论结式在多项式的应用

2011届本科毕业论文论结式在多项式的应用

学院：数学科学学院

专业班级：数学07-4班

学生姓名：热依拉.艾则孜

指导教师：艾合买提老师

答辩日期：2011年5月12日

新疆师范大学教务处

目录

1.引言 (1)

2.结式的基本概念 (1)

2.1结式的定义 (1)

2.2结式的性质 (2)

3.结式的应用 (3)

3.1判断两个一元多项式是否存在公根 (3)

3.2判断一元多项式有没有重根 (5)

3.3结式与判别式的关系 (7)

3.4用结式求解二元高次方程组 (8)

总结 (11)

参考文献： (12)

致谢 (13)

论结式在多项式的应用

摘要：多项式理论在整个高等代数课程中占有重要地位，因此在数学和实际应用中常常遇到它。求一组多项式的公共零点是整个代数学中的中心问题之一，也是一个需要进一步研究的问题。本文我们要系统的讨论结式在多项式的应用，首先用结式来讨论一元多项式有没有重根，两个一元多项式有没有公根，如此继续做下去，用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题，虽然现在我们限于用结式来讨论两个二元多项式的公共零点，可以利用上面所指出的方法推广到多个变元的方程的方程组，讨论多个变元有没有重根，最后给出了结式与判别式的关系且一些性质。下面我们讨论结式在多项式的应用，通过举几个例子来介绍。

关键词：结式；公根；多项式，判别式

1.引言

多项式理论是高等代数研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中相对独立。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等代数的其他内容而自成体系。从历史上看，求一组多项式的公共零点是代数学中的中心问题之一。这个问题还远远未能解决。在本文，我们只限于讨论两个二元多项式的公共零点问题。

我们研究二元多项式的公共零之前先来研究两个一元多项式的公共零点问题。按照一般的习惯，我们把两个一元多项式的公共零点叫这两个多项式的公根。根据代数基本定理，每一个一元多项式在复数域上可以完全分成为一次因式的乘积，而任意一个数环上的多项式都可以看成复数域上的多项式，因此我们就在复数域上来讨论问题。现在我们要从另外一个角度来探讨这个问题。

令)0()(110>+++=-m a x a x a x f m m m )0()(110>+++=-n b x b x b x g n n n

是复数域C 上两个一元多项式。在这里我们并不假定0,000≠≠b a 。这一点以后将会看到它的用处。由一元多项式的分解理论可知，)(x f 与)(x g 在C 内有公根的充要条件是)(x f 与)(x g 有一个次数大于零的公因式。因此可以应用辗转相除法来解决这两个多项式有没有公根的问题。公根的问题实际上等价于公因子问题现在我们给出从所给多项式的系数来判断它们有没有公根的一个方法。

2.结式的基本概念

2.1 结式的定义

定义2.1.1 设

)0()(110>+++=-m a x a x a x f m m m

)0()(110>+++=-n b x b x b x g n n n 定义下列n m +阶行列式：

010********

1

(,)m m m

n n n

a a a a a a a a a R f g

b b b b b b b b b ΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛ

Λ=

ΛΛΛΛΛΛΛ

Λ

Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ

Λ

Λ

行列式(,)R f g 叫作多项式)(x f 与)(x g 的结式（其中空白处元素都是零）。

2.2 结式的性质

下面是结式的一些性质，它们的证明并不复杂，只需用定义直接验证即可。

性质1 (1)),()1(),(f g R g f R mn -=； (2)若b a ,为常数，),(),(g f R b a bg af R n m =。

证明： (1)对结式定义中的行列式进行mn 次行对换就可将

),(g f R 变成),(f g R 。因此（1）),()1(),(f g R g f R mn -=；

(2)用结式的行列式定义及行列式性质即得。 性质2 ),(),(),(2121g f R g f R g g f R =。

证明： 设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，其n 个根为n x x x ,,,21 ，又设)(1x g 和)(2x g 分别是21,m m 次多项式，则

)()()(),(12111011

n m x g x g x g a g f R =， )()()(),(22212022n m x g x g x g a g f R =，

)()()()()()(),(212221*********n n m m x g x g x g x g x g x g a g g f R +=

比较上面三个等式即知结论成立。

例2.1.1： 求多项式2120)(a x a x a x f ++=，2120)(b x b x b x g ++=的结式。

解：2

1

2102

10

210

000),(b b b b b b a a a a a a g f R =

如果00≠a ，以00

a b -

乘第一行，然后按第一列展开，即 2

1

2102102100

000b b b b b b a a a a a a =

2

1

00

22000

11021

2

100

000

0b b b a b a b a a b a b a a a a a a a --