正切函数及其应用

金牌数学高一（必修四）复习专题系列之 正切函数及其应用

1.三种常用三角函数的主要性质

2.形如sin()y A x ωϕ=+的函数： （1）几个物理量：A ―振幅；1

f T

=

―频率（周期的倒数）；x ωϕ+—相位；ϕ―初相； （2） 要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕ

ω

个单位 例：以sin y

x =变换到4sin(3)3

y x π=+为例

sin y x =向左平移

3

π

个单位 （左加右减）

s i n 3y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

横坐标变为原来的

13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭ 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪

⎝

⎭

sin y x =横坐标变为原来的1

3

倍（纵坐标不变）()sin 3y x =

向左平移

9π个单位 （左加右减） sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭ 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪

⎝

⎭

题型一：基础回顾

例1..函数)4

2sin(log 2

1π

+

=x y 的单调减区间为 .

拓展变式练习

1.函数)3

2cos(π

--=x y 的单调递增区间是 .

2.函数()tan 4f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的单调增区间为 . 3.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2

,0[π

∈x 时，x x f sin )(=，

则)3

5(

π

f 的值为 .

题型二：技能拓展

例2.求函数y=-x 2

cos +x cos 3+

4

5

的最大值及最小值，并写出x 取何值时，函数有最大值和最小值。

拓展变式练习

1.（本题7分）已知)0(5

1cos sin π<<-=+x x x ，求x tan 的值

2.求)4

cos(3)4

sin(π

π

+

++=x x y 的单调区间。

3.已知4

3tan -

=θ，求θθθ2

cos cos sin 2-+的值。

题型三：综合能力提升

例3.（本小题满分13分） 函数)2

,0)(sin(π

ϕωϕω<>+=x y 在同一个周期内，当4

π

=

x 时y 取最大值1，当12

7π

=

x 时，y 取最小值1-。（1）求函数的解析式).(x f y =

（2）函数x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f y =的图象？

拓展变式练习

1. (本小题12分)已知2()sin (cos 1)f x x k x =+-， 求：（1）当2,33⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣⎦

x ππ时，求函数()f x 的最小值，及()f x 取最小值时x 的值. （2）当k =1时，求函数()f x 的单调增区间.

2.（本题16分）函数)2

,0)(sin(π

ϕωϕω<

>+=x y 在同一个周期内，当4

π

=

x 时y 取最大值1，当12

7π

=

x 时，y 取最小值1-。

（1）求函数的解析式).(x f y =

（2）函数x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f y =的图象？

（3）若函数)(x f 满足方程),10()(<<=a a x f 求在]2,0[π内的所有实数根之和.

高考题库

（本小题满分13分）

（本题7分）已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫ ⎪⎝

⎭的最大值为23，最小值为2

1-. （1）求b a ,的值；

（2）求函数)3

sin(4)(π

-

-=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合.

一、选择

1. ）

A ．cos160︒ B. cos160-︒ C ．cos160±︒ D.cos160±︒ 2.函数)2

2cos(π

+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ）

A ．2

π

-

=x B. 4

π

-

=x C. 8

π

=

x D. π=x

3.要得到函数y=sin(2x-

3

π

)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象（ ）

A.向左平行移动3π个单位

B.向左平行移动6π

个单位 C.向右平行移动3π个单位 D.向右平行移动6

π

个单位

4.已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12

(π

，则ϕ可以是（ ）

A ．6π-

B ．6

π C ．12π- D ．12π

5.把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到

原来的1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数（ ）

A ．sin 23y x x π⎛⎫=-

∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫

=+∈ ⎪⎝⎭R ，

C ．sin 23y x x π⎛⎫

=+

∈ ⎪⎝⎭

R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫

=+

∈ ⎪⎝⎭

R ， 二、填空

6.函数x x y sin 2cos 2-=的值域是 .

7.若α满足1

cos 2

α<-

，则角α的取值集合是 .

8.已知sin 4πα⎛⎫+ ⎪

⎝⎭3sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭值为 .

9.函数y =的定义域是 .

10.函数)3

2cos(π

--=x y 的单调递增区间是 .

三、解答题

11.已知函数y=)sin(φω+x A （A ＞0,ω ＞0,πφ〈）的最小正周期为32π，最小值为-2，图像过（9

5π，0），求该函数的解析式。