只要……就……”， “除非……否则……”等都是联结词。
➢ 至于（5）和（6）真假值是确定的，只是现在无法知道，因此 它是命题。
➢ （7）、（8）、（9）、（10）、（11）都不是命题。原因在 于（7）是祈使句，（8）是感叹句，（9）是疑问句，而（10） 是悖论，即若(10)的真值为真，即“我正在说假话”为真，也就 是我说的是假话，因此（10）又是错误的；反之，若(10)的真 值为假，即“我正在说假话”为假，也就是我在说真话，因此 (10)的真值应为真。
命题表示
在本书中，用大写的英文字母P,Q,R,…， P1,P2,P3…，[1]，[2]等表示命题,用“1(或者T）”、 “0（或者F）”分别表示真值的真、假。
如 P：太阳从东边升起。 Q：5是负数。 [1]：2008北京举办奥运会 。
其真值依次为1、0、1。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的陈 述句的陈述句构成。
离散数学
Discrete Mathematics
离散数学课程地位：
➢ 计算机系核心课程 ➢ 信息类专业必修课程 ➢ 其它类专业的重要选修课程
离散数学的后继课程：
➢ 数据结构、操作系统、 ➢ 算法分析与设计、 ➢ 数据库、c++语言……
学习该课程的目的：
一方面，它给后继课，如数据结构、编 译系统、操作系统、数据库原理、软件工程与 方法学、计算机网络、程序设计等，提供必要 的数学基础；
➢ 像(10)这样既不为真又不为假的陈述句不是命题，这种陈述句称 为悖论。凡是悖论都不是命题。（11）中的x、y 的值不确定， 某些x、y使为真，某些x、y使为假，即的真假随x、y的变化而 变化。因此，的真假无法确定，所以不是命题。
练习 判断下列句子是否为命题。 1. 100是自然数。 2. 太阳从西方升起。 3. 北京是中国的首都 4. 重庆是中国最大的城市 5. 关门! 6. 你去哪里? 7. How do you do ? 8. 凡石头均可炼成金。 9. x+3>9 10. 皇马中国之行没有提升国家队的水平。
1. 命题及其表示 ➢ 命题：是指具有确定真值的陈述句或者能够判断真假
的陈述句。 ➢ 命题的真值：命题的判断结果。真值只取两个值： 真
（1或T）、假（0或F）。 ➢ 真命题：真值为真的命题。 ➢ 假命题：真值为假的命题。 判断命题的两个步骤：
1、是否为陈述句； 2、是否有确定的、唯一的真值。
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题. 陈述句中 的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
➢ 数理逻辑的创始人是Leibniz，为了实现把推 理变为演算的想法，他把数学引入了形式逻辑。 其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为 一门专门的学科。
➢ 上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭 新的发展阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与 计算机科学等密切关联。
➢ 1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Tu百度文库ing机的产生，十年后，第一台电子计算 机问世。
离散数学课程的学习方法:
➢ 强调：逻辑性、抽象性； ➢ 注重：概念、方法与应用
离散数学的学习要领：
➢ 概念（正确） 必须掌握好离散数学中大量的概念 ➢ 判断（准确） 根据概念对事物的属性进行判断 ➢ 推理（可靠） 根据多个判断推出一个新的判断
离散数学的内容
➢第一部分 数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑 ➢第二部分 集合论：集合、关系、函数 ➢第三部分 代数系统：运算、代数系统、半群、
另一方面，通过学习离散数学，可以培养 和提高自己的抽象思维和逻辑推理能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实 的数学基础。
教学要求：
通过该课程的学习，学生应当了解并掌握 计算机科学中普遍采用的离散数学中的一些 基本概念、基本思想、基本方法。
自学要求：
通过反复看书及做课后习题，来加深对该 课程中的一些基本概念的理解，逐步提高自 己的抽象思维和逻辑推理能力。
➢第四部分 图论：点与边、 路与圈、最短路、
Euler图、Hamilton图、平面图、树
离散数学与计算机的关系
第一部分 数理逻辑
计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物。
第二部分 集合论
集合是一种重要的数据结构关系，关系数据库的理论基础 函数，所有计算机语言中不可缺少的一部分。
例1.1 下列句子中那些是命题？
（1）重庆是直辖市。 （2）教师是人类灵魂的工程师。 （3）4是素数。 （4）1+1＝2。 （5）2100年的春节是晴天。 （6）火星上有生物。 （7）请安静！ （8）今天天气多好啊! （9）现在是几点钟? （10）我正在说假话。
（11）x y 3
➢ （1）、（2）、（3）、（4）、（5）和（6）都是命题。其中 （1）、（2）、（4）是真命题，（3）是假命题。
➢ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
➢ 本章和下一章我们只从语义出发，对数理逻辑 中的命题逻辑与谓词逻辑等作一简单的、直接 的、非形式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
第一章 命题逻辑
1.1节 命题及联结词
第三部分 代数系统
计算机编码和纠错码理论数字逻辑设计基础计算机使用的 各种运算。
第四部分 图论
数据结构、操作系统、编译原理计算机网络原理的基础。
第一章 命题逻辑
➢ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式结 构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用数学 符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
➢ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算——即 集合论、模型论、递归论、证明论和命题逻辑演 算、谓词逻辑演算，但现在提到数理逻辑，一般 是指命题逻辑和谓词逻辑。本书也只研究这两个 逻辑演算。
复合命题：由简单命题通过联结词联结而成 的陈述句。
如：
命题“如果2是素数，则3也是素数”通过“如 果……，则……” 组合而成，是复合命题，而 “2是素数”和“3是素数”是简单命题。
2. 命题联结词
➢ 在日常语言中，一些简单的陈述句，可以通过某些联 结词联结起来，组成较为复杂的语句。 例如可以说：“如果下星期日是晴天，那么我就去春 游。”这里就是用：“如果……，那么……”把两个 陈述句“下星期日是晴天”和“我去春游”联结起来 组成的一个新复合命题。 在日常语言中还有许多联结词，如“不”、“并且”、 “或者”、“当且仅当”，“只要……就……”， “除非……否则……”等都是联结词。
➢ 至于（5）和（6）真假值是确定的，只是现在无法知道，因此 它是命题。
➢ （7）、（8）、（9）、（10）、（11）都不是命题。原因在 于（7）是祈使句，（8）是感叹句，（9）是疑问句，而（10） 是悖论，即若(10)的真值为真，即“我正在说假话”为真，也就 是我说的是假话，因此（10）又是错误的；反之，若(10)的真 值为假，即“我正在说假话”为假，也就是我在说真话，因此 (10)的真值应为真。
命题表示
在本书中，用大写的英文字母P,Q,R,…， P1,P2,P3…，[1]，[2]等表示命题,用“1(或者T）”、 “0（或者F）”分别表示真值的真、假。
如 P：太阳从东边升起。 Q：5是负数。 [1]：2008北京举办奥运会 。
其真值依次为1、0、1。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的陈 述句的陈述句构成。
离散数学
Discrete Mathematics
离散数学课程地位：
➢ 计算机系核心课程 ➢ 信息类专业必修课程 ➢ 其它类专业的重要选修课程
离散数学的后继课程：
➢ 数据结构、操作系统、 ➢ 算法分析与设计、 ➢ 数据库、c++语言……
学习该课程的目的：
一方面，它给后继课，如数据结构、编 译系统、操作系统、数据库原理、软件工程与 方法学、计算机网络、程序设计等，提供必要 的数学基础；
➢ 像(10)这样既不为真又不为假的陈述句不是命题，这种陈述句称 为悖论。凡是悖论都不是命题。（11）中的x、y 的值不确定， 某些x、y使为真，某些x、y使为假，即的真假随x、y的变化而 变化。因此，的真假无法确定，所以不是命题。
练习 判断下列句子是否为命题。 1. 100是自然数。 2. 太阳从西方升起。 3. 北京是中国的首都 4. 重庆是中国最大的城市 5. 关门! 6. 你去哪里? 7. How do you do ? 8. 凡石头均可炼成金。 9. x+3>9 10. 皇马中国之行没有提升国家队的水平。
1. 命题及其表示 ➢ 命题：是指具有确定真值的陈述句或者能够判断真假
的陈述句。 ➢ 命题的真值：命题的判断结果。真值只取两个值： 真
（1或T）、假（0或F）。 ➢ 真命题：真值为真的命题。 ➢ 假命题：真值为假的命题。 判断命题的两个步骤：
1、是否为陈述句； 2、是否有确定的、唯一的真值。
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题. 陈述句中 的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
➢ 数理逻辑的创始人是Leibniz，为了实现把推 理变为演算的想法，他把数学引入了形式逻辑。 其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为 一门专门的学科。
➢ 上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭 新的发展阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与 计算机科学等密切关联。
➢ 1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Tu百度文库ing机的产生，十年后，第一台电子计算 机问世。
离散数学课程的学习方法:
➢ 强调：逻辑性、抽象性； ➢ 注重：概念、方法与应用
离散数学的学习要领：
➢ 概念（正确） 必须掌握好离散数学中大量的概念 ➢ 判断（准确） 根据概念对事物的属性进行判断 ➢ 推理（可靠） 根据多个判断推出一个新的判断
离散数学的内容
➢第一部分 数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑 ➢第二部分 集合论：集合、关系、函数 ➢第三部分 代数系统：运算、代数系统、半群、
另一方面，通过学习离散数学，可以培养 和提高自己的抽象思维和逻辑推理能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实 的数学基础。
教学要求：
通过该课程的学习，学生应当了解并掌握 计算机科学中普遍采用的离散数学中的一些 基本概念、基本思想、基本方法。
自学要求：
通过反复看书及做课后习题，来加深对该 课程中的一些基本概念的理解，逐步提高自 己的抽象思维和逻辑推理能力。