小学奥数公因数和公倍数

小学奥数公因数和公倍

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第三讲：公因数和公倍数

一、 公约数的概念与最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。

例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12

18的约数有：1,2,3,6,9,18

12和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作

（12，18）=6

1． 求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632

，所以(12,18)236=⨯=；

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；

315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．

2． 最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．

二、公倍数的概念与最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84...

18的倍数有：18,36,54,72,90...

12和18的公倍数有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36

1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；

②短除法求最小公倍数；

知识点拨

例如：21812

39632

，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；

③[,](,)

a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数．

2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数

b )偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

【例 1】 两根电线分别长24m 和16m ，现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪

成的小段最长可以是多少米？

【巩固】求12和18的最大公因数。

【例 2】 找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？4和20 6和36 7和8

6和19

【巩固】说出下面各组数的最大公因数。

4和16 15和22

【例 3】 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

【例 4】 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成

相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米一共可以截成多少段

【例 5】

【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

例题精讲

【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为240cm，200cm，480cm，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？

【例 6】一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块

【例 7】

【巩固】把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁几块？

【例 8】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少（

【例 9】辗转相除法）

【例 10】

【巩固】用辗转相除法判断1547和3135是否互质。

【例 11】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

【巩固】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？

【例 12】求21672和11352的最小公倍数。

【例 13】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．【巩固】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

【例 14】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

【巩固】已知两数的最小公倍数是210，它们的积是1260，它们的和是72，求这两个数的差？

【例 15】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．

【例 16】甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人正好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又会在图书馆相会？

【例 17】

【巩固】1路、2路和5路都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？

【巩固】甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒，问：再过多长时间三人第二次从同时从起点出发？

【例 18】一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？