线性规划及其解法

在所有检验数大于零的非基变量中，选一个下标 最小的作为入基变量。 在存在两个或两个以上最小比值时，选一个下标 最小的基变量作为出基变量。
引入松弛变量、人工变量 列出初始单纯形表
小结
计算非基变量各列检验数σj 否 否 唯一最优解
所有 σj≤0？ 否 找出最大正σk
是
基变量中 有人工变量？ 是 是 无可行解
50 x1 1 0 0
100 x2 0 0 1
0 x3 1 -2 0
0 x4 0 1 0
0 x5 -1 1 1
zj
σj =cj-zj
50
0
100
0
50
-50
0
0
50
-50
习题1：下表为用单纯形法计算时某一步 的表格。已知该线性规划的目标函数为 maxz=5x1+3x2，约束形式为≤，x3,x4为松 驰变量，表中解代入目标函数后得z=10
x1
X3 2 X1 a Cj-zj C d b
x2
0 e -1
x3
1 0 f
x4
1/5 1 g
1、求a-g的值；2、表中给出的解是否为 最优解？
• a=2,b=0,c=0,d=1,e=4/5,f= 0,g=-5 • 表中给出的解为最优解。
习题2：目标函数为max Z =28x4+x5+2x6， 约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变 量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求 出a--g的值，并判断是否最优解？
• 在最终的单纯形表中，xk是基变量时
σj ‘= cj-zj’=cj-（zj+△ckakj’ ）≤0
即：σj+△ckakj’≤0
例
C2变化：
cj→ CB 50 0 XB x1 x4 b 50 50 50 x1 1 0 c2 x2 0 0 0 x3 1 -2 0 x4 0 1 0 x5 -1 1
c2
XB X6
Cj CB b
2 a
0 X1
3
0 X2
0
0 X3
-14/3
28 X4
0
1 X5
1
2 X6
1
X2 0 5 X4 28 0 Cj-Zj
6 0 b
d e c
2 f 0
0 1 0
5/2 0 -1
0 0 g
• a=7, • b=-6,c=0,d=1,e=0,f=1/3,g=0
最优解。
复习
单纯型法的几种特殊情况
迭代。
用入基变量替换出基变量，得到一 个新的基和基本可行解，画出一个 新的单纯形表。 行变换：
bl bl alk
' '
alj
'
alj alk
'
i l
aij aij alj alk aik
bl bi bi aik alk
i l
初始单纯形表：
cj→ CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 zj σj =cj-zj b 300 400 250 50 x1 1 2 0 0 50 100 x2 1 1 1 0 100 0 x3 1 0 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 0 x5 0 0 1 0 0
x1 x2 2 x x 1 2 s.t. x2 x1 , x2
300 400 250 0
退化问题
当单纯形表中同时有多个基变量可选作出基变 量时，下一次迭代就有一个或几个基变量等 于零，称为退化。 勃兰特法则：（避免出现循环） • 把所有变量都用xj 表示，下标号顺序为：决 策变量、松弛变量（剩余变量）、人工变量。 • 计算规则：
如果是退化现象，可能经过6次迭代 后得到的单纯形表与第0次单纯形表 一样，这样就出现了循环。
为了避免这种现象，当存在两个和 两个以上最小比值时，选一个下标 最小的基变量为出基变量。
习题二、下表是求某极大化线性规划问题计算得到的 单纯形表，表中无人工变量，a为待定常数， a取何值时， 以下结论成立。
第三步：基变换
确定入基变量
若σj＞ 0，对应的变量xj就可作为入其 变量，当有一个以上检验数大于零时， 从中找出最大的一个。σk=max{σj|σj＞ 0} 。 确定出基变量 bi bl xl称为出基变量 min | aik 0 aik alk alk称为主元素
• 最优解判别定理： max型问题，对于某个基本可行解， 如果所有检验数σj≤0，则现有基本 可行解为最优解。
z z 0 (c j z j ) x j z 0 j x j
jJ jJ
j cj zj
其中z j cB i aij
i 1
m
x2
zj σj =cj-zj
250
0
50 0
1
c2 0
0
50 -50
0
0 0
1
C2-50 50-c2
约束方程右端常数项灵敏度分析
原规划最优基不变的条件： B-1(b+△b)= B-1 b+ B-1 △b≥0 原规划最优基改变的条件： B-1(b+△b)至少有一个分量小于零。
约束方程系数矩阵A灵敏度分析
大M法的求解过程（P87-88）
min f 2 x1 3 x2 350 x1 x2 x1 125 s.t. 2 x1 x2 600 x1 , x2 0 max( f ) 2 x1 3 x2 Ma1 Ma2 x1 x2 x3 x6 350 x1 x4 x7 125 s.t. 2 x1 x2 x5 600 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0
非基变量 σj 为0 是 无穷多最优解
否 存在aik>0 无界解
是
找出主元素，迭代
3.5 单纯形法的灵敏度分析 --目标函数中ck的灵敏度分析
当ck变成ck +△ck 原规划最优解不变的条件是： σj ‘≤0 • 在最终的单纯形表中，xk是非基变量时
σk ‘= ck+△ck- zk= △ck +σk ≤0 即： △ck ≤-σk 例
cj cB x B b x5 2 2 x2 1 x1 4 Z
x1
2
x2
2
x3 x4 x5 x6
1 -1 2a
2 1 -1 1
-1 -2
-a+8
1、把表中缺少的项目填上适当的数或式子 2、要使上表成为最优表，a应满足什么条件 3、何时有唯一最优解 4、何时有无穷多最优解 5、何时以x3替换x1
• 2、2≤a ≤4 • 3、2<a<4 • 4、 2≤a ≤4 a=2或a=4 • 5、1<a<2 • 2/1>4/2a 0<a<2
• (4)当c1,c2,c4值不变时，C3在-∞到5.5范围内 变化时，最优解不变，此时最优目标函数值不变。 因为x3=0，目标函数系数变化，不影响目标函 数值的变化。 • （5）当c2, c3,c4值不变时， c1在0到+∞范围 内变化时，最优解不变，此时最优目标函数值改 变。
• 无穷多最优解
• 无界解
初始单纯形表：
cj→ CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 zj σj =cj-zj b 300 400 250 50 x1 1 2 0 0 50 100 x2 1 1 1 0 100 0 x3 1 0 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 0 x5 0 0 1 0 0
第二步：最优性检验
如例1：
max z 50 x1 100 x2 0 x3 0 x4 0 x5
300 x1 x2 x3 2 x x x4 400 1 2 s.t. x2 x5 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 系数矩阵为： 1 1 1 0 0 2 1 0 1 0 初始可行基 0 1 0 0 1 X=（0，0，300，400，250）基本可行解

某单纯形表中，存在着一个大于零的检 验数，但该列中所有系数小于或等于零， 说明存在无界解。
max z x1 x2 x1 x2 1 s.t. 3x1 2 x2 6 x1 , x2 0
无穷多最优解：


对于某个最优的基本可行解，如果存在 某个非基变量的检验数为零，说明有无 穷多最优解。 最优解的线性组合仍是最优解，即 X=αX1+（1-α）X2， 0≤α ≤1 max z 50 x1 50 x2
• 系数矩阵A变化时 非基变量系数变化时，最优解不变 的条件是σk ‘≤0 基变量系数变化时，需重新计算
软件中如何识别无穷多最优解情况P112
• 如果在最终表上检验数为零的非基 变量是松弛变量或剩余变量： 计算机输出的约束条件栏中有一个 约束条件的松弛变量或剩余变量为 零，且其对偶价格也为零，表明有 无穷多最优解。
• 如果在最终单纯形表上，检验数为 零的非基变量是一般决策变量。 在计算机输出中，若有一个取值为 零的决策变量其相差值也为零，说 明有无穷多最优解。
第四步：重复二、三步直到计算结束 为止。
cj→ CB 0 0 XB x3 x4 b 50 150 50 x1 1 2 100 x2 0 0 0 x3 1 0 0 x4 0 1 0 x5 -1 -1
100
x2
zj σj =cj-zj
250
0
0 50
1
100 0
0
0 0
0
0 0
1
100 -100
cj→ CB 50 0 100 XB x1 x4 x2 b 50 50 250
课堂作业：
3.3 单纯形法的进一步讨论
人工变量法
• 添加人工变量，构造单位阵作为初 始可行基


当约束条件为“≥”时，需要添加剩 余变量和人工变量 当约束条件为“=”时，需要添加人工 变量 大M法 两阶段法
• 方法

大M法：
• 将人工变量在目标函数中的系数设为-M （M为任意大的正数） 注意： 人工变量与松弛变量、剩余变量不同。 松弛变量和剩余变量可以取零值，也 可以取正值，而人工变量只能取零值。 当检验数都满足最优条件，但基变量 中仍有人工变量，说明原线性规划问 题无可行解
• 非基变量xk的系数pk变成pk’ σk ‘=ck-cB B-1 pk’ ≤0 最优解不变，否则继续进行迭代。 • 基变量的系数发生变化 通常需要重新计算
复习：关于灵敏度分析
• 当目标函数系数ck变化时： 原规划最优解不变的条件是： σj ‘≤0 （情况一；情况二）P30图3-4 • 当右端项bi变化时： 原规划最优基不变的条件是： 新解的每一个分量大于等于零。即： B-1(b+△b)= B-1 b+ B-1 △b≥0
确定初始基本可行解：
• 约束条件全部是“≤”时，为每个约束 条件加上一个松弛变量，化为标准形， 则系数矩阵中含有一个单位矩阵，以此 为基，得到初始基本可行解为： X=（0，0，…b1,b2,…,bm) • 约束条件为=或≥时，化标准形后，一 般不含单位矩阵，可以添加人工变量构 造一个单位矩阵作为基（人工基）。
第一章 线性规划及其解法
§1 线性规划问题及其一般数学模型（掌握）
§2 线性规划问题的图解法（掌握）
§3 线性规划问题的单纯形解法（了解）
3.1 单纯形法的基本思路
确定初始基本可行解
检查是否为 最优解？ 否 确定改善方向
是
求最优解的目标函数值
求新的基本可行解
3.2 单纯形法的计算步骤 第一步：求出LP的初始基本可行 解，列出初始单纯形表。
cB x B 0 x5 2 x2 1 x1 Z
cj
1 b 2 1 4
x1
2
x2
2
x3
0
x4
0
x5
0
x6
0 0 1 1
0 1 0 2
1 -1 2a
2a-2
2 1 -1 1
1 0 0 0
-1 -2
-a+8
4-a
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1、把表中缺少的项目填上适当的数或式子 2、要使上表成为最优表，a应满足什么条件 3、何时有唯一最优解 4、何时有无穷多最优解 5、何时以x3替换x1
• 作业： • P25（6）第6小题 • 当c1值从2变为2.5，c2值从3变为2.5时， 其最优解是否变化？为什么? • 正确方法用 c1 2.5
c2 2.5 1 c1 1 1 c2 3
• 只有当计算机求解时，才用百分百法则。
• P36（4） • 最优解为x1=8.5 x2=1.5 x3=0 x4=0 • 目标函数为：maxZ=2x1+x2-x3+x4
3.4 单纯型法的几种特殊情况 --无可行解

用单纯形法求解得到最优解时，人工 变量大于零，说明无可行解。
max z 20 x1 30 x2 3 x1 10 x2 150 x1 30 s.t. x1 x2 40 x1 , x2 0
无界解：