2.5.1平面几何中的向量方法(教学设计)

2.5.1平面几何中的向量方法（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

二、过程与方法：

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.

[教学重点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

[教学难点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题

一、复习回顾

1．向量的概念；

2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；

3．零向量、单位向量、平行向量的概念；

4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；

5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；

6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.

7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；

8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；

9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.

10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；

11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；

12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；

13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.

二、师生互动，新课讲解

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.

例1：证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

1

1

11

,

2222,/.

/.

ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DC

AB D C O D ===+=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，

即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形，

变式训练1：1

//.2DE ABC DE BC DE BC ∆=已知是的中位线，用向量的方法证明：，且

()1

1

,,

221

1

.221

//.

2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC ===-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以

例2： 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.

()()(),,,,,

,,

··0·0AB AC AH BH CH BC B H BE C H AC CH AB A B F H C

====-=-=-⊥⊥∴-=-=-=⇔⊥证明：设是高线、的交点，则有化简得，所以，三角形三条高线交于一设点.

且a b h

h a h b b a h a b h b a h b a

变式训练2：222.ABC AC BC BC a AC b A R B t c c b a ∆⊥====+证明勾股定理，在中，，，，，则

222222··2?·||||0||.AB AC CB AB AB AC AC AC CB CB CB

AB A b a c C CB =+=++=++=+证明：由，故，得即

例3：（课本P109例1）()

2222|||.|2||||ABCD AC BD AC DB AB AD =++已知平行四边形的对角线为、求证：

A

B

C

()()()

2

2222222222222|||2|||2|2|||?,

||||?|||||.|AC AC AB AD AB AD AB AD DB DB AB AD AB AD AB AD

AC DB AB AD ===++===+-+++=-证得明：由

变式训练3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.

()()2,,

·····0,.AB AO OB AD AO OD AB AD AO OB AO OD

AO AO OD OB AO OB OD AB AD AB AD ABCD AC BD AB O CD =+=+∴=++=+++=∴⊥⊥∴解：如图，四边形对角线、交于点，

即，

四边形是矩形

三、课堂小结，巩固反思：

向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果.

四、课时必记：

五、分层作业：

A 组：

1、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：5）

2、（课本P118复习参考题 A 组：

NO ：6）

3、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：7）

4、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：8）

5、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：9）

B 组：

1、（课本P113习题2.5 A 组NO ：1）

2、（课本P113习题2.5 A 组NO ：2）

B

C