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___版高一数学必修2测试题及答案

___版高一数学必修2测试题及答案高一数学必修2测试题一、选择题（12×5分=60分）1、下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C.垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

答案：D2、下列命题中错误的是：A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么___⊥γ。

答案：C和D3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线AA’与BC所成的角是（）答案：C，60度4、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，A二面角D’-AB-D 的大小是（）答案：D，90度5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5;C.a=-2,b=5;D.a=-2,b=-5.答案：C，a=-2，b=56、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）A.(3,-1);B.(-1,3);C.(-3,-1);D.(3,1)答案：A，(3,-1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A.4x+3y-13=0;B.4x-3y-19=0;C.3x-4y-16=0;D.3x+4y-8=0答案：A，4x+3y-13=08、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：A.πa/3;B.πa/2;C.2πa;D.3πa.答案：B，πa/29、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm²，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）答案：B，3cm10、圆x²+y²-4x-2y-5=0的圆心坐标是：A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).答案：C，(2,-1)11、直线3x+4y-13=0与圆(x-2)²+(y-3)²=1的位置关系是：A.相离;B.相交;C.相切;D.无法判定.答案：B，相交12、圆C₁:(x+2)²+(y-2)²=1与圆C₂:(x-2)²+y²=4的位置关系是（）答案：相离一、选择题（12×5分＝60分）1.C2.B3.D4.B5.B6.A7.A8.B9.C10.B11.C12.D二、填空题（5×5=25）13.16π14.1715.√3a16.-2017.√3a三、解答题18.解：线段AB的中点坐标为C（1，-3），所以圆心坐标为（1，-3）。

最新人教A版高一数学必修二测试题全套及答案

最新人教A版高一数学必修二测试题全套及答案第一章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列关于投影的说法中不正确的是( )A．平行投影的投影线是互相平行的B．中心投影的投影线是互相垂直的C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上D．平行的直线的中心投影不一定是平行直线答案：B2．下列说法中，正确的个数为( )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1 B．2C．3 D．4解析：①③④正确．答案：C3．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是( )解析：根据三种视图的对角线位置关系，容易判断A是正确结论．答案：A4．如图所示，该直观图表示的平面图形为( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．正三角形解析：直观图中三角形有2条边与坐标轴平行，这2条边互相垂直．答案：C5．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数是( )A．2 B．3C．4 D．6解析：由正视图可知，几何体的最右边有2个小正方体，中间和左边各有1个小正方体．答案：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5；截去的锥体的底面是两直角边的长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以该几何体的体积为V ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24.答案：C7．棱台上、下底面面积分别为16,81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为( )A ．11B ．12C ．23D ．34解析：将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为h. 两棱台的高分别为x 1，x 2，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫h h ＋x 12＝1636，解得x 1＝h 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫h h ＋x 1＋x 22＝1681，解得x 2＝34h.故x 1x 2＝23. 答案：C8．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S为底面面积，h为高)( )A．3 B．2C. 3 D．1解析：由图可知，三棱锥的底面为边长为2的正三角形，左侧面垂直于底面，且为边长为2的正三角形，所以该三棱锥的底面积S＝12×2×3，高h＝3，所以其体积V＝13Sh＝13×3×3＝1.故选D.答案：D9．若圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的两倍C．不变D．缩小到原来的1 6解析：设变化前的圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，变化后的圆锥的高为h′，底面半径为r′，体积为V′，则V′V＝13πr′2h′13πr2h＝14r2·2hr2h＝12.答案：A10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析：该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积V＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积V毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)，被切部分的体积V切＝V毛坯－V＝54π－34π＝20π(cm3)，所以V切V毛坯＝20π54π＝1027.答案：C11．如图，如果底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是( )A.13πr2(a＋b) B.12πr2(a＋b)C．πr2(a＋b) D．2r2(a＋b)解析：将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为a＋b的圆柱，故圆柱被截后剩下部分的体积为12πr2(a＋b)．答案：B12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 3解析：由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有a2×33＝R＝2，解得a＝4 3.故此三棱柱的体积V＝12×32×(43)2×4＝48 3.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图所示的螺母是由________和______两个简单几何体构成的．答案：正六棱柱圆柱14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝2，高为h＝4的圆柱，中间挖去一个底面边长为a＝2的正四棱柱，则其体积是V＝πr2h－a2h＝16π－16.答案：16π－1615．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.解析：由三视图可知几何体是一个三棱柱，其底面三角形的一边长为2，其边上的高为a，则V三棱柱＝12×2×a×3＝33a＝ 3.答案： 316．如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A，B，C，D为其上四个点，则以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积为________．题图答图解析：将展开图还原为正方体如图．故以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积V＝VC－ABD＝1 3×⎝⎛⎭⎪⎫12×12×1＝16×1＝16.答案：16三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64 cm2故该几何体的表面积是64 cm2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径．记长方体的对角线为d，球的半径是r，d＝16＋16＋4＝36＝6，所以球的半径r＝3.因此球的体积V＝43πr3＝43×27π＝36π cm3.所以外接球的体积是36π cm3.18．(10分)把一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与等腰三角形的底边边长x的函数关系式，并求出函数的定义域．解：在Rt△EOF中，EF＝5 cm，OF＝12x cm，则EO＝25－14x2 cm，于是V＝13x225－14x2 cm3.依题意，函数的定义域为{x|0<x<10}．19．(10分)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图)，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示(单位cm)．(1)求出这个工件的体积；(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数部分)．解：(1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为3，设圆锥高为h，则h＝32－22＝5，则V＝13Sh＝13πR2h＝13π×4×5＝453π(cm3)．(2)圆锥的侧面积S1＝πRl＝6π，则表面积＝侧面积＋底面积＝6π＋4π＝10π(cm2)，喷漆总费用＝10π×10＝100π≈314(元)．20．(10分)已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4.(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积；(3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求V Ⅰ:VⅡ(体积之比)．解：(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是4π和4，则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长41＋π2.(2)连接OA，OB，因为截面ABCD将底面圆周截去14，所以∠AOB＝90°，因为OA＝OB＝2，所以AB＝22，而截面ABCD是矩形且AD＝4，所以SABCD＝8 2.(3)依题知V圆柱＝Sh＝16π，三棱柱AOB－DO1C的体积是8，则VⅠ＋8＝14V圆柱＝4π，所以VⅠ＝4π－8，而VⅡ＝V圆柱－VⅠ＝12π＋8，于是VⅠ:VⅡ＝π－23π＋2.第二章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列推理不正确的是( )A．A∈b，A∈β，B∈b，B∈βbβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈βα∩β＝直线MNC．直线m不在α内，A∈m AαD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线α与β重合解析：由空间中点线面的位置关系知选C.答案：C2．下列说法中正确的是( )A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：考查确定平面的公理二及其推论，易知选D.答案：D3．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：D∈l，lβ，∴D∈β，又C∈β，∴CDβ；同理，CD平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案：C4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若aα，bβ，a∥b，则a∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析：A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．答案：D5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.答案：C6．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A 1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．答案：C6题图7题图7．如上图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则异面直线AB与A1C1所成的角、AA1与B1C所成的角分别为( )A．30°，30° B．30°，45°C．45°，45° D．60°，45°解析：∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，又BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝3a，∴B1C1＝BC＝a，则BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.答案：B8．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2 3 B．27C．4 3 D．47解析：连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得P C⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×3 2＝23，所以PM的最小值为27.答案：B9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．当A1M＋MC取得最小值时，B1M的长为( )A. 3B. 6C．2 3 D．2 6题图答图解析：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，连接A1C′，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1的中点．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1A1⊥平面A1D1DA，则B1A1⊥A1M，又A1M＝2，故B1M＝B1A21＋A1M2＝12＋22＝ 3.故选A.答案：A10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于( )A．8 B．9C．10 D．11解析：取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF 相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案：A11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°解析：因为AH⊥平面A 1BD ，BD 平面A 1BD ，所以BD⊥AH.又BD ⊥AA 1，且AH∩AA 1＝A ，所以BD⊥平面AA 1H.又A 1H 平面AA 1H.所以A 1H⊥BD，同理可证BH⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确．因为平面A 1BD∥平面CB 1D 1，所以AH⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H≠45°，所以∠A 1AH≠45°，故D 错误．答案：D12．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334，VABC －A 1B 1C 1＝S×PO＝94，∴PO＝ 3.又AO ＝33×3＝1， ∴tan∠PAO＝PO AO ＝3，∴∠PAO＝π3. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD 一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD ， ∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC. ∴AC⊥BD. 答案：菱形14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．解析：∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN 平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN，又∠B 1MN 为直角，∴B 1M⊥MN 而B 1M∩B 1C 1＝B 1.∴MN⊥平面MB 1C 1，又MC 1平面MB 1C 1， ∴MN⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案：90°15．如图，圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O ，且AB⊥CD，SO ＝OB＝2，P为SB的中点．则异面直线SA与PD所成角的正切值为________．题图答图解析：连接PO，则PO∥SA，PO＝SA2＝2，∴∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角，且△OPD为直角三角形，∠POD为直角，∴tan∠OPD＝ODOP＝22＝ 2.答案： 216．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，给出下列四个结论：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P－AD1－C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点运动的路线是过D1点的直线．其中正确结论的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析：因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以VA－D1PC＝VP－ACD1为定值，①正确；因为P到平面ACD1的距离不变，但AP的长度在变化，所以AP与平面ACD1所成角的大小是变量，②错误；平面PAD1即平面ABC1D1，又平面ABC1D1与平面ACD1所成二面角的大小不变，故③正确；M点运动的路线为A1D1，④正确．答案：①③④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又DE平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．18．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B 1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC 1⊥平面B 1AC.因为AB 1平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.19．(10分)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．证明：(1)如图，因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM∥VB. 因为VB 平面MOC ，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC⊥AB. 因为平面VAB⊥平面ABC ，且OC 平面ABC ，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以S △VAB ＝3，又因为OC⊥平面VAB ，所以 V C －VAB ＝13OC·S △VAB ＝33.因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33.20．(10分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1 BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又EF平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又AE平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝12B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝A1NA1B1＝12，因此∠A1B1N＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.第三章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( )A．30°B．45°C．60°D．135°解析：由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.答案：D2．已知点A(0,4)，B(4,0)在直线l上，则l的方程为( )A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0C．x＋y＋4＝0 D．x－y＋4＝0解析：由截距式方程可得l的方程为x4＋y4＝1，即x＋y－4＝0.答案：A3．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )A.π3B.π4C.2π3D.3π4解析：因为kMN ＝－3－22＋3＝－1，所以kl＝1，由此可得，直线l的倾斜角为π4.答案：B4．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的2倍，则( )A．m＝－3，n＝1 B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3 D．m＝3，n＝1解析：依题意得－3n＝－3，－mn＝tan120°＝－3，得m＝3，n＝1.故选D.答案：D5．两条直线l1：2x＋y＋c＝0，l2：x－2y＋1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解析：l 1的斜率k 1＝－2，l 2的斜率k 2＝12，因k 1k 2＝－1，所以两直线垂直．故选B.答案：B6．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0 D ．x －y ＋1＝0解析：由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，整理得x －y ＋1＝0.故选D.答案：D7．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n＝－3，m ＝－4.答案：C8．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：设所求直线上的任一点为(x ，y)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y)，因为点(x ，－y)在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.答案：A9．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD|＝210.答案：A10．点P(7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(5,6) B ．(2,3) C ．(－5,6) D ．(－2,3) 解析：设Q(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4m －7×65＝－1，6×m ＋72－5×n －42－1＝0，解得m ＝－5，n ＝6，所以点P(7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是(－5,6)，故选C.答案：C 11．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0,2]解析：直线可化为y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2.所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．答案：A12．函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是( ) A ．0 B.13 C ．13D ．不存在解析：y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8 ＝x －02＋0－12＋x －22＋0－22.令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则原问题转化为在x 轴上求一点P(x,0)，使它到A ，B 两点的距离之和最小．如图所示，取点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B，交x 轴于点P ，则|AP|＋|PB|＝|A′P|＋|PB|≥|A′B|. ∵A(0,1)，∴A′(0，－1)．∴|A′B|＝2－02＋2＋12＝13，即函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是13. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．过点(1,3)且在x 轴的截距为2的直线方程是__________．解析：由题意设所求直线的方程为x 2＋yb ＝1，又点(1,3)满足该方程，故12＋3b ＝1，∴b＝6.即所求直线的方程为x 2＋y6＝1，化为一般式得3x ＋y －6＝0. 答案：3x ＋y －6＝014．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．解析：设直线方程为y ＝16x ＋b ，与坐标轴截距分别为－6b ，b ，所以12|－6b|·|b|＝3，解得b ＝±1，所以直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝015．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．解析：设P(x,1)，则Q(2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0.∴x ＝－2，∴P(－2,1)，∴k l ＝－23.答案：－2316．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，且m 2＋n 2为直线上的点到原点的距离的平方．当两直线垂直时，距离最小．故d ＝|a·0＋b·0＋2c|a 2＋b 2＝2c a 2＋b 2＝2c c ＝2.所以m 2＋n 2≥4.答案：4三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)(1)已知直线y＝33x－1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求l的方程；(2)已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．解：(1)∵已知直线的斜率为33，即tanα＝33，∴α＝30°.∴直线l的斜率k＝tan2α＝tan60°＝ 3.又l过点(2，－1)，∴l的方程为y－(－1)＝3(x－2)，即3x－y－23－1＝0.(2)显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－3k－2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为1 2|(2k＋3)(－3k－2)|＝4，即(2k＋3)(3k＋2)＝±8，解得k＝－12或k＝－92.∴l的方程为y－3＝－12(x＋2)，或y－3＝－92(x＋2)．即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.18．(10分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，(1)若l1与l2交于点P(m，－1)，求m，n的值；(2)若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；(3)若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．解：(1)将点P(m，－1)代入两直线方程得：m2－8＋n＝0和2m－m－1＝0，解得m＝1，n ＝7.(2)由l1∥l2得：m2－8×2＝0m＝±4，又两直线不能重合，所以有8×(－1)－nm≠0，对应得n≠±2，所以当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当m＝0时，直线l1：y＝－n8和l2：x＝12，此时l1⊥l2，当m≠0时，此时两直线的斜率之积等于1 4，显然l1与l2不垂直，所以当m＝0，n∈R时直线l1和l2垂直．19．(10分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A 的坐标为(－1,0)．又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－6.即顶点C 的坐标为(5，－6)．20．(10分)如图所示，已知A(－2,0)，B(2，－2)，C(0,5)，过点M(－4,2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．解：由已知可得k AB ＝－12，过点M(－4,2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，5x －2y ＋10＝0，得直线l 与AC 的交点坐标为P(－53，56)．所以|CP||CA|＝|x P ||x A |＝56.所以两部分的面积之比为5262－52＝2511.第四章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．以点A(1，－2)，B(3,4)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10解析：圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB|＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.答案：D2．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A(0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B(3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB|＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．答案：C3．点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．－2解析：因为空间一点到平面xOz 的距离等于|y|，所以点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为2.故选B.答案：B4．要使圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有( ) A ．D 2＋E 2－4F>0，且F<0 B ．D<0，F>0 C ．D≠0，F≠0 D ．F<0解析：令y ＝0，则x 2＋Dx ＋F ＝0.设两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝F<0，且x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时D 2＋E 2－4F>0.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －2y －20＝0的斜率为－43的切线方程是( )A ．4x ＋3y －36＝0B ．4x ＋3y ＋14＝0C ．4x ＋3y －36＝0或4x ＋3y ＋14＝0D ．不能确定解析：由直线与圆的位置关系可知，一定有两条斜率都为－43的平行直线与圆相切．答案：C6．如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为2和14，腰长为10，则这个等腰梯形的外接圆E 的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝53B ．x 2＋(y －2)2＝64C ．x 2＋(y －1)2＝50 D ．x 2＋(y －1)2＝64解析：由题图易知，等腰梯形的高为102－62＝8，显然，外接圆的圆心E 一定在y 轴上，设圆心E 到下底边的距离为a ，则72＋a 2＝12＋(8－a)2，解得a ＝1.故外接圆E 的圆心为(0,1)，半径为72＋12＝52，故所求外接圆E 的方程为x 2＋(y －1)2＝50.答案：C7．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a 等于( )A ．±12B ．±22C.12或－22D ．－12或22解析：将(y ，x)代入曲线方程，得 y 2＋x 2＋a 2y ＋(1－a 2)x －4＝0. 于是1－a 2＝a 2，解得a ＝±22. 答案：B8．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设圆C 2的圆心为(a ，b)．因为圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2.又因为圆C 2的半径与圆C 1的半径长相等，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|＝23，则k 的值是( )A ．－34B ．0C ．0或－34D.34解析：圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则|MN|＝24－3k ＋12k 2＋1＝23，解得k ＝0或k ＝－34.答案：C10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d<r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m|5<3，解得m∈(－17，－7)∪(3,13)．答案：C11．设点M(x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22解析：点M(x 0,1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N(0,1)，如图，则只需∠OMN≥45°即可，此时有tan∠OMN＝|ON||MN|≥tan45°，得0<|MN|≤|ON|＝1，即0<|x 0|≤1.当M 位于点(0,1)时，显然在圆上存在点N 满足要求．综上可知，－1≤x 0≤1.答案：A12．已知线段AB 的端点B 的坐标为(m ，n)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，且线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．7C ．1D ．－7解析：设点M ，A 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，因为点M 是线段AB 的中点，所以⎩⎨⎧x 0＝2x －m ，y 0＝2y －n ，又点A 在圆C 上，所以(2x －m ＋1)2＋(2y －n)2＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －n 22＝1，即为中点M 的轨迹方程，又中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，比较得⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝－32，－n 2＝－32，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝3.所以m ＋n ＝7.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．点M(4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________. 解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39. 答案：3914．若P(2,1)是圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析：由圆的方程得圆心坐标为O(1,0)，所以k PO ＝12－1＝1.则直线AB 的斜率为k ＝－1，由点斜式方程得x ＋y －3＝0.答案：x＋y－3＝015．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为________．解析：将圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为直径，所以AC＝10，最短弦为与AC垂直的弦，所以BD＝46，所以四边形ABCD的面积为12 AC·BD＝20 6.答案：20 616．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．解析：(1)过点C作CM⊥AB于M，连接AC，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝12|AB|＝1，所以圆的半径r＝|AC|＝|CM|2＋|AM|2＝2，从而圆心C(1，2)，即圆的标准方程为(x－1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x＝0得，y＝2±1，则B(0，2＋1)，所以直线BC的斜率为k＝2＋1－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，则圆C在点B处的切线方程为y－(2＋1)＝1×(x－0)，即y＝x＋2＋1，令y＝0得x＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2 (2)－2－1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)已知一圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心C在直线l：x－2y－3＝0上，(1)求此圆的标准方程；(2)判断点M1(0,1)，M2(2，－5)与该圆的位置关系．解：(1)如图，因为点A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(0，－4)．又k AB ＝－5－－3－2－2＝12，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝－2x －4. 联立方程组⎩⎨⎧x －2y －3＝0，y ＝－2x －4，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心坐标为C(－1，－2)，半径 r ＝|CA|＝2＋12＋－3＋22＝10.所以此圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(2)将点M 1(0,1)，M 2(2，－5)分别代入(x ＋1)2＋(y ＋2)2中，得值分别为10,18，故点M 1(0,1)在圆上，点M 2(2，－5)在圆外．18．(10分)自点A(－3,3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线L 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1，它关于x 轴对称的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 设光线L 所在直线方程是y －3＝k(x ＋3)．由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1. 整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.故所求的直线方程是y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y＋3＝0.19．(10分)已知点P(2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线l 的斜率为k(k 存在)，则方程为y －0＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0. 又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，由|3k ＋2－2k|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件．(2)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点，故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0，解得a<0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数a 存在．由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2. 而k AB ＝a ＝－1k PC ，所以a ＝12. 由于12(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB.20．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A(4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，所以圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝4－2322＝1，由点到直线的距离公式得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P 的坐标为(m ，n)，直线l 1，l 2的方程分别为y －n ＝k 1(x －m)，y －n ＝－1k 1(x －m)，即k 1x －y ＋n －k 1m ＝0，－1k 1x －y ＋n ＋1k 1m ＝0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得：圆心C 1(－3,1)到直线l 1的距离与圆心C 2(4,5)到直线l 2的距离相等，故|－3k 1－1＋n －k 1m|k 21＋1＝|－4k 1－5＋n ＋1k 1m|1k 2＋1，化简得(2－m －n)k 1＝m －n －3或(m －n ＋8)k 1＝m ＋。

高中数学必修二测试题及答案人教版

第一章空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图左视图俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点，三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3．另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12．三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45，仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(60)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设某项试验成功的概率是失败的概率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A．0B．12C．13D．232.若∣a⃗∣=1，∣b⃗⃗∣=2，且(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，则a⃗与b⃗⃗的夹角θ=( )A．π3B．−π3C．2π3D．2π3或−π33.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1−i)=1+i，则z=( )A．i B．−12i C．1D．124.在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点间的距离为( )A．2B．3C．4D．55.甲、乙两名同学在高考前的5次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均成绩分别为x，y，下列说法正确的是( )A．x<y，且乙比甲的成绩稳定B．x>y，且乙比甲的成绩稳定C．x<y，且甲比乙的成绩稳定D．x>y，且甲比乙的成绩稳定6.复数z(1−i)=i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.设a⃗=(32,sinα)，b⃗⃗=(cosα,13)，且a⃗∥b⃗⃗，则锐角α为( )A．45∘B．30∘C．75∘D．60∘8.已知实数a∈[−3,3]，则复数z=a+i2−i在复平面内对应的点位于第二象限的概率为( )A．512B．12C．712D．349. 下列叙述中，错误的一项为 ( ) A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形 D ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行10. 在 △ABC 中，a =5，b =3，则 sinA:sinB 的值是 ( ) A ． 53B ． 35C ． 37D ． 57二、填空题（共6题） 11. 思考辨析判断正误两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )12. 已知非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，则 (a ⃗−12b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗= ．13. 设两个非零向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线．若 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb ⃗⃗ 共线，则 k = ．14. 已知 (a −i )2=2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数 a = ．15. 若复数 z 满足 2z +z =3−2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ．16. 已知 O 为 △ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则 S△ABC S △AOC= ．三、解答题（共6题）17. 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上 1，2，3，⋯，10 这 10 个数字，现随机地抽取两个小球，如果：（1）小球是不放回的；（2）小球是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．18. 正六边形 ABCDEF 中，O 是其中心，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=n ⃗⃗，用 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 表示 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O ，钉尖为 A i （i =1,2,3,4）．(1) 设OA1=a（a>0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．(2) 若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为3√2cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是1+2i，向量20.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2+i，向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是3−i，求点C在复平面内的坐标．BC21.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．22.定义：对于两个非零向量p⃗和q⃗，如果存在不全为零的常数α，β，使αp⃗+βq⃗=0⃗⃗，那么称p⃗和q⃗是线性相关的，否则称p⃗和q⃗是线性无关的．已知a⃗=3i⃗−4j⃗，a⃗+b⃗⃗=4i⃗−3j⃗，试判断a⃗与b⃗⃗的线性关系（相关还是无关），并证明你的结论．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】C【解析】因为(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗⃗=1+2cosθ=0，解得cosθ=−12，又θ∈[0,π],所以θ=2π3．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】A【解析】由z(1−i)=1+i，得z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．【知识点】复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点的坐标分别为(3,−1)，(−1,2)，则两点间的距离为∣z2−z1∣=√(−1−3)2+[2−(−1)]2=5．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义5. 【答案】A【解析】由题，x=15×(101+102+105+114+138)=112，y=15×(108+118+117+124+123)=118，所以x<y，由茎叶图可知，乙的成绩更集中，故乙比甲的成绩稳定．【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，所以z=−12−12i，对应点为(−12,−12)，在第三象限．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算7. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义8. 【答案】A【解析】 z =a+i2−i =(a+i )(2+i )(2−i )(2+i )=2a+(a+2)i+i 24−i 2=2a−1+(a+2)i5，由于点位于第二象限，所以 {2a −1<0,a +z >0,则 −2<a <12， P =∣∣12−(−2)∣∣∣3−(−3)∣=512．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义9. 【答案】A【解析】在A 中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A 错误；在B 中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B 正确；在C 中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C 正确；在D 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D 正确．【知识点】棱柱的结构特征10. 【答案】A【解析】根据正弦定理，得 sinAsinB =ab =53．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 ×【知识点】直线与直线的位置关系12. 【答案】 0【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 ±1【解析】因为 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb⃗⃗ 共线，所以存在实数 λ，使 ka ⃗+b ⃗⃗=λ(a ⃗+kb ⃗⃗)，即 (k −λ)a ⃗=(λk −1)b⃗⃗．又 a ⃗，b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量，所以 k −λ=λk −1=0．消去 λ，得 k 2−1=0，所以 k =±1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义14. 【答案】 −1【解析】 a 2−2ai −1=a 2−1−2ai =2i ，a =−1．【知识点】复数的乘除运算15. 【答案】 1−2i【解析】设 z =a +bi （a,b ∈R ），则 z =a −bi ，因为 2z +z =3−2i ，所以 2a +2bi +a −bi =3−2i ，所以 3a =3，b =−2，解得 a =1，b =−2，所以 z =1−2i ．【知识点】复数的加减运算16. 【答案】 3【解析】如图所示，取 BC 的中点 D ，AC 的中点 E ，连接 OD ，OE ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,所以 OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 D ，O ，E 三点共线，所以 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=32OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又 DE 为 △ABC 的中位线，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设在 △ABC 和 △AOC 中，AC 边上的高分别为 ℎ1，ℎ2，则 ℎ1=3ℎ2，所以 S△ABC S △AOC=3．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义三、解答题（共6题）17. 【答案】从十个小球中随机抽取两个小球，记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，其所有可能的结果为 (1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)，共 18 种．（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，共有 90 种可能的结果，因此，事件 A 的概率是 1890=15．（2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 10 种可能，共有 100 种可能的结果，因此，事件 A 的概率是 18100=950．【知识点】古典概型18. 【答案】 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗+2n ⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义19. 【答案】(1) 根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4 两两连接后得到的四面体 A 1A 2A 3A 4 为正四面体，延长 A 4O 交平面 A 1A 2A 3 于 B ，则 A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连接 A 1B ，则 A 1B 是 OA 1 在平面 A 1A 2A 3 上的射影，所以 ∠OA 1B 即为 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角．设 A 1A 4=l ，则 A 1B =√33l ．在 Rt △A 4A 1B 中，A 1A 42=A 1B 2+A 4B 2，即 l 2=(√33l)2+(a +√a 2−(√33l)2)2，所以 l =2√63a ，故 A 1B =√33×2√63a =2√23a ，cos∠OA 1B =A 1B OA 1=2√23（其中 0<∠OA 1B <π2），所以 ∠OA 1B =arccos2√23，故 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角的大小为 arccos 2√23．(2) 12A 1A 22⋅√32=3√2，根据（1）可得 A 1A 2=2√63a ，所以 a =√2724cm ，1100⋅100⋅(4a )=4a =2√2164m ．答：复制 100 枚这种“钉”，共需材料 2√2164米．【知识点】棱锥的结构特征、线面角20. 【答案】因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 (3−i )−(1+2i )=2−3i ，设 C (x,y )，则 (x +yi )−(2+i )=2−3i ，所以 x +yi =(2+i )+(2−3i )=4−2i ，故 x =4，y =−2．所以点 C 在复平面内的坐标为 (4,−2)．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义21. 【答案】如图设球心为 O ，球的半径为 R ，作 OO 1⊥平面ABC 于点 O 1，则 OA =OB =OC =R ，且 O 1 是 △ABC 的外心，设 M 是 AB 的中点，因为 AC =BC ，所以 O 1∈CM ，所以 O 1M ⊥AB ，设 O 1M =x ，则 O 1A =√22+x 2，O 1C =CM −O 1M =√62−22−x ．又 O 1A =O 1C ，所以 √22+x 2=√62−22−x ，解得 x =7√24．所以 O 1A =O 1B =O 1C =9√24．在 Rt △OO 1A 中，O 1O =R 2，∠OO 1A =90∘，OA =R ，由勾股定理得 (R 2)2+(9√24)2=R 2，解得 R =3√62，所以 S 球=4πR 2=54π，V 球=43πR 3=27√6π．【知识点】球的表面积与体积22. 【答案】线性无关．对照定义，可求得 α=β=0．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义。

数学必修第二册试题及答案

数学必修第二册试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，下列说法正确的是：A. 函数f(x)在(-∞, 1/3)上单调递增B. 函数f(x)在(1/3, +∞)上单调递减C. 函数f(x)在(-∞, 1/3)上单调递减D. 函数f(x)在(1/3, +∞)上单调递增答案：D2. 集合A = {x | x > 2}，集合B = {x | x < 3}，则A∩B为：A. (2, 3)B. (3, +∞)C. (-∞, 2)D. (-∞, 3)答案：A3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1 = 1，公差d = 2，则S_5为：A. 15B. 25C. 30D. 35答案：B4. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期为：A. πB. 2πC. 4πD. 1答案：B5. 已知圆C：(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25，点P(-1, 2)，则点P与圆C的位置关系为：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不确定答案：C6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)：A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 3xC. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角为：A. π/4B. π/3C. π/2D. 2π/3答案：B8. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1 = 1，公比q = 2，则S_5为：A. 31B. 31/2C. 31/3D. 31/4答案：A9. 函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A10. 已知直线l：y = 2x + 3与x轴的交点为：A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，函数的最小值为______。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(5)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 事件 M ⊆N ，则当 N 发生时，下列必发生的是 ( ) A ． MB ． MNC ． M +ND ． M 的对立事件2. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是 ( )A ． 12.5，12.5B ． 12.5，13C ． 13，12.5D ． 13，133. 如图所示，在矩形 ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 2⃗⃗⃗ ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． 12(5e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )B ． 12(5e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ )C ． 12(3e 2⃗⃗⃗ −5e 1⃗⃗⃗ )D ． 12(5e 2⃗⃗⃗ −3e 1⃗⃗⃗ )4. 已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，向量 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−3)，则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A ． (−7,−4) B ． (7,4) C ． (−1,−2)D ． (1,2)5. 在复平面内，复数 z =1−i 对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6. 在 △ABC 中，若 sinA:sinB:sinC =2:3:4，则 cosC 的值等于 ( ) A ． 13B ． −16C ． −112D ． −147. 已知向量 a =(3,−1)，b ⃗ =(1,x )，且 a ⊥b ⃗ ，那么 x 的值是 ( )A ．−3B ．3C ．−1D ．18. 下列抽样试验中，适合用抽签法的是 ( ) A ．从某厂生产的 3000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B ．从某厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验 C ．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验 D ．从某厂生产的 3000 件产品中抽取 10 件进行质量检验9. 在 △ABC 中，一定成立的等式是 ( ) A ． asinA =bsinB B ． acosA =bcosB C ． asinB =bsinAD ． acosB =bcosA10. 化简 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ． CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． DC⃗⃗⃗⃗⃗二、填空题（共6题）11. 已知向量 a =(1,1)，b ⃗ =(m,2)，且 a ⋅b ⃗ =1，则 m 的值为，a 与 b⃗ 夹角的余弦值等于．12. 思考辨析，判断正误复数 i 的实部不存在，虚部为 0．( )13. 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为 0.4，摸出黄球的概率是 0.35，则摸出白球的概率是．14. 在平行四边形 ABCD 中，A (1,2)，B (−2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3)，则点 D 的坐标为．15. 已知样本数据 x 1，x 2，⋯，x n 的均值 x =5，则样本数据 2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x n +1 的均值为．16. 思考辨析判断正误平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．三、解答题（共6题）17. 在 a 2=b 2+c 2−2bccosA 中，若 A =90∘，公式会变成什么？18. 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？19. 如图所示，某船在海上由西向东航行，测得某岛 M 在 A 处的北偏东 α 角方向，前进 4 km 后，测得该岛在 B 处的北偏东 β 角方向，已知该岛周围 3.5 km 范围内有暗礁，现该船继续向东航行．(1) 若 α=2β=60∘，则该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自 B处向东航行多少距离会有触礁危险？(2) 当 α 与 β 满足什么条件时，该船没有触礁危险？20. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =2√2，b =5，c =√13．(1) 求角 C 的大小； (2) 求 sinA 的值； (3) 求 sin (2A +π4) 的值．21. 如图所示，P,Q 是 △ABC 的边 BC 上的两点，且 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 连续抛掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面．(1) 写出这个试验的基本事件；(2) 求出“至少有两枚正面向上”这一事件的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由于 M ⊆N ，则当 N 发生时，M 不一定发生，MN 也不一定发生，而 M +N 一定发生．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】B【知识点】样本数据的数字特征、茎叶图3. 【答案】A【知识点】平面向量的分解4. 【答案】A【解析】 BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−3)−(3,1)=(−7,−4)．【知识点】平面向量和与差的坐标运算5. 【答案】D【知识点】复数的几何意义6. 【答案】D【解析】由正弦定理可知 a:b:c =sinA:sinB:sinC =2:3:4，不妨设 a =2k ，b =3k ，c =4k (k >0)，则由余弦定理的推论得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=4k 2+9k 2−16k 22×2k×3k=−14．【知识点】正弦定理、余弦定理7. 【答案】B【知识点】平面向量数量积的坐标运算8. 【答案】B【知识点】简单随机抽样9. 【答案】C【解析】由正弦定理 asinA =bsinB ，得 asinB =bsinA ，故选C ．【知识点】正弦定理10. 【答案】C【解析】根据平面向量的加法运算，得 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】平面向量的加减法及其几何意义二、填空题（共6题） 11. 【答案】−1；√1010【知识点】平面向量数量积的坐标运算12. 【答案】 ×【知识点】复数的代数形式13. 【答案】0.25【知识点】事件的关系与运算14. 【答案】 (6,1)【知识点】平面向量和与差的坐标运算15. 【答案】 11【解析】因为样本数据 x 1，x 2，⋯，x n 的均值 x =5，所以样本数据 2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x n +1 的均值为 2x +1=2×5+1=11，所以答案应填：11．【知识点】样本数据的数字特征16. 【答案】 ×【解析】基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．【知识点】平面向量的分解三、解答题（共6题）17. 【答案】 a 2=b 2+c 2，即勾股定理．【知识点】余弦定理18. 【答案】不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为 (0,0)，它所确定的复数是 z =0+0i =0，表示的是实数．【知识点】复数的几何意义19. 【答案】(1) 如图，作 MC ⊥AB ，垂足为 C ，因为α=60∘，β=30∘，所以∠ABM=120∘，∠AMB=30∘，所以BM=AB=4km，∠MBC=60∘，所以MC=BM⋅sin60∘=2√3km<3.5km，所以该船有触礁的危险．设该船自B处向东航行至点D处有触礁危险，连接MD，则MD=3.5km，BM=4km，BC=2km，在△MDC中，CD=√(3.5)2−(2√3)2=0.5（km），所以BD=1.5km．所以该船自B向东航行1.5km会有触礁危险．(2) 设CM=x km，在△MAB中，ABsin∠AMB =BMsin∠MAB，即4sin(α−β)=BMcosα，则BM=4cosαsin(α−β)（km），而x=BM⋅sin∠MBC=BM⋅cosβ=4cosαcosβsin(α−β)，所以当x>3.5，即cosαcosβsin(α−β)>78时，该船没有触礁危险．【知识点】解三角形的实际应用问题20. 【答案】(1) 在△ABC中，由余弦定理及a=2√2，b=5，c=√13，得cosC=a 2+b2−c22ab=√22．又因为C∈(0,π)，所以C=π4．(2) 在△ABC中，由正弦定理及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA=asinCc =2√1313．(3) 由a<c及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，进而sin2A=2sinAcosA=1213，cos2A=2cos2A−1=513．所以sin (2A +π4)=sin2Acos π4+cos2Asin π4=1213×√22+513×√22=17√226.【知识点】正弦定理、余弦定理、二倍角公式21. 【答案】因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗【知识点】平面向量的加减法及其几何意义22. 【答案】(1) 连续抛掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面．这个试验的基本事件有 8 个，分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，{反反正}，{反正反}，{正反反}，{反反反}； (2) “至少有两枚正面向上”这一事件包含的基本事件有 4 个，分别为： {正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，所以“至少有两枚正面向上”这一事件的概率 P =48=12．【知识点】古典概型、随机事件的概念。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(3)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了接待方便，现将其中的五个参会国的人员安排在酒店住宿，这五个参会国要在a ，b ，c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 ( ) A ． 96 种B ． 124 种C ． 130 种D ． 150 种2. 如图，α∩β=l ，点 A,C ∈α，点 B ∈β，且 BA ⊥α，BC ⊥β，那么直线 l 与直线 AC 的关系是 ( )A ．异面B ．平行C ．垂直D ．不确定3. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为 ( )A ． 13B ． 23C ． 43D ． 24. 已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 cosA =78．I 为 △ABC 内部的一点，且 aIA ⃗⃗⃗⃗ +bIB ⃗⃗⃗⃗ +cIC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若 AI ⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 x +y 的最大值为 ( ) A ． 54B ． 12C ． 56D ． 455. 已知向量 a =(1,2)，b ⃗ =(3,1)，则 b ⃗ −a = ( ) A ． (−2,1)B ． (2,−1)C ． (2,0)D ． (4,3)6. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 acosA =bcosB ，则 △ABC 一定是 ( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7. (1+i )(2−i )= ( )A ． −3−iB ． −3+iC ． 3−iD ． 3+i8. 在边长为 4 的菱形 ABCD 中，∠A =60∘，M 为 CD 的中点，N 为平面 ABCD 内一点，若 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． 16B ． 14C ． 12D ． 89. 已知平面向量 a ，b ⃗ 满足 a =(1,√3)，∣∣b ⃗ ∣∣=3，a ⊥(a −2b ⃗ )，则 ∣∣a −b ⃗ ∣∣= ( ) A ． 2B ． 3C ． 4D ． 610. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ． 10B ． 17C ． 5D ． 15二、填空题（共6题）11. 已知球的主视图所表示图形的面积为 9π，则该球的体积是．12. 在相距 12 千米的 A ，B 两点处测量目标 C ，若 ∠CAB =75∘，∠CBA =60∘，则 A ，C 两点之间的距离是千米．13. 在半径为 2 的球 O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是．14. 思考辨析判断正误两个虚数的和或差可能是实数．( )15. 某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为 1020 小时、 980 小时、 1030 小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为小时．16. 在矩形 ABCD 中，边 AB ，AD 的长分别为 2，1，若 M ，N 分别是边 BC ，CD 上的点，且满足 ∣BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )．三、解答题（共6题）17. 在空间四边形 ABCD 中，AB =CD ，设 E ，F ，G ，H 分别为 AD ，DB ，AC ，BC 中点，试判定四边形 EFHG 的形状，并说明理由．18. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab c d ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）19. 已知 A (3,−4)，B (6,−3)，C (5−m,−4−m )，用向量方法求解：(1) 若 AB ，BC ，AC 能构成三角形，求实数 m 应满足的条件； (2) 在 △ABC 中，若 ∠A =π2，求实数 m 的值．20. 某班有 42 名男生，30 名女生，已知男女身高各有明显不同，现欲调查平均身高，若采用分层抽样方法，抽取男生 1 人，女生 1 人，这种做法是否合适？若不合适，应怎样抽取？21. 天津市某中学高三年级有 1000 名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：(1) 求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于 120 分的人数和这 1000名学生的数学平均分．(2) 已知样本中成绩在 [140,150] 内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取 2 人做学习交流，①写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）②设事件 A ：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件 A 的样本点，并求事件 A 发生的概率．22. 如图，四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，F 是 AB 的中点，E 是 PD 的中点．(1) 证明：PB∥平面AEC．(2) 在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】根据题意，分 2 步：①五个参会国要在a ，b ，c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，所以可以把五个参会国分成三组，一种是 1，1，3，另一种是 1，2，2．当按照 1，1，3 来分时，共有 C 53=10（种）分组方法；当按照 1，2，2 来分时，共有C 52C 32A 22=15（种）分组方法，则一共有 10+15=25（种）分组方法．②将分好的三组对应安排在三家酒店，有 A 33=6（种）安排方法．则安排方法共有 25×6=150（种）．【知识点】古典概型2. 【答案】C【解析】因为 α∩β=l ，所以 l ⊂α，BA ⊥α，BA ⊥l ．同理 BC ⊥l ．又 BA ∩BC =B ，所以 l ⊥平面ABC ．因为 AC ⊂平面ABC ，所以 l ⊥AC ．【知识点】直线与平面垂直关系的性质、直线与平面垂直关系的判定3. 【答案】B【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积4. 【答案】D【解析】 aIA ⃗⃗⃗⃗ +bIB ⃗⃗⃗⃗ +cIC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ⇒aIA ⃗⃗⃗⃗ +b(IA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+c(IA ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ，则：AI ⃗⃗⃗⃗ =b a+b+c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c a+b+c AC ，x +y =b a+b+c +c a+b+c =b+c a+b+c =1ab+c+1(∗)；下面求 a b+c最小值，由 a 2=b 2+c 2−74bc 得：(ab+c)2=b 2+c 2−74bc(b+c )2=(b+c )2−154bc(b+c )2=1−154bc (b+c )2≥1−154bc 4bc=116，即 ab+c 最小值为 14，则 (∗)≤114+1=45．【知识点】余弦定理、均值不等式的应用5. 【答案】B【解析】由题意得 b ⃗ −a =(3,1)−(1,2)=(2,−1)．【知识点】平面向量和与差的坐标运算6. 【答案】D【知识点】判断三角形的形状7. 【答案】D【解析】 (1+i )(2−i )=2−i +2i −i 2=3+i ．【知识点】复数的乘除运算8. 【答案】B【解析】因为 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 ∣AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，设 AM 的中点为 O ，连接 ON ，所以 ON ⊥AM ，因为点 M 是 DC 的中点，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cos∠MAN =∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+18AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×42+18×42+12×42×12=14.【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】B【解析】由题意可得 ∣a ∣=√1+3=2，且 a ⋅(a −2b ⃗ )=0，即 a 2−2a ⋅b⃗ =0，所以 4−2a ⋅b ⃗ =0，所以 a ⋅b⃗ =2，因为 ∣∣b ⃗ ∣∣=3，所以 ∣∣a −b ⃗ ∣∣2=a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =4+9−4=9，所以 ∣∣a −b ⃗ ∣∣=3．故选B ．【知识点】平面向量的数量积与垂直10. 【答案】A【知识点】三视图、棱柱的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】36π【解析】πR2=9π，R=3，V=43πR3=36π．【知识点】三视图、球的表面积与体积12. 【答案】6√6【解析】因为∠CAB=75∘，∠CBA=60∘，所以∠ACB=45∘，由正弦定理得ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，即12sin45∘=ACsin60∘，解得AC=12×√32√22=6√6，即A，C两点之间的距离为6√6千米．【知识点】正弦定理、解三角形的实际应用问题13. 【答案】16(π−√2)【解析】设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为ℎ，则球的半径r=√(ℎ2)2+(√22a)2=2，所以ℎ2+2a2=16≥2√2aℎ当且仅当ℎ2=2a2，即ℎ=2√2，a=2时，等号成立，所以aℎ≤4√2，所以正四棱柱的侧面积S侧=4aℎ≤16√2，球的表面积S=4π×22=16π，所以当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π−16√2= 16(π−√2)．【知识点】棱柱的表面积与体积、球的表面积与体积14. 【答案】√【知识点】复数的加减运算15. 【答案】50；1015【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50；该产品的平均使用寿命为 1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015．【知识点】样本数据的数字特征、分层抽样16. 【答案】[1,4]【解析】方法一：设 ∣∣BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=λ(0≤λ≤1)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λ(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4−3λ，因为 0≤λ≤1，所以 1≤AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤4，即 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 [1,4]．方法二：以边 AB 所在直线为 x 轴，边 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 AB =2，AD =1，所以 A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，设 M (2,b )，N (x,1)，0≤x ≤2，根据题意得，b =2−x 2，所以 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2−x2)，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +1(0≤x ≤2)，1≤32x +1≤4，即 1≤AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤4，所以 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 [1,4]．【知识点】平面向量的分解三、解答题（共6题）17. 【答案】连接 EF ，FH ，HG ，GE ，所以 EF ∥AB 且 EF =12AB ，HG ∥AB 且 HG =12AB ，所以 EF ∥HG 且 EF =HG ，得 EFHG 为平行四边形．同理可知：EG ∥FH 且 EG =HF =12CD ．因为 AB =CD ，所以 EF =EG ，则 EFHG 为菱形．因为 EF ∥AB ，FH ∥CD ，所以 ∠EFH 为 AB 与 CD 所成的角，连接 BE ，CE ，EH ，可以证明 △ABE ≌△ACE ，所以 EB =EC ．因为 H 为 BC 中点，所以 EH ⊥BC ．设棱长为 2x ，得 EF =FH =x ，EH =√2x ，由 EF 2+FH 2=EH 2 知 EF ⊥FH ，可得 AB ⊥CD ，则 EFHG 为正方形．【知识点】直线与直线的位置关系18. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0，当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0，所以必要性得证．反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0，当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时，不妨设 c ≠0，则 b =adc，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线，充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0． (3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣．【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式19. 【答案】(1) AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,−m )，若 A ，B ，C 能构成三角形，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行，即 −3m ≠2−m ，m ≠−1．(2) 若 ∠A =π2，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 3(2−m )−m =0，m =32．【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算20. 【答案】不合适，由于抽样比例数过小，仅抽取 2 人，很难准确反映总体情况，又因为男、女生差异较大，抽取人数相同，也不合理，故此法不合适，抽取人数过多，失去了抽样调查的统计意义，抽样太少，不能准确反映真实情况，考虑到本题应采用分层抽样及男、女生各自的人数，故按 6:1 抽取更合适，即男生抽取 7 人，女生抽取 5 人，各自用抽签法或随机数表法抽取组成样本．【知识点】分层抽样21. 【答案】(1) 由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：0.1−(0.010+0.020+0.030+0.012)=0.028，成绩不低于 1（20 分）的频率为：(0.030+0.028+0.012)×10=0.7，所以高三年级不低于 1（20 分）的人数为：0.7×1000=700 人，平均分x =105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.28+145×0.1=126.2.(2) 由频率分布直方图知，成绩在 [140,150] 的人数是 6，记女生为 A ，B ，男生为 c ，d ，e ，f ，从这 6 人中抽取 2 人的情况有 AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共 15 种．其中至少有一名女生的情况有 AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf 共 9 种，故至少有一名女生的概率915=35．【知识点】样本数据的数字特征、古典概型22. 【答案】(1) 如图，连接BD，设BD与AC的交点为O，连接EO．因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又因为E为PD的中点，所以EO∥PB，因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．(2) PC的中点G，即为所求的点．证明如下：如图，连接GE，FG，因为E为PD的中点，G为PC的中点，所以GE∥CD且GE=12CD，因为F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，所以FA=12CD且FA∥CD，则FA∥GE且FA=GE，所以四边形AFGE为平行四边形，FG∥AE，因为FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，所以FG∥平面AEC．【知识点】直线与平面平行关系的判定。

高一数学必修2经典习题答案

高一数学必修2经典习题答案数学2（必修）第一章空间几何体[基础训练A组]一、选择题1. A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台2.A因为四个面是全等的正三角形，则44S S===表面积底面积3.B 长方体的对角线是球的直径，2450l R R S Rππ======4.D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a222aa r r r r r r=====内切球内切球外接球外接球内切球外接球，，：5.D213(1 1.51)32V V V rππ=-=+-=大圆锥小圆锥6.D 设底面边长是a，底面的两条对角线分别为12,l l，而22222212155,95,l l=-=-而222124,l l a+=即22222155954,8,485160a a S ch-+-====⨯⨯=侧面积二、填空题1.5,4,3符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台2.1:333333123123::::11:r r r r r r===3.316a画出正方体，平面11AB D与对角线1AC的交点是对角线的三等分点，三棱锥11O AB D-的高23111,2336h V Sh a a====或：三棱锥11O AB D-也可以看成三棱锥11A OB D-，显然它的高为AO，等腰三角形11OB D 为底面。

4. 平行四边形或线段5设ab bc ac===则1abc c a c===l==15设3,5,15ab bc ac===则2()225,15abc V abc===三、解答题1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积23111162564()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积23211122888()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,半径为8M .棱锥的母线长为l ==则仓库的表面积218()S M π=⨯⨯= 如果按方案二，仓库的高变成8M .棱锥的母线长为10l == 则仓库的表面积 2261060()S M ππ=⨯⨯=（3）21V V > ，21S S < ∴方案二比方案一更加经济2. 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则21203,3360l l ππ==；232,13r r ππ⨯==；24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面2111333V Sh π==⨯⨯⨯=第一章空间几何体 [综合训练B 组]一、选择题1.A恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =⨯=+2.A2312,,23R r R r h V r h R πππ=====3.B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R =，2412R S R ππ=== 4.A(3)84,7S r r l r ππ=+==侧面积5.C 中截面的面积为4个单位， 12124746919V V ++==++6.D 过点,E F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，1313152323234222V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=二、填空题1.6π 画出圆台，则12121,2,2,()6r r l S r r l ππ====+=圆台侧面2.16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以AB 为高的圆锥，2211431633V r h πππ==⨯⨯=3.<设334,3V R a a R π====2264S a S R π=====<正球从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案==5.（1）4 （2）圆锥6．设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=得2l r =，而22S r r r aππ=+⋅=圆锥表，即23,3r a r ππ===，即直径为三、解答题解：'1(),3V S S h h ==319000075360024001600h ⨯==++2. 解：2229(25)(25),7l l ππ+=+=空间几何体 [提高训练C 组] 一、选择题1.A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥，123123::1:2:3,::1:2:3,r r r l l l ==12312132::1:4:9,:():()1:3:5S S S S S S S S =--=3.D111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 4.D 121:():()3:13V V Sh Sh ==5.C121212:8:27,:2:3,:4:9V V r r S S ===6.A 此几何体是个圆锥，23,5,4,33524r l h S πππ====⨯+⨯⨯=表面2134123V ππ=⨯⨯=二、填空题1．设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则123r l ππ=，得6l r =，226715S r r r r ππππ=+⋅==，得r =h =211153377V r h ππ==⨯= 2.109Q22223,S R R R Q R πππ=+===全32222221010,,2233339V R R h h R S R R R R Qπππππ==⋅==+⋅== 3.821212,8r r V V ==4.12234,123V Sh r h R R ππ=====5.28'11()(416)32833V S S h =+=⨯⨯=三、解答题1.解：圆锥的高h =1r =，22(2S S S πππ=+=+=+侧面表面底面解：S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面25(25)2πππ=⨯+⨯+⨯⨯⨯1)π=V V V =-圆台圆锥222112211()331483r r r r h r h πππ=++-=第二章点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组]一、选择题1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内2. D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系4.B 连接,VF BF ，则AC 垂直于平面VBF ，即AC PF ⊥，而//DE AC ，DE PF ∴⊥5.D 八卦图可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交6.C 当三棱锥D ABC -体积最大时，平面DAC ABC ⊥，取AC 的中点O ，则△DBO 是等要直角三角形，即045DBO ∠= 二、填空题1.异面或相交就是不可能平行2.0030,90⎡⎤⎣⎦ 直线l 与平面α所成的030的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l m ⊥，即m 与l 所成角的的最大值为0903.作等积变换：123411(),33d d d d h +++=而h =4.060或0120 不妨固定AB ，则AC 有两种可能5.2 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的三、解答题1.证明：//,////EH BCD FG BCD EH BCD BD BCD EH BD EH FG ⊄⎫⎪⊂⇒⊂⇒⎬⎪⎭2.略第二章点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B 组] 一、选择题1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为即2R =2424R S R ππ===球2.D 取BC 的中点G ，则1,2,,EG FG EF FG ==⊥则EF 与CD 所成的角030EFG ∠=3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线4.C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换：111111A AB D A A B D V V --=，则1124633h ⨯⨯=⨯⨯5.B11211332A A BD D A BAa V V Sh --===⨯=6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了二、填空题1．27 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分 2．异面直线；平行四边形；BD AC =；BD AC ⊥；BD AC =且BD AC ⊥3．0604．060 注意P 在底面的射影是斜边的中点5．三、解答题 1．证明：//b c ，∴不妨设,b c 共面于平面α，设,a b A a c B ==,,,A a B a A B αα∴∈∈∈∈，即a α⊂，所以三线共面 2．提示：反证法 3．略第二章点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练C 组] 一、选择题1． A ③若m//α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2．C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则222222222,,x y a y z b x z c +=+=+=得2222221()2x y z a b c ++=++=3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影 5．C BC PA BC AH ⊥⇒⊥6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F，1,22EF BE BF ===cos EF BF θ==7．C 取SB 的中点G ，则2a GE GF ==，在△SFC中，EF =，045EFG ∠=二、填空题1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况2.48 每个表面有4个，共64⨯个；每个对角面有4个，共64⨯个3.090 垂直时最大4.030底面边长为1，tan θ=5.11 沿着PA 将正三棱锥P ABC -侧面展开，则',,,A D E A 共线，且'//AA BC 三、解答题：略第三章直线和方程 [基础训练A 组] 一、选择题1.Dtan 1,1,1,,0ak a b a b b α=-=--=-=-=2.A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-=3.B42,82m k m m -==-=-+ 4.C ,0,0a c a cy x k b b b b =-+=-><5.C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为090，而斜率不存在6.C2223,m m m m +--不能同时为0 二、填空题1.22d ==2.234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+3.250x y --='101,2,(1)2(2)202k k y x --==-=--=--4.8 22x y +可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d ==5.23y x=平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2)三、解答题解：（1）把原点(0,0)代入A x B yC ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠；（4）0,A C ==且0B ≠ （5）证明：()00P x y ，在直线A x B yC ++=0上00000,Ax By C C Ax By ∴++==--()()000A x xB y y ∴-+-=。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(54)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是( )A．各月的利润保持不变B．各月的利润随营业收入的增加而增加C．各月的利润随成本支出的增加而增加D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系2.设i是虚数单位，如果复数(a+1)+(−a+7)i(a∈R)的实部与虚部相等，那么实数a的值为( )A．4B．3C．2D．13.关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )A．表示该组上的个体在样本中出现的频率B．表示取某数的频率C．表示该组上的个体数与组距的比值D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000)内的频率为( )A．0.001B．0.1C．0.2D．0.35. 如果一组数据“x 1，x 2，x 3，x 4，x 5”的平均数是 2，方差是 13，那么另一组数据“3x 1−2，3x 2−2，3x 3−2，3x 4−2，3x 5−2”的平均数和方差分别为 ( ) A ． 2，13B ． 2，1C ． 4，23D ． 4，36. 在 △ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =2，P 为 △ABC 所在平面上任意一点，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值为 ( ) A ． 1B ． −12C ． −1D ． −27. 已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥α，n ⊥β，则 ( ) A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n8. 复数 i (2−i )= ( ) A ． 1+2iB ． 1−2iC ． −1+2iD ． −1−2i9. 若复数 z 满足 z (1+i )=2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ( ) A ． 1−iB ． 1+iC ． −1+iD ． −1−i10. 在 △ABC 中，B =30∘，AB =2√3，AC =2，则 △ABC 的面积是 ( )A ． √3B ． 2√3C ． √3 或 2√3D ． 2√3 或 4√3二、填空题（共6题） 11. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一．( )12. 根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某市农业经济部门派甲、乙、丙 3 位专家对 A ，B 两个区进行调研，每个区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家均派遣至 A 区的概率为．13. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(−1,x )，若 (a +b ⃗ )∥(a −b ⃗ )，则实数 x 的值为．14. 半径为 3 的球体表面积为．15. 平面与平面垂直的性质定理：文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面．符号语言：α⊥β，α∩β=l，，⇒a⊥β．图形语言：16.若复数z=2+i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应点的坐标为．1−2i三、解答题（共6题）17.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1) 球的表面积等于圆柱的侧面积；．(2) 球的表面积等于圆柱全面积的2318.在静水中划船的速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边某处出发，沿着垂直于水流的方向到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1) 求角A的大小；，求△ABC的面积．(2) 若a=2，B=π320.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？21.在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：日期15日16日17日18日19日20日21日22日小强的天然气表显示读数(单位:m3)220229241249259270279290妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？22.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1) 结合平均数和方差分析谁更优秀；(2) 结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；(3) 结合平均数和命中9环及以上的次数分析谁的成绩好些；(4) 从折线图上两人射击命中环数的走势分析谁更有潜力．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】频率分布直方图2. 【答案】B【解析】由题意得 a +1=−a +7，则 a =3．故选B ．【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】D【解析】频率分布直方图中小长方形的高是频率组距，面积表示频率．【知识点】频率分布直方图4. 【答案】D【知识点】频率分布直方图5. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】如图，以直线 AB ，AC 分别为 x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设 P (x,y )，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2x,2−2y )，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−x (2−2x )−y (2−2y )=2x 2−2x +2y 2−2y =2(x −12)2+2(y −12)2−1,当 x =12，y =12 时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 取得最小值，为 −1．故选C ．【知识点】平面向量数量积的坐标运算7. 【答案】C【解析】由题意知α∩β=l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l．【知识点】直线与直线的位置关系、点、线、面的位置关系8. 【答案】A【解析】i(2−i)=1+2i．【知识点】复数的乘除运算9. 【答案】B【解析】因为复数z满足z(1+i)=2i，所以z=2i1+i=1+i．【知识点】复数的乘除运算10. 【答案】C【解析】由AB=2√3，AC=2，B=30∘及正弦定理ACsinB =ABsinC得sinC=ABsinBAC=2√3×122=√32．由C为三角形的内角可知C=60∘或120∘．因此A=90∘或30∘．在△ABC中，由AB=2√3，AC=2，A=90∘或30∘，得面积S=12AC⋅AB⋅sinA=2√3或√3．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】×【知识点】余弦定理12. 【答案】16【解析】该试验所有的样本点为(甲,乙丙)，(乙,甲丙)，(丙,甲乙)，(甲乙,丙)，(甲丙,乙)，(乙丙,甲)（其中每个样本点表示的都是“派往A区调研的专家、派往B区调研的专家”），共6个，其中甲、乙两位专家均被派遣至 A 区的样本点有 1 个，因此，所求事件的概率为 16．【知识点】古典概型13. 【答案】 −12【解析】因为 a =(2,1)，b⃗ =(−1,x )，所以 a +b ⃗ =(1,x +1)，a −b ⃗ =(3,1−x )，又 (a +b ⃗ )∥(a −b⃗ )，所以 1−x −3(x +1)=0，解得 x =−12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算14. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积15. 【答案】交线；垂直； a ⊂α ； a ⊥l【知识点】平面与平面垂直关系的性质16. 【答案】 (0,1)【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 略． (2) 略．【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积18. 【答案】如图所示，设向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形 OACB ，连接 OC ．依题意得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=20，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=40，所以 ∠BOC =30∘．故船应向上游且与河岸夹角为 60∘ 的方向行进．【知识点】平面向量的实际应用问题19. 【答案】(1) 因为 A +B +C =π，所以 sin (B +C )=sinA ，所以 b 2+c 2−a 2=2bcsinA ，所以b 2+c 2−a 22bc=sinA ，由余弦定理得 cosA =sinA ，可得 tanA =1，又因为 A ∈(0,π)，所以 A =π4．(2) 根据正弦定理得 b =a sinA ⋅sinB =√6，又 sinC =sin (A +B )=sin (π4+π3)=√6+√24，所以S △ABC =12absinC =12⋅2⋅√6⋅√6+√24=3+√32.【知识点】余弦定理、正弦定理20. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定21. 【答案】 300×1.70<600，够用．【知识点】样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 根据题意作出统计表：平均数方差中位数命中9环及以上次数甲7 1.271乙75.47.53因为平均数相同，且 s 甲2<s 乙2，所以甲的成绩比乙稳定，甲更优秀．(2) 因为平均数相同，甲的中位数 < 乙的中位数，所以乙的成绩比甲好．(3) 因为平均数相同，且乙命中 9 环及以上的次数比甲多，所以乙的成绩比甲好．(4) 因为甲的成绩在平均线附近波动，而乙的成绩整体处于上升趋势，从第 4 次开始射靶的环数没有比甲少的情况发生，所以乙更有潜力．【知识点】样本数据的数字特征。

高一数学必修2测试卷及答案

一、选择题：1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )．A ．(2，2)B ．(1，1)C ．(－2，－2)D ．(－1，－1)3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )．A ．2B ．21 C ．－2 D ．－21 4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．46．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )．A ．(－2，4)B ．(2，－4)C ．(－1，2)D ．(1，2)7．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )．A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －1D ．y ＝－x －18．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是( )．A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．b ∥平面αD ．b 与平面α相交，或b ∥平面α9．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a ∥b 的是( )．A ．a ⊂α，b ⊂β，α∥βB ．a ∥α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊥α，b ⊂α10．圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )． A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为( )．A ．∠D'DB B ．∠AD' C'C ．∠ADBD ．∠DBC'12．圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )．A ． 1B ．23 C ． 2D ． 313．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BA C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kgB ．1.76 kgC ．2.46 kgD ．3.52 kg二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．CBADA 'B 'C 'D ' (第11ABCA BEC(第13ABC DD C BA (第15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为．16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是．17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________． 18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积． 20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．一、选择题2．几何体的三视图如图，则几何体的体积为（） A ．3π B ．23πC ．πD ．43π3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．异面 D ．相交成60° 4．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b =（） A ．2B ．3C ．5D ．15．与直线:2l y x =平行，且到l 的距离为5的直线方程为（）ACPBDE(第20题)A ．25y x =±B ．25y x =±C ．1522y x =-± D ．1522y x =-±6．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点（） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(1,2)--7．已知菱形ABCD 的两个顶点坐标：(2,1),(0,5)A C -，则对角线BD 所在直线方程为（） A ．250x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y -+= D ．250x y -+= 9．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是（） A ．22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)4x y -+-=C ．22(1)(1)2x y +++= D ．22(1)(1)4x y +++=10．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（） A ．1B ．22C ．7D ．3二、填空题：本大题共4小题．11. 直线0x ay a +-=与直线(23)0ax a y --=垂直，则a ＝.14.设集合{}22(,)4M x y x y =+≤，{}222(,)(1)(1)(0)N x y x y r r =-+->≤.当M N N =I 时，则正数r 的取值范围.三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标：(0,0),(3,3),(4,0)A B C ． ⑴ 求边CD 所在直线的方程（结果写成一般式）； ⑵ 证明平行四边形ABCD 为矩形，并求其面积．16. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，且MN PC MN AB ⊥⊥，.证明：平面P AD ⊥平面PDC .17. 如图，已知直线1:40l x y +=，直线2:10l x y +-=以及2l 上一点(3,2)P -．求圆心在1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆的方程．18. 已知正四棱锥P －ABCD 如图. ⑴ 若其正视图是一个边长分别为332、、的等腰三角形，求其表面积S 、体积V ；⑵ 设AB 中点为M ，PC 中点为N ，证明：MN //平面P AD .19．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点.⑴ 求证：BD AE ⊥；⑵ 求证：//AC 平面1B DE ；⑶．求三棱锥1A B DE -的体积.20．已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．⑴ 证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；⑵ 当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度． \一、选择题1．B2．D3．D4．C5．A 6．D 7．A 8．D 9．C10．A 11．D12．C13．C14．D二、填空题15．512．16．(x －2)2＋y2＝10．17．1:3．18．到四个面的距离之和为定值．三、解答题19．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0． (2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是32，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝21·32·2＝332．20．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以DE ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，且DE ⊄平面P AC ，所以DE ∥平面P AC ．(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ．所以AB ⊥平面PBC ．又因为PB ⊂平面PBC ，所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角．因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°，所以∠PBC ＝45°，所以二面角P —AB —C 的大小为45°．21．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5294-m ＝5，即|4m －29|＝25．因为m 为整数，故m ＝1．故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0，即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞125．所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(125，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－a 1，l 的方程为y ＝－a1(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝43．由于43∈(125，＋∞)，故存在实数a ＝43，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．一、选择题1． C 2． D 3． D 4． C5． B 6． A 7． A 8． D9． A10．C二、填空题：11. 0或212．5 13． 22+ 14.022r <-≤三、解答题：15．【解】⑴. 过,A B 两点的直线的斜率33ABk =，//CD AB ，∴33CD AB k k ==，又因直线过点(4,0)C ，∴CD 所在直线的方程为：30(4)3y x -=-，即340x y --=. ⑵. 可求||23,||2AB BC ==，故矩形ABCD 的面积||||43ABCD S AB BC =⋅=.16.【证明】设PD 中点为H ，连接NH 、AH ，则NH 是三角形PCD 的中位线，NH =//12CD ，而MA =//12CD ，故MA =//NH ，四边形AMNH 为平行四边形，//AH MN .而//MNAB DC AB ⊥，，故MN DC ⊥，又MN PC PC DC C ⊥=I ，，故MN ⊥平面PCD ，而//AH MN ，故AH ⊥平面PCD ， AH ⊂平面P AD ，故平面P AD ⊥平面PDC .17. 【解】设圆心为(,)C a b ，半径为r ，依题意，4b a =-.ACPBDE(第20设直线2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥，故21PC k k ⨯=-，∴2(4)13PC a k a---==-，解得1,4a b ==-.||22r PC ==.，所求圆的方程为222(1)(4)(22)x y -++=.18.【解】⑴. 设CD 中点为E ，则正四棱锥的正视图为三角形PME . 依题意，332PMPE ME ===、、，故几何体的表面积S ＝1423224342⎛⎫⨯⨯⨯+⨯=+⎪⎝⎭，体积V ＝()2214243133⨯⨯-=. ⑵. 设PD 中点为F ，连接NF ，AF . 则NF 为三角形PCD 的中位线，故NF =//12CD ，MA =//12CD ，故NF =//MA ，四边形MNF A 为平行四边形， //MN AF ，MN ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，故MN //平面P AD .19．【证明】连接BD ，AE . 因四边形ABCD 为正方形，故BD AC ⊥，因EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，故EC BD ⊥，又EC AC C =I ，故BD ⊥平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，故BD AE ⊥. ⑵. 连接1AC ，设11AC B D G =I ，连接GE ，则G 为1AC 中点，而E 为1C C 的中点，故GE 为三角形1ACC 的中位线，//AC GE ，GE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ，故//AC 平面1B DE .⑶. 由⑵知，点A 到平面1B DE 的距离等于C 到平面1B DE 的距离，故三棱锥1A B DE -的体积11A B DE C B DE V V --=，而11111121223323C B DE D B CE B CE V V S DC --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，三棱锥1A B DE -的体积为23.20．⑴. 方法一：圆C 的方程可化为：222(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =.直线l 的方程可化为：(4)3y k x =-+，直线过定点(4,3)P ，斜率为k .定点(4,3)P 到圆心(3,4)C 的距离22(43)(34)2dr =-+-=<，∴定点(4,3)P 在圆C 内部，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. 方法二：圆C 的方程可化为：222(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =.圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=的距离2|1|1k d k --=+，2222122111k k k d k k ++==+++，因()()221210k k k +-=-≥，212k k +≥，2211k k +≥，故22221241kdr d r k =+<=<+≤，，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. ⑵. 圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=的距离2|1|1k d k --=+C 被直线l 截得的弦长＝222222411k r d k ⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭，当0k=时，弦长23=；当0k ≠时，弦长2231k k=-+，下面考虑先求函数1y k k=+的值域. 由函数知识可以证明：函数在(1)-∞-，上单调递增，在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增（证明略），故当0k<时，函数在1k =-处取得最大值－2；当0k >时，函数在1k =处取得最小值2.即12k k +≥或12k k +-≤，故11012k k <+≤或11012k k-<+≤，可得2101k k --<+≤或2011k k <+-≤，即2111k k --+≤≤且201k k -≠+，22341k k-+≤≤且2331k k-≠+， 2222341k k-+≤≤且223231k k-≠+.综上，当1k =时，弦长取得最小值22；当1k =-时，弦长取得最大值4.。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(1)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷11（共22题）一、选择题（共10题）1. △ABC 中，若 a =1，c =2，B =60∘，则 △ABC 的面积为 ( ) A ． 12B ． 1C ．√32D ． √32. 若书架中放有中文书 5 本，英文书 3 本，日文书 2 本，则抽出一本书为外文书的概率为 ( ) A ． 15B ． 310C ． 25D ． 123. 若 θ 为两个非零向量的夹角，则 θ 的取值范围为 ( ) A ．(0,π) B ．(0,π] C ．[0,π) D ．[0,π]4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A = { 抽到一等品 }，事件 B = { 抽到二等品 }，事件 C = { 抽到三等品 } ,且已知 P (A )=0.65，P (B )=0.2，P (C )=0.1．则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为 ( ) A ．0.7 B ．0.65 C ．0.35 D ．0.35. 下列关于古典概型的说法中正确的是 ( ) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等；④若样本点总数为 n ，随机事件 A 包含其中的 k 个样本点，则 P (A )=kn ． A ．②④ B ．③④ C ．①④ D ．①③④6. 给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第 60 百分位数是 ( ) A ． 102 B ． 102.5 C ． 103 D ． 103.57. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，这 5 天中 14 时的气温数据（单位：∘C ）如下：甲:2628293131乙:2829303132以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据数据能得到的统计结论的编号为( )A．①③B．①④C．②③D．②④8.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定9.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α10.半径为2的球的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π二、填空题（共6题）11.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为．12.思考辨析判断正误．( )做100次拋硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是5110013.若空间两个角的两条边分别平行，则这两个角的大小关系是．14.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，=．z2，则z2z115.平均数：如果n个数x1，x2，⋯，x n，那么x=叫做这n个数的平均数．16.思考辨析判断正误为了更清楚地反映学生在这学期多次考试中数学成绩情况，可以选用折线统计图．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93，45分，最近一次考试成绩只有45分的原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价（90分及90分以上为优秀，75∼90分为良好）？19.类比绝对值∣x−x0∣的几何意义，∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是什么？20.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90∘，PA=AC=2BC．(1) 若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；(2) 若PA与平面ABC所成角的大小为60∘，求二面角C−PB−A的余弦值．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，PD=9，E为PA的中点．(1) 求证：DE∥平面BPC．(2) 在线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B−PCF的体积；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由题得 △ABC 的面积 S =12AB ⋅BC ⋅sin60∘=12×2×1×√32=√32．【知识点】三角形的面积公式2. 【答案】D【解析】在 10 本书中，中文书 5 本，外文书为 3+2=5 本，由古典概型，在其中抽出一本书为外文书的概率为 510，即 12．【知识点】古典概型3. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】D【解析】由题意知事件 A 、 B 、 C 互为互斥事件，记事件 D =“抽到的是二等品或三等品”，则 P (D )=P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.2+0.1=0.3．【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特征及计算公式可知①③④正确．【知识点】古典概型6. 【答案】D【解析】 5×0.6=3，第 60 百分位数是第三与第四个数的平均数，即103+1042=103.5．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】B【解析】因为 x 甲=26+28+29+31+315=29，x 乙=28+29+30+31+325=30，所以 x 甲<x 乙．又 s 甲2=9+1+0+4+45=185，s 乙2=4+1+0+1+45=2，所以 s 甲>s 乙，故由样本估计总体可知结论①④正确．【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】C【解析】不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，故A 错误；频率是由试验的次数决定的，故B 错误；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错误．【知识点】频率与概率9. 【答案】D【解析】点 A 在直线 l 上，表示为 A ∈l ，l 在平面 α 内，表示为 l ⊂α．【知识点】平面的概念与基本性质10. 【答案】D【解析】因为球的半径为 r =2，所以该球的表面积为 S =4πr 2=16π．【知识点】球的表面积与体积二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.03【解析】 P =60020000=0.03．【知识点】频率与概率12. 【答案】 ×【知识点】频率与概率13. 【答案】相等或互补【知识点】直线与直线的位置关系14. 【答案】 −1−2i【解析】由题意，根据复数的表示可知z1=i，z2=2−i，所以z2z1=2−ii=(2−i)⋅(−i)i⋅(−i)=−1−2i．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义15. 【答案】1n(x1+x2+⋯+x n)【知识点】样本数据的数字特征16. 【答案】√【知识点】频率分布直方图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】小明5次考试成绩从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．【知识点】复数的加减运算20. 【答案】(1) 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．又PA⊥PB，PB∩BC=B，所以PA⊥平面PBC，因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC．(2) 如图，过P作PH⊥AC于点H，因为平面PAC⊥平面ABC，所以PH⊥平面ABC，所以∠PAH=60∘，不妨设PA=2，所以PH=√3，以 C 为原点，分别以 CA ，CB 所在直线为 x 轴，y 轴，以过 C 点且平行于 PH 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,1,0)，P(1,0,√3)，因此 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)．设 n ⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 PAB 的一个法向量，则 {n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−2x 1+y 1=0,−x 1+√3z 1=0,令 z 1=√3，可得 n ⃗ =(3,6,√3)，设 m ⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 PBC 的一个法向量，则 {m ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {y 2=0,x 2+√3z 2=0,令 z 2=√3，可得 m ⃗⃗ =(−3,0,√3)，所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=4√3×2√3=−14，易知二面角 C −PB −A 为锐角，所以二面角 C −PB −A 的余弦值为 14．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角21. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】(1) 取 PB 的中点 M ，连接 EM ，CM ，过点 C 作 CN ⊥AB ，垂足为 N ，如图所示．因为 CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，所以 CN ∥DA ，又 AB ∥CD ，所以四边形 CDAN 为矩形，所以 CN =AD =8，DC =AN =6．在 Rt △BNC 中，BN =√BC 2−CN 2=√102−82=6，所以 AB =12．因为 E ，M 分别为 PA ，PB 的中点，所以 EM ∥AB 且 EM =6，又 DC ∥AB ，且 CD =6，所以 EM ∥CD 且 EM =CD ，则四边形 CDEM 为平行四边形，所以 DE ∥CM ．因为 CM ⊂平面BPC ，DE ⊄平面BPC ，所以 DE ∥平面BPC ．(2) 存在．理由如下：由题意可得 DA ，DC ，DP 两两互相垂直，故以 D 为原点，DA ，DC ，DP所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ．则 D (0,0,0)，B (8,12,0)，C (0,6,0)，所以 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12,0)．假设 AB 上存在一点 F 使 CF ⊥BD ，设点 F 坐标为 (8,t,0)(0≤t ≤12)，则 CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)，由 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 64+12(t −6)=12t −8=0，所以 t =23，即 AF =23，故 BF =12−23=343．又 PD =9，所以 V 三棱锥B−PCF =V 三棱锥P−BCF =13×12×343×8×9=136．【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题。

高一数学必修2第二章测试题及答案解析

高一数学必修2第二章测试题及答案解析(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章单元测试题一、选择题1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( ) A．相交B．平行 C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( ) A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A．a?α，b?α B．a?α，b∥α⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有( )A．①②B．②③C．②④D．①④B．8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析] AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析] 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析] 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b ∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以EF ∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析] 选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C 中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a?β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.9[答案] C[解析] 如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β.13[答案] α∩β＝AB14[答案] 45°[解析] 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.15[答案] 9[解析] 如下图所示，连接AC，BD，则直线AB，CD确定一个平面ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，则ASSB＝CSSD，∴86＝12SD，解得SD＝9.16[答案] ①②④[解析] 如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝2 2 a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD 所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1?平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ?平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°.1111。

高一数学必修2精选习题与答案(复习专用)

（数学2必修）第一章空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3 B. 23 C. 33 D. 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（） A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．将圆心角为0120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积（数学2必修）第一章空间几何体ABD CE F[综合训练B 组] 一、选择题1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（） A ． 22+ B ．221+ C ．222+ D ． 21+ 2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A ．3324R π B ．338R π C ．3524R π D ．358R π 3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（）Ａ．28cm π Ｂ．212cm πＣ．216cmπＤ．220cm π4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（） A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3 5．棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A ．1:7 Ｂ．2:7 Ｃ．7:19 Ｄ．5:166．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（） A ．92Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．152二、填空题1．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(55)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 如图所示的图形中有 ( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球2. 下列关于零向量的说法，正确的是 ( ) A ．零向量没有方向 B ．零向量没有长度 C ．零向量等同于实数中的零D ．零向量和任意向量共线3. 复数 −2i 的实部与虚部分别是 ( ) A ． 0，2B ． 0，0C ． 0，−2D ． −2，04. 若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． (−2,3)B ． (0,1)C ． (−1,2)D ． (2,−3)5. 如图所示，在矩形 ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 2⃗⃗⃗ ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． 12(5e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ) B ． 12(5e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ ) C ． 12(3e 2⃗⃗⃗ −5e 1⃗⃗⃗ )D ． 12(5e 2⃗⃗⃗ −3e 1⃗⃗⃗ )6. 已知向量 a ，b ⃗ ，那么 12(2a −4b⃗ )+2b ⃗ 等于 ( )A ． a −2b ⃗B ． a −4b⃗ C ． aD ． b⃗7. 已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB =BC =CA =2，则球面面积是 ( ) A ．169π B ． 83πC ． 4πD ．649π8. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥AB ，BC =√3BD ，AD =1，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A ． √3B ． 3C ． −√3D ． −39. 在 △ABC 中，点 D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当点 E 在线段 AD 上移动时，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则 t =(λ−1)2+μ2 的最小值是 ( ) A ．3√1010B ．√824C ．910D ．41810. 给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有 ( ) A ． 4 个 B ． 5 个 C ． 6 个 D ． 7 个二、填空题（共6题） 11. 复数集：（1）定义：所构成的集合叫做复数集．（2）表示：通常用大写字母 C 表示．12. 已知向量 a =(1,1)，b ⃗ =(m,2)，且 a ⋅b ⃗ =1，则 m 的值为，a 与 b⃗ 夹角的余弦值等于．13. 空间不共面的四个点可以确定个平面．14. 思考辨析判断正误复数与复数相加减后结果只能是实数．( )15. 已知复数 z =i 2019⋅(1−i )，则 ∣z ∣= ．16. 平均数：如果 n 个数 x 1，x 2，⋯，x n ，那么 x = 叫做这 n 个数的平均数．三、解答题（共6题）17. 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1) A ∈α，B ∉α；(2) l ⊂α，m ∩α=A ，A ∉l ； (3) P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α．18. 如图，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2．(1) 求证：AC ⊥B 1D ；(2) 求三棱锥 C −BDB 1 的体积．19. 一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30∘ 方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60∘ 方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30∘ 方向行驶 2 千米才到达 B 地．(1) 画出 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 求 B 地相对于 A 地的位移．20. 按图示的建系方法，画出水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2√2，b=5，c=√13．(1) 求角C的大小；(2) 求sinA的值；)的值．(3) 求sin(2A+π422.分层随机抽样的总体具有什么特点？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台．【知识点】棱柱的结构特征2. 【答案】D【解析】零向量既有大小，又有方向；实数零只是数量，没有方向；规定零向量与任一向量共线，所以选D ．【知识点】平面向量的概念与表示3. 【答案】C【解析】 −2i 的实部为 0，虚部为 −2．【知识点】复数的概念4. 【答案】D【知识点】平面向量和与差的坐标运算5. 【答案】A【知识点】平面向量的分解6. 【答案】C【知识点】平面向量的数乘及其几何意义7. 【答案】D【解析】因为球的半径 R 不小于的外接圆半径 r =2√33，则 S 球=4πR 2≥4πr 2=163π>5π．【知识点】球的表面积与体积8. 【答案】A【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】C【解析】如图，设存在实数 m 使得 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤m ≤1)，因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m (14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3m 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 {λ=m4,μ=3m 4,所以t =(λ−1)2+μ2=(m4−1)2+(3m 4)2=58m 2−m2+1=58(m −25)2+910,当 m =25时，t 取得最小值，为910．【知识点】平面向量的分解10. 【答案】A【解析】速度、位移、力、加速度，这 4 个物理量是向量，它们都有大小和方向．【知识点】平面向量的概念与表示二、填空题（共6题） 11. 【答案】全体复数【知识点】复数的代数形式12. 【答案】−1；√1010【知识点】平面向量数量积的坐标运算13. 【答案】 4【解析】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定 4 个平面．故答案为 4．【知识点】平面的概念与基本性质14. 【答案】×【知识点】复数的加减运算15. 【答案】√2【解析】z=i2019⋅(1−i)=i2×1009+1⋅(1−i)=−i⋅(1−i)=−i−1，则∣z∣=√(−1)2+(−1)2=√2．【知识点】复数的乘除运算16. 【答案】1n(x1+x2+⋯+x n)【知识点】样本数据的数字特征三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 点A在平面α内，点B不在平面α内．图形如图（1）所示．(2) 直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．图形如图（2）所示．(3) 直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q．图形如图（3）所示．【知识点】直线与直线的位置关系、点与平面的位置关系18. 【答案】(1) 因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以BB1⊥平面ABCD．因为AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC．因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BB1∩BD=B，BB1,BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D．因为B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D．(2) 易知V C−BDB1=V B1−BDC．因为B1B⊥平面ABCD，所以B1B是三棱锥B1−BDC的高．因为V B1−BDC =13S△BDC⋅BB1=13×12×2×2×2=43，所以三棱锥 C −BDB 1 的体积为 43．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积19. 【答案】(1) 向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示． (2) 由题意知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AD ∥BC ，AD =BC ，则四边形 ABCD 为平行四边形，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 B 地相对于 A 地的位移为“北偏东 60∘，长度为 6 千米”．【知识点】平面向量的概念与表示20. 【答案】画法：（1）在图①中作 AG ⊥x 轴于 G ，作 DH ⊥x 轴于 H ．（2）在图②中画相应的 xʹ 轴与 yʹ 轴，两轴相交于点 Oʹ，使 ∠xʹOʹyʹ=45∘．（3）在图②中的 xʹ 轴上取 OʹBʹ=OB ，OʹGʹ=OG ，OʹCʹ=OC ，OʹHʹ=OH ，yʹ 轴上取 OʹEʹ=12OE ，分别过 Gʹ 和 Hʹ 作 yʹ 轴的平行线，并在相应的平行线上取 GʹAʹ=12GA ，HʹDʹ=12HD ．（4）连接 AʹBʹ，AʹEʹ，EʹDʹ，DʹCʹ，并擦去辅助线 GʹAʹ，HʹDʹ，xʹ 轴与 yʹ 轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图五边形 AʹBʹCʹDʹEʹ（如图③）．【知识点】直观图21. 【答案】(1) 在 △ABC 中，由余弦定理及 a =2√2，b =5，c =√13，得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=√22．又因为 C ∈(0,π)，所以 C =π4．(2) 在 △ABC 中，由正弦定理及 C =π4，a =2√2，c =√13，可得 sinA =asinC c=2√1313． (3) 由 a <c 及 sinA =2√1313，可得 cosA =√1−sin 2A =3√1313，进而 sin2A =2sinAcosA =1213，cos2A=2cos2A−1=513．所以sin(2A+π4)=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=1213×√22+513×√22=17√226.【知识点】正弦定理、余弦定理、二倍角公式22. 【答案】个体之间差异较大．【知识点】分层抽样。

高一数学必修2习题(答案详解)

一、选择题【共10道小题】1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( )①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:思路解析:逐个对各选项分析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,①对;两条平行直线是可以确定一个平面的,三条平行直线有可能确定三个平面,②错;三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上,③错;设这四条直线分别为l1、l2、l3、l4,取其中两条相交直线l1和l2,则它们可确定一个平面α,取l3,设其与l1、l2的交点分别为A、B,则由题意知这两点不同,且A∈l1,B∈l2,所以有A、B∈α,从而l3∈α;同理可证明l4∈α.所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面,④对.答案:B主要考察知识点:空间直线和平面2、如图2-1-17,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°图2-1-17参考答案与解析:思路解析:求EF与SA所成的角,可把SA平移,使其角的顶点在EF上,为此取SB的中点G,连结GE、GF、BE、AE.由三角形中位线定理得GE=BC,GF=SA,且GF∥SA,所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此空间四边形边长为a,那么GF=GE=a,EA=a,EF=a,因此△EFG为等腰直角三角形,∠EFG=45°,所以EF与SA所成的角为45°.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面3、如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交参考答案与解析:思路解析:利用线面平行的定义.直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面4、若点M在直线α上，α在平面α内，则M、a、α间的上述关系可记为( )A.M∈a,a∈αB.M∈a,aαC.M a,aαD.M a,aα参考答案与解析:B主要考察知识点:空间直线和平面5、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF与HG交于点M，则( )A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在AC上，也可能在BD上D.M不在AC上，也不在BD上参考答案与解析:A主要考察知识点:空间直线和平面6、下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点参考答案与解析:解析：A错,不共点的三点;B错,如空间四边形;D错,两平面的三个交点在同一直线上.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面7、若点M在直线a上,a在平面α内，则M，a,α间的上述关系可记为（）A.M∈a,a∈αB.M∈a,C.,D.,参考答案与解析:解析：要明确数学符号语言的表示.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面8、异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线参考答案与解析:解析：A错,有可能平行；B错,有可能平行或相交；C错,有可能平行或相交；D正确.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、若a∥α,b∥α,则直线a、b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面 D.A、B、C均有可能参考答案与解析:解析：平行、相交、异面都有可能,此题的难点在于可能选平行,易和平行公理混淆.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面10、下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线,则a∥α;④若直线a∥b,bα,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行.∴②是假命题.对于③,∵直线a∥b, ,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α.∴③是假命题.对于④,∵a∥b, ,那么aα或a∥α,∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上所述,真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为__________.参考答案与解析:解析：(1)当题中三条直线共点但不共面相交时，可确定3个平面；而P点与每条直线又可确定3个平面，故共确定6个.主要考察知识点:空间直线和平面2、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.参考答案与解析:思路解析:由公理4可知不可能平行,只有相交或异面.答案:相交或异面主要考察知识点:空间直线和平面3、看图填空.(1)AC∩BD=_______;(2)平面AB1∩平面A1C1=________；(3)平面A1C1CA∩平面AC=________；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=_________;(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=_________；(6)A1B1∩B1B∩B1C1=_________.参考答案与解析:解析：两个面的两个公共点连线即为交线.答案：（1）O（2）A1B1（3）AC（4）OO1（5）B1（6）B1主要考察知识点:空间直线和平面4、已知平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定平面_______个.参考答案与解析:解析：分类,如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面,如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,可确定四个.答案：1或4主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.参考答案与解析:解析：本题是一个证明三点共线的问题，利用公理3，两平面相交时，有且只有一条公共直线.因此只需证明P、Q、R三点是某两个平面的公共点，即可得这三个点都在两平面的交线上，因此是共线的.证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC 交平面α于点R,则P、Q、R三点都在平面α内，又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交线上，而两平面的交线只有一条，所以P、Q、R三点共线.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.①哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？②直线BA′和CC′的夹角是多少？③哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？参考答案与解析:解析：①由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′,B′D′所在直线分别与直线BA′是异面直线.②由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以BA′与CC′的夹角为45°.③直线AB，BC，CD，DA，A′B′,B′C′,C′D′,D′A′分别与直线AA′垂直.主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线b∥c,且直线a与b、c都相交,求证:直线a,b,c共面.参考答案与解析:证明:∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α.设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,即.∴三线共面.主要考察知识点:空间直线和平面一、选择题【共10道小题】1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )A.平行B.异面C.相交 D.平行或异面参考答案与解析:解析：两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面2、下列结论中，正确的有( )①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aαA.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：若aα，则a∥α或a与α相交，由此知①不正确若a∥平面α,bα,则a与b异面或a∥b，∴②不正确若平面α∥β，aα，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确由平面α∥β，点P∈α知Pβ过点P而平行平β的直线a必在平面α内，是正确的.证明如下：假设aα，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，则γ与平面β必相交.设γ∩α=b,γ∩β=c,则点P∈b.由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,则a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα.故④正确.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内 D.不能确定参考答案与解析:解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC平面DEF.若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在参考答案与解析:解析：如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不存在.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.bαC.b与α相交D.以上都有可能参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面,a与α平行,所以b与α的位置可以平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α),∴①是假命题.对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行，∴②为假命题.对于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α.∴③也是假命题.对于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面7、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥αA.0个B.1个C.2个 D.3个参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④ D.①和④参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有()A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：面A1C1,面DC1,面AC共3个.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（）A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：主要考察知识点:空间直线和平面2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内主要考察知识点:空间直线和平面3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.参考答案与解析:相交或平行或异面主要考察知识点:空间直线和平面4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_________.参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD1，在△BDD1中，E 为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行主要考察知识点:空间直线和平面1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE. 同理不总有BE∥CF.②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.AGED为平行四边形.∴AG=DE.同理GH=EF.又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD 的中心，求证：MN∥平面PB1C.参考答案与解析:证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.一、选择题【共10道小题】1、二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角参考答案与解析:解析：根据二面角的定义讨论，故选C.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( )A.α∥β且γ∥ωB.α∥β或γ∥ωC.这四个平面中可能任意两个都不平行D.这四个平面中至多有一对平面平行参考答案与解析:解析：若α∩β=a.∵α⊥γ,β⊥γ，∴α⊥γ.同理a⊥ω.∴γ∥ω;若α∥β,则γ与ω相交或平行，∴α∥β或γ∥ω.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3参考答案与解析:解析：①m∥α,n∥α不一定有m∥α.②③正确.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面4、如图2-3-15,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )图2-3-15A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.答案:A主要考察知识点:空间直线和平面5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A 到BC的距离是……()图2-3-16A.1B.C.D.参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°,∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.∵AD=,DE=BC=,∴AE=.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE.∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥平面AEC.又AC面AEC，∴BD⊥AC.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α∥β,,则l∥β;②若, ,M∥β,n∥β，则α∥β；③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α.其中正确命题的序号是( )A.①③④B.①②③C.①③D.②④参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、下列说法中正确的是()①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直A.①②③B.①②③④C.②③D.②③④参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面3、设三棱锥P ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:______________.参考答案与解析:解析：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心.②∵PA⊥PB，PA⊥PC,∴PA⊥面PBC.∴PA⊥BC.又PH⊥面ABC，∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH.∴AH⊥BC.同理BH⊥AC，∴H为垂心.③∵H为AC中点，∠ABC=90°,∴AH=BH=CH.又PH⊥面ABC，由勾股定理知PA=PB=PC.④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.答案：①②③④主要考察知识点:空间直线和平面4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________.参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，设PM=PN=a,又∠BPM=∠B PN=45°,∴△OPM≌△OPN.∴ON⊥AB.∴∠MON为所求二面角的平面角.连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a.又,∴MO2+NO2=MN2.∴∠MON=90°.答案：90°主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC 均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系.证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1,∴EF⊥平面A1C1D. ①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又A1B1C1D1为正方体,∴A1C1⊥B1D1.∵BB1∩B1D1＝B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1.同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1,∴BD1⊥平面A1C1D. ②由①②可知EF∥BD1.主要考察知识点:空间直线和平面2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释.图2-3-22如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.在Rt△BAD中,sinα=.①在Rt△BCD中,sinβ=.②比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,所以＞.又因为α、β都是锐角,所以α＞β.因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC.∴DE⊥BC.∴∠AE D为二面角A-BC-D的平面角.又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，∴.又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2.在Rt△DEB中，，BE=1，∴,同理.在△AE D中，∵AE=DE=,AD=2,∴AD2=AE2+DE2.∴∠AE D=90°.∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°.主要考察知识点:空间直线和平面一、选择题【共12道小题】1、下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等参考答案与解析:B主要考察知识点:简单几何体和球2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥参考答案与解析:D主要考察知识点:简单几何体和球3、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设球半径为R，截面半径为r.+r2=R2,∴r2=.∴.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是( )参考答案与解析:解析：由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S′，则长方体的侧面积等于( )A. B.C. D.参考答案与解析:解析：设长方体的底面边长分别为a、b，过相对侧棱的截面面积S′=①,S=ab②,由①②得：(a+b)2=+2S,∴a+b=,S侧=2(a+b)h=2h.答案：C主要考察知识点:简单几何体和球6、设长方体的对角线长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°,则此长方体的体积是( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a、b、c，并且长为a、b的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a=4cos60°=2,b=4cos60°=2.根据长方体的对角线性质，有a2+b2+c2=42,即22+22+c2=42.∴c=.因此长方体的体积V=abc=2×2×=.答案：B主要考察知识点:简单几何体和球7、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则( )A.S1＜S2＜S3B.S3＜S2＜S1C.S2＜S1＜S3 D.S1＜S3＜S2参考答案与解析:解析：由截面性质可知，设底面积为S.;;可知：S1＜S2＜S3故选A.用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质都是一些比例关系：截得面积之比就是对应高之比的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方，所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥的高，而不是两部分几何体的高.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连结球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S·r=·S·h,r= h (其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)答案：C主要考察知识点:简单几何体和球9、若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.1∶16B.3∶27C.13∶129D.39∶129参考答案与解析:解析：由题意设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有,∴x=.∴.答案：D主要考察知识点:简单几何体和球10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A. B. C.D.。

高一数学必修2第三章测试题及答案解析

数学必修二第三章综合检测题（一）一、选择题1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－93．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( )A ．y ＋2＝33(x ＋1) B ．y －2＝3(x －1) C.3x －3y ＋6－3＝0 D.3x －y ＋2－3＝04．直线3x －2y ＋5＝0与直线x ＋3y ＋10＝0的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．重合D ．异面5．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(－2,1)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(1,2)6．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限7．点P(2,5)到直线y ＝－3x 的距离d 等于( )A ．0 B.23＋52C.－23＋52 D.－23－528．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4 C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －839．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－110．已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x －y ＋2＝0，直角顶点是C(3，－2)，则两条直角边AC ，BC 的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0，x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0，x －2y －7＝0C ．2x －y ＋4＝0,2x ＋y －7＝0D ．3x －2y －2＝0,2x －y ＋2＝011．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对 12．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题13．已知点A(－1,2)，B(－4,6)，则|AB|等于________．14．平行直线l1：x －y ＋1＝0与l2：3x －3y ＋1＝0的距离等于________．15．若直线l 经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为________或________．16．若直线m 被两平行线l1：x －y ＋1＝0与l2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．求经过点A(－2,3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．18．(1)当a 为何值时，直线l1：y ＝－x ＋2a 与直线l2：y ＝(a2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l2：y ＝4x －3垂直？19．在△ABC 中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．20．过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x －y －2＝0和l2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程．21．已知△ABC 的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求(1)AC 边上的高BD 所在直线方程；(2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程；(3)AB 边的中线的方程．22．当m 为何值时，直线(2m2＋m －3)x ＋(m2－m)y ＝4m －1.(1)倾斜角为45°；(2)在x 轴上的截距为1.数学必修二第三章综合检测题1A 斜率k ＝2＋3－24－1＝33，∴倾斜角为30°. 2D 由条件知kBC ＝kAC ，∴b －11－2－8＝11－18－3，∴b ＝－9. 3C 由直线方程的点斜式得y －2＝tan30°(x －1)，整理得3x －3y ＋6－3＝0.4A ∵A1B2－A2B1＝3×3－1×(－2)＝11≠0，∴这两条直线相交．5A 直线变形为m(x ＋2)－(y －1)＝0，故无论m 取何值，点(－2,1)都在此直线上。

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CBDA 1D 1B 1C 1A即墨实验高中高一数学周清自主检测题命题人：吴汉卫审核人：金文化时间：120分钟 №：08一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 ．已知直线l 的斜率为2,且过点),3(),2,1(m B A --,则m 的值为（）A ．6B ．10C ．2D ．02 ．正方体的内切球与外接球的半径之比为（）A ．3∶1B ．3∶2C ． 1∶3D ．2∶3 3 ．平行线0943=-+y x 和0286=++y x 的距离是（）A ．58B ．2C ．511D ．574 ．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //5 ．若直线l 过点3(3,)2--且被圆2225x y +=截得的弦长为8,则直线l 的方程是（） A ．3x =-B ．332x =-=-或y C ．34150x y ++=D ．34150x y ++=x=-3或6 ．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直,则实数a 的值为（）A ．-1或2B ．-1或-2C ．1或2D ．1或-27 ．无论m,n 取何实数值,直线 (3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P,则P 点坐标为（）A ．(-1,3)B ．)23,21(-C ．)53,51(-D ．)73,71(-8 ．已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形,俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于（）A ．23B ．33C ．223D ．2339.圆1C :222880x y x y +++-=与圆2C :224420x y x y +-+-=的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离10．若使得方程0162=---m x x 有实数解,则实数m 的取值范围为2424.≤≤-m A 244.≤≤-m B44.≤≤-m C 244.≤≤m D11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB BC CC ===,则直线1BC 和平面11DBB D 所成的正弦值等于（）A ．3 B ．5 C ．10 D ．10 12．若直线4=+byax 与圆4:22=+y x C 有两个不同交点，则点),(b a P 与圆C 的位置关系是（）A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定二、填空题（每小题4分，共16分）13．经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________________. 14．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ________________cm 3.15．以点(-3,4)为圆心且与直线5x y +=相切的圆的标准方程是________.16．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β，m 、n ⊂α，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m⊥n； ③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m ，那么m∥n；其中所有正确命题的序号是．装订线正视俯视13三、解答题（共74分）17．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=.（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .18．如图,在三棱锥A —BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为AB 中点,D 为PB 中点,且△PMB 为正三角形.(Ⅰ)求证:MD//平面APC;(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面APC.19．已知圆C 的半径为10,圆心在直线2y x =上,且被直线0x y -=截得的弦长为42,求圆C 的方程.20．已知正方形ABCD ，沿对角线BD 将△ABD 折起，使点A 到点A 1的位置，且二面角A 1—BD—C 为直二面角。

（I ）求二面角A 1—BC —D 的正切值大小；（II ）求异面直线A 1D 与BC 所成角的大小。

（III ）求直线BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值的大小。

21．已知:ABC ∆中,顶点()2,2A,边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=,边AC上高BE 所在直线的方程是340x y ++=｡ (1)求点B 、C 的坐标; (2)求ABC ∆的外接圆的方程｡22．（14分）已知关于x,y 的方程C:04222=+--+m y x y x .（1）当m 为何值时，方程C 表示圆。

（2）若圆C 与直线l:x+2y-4=0相交于M,N 两点，且|MN|=54,求m 的值。

高一数学周清自主检测题8参考答案一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. B 5. D 6. B 7. D 8. B 9. A 10. B 11. C 12. A 二、填空题13. x+y-1=0,4x+3y=0 14. 243 ;15. 22(3)(4)8x y ++-= ; 16. ②④ 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩由于点P 的坐标是（2-，2）. 则所求直线l 与210x y --=垂直，可设直线l 的方程为 20x y C ++=.把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，即2C =. 所求直线l 的方程为 220x y ++=（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=18. 解(Ⅰ)∵M 为AB 中点,D 为PB 中点,∴MD//AP,又MD ⊄平面ABC, AP ⊂平面ABC ∴MD//平面APC(Ⅱ)∵△PMB 为正三角形,且D 为PB 中点, ∴MD⊥PB.又由(Ⅰ)知MD//AP, ∴AP⊥PB.又已知AP⊥PC,PB∩PC=P∴AP⊥平面PBC,而BC 包含于平面PBC, ∴AP⊥BC,又AC⊥BC,而AP∩AC=A, ∴BC⊥平面APC, 又BC ⊂平面ABC∴平面ABC⊥平面PAC19. 解:因为所求圆的圆心C 在直线2y x =上,所以设圆心为(),2Ca a ,所以可设圆的方程为()()22210x a y a -+-=,因为圆被直线0x y -=截得的弦长为42,则圆心(),2C a a 到直线0x y -=的距离()22224210211a a d ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭+-,即22ad ==,解得2a =±. 所以圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.20. 解：（I ）解：设O 为BD 中点，连结A 1O ，∵A 1D=A 1B ，∴A 1O ⊥BD 。

又二面角A 1—BD —C 是直二面角， ∴A 1O ⊥平面BCD ，过O 作OE ⊥BC ，垂足为E ，连结A 1E ，由三垂线定理可知A 1E ⊥BC 。

∴∠A 1EO 为二面角A 1—BC —D 的平面角，设正方形ABCD 边长为2，则1,21==OE O A ，.2tan 11==∴OEOA EO A 装订线（II ）解：连结A 1A ， ∵AD ∥BC ，∴∠A 1DA 为异面直线A 1D 与BC 所成的角，∵A 1O ⊥平面ABCD ，且O 为正方形ABCD 的中心， ∴A 1—ABCD 为正四棱锥。

∴A 1A=A 1D ，又AD=A 1D ， ∴∠A 1DA=60°∴异面直线A 1D 与BC 所成角的大小为60°。

（III ）解：易知BC ⊥平面A 1OE ， ∴平面A 1OE ⊥平面A 1BC ，过点O 作OF ⊥A 1E ，垂足为F ，连结BF ，则OF ⊥平面A 1BC ，∴∠OBF 为直线BD 与平面A 1BC 所成的角，设正方形ABCD 边长为2，.33sin ,36,2==∴==BO OF OBF OF BO 则21. 解(1)由题意可设(34,)B a a --,则AB 的中点D 322(,)22a a --+必在直线CD 上, ∴322022a a --++=,∴0a =,∴(4,0)B -, 又直线AC 方程为:23(2)y x -=-,即34y x =-,由034x y y x +=⎧⎨=-⎩得,(1,1)C - (2)设△ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则22222220(4)40110D E F D F D E F ⎧++++=⎪--+=⎨⎪++-+=⎩得941147D E F ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴△ABC 外接圆的方程为229117044x y x y ++--=. 22. 解：（1）方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(22显然 5,05<>-m m 即时时方程C 表示圆。

（2）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22圆心 C （1，2），半径则圆心C （1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 5121422122=+-⨯+=d1||||2MN MN ==Q 则，有 2221(||)2r d MN =+,)52()51(522+=-∴M 得 4=m。