最新经典--初中数学三角形专题训练及例题解析

知识点梳理

考点一、三角形

1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2、三角形的分类.

⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧)

(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段

①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心

②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)

5、三角形具有稳定性

6、三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360° 8、多边形及多边形的对角线

①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:

A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有

2

)

3(-n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和

①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念

三角形 (按角分)

三角形 (按边分)

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3、全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

考点四、直角三角形

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

222c b a =+

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90° BD AD CD •=2

⇒ AB AD AC •=2

CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式

由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC

经典例题解析：

例1.如图，BP 平分∠FBC ，CP 平分∠ECB ，∠A=40°求∠BPC 的度数。 分析：可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解。

解：∵∠1=)4(21∠+∠A )3(2

1

2∠+∠=∠A

∵)21(180∠+∠-︒=∠BPC ︒=∠40A

∴(()111804)322BPC A A ⎡⎤∠=︒-∠+∠+∠+∠⎢⎥⎣⎦

()︒

=︒+︒-︒=70401802

1

180 例2.如图，求∠A+∠C+∠3+∠F 的度数。

分析：由已知∠B=30°，∠G=80°， ∠BDF=130°，利用四边形内角和，求出 ∠3的度数，再计算要求的值。

解：∵四边形内角和为（4-2）×180°=360°

∴∠3=360°-30°-80°-130°=120° 又∵∠A ∠C ∠F 是三角形的内角 ∴∠A+∠C+∠F+∠3=180°+120°=300°