大学物理答案第六章

6-1 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。

6-2 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。

6-3 分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导

体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。

6-4 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面

内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E ）。

6-5 分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有

()∑⎰⎰=⋅=⋅+i

i S S εχq 001d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）。

6-6 分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d 的作用力。

()20π4r εq q q F d

c b

d +=

点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电

荷q b 、q c 处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c 受到的作用力为零.

6-7 分析 （1） 由于半径R １＜＜L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率．

（2） 计算阳极表面附近的电场强度，由F ＝q E 求出电子在阴极表面所受的电场力．

解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为

J 108.4Δ17-⨯-=-=eV E ep

由于电子的初始速度为零，故

J 108.4ΔΔ17-⨯-=-==ep ek ek E E E

因此电子到达阳极的速率为

1-7s m 1003.122⋅⨯===m

eV m E ek v （2） 两极间的电场强度为

r r

ελe E 0π2-= 两极间的电势差

1

200ln π2π2d 21R R e ελr ελV R R -=-=⋅=⎰r E 负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度

r r R R R V R ελe e E 1

2110ln π2=-= 电子在阴极表面受力

N 1037.414r e e E F -⨯=-=

这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１ ×10

－3１kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5 ×10１5 倍．

6-8 分析 若2

00π4R εQ V =，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电． 若2

00π4R εQ V ≠，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由⎰∞⋅=p p V l E d 或电势叠加求出电势的

分布．最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q 、R １、R 2表示．

解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高

斯定理()()∑⎰⋅=⋅=⋅02/π4d εq r E r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得

各区域内的电场分布为

r ＜R １时， ()01=r E

R １＜r ＜R 2 时，()202π4r

εq r E = r ＞R 2 时， ()202π4r εq Q r E +=

由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．

r ＜R １时，

2

0103211π4π4d d d d 2211R εQ R εq V R R R R r r +=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞l E l E l E l E R １＜r ＜R 2 时，

2

00322π4π4d d d 22R εQ r εq V R R r r +=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞l E l E l E r ＞R 2 时，

r

εQ q V r 03π4d +=⋅=⎰∞l E 3 也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r ＜R １）

2

0101π4π4R εQ R εq V += 在导体球和球壳之间（R １＜r ＜R 2 ）

2

002π4π4R εQ r εq V += 在球壳外（r ＞R 2）

r

εQ q V 03π4+= 由题意

1

02001π4π4R εQ R εq V V +=

= 得 1

02001π4π4R εQ R εq V V +== 代入电场、电势的分布得

r ＜R １时，

01=E ；01V V =

R １＜r ＜R 2 时，

2

2012012π4r R εQ R r V R E -=；r R εQ R r r V R V 201012π4)(--= r ＞R 2 时，

2

20122013π4)(r R εQ R R r V R E --= 6-9 分析 （１） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷Q A 均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷－Q A ，外表面带电荷Q B ＋Q A ，电荷在导体表面均匀分布［图（ａ）］，由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势．（2） 导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）．球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电－Q A ［图（ｂ）］．断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球A 的电势为零．电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡．不失一般性可设此时球A 带电q A ，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应－q A ，外表面带电q A －Q A ［图（c ）］．此时球A 的电势可表示为