2021年高考数学专题分类汇编：立体几何(含答案)

立体几何

3．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

A．B．3C．D．3

4．（2021•浙江）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）

A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD

B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1

C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD

D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1

5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．4

6．（2021•甲卷）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）

A．B．C．D．

7．（2021•甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

A．B．C．D．

8．（2021•乙卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A．B．C．D．

18．（2021•甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．19．（2021•甲卷）已知向量＝（3，1），＝（1，0），＝+k．若⊥，则k＝．20．（2021•乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）．

21．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．

40．（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC 和CC1的中点，BF⊥A1B1．

（1）求三棱锥F﹣EBC的体积；

（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．

41．（2021•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM．

（1）求BC；

（2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值．

42．（2021•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC ＝4，P A＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．

（Ⅰ）证明：AB⊥PM；

（Ⅱ）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．

43．（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC 和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．

（1）证明：BF⊥DE；

（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

44．（2021•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．（1）证明：平面P AM⊥平面PBD；

（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

45．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．（1）证明：OA⊥CD；

（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．

46．（2021•上海）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．（1）若△P AB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．

答案解析

3．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

A．B．3C．D．3

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为等腰梯形，

其中AB∥CD，由三视图可知，延长AD与BC后相交于一点，且AD⊥BC，

且AB＝，CD＝，AA1＝1，等腰梯形的高为＝，则该几何体的体积V＝＝．

故选：A．

4．（2021•浙江）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）

A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD

B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1

C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD

D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1

【解答】解：连接AD1，如图：

由正方体可知A1D⊥AD1，A1D⊥AB，∴A1D⊥平面ABD1，

∴A1D⊥D1B，由题意知MN为△D1AB的中位线，∴MN∥AB，

又∵AB⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．∴A对；

由正方体可知A1D与平面BDD1相交于点D，D1B⊂平面BDD1，D∉D1B，

∴直线A1D与直线D1B是异面直线，∴B、C错；

∵MN∥AB，AB不与平面BDD1B1垂直，∴MN不与平面BDD1B1垂直，∴D错．

故选：A．

5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．4

【解答】解：由题意，设母线长为l，

因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有，解得，

所以该圆锥的母线长为．

故选：B．

6．（2021•甲卷）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）

A．B．C．D．

【解答】解：因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，

所以底面ABC为等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，

所以OO1⊥平面ABC，