倍长中线法的应用教案

教学过程

一、复习引入

1.如图1，已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．

2.如图2，AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF ．求证：AM 是△ABC 的中线．

3.如图3，AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF

4.如图4：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE ．

5. 已知：如图5所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF ．

图1 图2 图3 图4 图5

M F E C B A F

D C B A F

E D C B A D C

A F

E

二、知识讲解

考点1

证明三角形全等的方法：SAS

考点2

证明线段中的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

考点3

平行线的性质：①两直线平行,同位角相等.

②两直线平行,内错角相等.

③两直线平行,同旁内角互补.

三、例题精析

考点一证明线段中的不等关系

例1 已知：ABC ∆中，5,9AB AC ==,AM 是中线．

（1） 求证：1()2

AM AB AC <+． （2）BC 边上的中线AM 的长的取值范围是什么？

【规范解答】如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，

∵AM 为BC 中线，∴BM ＝MC

在△ACM 和△DBM 中

∴ACM ∆≌DBM ∆（SAS ），∴BD AC =

在ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2

AM AB AC <+

【总结与反思】①将AM 边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围；

②中线倍长法的具体应用：延长AM 至D ，使DM=AM ，连接BD ；利用SAS 证明三角形全等； ③将线段AC 转换成BD ，在△ABD 中利用三边关系求出2AM 取值范围.

考点二证明两个角相等

例2如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ， 若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．

F

G

E D C

B A

【规范解答】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．

在CEF ∆和BEH ∆中

CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠， 而BGE AGF ∠=∠,∴AFG AGF ∠=∠

又∵EF AD ∥,∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠,∴AD 为ABC ∆的角平分线．

H A F

G

B E D C

【总结与反思】题中E 为BC 中点，考虑用中线倍长法得到CEF BEH ∆∆≌，把CF 线段转移到BEH ∆中，然后根据等腰三角

形的性质及平行线的性质转化角得到结论。

考点三证明线段之间的关系

例3如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，

求证：AC BE =．

F E

D C B A

【规范解答】延长AD到G，使DG AD

=，连结BG ∵BD CD

=，BDG CDA

∠=∠，AD GD

=

∴ADC GDB

∆∆

≌

∴AC GB

=．G EAF

∠=∠

又∵AF EF

=，∴EAF AEF

∠=∠

∴G BED

∠=∠

∴BE BG

=，∴BE AC

=．

G

F

E

D C

B

A

【总结与反思】作倍长AD，得到ADC GDB

∆∆

≌，可以把AC转移到△BDG中，利用等腰的性质得到两边相等。

四、课堂运用

【基础】

1、如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )

A.2＜AB＜12

B.4＜AB＜12

C.9＜AB＜19

D.10＜AB＜19

【答案】C

【规范解答】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.

2、已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．

M F

E C

B A

【规范解答】延长FM 到N ，使MN MF =，连结BN 、EN ．

在三角形BNM ∆和CFM ∆中

⎪⎩

⎪⎨⎧===MF MN ∠CMF ∠BMN MC BM

BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =，

又∵AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，

∴90EMF EMN ∠=∠=，

利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆，∴EN EF =，

在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．

N M

F

E C B A