3-4洛必达法则课件

原式

lim
x0
ex

sin x2
x

1
(
0 0
)
lim e x cos x ( 0 )
x0 2x
0
lim e x sin x 1 .
x0
2
2
12
洛必达法则
例 求 lim tan x . ( ) x tan 3 x
2
解 原式 lim sin x cos3x x cos x sin 3x
xa
若f
0 ( x),
F
(
x)在点a连续,
则由条件(1),
必有 f (a) F(a) 0.
若f ( x), F ( x)在点a不连续,由于lim f ( x) 0, xa
lim F ( x) 0,可补充定义 f (a) F (a) 0.
xa
使f ( x), F ( x)在x a点连续.
柯西定理 在(a, x)内至少存在点 ,使
f (x) F(x)
f (x) f (a) F(x) F(a)

f ( ) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a, (3) lim f ( x) A
xa F ( x)
lim x a
f (x) F(x)
(3) lim f ( x) A(或); xa F ( x)
则 lim f ( x) lim f ( x) A (或). xa F ( x) xa F ( x)
4
洛必达法则
(1) lim f ( x) 0, lim F ( x) 0;
证 (仅对 0 型给出证明) xa
1

lim
x
2e2 x
0
例
xn
lim
x
e
x
(n : 正整数, 0)
()
解x原式有:x,limexnexexnx1(x,
nx)n xlilmnxn.(,nln2
1x) xn
e x
2(.

)

n次lim x
n!
ne x
0


或
0

0

1 0

0 0
例 求 lim x2e x . ( 0 )
x
解
原式
lim
x
ex x2(

)

lim
x
ex 2x
(

)
lim e x x 2
.
18
洛必达法则
例
求 lim x(
2 x
arctan x).
( 0 )
0
0 或 ,则可一直用下去;
0
(2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
11
洛必达法则
例
求
lim
x0
e x sin x 1 (arcsin x)2
.
(
0 0
)
解 arcsin x ~ x ( x 0)
x
1 x
1 x2 lim
x x
1 x2
其实: lim 1 x2 1.
x x
杜波塔托夫的一个著名例子.
17
洛必达法则
二、0 , 型未定式
关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可
解决的类型
0 ,
.
0
1. 0 型
步骤: 0 1
0 e0ln 0
例 求 lim x x . ( 00 ) x0
解
原式
lim
x0
e xlnx
e
lim
x0
x lnx (0 )
1
e e lim x0
ln x 1
(

)
x
lim x
x0 1 x2

e0
1.
22
洛必达法则
1
例 求 lim (cot x)lnx ( 0 )
(2)当 x N时, f ( x)和F( x)可导,且F( x) 0;
(3) lim f ( x) A (或为); x F ( x)
则
lim f ( x) lim f ( x) A(或为). x F ( x) x F ( x)
证 令x 1 ,则 x 等价于 z 0, 用定理1有
便而重要的 洛必达法则.
3
洛必达法则
一、0 型, 型未定式 0
定理1 设函数 f ( x)及F( x)满足条件
(1)lim f ( x) 0(或), lim F ( x) 0(或);
xa
xa
(2) f (x), F(x)在点a 的邻域内可导,(点 a 处
可除外)且 F( x) 0;
步骤: 0
练习
求
lim(
x1
2 x2
1

1 ). x 1
()
解
原式
2 x 1
lim
x1
x2 1
(
0 0
)

lim
x1
1 2x


1. 2
21
洛必达法则
三、00 ,1 ,0型未定式
步骤: 00 e0ln0 0
1 eln1 0
lim
z
f (x)
lim
f 1
z lim
f

1 z


1 z2

x F( x)
z0 F 1 z
z0
F
1 z

1 z2

9
洛必达法则

lim
z0
f 1 z
F 1
解
原式

lim 2
x
arctan x 1
(
0 0
)
x

lim
x

1
1 x
2

1 x2
x2

lim x 1
x2
1
19
洛必达法则
2. 型
通分 0
步骤: 0
例 求 lim( 1 1 ). ( )
x0 sin x x
lim f ( x) 称为0 或 型未定式.
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
lim ln sin ax( ) x0 ln sin bx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x0
e 1 ln(cot x)
解 原式 lim e ln x x0
lim ln(cot x) ( )
x0 ln x

11 lim cot x sin2 x
x0
e
1 x
e1.
23
洛必达法则
1
例 求 lim x1x x1
1 ln x
解 原式 lim e1x x1
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数
比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则.
例 求 lim x cos x ( )
x
x

解 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
洛必达法则失效.
极限不存在
x0 2x
0
lim e x sin x 1 .
x0
2
2
25
例
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到 ～
原式

lim
x0
tan x x3
x

lim
x0
sec2 x 3x2
1

lim
x0
tan 2 3x2
x
sec2 x 1 tan2 x
lim f ( x) 0 xa F ( x) 0
…
(多次用法则)
(2) x a 0, x a 0, 法则成立.
7
洛必达法则
例
求 lim x 2
cos x
x
.( 0 )
0
2
解
原式
lim
x 2
(cos x
(x
) )

lim x
洛必达 (L‘Hospital) 法国数学家 (1661-1705)
第四节 洛必达法则
0 型, 型未定式 0
0 , 型未定式 00 ,1 , 0型未定式
小结 思考题 作业
1
第三章 微分中值定理与导数的应用
洛必达法则
定义 如果当 x a (或x )时, 两个函数
f (x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大, 那末极限
x0

lim 1
x0
cos 3x2
x

lim
x0
1 2
x
2
3x2

1 6
1

cos
x
～
1 2
x2
28
洛必达法则
例 求 lim ne2n n
数列的极限 不能用洛必达法则 转化为函数的未定式的极限!
解 由于
lim xe2 x
x
(0 )
lim
x
x e2x
(

)
2
sin x

sin
1
2
1.
2பைடு நூலகம்
例
求
lim
x0
cos x
x3
1
x
.
(
0 0
)
sin x 1
解 原式 lim x0
2 3x2
1 x
.
8
洛必达法则
定理2 设 (1) lim f ( x) 0(或), lim F ( x) 0(或);
x
x

lim
x
f ( x) F ( x)

A
z
注 对x (), 定理2成立;

例
求
lim
x
2
arctan x sin 1
.(
0 0
)
x
1
解
原式
lim
x
1 x2
x
1
2

c
os
1 x

1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0 或 的未定式, 才可能用法则, 只要是
2
lim cos3x ( 0 )
x cos x 0 2
lim 3sin 3x 3.
x sin x 2
13
洛必达法则
例
ln x
lim
x
xn
(n : 正整数)
1
()
解
原式
lim
x
x nxn1

1
lim
x
nxn

0
注 n换成 0,极限式子仍成立.

lim
a
f ( F (
) )

lim
xa
f ( x) F ( x)

A.
6
洛必达法则
这种在一定条件下 通过分子分母分别求导 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则.
注 (1) lim f ( x) 0 lim f ( x) 0 xa F ( x) 0 xa F ( x) 0
1 3
26
x2 sin 1
例 lim
x.
x0 sin x
0型 0
解: 注意到 ～
原式

lim
x0

sin x
x

x
sin
1 x

1 0
0
27
例
1
6
分析:
原式

lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)

lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
原式 lim(1 1 cos x) 1.
x
x
16
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其二 可能永远得不到结果!
分子，分母有单项无理式时,不能简化.
如 lim x
1 x2 x
( ) lim 2

x
2x 1 x2 1
lim x ( ) lim
x 1 x2
解 原式 lim x sin x ( 0 ) lim 1 cos x ( 0 ) x0 x sin x 0 x0 sin x x cos x 0
lim
sin x
0.
x0 cos x cos x x sin x
20
洛必达法则
2. 型
通分 0
法则来求.
2
洛必达法则
这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,
此方法的关键是将 lim f ( x) 的计算问题转化为
xa F( x)
( x)
lim
xa
f ( F (
x) x)
的计算.
其基本思想是由微积分著名
( x)
先驱, 17世纪的法国数学家洛必达 (L‘Hospital)
提出的, 后人对他的思想作了推广, 从而产生了简
lim ln x
ex1 1 x
1

e lim x1
x 1

e
1
( 1 )
24
洛必达法则
杂例
例
求
lim
x0
e x sin x 1 (arcsin x)2
.
(
0 0
)
解 arcsin x ~ x ( x 0)
原式

lim
x0
ex

sin x2
x

1
(
0 0
)
lim e x cos x ( 0 )
任取点x, a x a (不妨设x a).
f ( x), F ( x)满足 1) 在[a, x]上连续; 2)在(a, x)内可导,且F ( x) 0.
(2) f ( x), F ( x)在点a 的邻域内可导(点 a 处除外),
且 F( x) 0;
5
洛必达法则