中考数学材料阅读题

阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！

小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．

C

D E

B

A

22

如：<

0 >＝<

0.48 >＝0，<

0.64 >＝<

1.493 >＝1，<

2 >＝2，<

3.5 >＝<

4.12 >＝4，… 试解决下列问题：

（1）填空：①<

π>＝________（π为圆周率）；

②如果<

2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为________________；

（2）①当x ≥0，m 为非负整数时，求证：<

x ＋m >＝m ＋< x >

②举例说明<

x ＋y >＝<

x >＋<

y >不恒成立；

（3）求满足<

x >＝

3

4

x 的所有非负实数x 的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x

2－x ＋

4

1

的自变量x 在n ≤x ＜n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ，满足<

k >＝n 的所有整数k 的个数记为b ．

求证：a ＝b ＝2n ．

22

如：<

0 >＝<

0.48 >＝0，<

0.64 >＝<

1.493 >＝1，<

2 >＝2，<

3.5 >＝<

4.12 >＝4，… 试解决下列问题：

（1）填空：①<

π>＝________（π为圆周率）；

②如果<

2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为________________；

（2）①当x ≥0，m 为非负整数时，求证：<

x ＋m >＝m ＋< x >

②举例说明<

x ＋y >＝<

x >＋<

y >不恒成立；

（3）求满足<

x >＝

3

4

x 的所有非负实数x 的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x

2－x ＋

4

1

的自变量x 在n ≤x ＜n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ，满足<

k >＝n 的所有整数k 的个数记为b ．求证：a ＝b ＝2n ．

解：（1）①3 ································································································· 1分

②

4

7

≤x ＜49 ················································································ 2分

（2）①证明：方法一：

设<

x >＝n ，则n －

21≤x ＜n ＋2

1

，n 为非负整数··································· 3分 又(n ＋m )－

21≤x ＋m ＜(n ＋m )＋2

1

，且n ＋m 为非负整数 ∴<

x ＋m >＝n ＋m ＝m ＋< x > ·························································· 4分 方法二：

设x ＝k ＋b ，k 为x 的整数部分，b 为其小数部分 1°当0≤b ＜

2

1

时，< x >＝k ∴m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分 ∴<

m ＋x >＝m ＋k

∴<

x ＋m >＝m ＋< x > ···································································· 3分

2°当b ≥

2

1

时，< x >＝k ＋1 则m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分 ∴<

x ＋m >＝m ＋k ＋1，∴<

m ＋x >＝m ＋< x >

综上所述，<

x ＋m >＝m ＋< x > ························································ 4分

②举反例：<

0.6 >＋<

0.7 >＝1＋1＝2，而<

0.6＋0.7 >＝<

1.3 >＝1

∴<

0.6 >＋<

0.7 >≠<

0.6＋0.7 >

∴<

x ＋y >＝<

x >＋<

y >不恒成立 ······················································· 6分