第五章振动资料
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周期 T 2π/
频率 1/ T / 2π
周期和频率仅与振动系统本身的 物理性质有关
对于谐振子（弹簧振子）：
k
m
T 2 m
k
对于单摆：
g
l
T 2 l
g
圆频率 2π 2π/ T
x Acos(t )
简谐运动中， x和 v
v A sin(t ) 间不存在一一对应的关系.
3.相位
相位 ：
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
>0振动“2”超前振动“1” <0振动“2”落后振动“1”
2k k 0,1,2,....... 同相(inphase)
(2k 1) k 0,1,2,.......反相(antiphase)
x
o
t
(11)
5.1.2 简谐运动的描述方法 (The description of simple harmonic motion) 1.方程:
机械振动： 物体在其平衡位置附近,位移x随时间t 的周期性变化
ql
心跳
mg
A
LC
电磁振动： 电场、磁场等电磁量随t周期
B
性变化. K
如图,电荷在LC电路中往复运动. 电磁振荡
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
2
§5.1 简谐运动的基本特征及其描述 (The basic characters and description of the simple harmonic motion)
动力学方程: F kx
运动学方程: d2 x 2 x x Acos(t )
dt 2
2.振动图线: x-t 图
x
A
分
析 a 不同态 vb
比b 较c
同态
va -A
T ba
c
t
(12)
3.旋转矢量(rotational vector)(相量图):
振幅矢量 A 以匀角速度 绕O点
逆时针转动。
振幅矢量 A 在x轴上的投影
第五章 振动与波动 (Vibration and Wave)
§5.1 简谐运动的基本特征及其描述 §5.2 简谐运动的能量 §5.3 简谐运动的合成 *§5.4 阻尼振动 受迫振动 共振
§5.5 波动的基本特征 平面简谐波的波函数 §5.6 波的能量 §5.7 波的叠加 *§5.8 多普勒效应
(1)
右图可知 = 4/3或 -2/3 量位于p1
Ox
令2=g/l
q Acos(t )
ql T
Oft x mg
物体离开平衡位置的(角)位移随时间按余弦规律变化 时, 这样的运动称为简谐运动。
1)坐标原点是否可以任意选取? 2)小球在地上做完全弹性跳动是否为简谐运动?
(6)
简谐运动的速度
v
dx dt
A s in(t
)
vm
cos(t
)
2
速度最大值: vm A
5.1.1 简谐运动 5.1.2 简谐运动的描述方法
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐振动的物体.
(4)
5.1.1 简谐运动(the simple harmonic motion)
1.简谐运动的定义 定义一(动力学角度):
Fm
弹簧振子: F kx
Ox
x
回复力(弹性力)与位移成正比指向平衡位置O
弹簧振子:
d2x dt 2
k m
x
2 x
令 2=k/m
所以
d2Biblioteka Baidudt
x
2
2
x
0
简谐振动微分方程
解微分方程得:
x,q
x(t) Aei t Aeit
t 计算结果一般取实部
x Acos(t )
或 x Asin(t ) 简谐振动方程 其中A, 由初始条件决定。
单摆:
d2q
dt 2
gq
l
2q
熟练掌握 1)有了方程会画x-t 图
2)有了图会写振动方程(关键确定A、T、、 )
3)比较相位差
(14)
例1: 己知振动图写出振动方程
解: 设振动方程为
4
x(cm)
x Acos(t )
p2
如图可知:A= 4cm
O
2
初相位和角频率可利用 -2 p1
t(s) p2
旋转矢量法来求
t =0s时,旋转矢
单摆:
ft
m gsinq
m gq
mg l
x
约定: 取循逆时针的转向为正方向, 即q > 0
ql T
Oft x mg
回复力(准弹性力)与角位移成正比指向平衡位置O
物体在跟位移(角位移)成正比、方向总是指向平衡位
置的回复力作用下的运动称为简谐运动。
作简谐运动的条件: 回复力、惯性
(5)
定义二(运动学角度):
由 和 求给定振子的 初相
A A
消去 A得
但由于 在 0 ~ 2 范围内，同一正切值对应有两个 必须再根据 和 的正负进行判断。
值，因此，还
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定 ，振幅和初相由初始条件决定.
初相位(initial phase): t=0(开始计时)时的相位 x
由初始条件决定 x0 Acos
是界定振子在时刻 的运动状态的物理量
运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于
A
A
初相 ：是
时，振子的相位。
所谓 初始条件即为
，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。
时质点的运动状态
位置
A
速度
A
(初速度)
(初位移)
4. 常数 A 和 的确定
由 和 求给定振子的振幅 A
A A
消去 得 A2
v0 A sin
t
0
/2 0
x
/ 2
A
o
0
Ax
t
/2
记住这幅图,定会一目了然!
x
例: t = 0
t
l
q0 l
x
v0
v0 = 0
m *拉开的角度q0 不是初相
/ 2
t
(10)
相位差(phase difference):
用来比较两个或两个以上的简谐运动是否同步?
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
点P作简谐运动:
x﹥0 v﹤0
t
x Acos(t ) x﹤0 v﹤0 A t=0
v Asin(t )
振幅A: A
x﹤0 v﹥0
O
t +
Px
x﹥0 v﹥0
角频率: A 的角速度
参考圆
初相位 : t=0时, A与x 轴夹角
相位(t + ): t 时刻, A 与x 轴夹角
(13)
旋转矢量常用于: 1)确定简谐运动的初相位 2)比较二个简谐运动的相位差 3)简谐运动的合成
简谐运动的加速度
a
dv dt
2 Acos(t
)
am
cos(t
)
x, v, a
x-t
加速度的最大值:
am 2 A
t
(7)
描述简谐振动的特征量
1.振幅 A xmax
2.周期、频率 x Acos(t )
Acos(t 2n ) Acos[(t 2 n) ]
Acos[(t nT ) ]
频率 1/ T / 2π
周期和频率仅与振动系统本身的 物理性质有关
对于谐振子（弹簧振子）：
k
m
T 2 m
k
对于单摆：
g
l
T 2 l
g
圆频率 2π 2π/ T
x Acos(t )
简谐运动中， x和 v
v A sin(t ) 间不存在一一对应的关系.
3.相位
相位 ：
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
>0振动“2”超前振动“1” <0振动“2”落后振动“1”
2k k 0,1,2,....... 同相(inphase)
(2k 1) k 0,1,2,.......反相(antiphase)
x
o
t
(11)
5.1.2 简谐运动的描述方法 (The description of simple harmonic motion) 1.方程:
机械振动： 物体在其平衡位置附近,位移x随时间t 的周期性变化
ql
心跳
mg
A
LC
电磁振动： 电场、磁场等电磁量随t周期
B
性变化. K
如图,电荷在LC电路中往复运动. 电磁振荡
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
2
§5.1 简谐运动的基本特征及其描述 (The basic characters and description of the simple harmonic motion)
动力学方程: F kx
运动学方程: d2 x 2 x x Acos(t )
dt 2
2.振动图线: x-t 图
x
A
分
析 a 不同态 vb
比b 较c
同态
va -A
T ba
c
t
(12)
3.旋转矢量(rotational vector)(相量图):
振幅矢量 A 以匀角速度 绕O点
逆时针转动。
振幅矢量 A 在x轴上的投影
第五章 振动与波动 (Vibration and Wave)
§5.1 简谐运动的基本特征及其描述 §5.2 简谐运动的能量 §5.3 简谐运动的合成 *§5.4 阻尼振动 受迫振动 共振
§5.5 波动的基本特征 平面简谐波的波函数 §5.6 波的能量 §5.7 波的叠加 *§5.8 多普勒效应
(1)
右图可知 = 4/3或 -2/3 量位于p1
Ox
令2=g/l
q Acos(t )
ql T
Oft x mg
物体离开平衡位置的(角)位移随时间按余弦规律变化 时, 这样的运动称为简谐运动。
1)坐标原点是否可以任意选取? 2)小球在地上做完全弹性跳动是否为简谐运动?
(6)
简谐运动的速度
v
dx dt
A s in(t
)
vm
cos(t
)
2
速度最大值: vm A
5.1.1 简谐运动 5.1.2 简谐运动的描述方法
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐振动的物体.
(4)
5.1.1 简谐运动(the simple harmonic motion)
1.简谐运动的定义 定义一(动力学角度):
Fm
弹簧振子: F kx
Ox
x
回复力(弹性力)与位移成正比指向平衡位置O
弹簧振子:
d2x dt 2
k m
x
2 x
令 2=k/m
所以
d2Biblioteka Baidudt
x
2
2
x
0
简谐振动微分方程
解微分方程得:
x,q
x(t) Aei t Aeit
t 计算结果一般取实部
x Acos(t )
或 x Asin(t ) 简谐振动方程 其中A, 由初始条件决定。
单摆:
d2q
dt 2
gq
l
2q
熟练掌握 1)有了方程会画x-t 图
2)有了图会写振动方程(关键确定A、T、、 )
3)比较相位差
(14)
例1: 己知振动图写出振动方程
解: 设振动方程为
4
x(cm)
x Acos(t )
p2
如图可知:A= 4cm
O
2
初相位和角频率可利用 -2 p1
t(s) p2
旋转矢量法来求
t =0s时,旋转矢
单摆:
ft
m gsinq
m gq
mg l
x
约定: 取循逆时针的转向为正方向, 即q > 0
ql T
Oft x mg
回复力(准弹性力)与角位移成正比指向平衡位置O
物体在跟位移(角位移)成正比、方向总是指向平衡位
置的回复力作用下的运动称为简谐运动。
作简谐运动的条件: 回复力、惯性
(5)
定义二(运动学角度):
由 和 求给定振子的 初相
A A
消去 A得
但由于 在 0 ~ 2 范围内，同一正切值对应有两个 必须再根据 和 的正负进行判断。
值，因此，还
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定 ，振幅和初相由初始条件决定.
初相位(initial phase): t=0(开始计时)时的相位 x
由初始条件决定 x0 Acos
是界定振子在时刻 的运动状态的物理量
运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于
A
A
初相 ：是
时，振子的相位。
所谓 初始条件即为
，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。
时质点的运动状态
位置
A
速度
A
(初速度)
(初位移)
4. 常数 A 和 的确定
由 和 求给定振子的振幅 A
A A
消去 得 A2
v0 A sin
t
0
/2 0
x
/ 2
A
o
0
Ax
t
/2
记住这幅图,定会一目了然!
x
例: t = 0
t
l
q0 l
x
v0
v0 = 0
m *拉开的角度q0 不是初相
/ 2
t
(10)
相位差(phase difference):
用来比较两个或两个以上的简谐运动是否同步?
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
点P作简谐运动:
x﹥0 v﹤0
t
x Acos(t ) x﹤0 v﹤0 A t=0
v Asin(t )
振幅A: A
x﹤0 v﹥0
O
t +
Px
x﹥0 v﹥0
角频率: A 的角速度
参考圆
初相位 : t=0时, A与x 轴夹角
相位(t + ): t 时刻, A 与x 轴夹角
(13)
旋转矢量常用于: 1)确定简谐运动的初相位 2)比较二个简谐运动的相位差 3)简谐运动的合成
简谐运动的加速度
a
dv dt
2 Acos(t
)
am
cos(t
)
x, v, a
x-t
加速度的最大值:
am 2 A
t
(7)
描述简谐振动的特征量
1.振幅 A xmax
2.周期、频率 x Acos(t )
Acos(t 2n ) Acos[(t 2 n) ]
Acos[(t nT ) ]