312复数的几何意义PPT课件
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高中数学 2、312复数的几何意义课件 新人教A版选修12
5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________. [答案] 3i
[解析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a2＋b2＝9. 又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数， ∴ab＝ ＋03， ≠0 ，ab＝ ≠0－，3， 又 a2＋b2＝9，∴a＝0，b＝3.
三、解答题 6．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋ (m2－2m－15)i是： (1)对应点在x轴上方； (2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由 m2－2m－15>0，得知 m<－3 或 m>5 时，z 的对应点在 x 轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知： m＝－3－4 41或 m＝－3＋4 41， z 的对应点在直线 x＋y＋5＝0 上．
[解析] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为 m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得mm22－－m3m－＋2＜2＞00 ∴－m＞1＜2或m＜m＜2 1’ ∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
一、选择题
1．在下列结论中正确的是
()
A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
B．任何两个复数都不能比较大小
C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数
集是一一对应的
D．－1的平方根是i
[答案] A
[解析] 两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai
是实数排除C，－1的平方根是±i排除D，故选A.
3．复数的模
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为 O→Z ，则 O→Z 的
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(2)位于虚轴上;
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
3.1.2复数的几何意义PPT课件
-2
Z2:2-2i
2021
x
20
例题2
已知某个平行四边形的三个顶 点所对应的复数分别为2，4+2i， -2+4i，求第四个顶点对应的复数.
自己动动手
2021
21
解： y
4
-2
O2 4
x
答案：6i或-4+2i或8-2i
2021
22
扩展题
求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(简称复平面)
oa
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.
2021
8
观察
实轴上的点都表示实数；虚
轴上的点都表示纯虚数，除原点 外，因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标 轴上的单位长度是1，而不是i.
（1）i; （2）2-2i; （3）(2+i) ×i; （4）i-1；
2021
18
解： y
(2+i) ×i
4
i-1
2
1
-2 -1 O 2
-2
(2+i) ×i 转化为 -1+2i
i i2 = -1
4
x
2-2i
注意
2021
19
解： y
4
Z3:(2+i) ×i 2 Z4:i-1 1 Z1:i
-2 -1 O 2 4
2021
13
可用下图表示出他们彼此的关系.
复数z=a+bi
312复数的几何意义ppt课件
设 $z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di neq 0$，则 $frac{z_1}{z_2} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
02
复数在平面坐标系中表示
复平面与极坐标系简介
学科竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和 数学建模等活动，提高应 用复数解决问题的能力。
未来发展趋势预测
复数在物理学中的应用
预测复数在量子力学、电磁学等物理 学领域的应用前景和发展趋势。
复数在工程领域的应用
探讨复数在信号处理、控制系统等工 程领域的应用潜力和发展方向。
复数在计算机科学中的应用
分析复数在计算机图形学、人工智能 等领域的应用前景和挑战。
复平面
复平面是一个二维平面，其中横轴表 示复数的实部，纵轴表示复数的虚部 。这样，每个复数都可以在复平面上 找到一个对应的点。
极坐标系
极坐标系是一种二维坐标系，其中每 个点由到原点的距离（半径）和从正x 轴逆时针旋转到该点的角度（极角） 来确定。
复数在复平面上表示方法
点表示法
在复平面上，一个复数a+bi可以 表示为点(a,b)。
几何变换：旋转、伸缩和反射
旋转
在复平面上，旋转可以通过乘以 复数 $e^{itheta}$ 实现，其中 $theta$ 是旋转角度。例如，将
点 $z$ 绕原点逆时针旋转 $theta$ 角度后得到点 $ze^{itheta}$。
伸缩
伸缩可以通过乘以一个实数实现 。例如，将点 $z$ 沿着从原点到 该点的直线方向拉伸或压缩 $k$ 倍（$k > 0$）后得到点 $kz$。
课件2：3.1.2 复数的几何意义
y
= +
Z(,b)
b
平面向量
a
o
x
现在我们就用平面向量来表示复数，如图所示：
y
设复平面内的点Z表示复数 = +
Z： +
,连接OZ,显然向量
b
定；反过来，点Z(相对于原点来说)也
可以由向量
o
由点Z唯一确
OZ
a
x
唯一确定.
OZ
由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一
那取虚轴上点（0，2）对应
（C）充要条件
的复数来理解，即用具体
（D）不充分不必要条件
例子套一下。
课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对；
2.用平面直角坐标系表示复平面，其中轴叫做实轴，轴
叫做虚轴；实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上
的点都表示纯虚数；
2.复数的两个几何意义：
复数 = +
纯虚数(a 0，b 0)
虚数(b. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C
纯虚数集
实数集R
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两
个复数相等．
a c
b d
a bi c di
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
（2）“ = ”是“复数 + ( , ∈ )所对应的点在虚轴上
”的（ C ）
（A）必要不充分条件
同学们如果此题觉得抽象，
（B）充分不必要条件
= +
Z(,b)
b
平面向量
a
o
x
现在我们就用平面向量来表示复数，如图所示：
y
设复平面内的点Z表示复数 = +
Z： +
,连接OZ,显然向量
b
定；反过来，点Z(相对于原点来说)也
可以由向量
o
由点Z唯一确
OZ
a
x
唯一确定.
OZ
由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一
那取虚轴上点（0，2）对应
（C）充要条件
的复数来理解，即用具体
（D）不充分不必要条件
例子套一下。
课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对；
2.用平面直角坐标系表示复平面，其中轴叫做实轴，轴
叫做虚轴；实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上
的点都表示纯虚数；
2.复数的两个几何意义：
复数 = +
纯虚数(a 0，b 0)
虚数(b. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C
纯虚数集
实数集R
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两
个复数相等．
a c
b d
a bi c di
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
（2）“ = ”是“复数 + ( , ∈ )所对应的点在虚轴上
”的（ C ）
（A）必要不充分条件
同学们如果此题觉得抽象，
（B）充分不必要条件
数学312《复数的几何意义》优质课课件
在交流电路中，两个同频率正弦量之间的相位之差称为相位差，它 反映了两个正弦量在时间上相互超前或滞后的关系。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
( 人教A版)1-2：3.1.2复数的几何意义课件 (共32张PPT)
A．1
B. 2
C. 3
D．2
解析：由(1＋i)x＝1＋yi 可知：x＋xi＝1＋yi，故xx＝ ＝1y ，解得：xy＝＝11 .
所以，|x＋yi|＝ x2＋y2＝ 2. 答案：B
探究一 复数与复平面内点的关系
[例 1] (1)实部为－2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限
B．第二象限
探究三 复数的模及其几何意义
A．(2)(ห้องสมุดไป่ตู้)
B．(3)(4)
C．(1)(3)
D．(1)(4)
解析：(1)正确．根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实 数对应的点都在实轴上． (2)错误．根据虚轴的定义，y 轴叫虚轴，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所表示的 数 z＝0，除原点外，虚轴上的点表示纯虚数． (3)不正确，z＝0，|z|＝0. (4)由复数的几何意义可知(4)正确． 答案：A
利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点 Z(a， b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不 等式(组)求解．
1．实数 m 取什么值时，复平面内表示复数 z＝2m＋(4－m2)i 的点． (1)位于虚轴上；(2)位于第三象限． 解析：复数 z＝2m＋(4－m2)i 对应复平面内点的坐标 P 为(2m,4－m2)． (1)若 P 在虚轴上，则24m－＝m02≠，0， 即 m＝0. (2)若点 P 在第三象限，则24m－<m02，<0， 解得 m<－2. ∴当点 P 位于第三象限时，实数 m 的范围是(－∞，－2)．
(完整版)3.1.2《复数的几何意义》ppt课件
模，记做 z 或 a bi
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z（a，b）到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两
个复数模的大小
解：Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解：m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习：已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5，求k的值
解：z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ，都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z（a，b）到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两
个复数模的大小
解：Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解：m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习：已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5，求k的值
解：z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ，都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
《3.1.2 复数的几何意义》PPT课件(河北省县级优课)
都是实数； D、在复平面内，虚轴上的点所对应的复数
都是纯虚数。（除原点外）
2、当m<1时，复数z=2+（m-1）i在复平面 上所对应的点位于（ D ）.
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知复数
z1
4 3i, z2
1 2
2i,
求 z1 和 z2 ，并比较它们模的大小.
【解析】 z1 42 32 5;
z2
1 2
2
2 2 3; 2
5
3 , 2
z1
z2
.
注： z 0; 两个复数的模可以比较大小;
小结
4、在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－ 3m＋2)i 的对应点
（1）在虚轴上；（2）在第三象限；
（3）在直线y＝x 上；
分别求实数m的值或取值范围.
小结
一一对应
复平面内点(a,b)
一一对应 平面向量 OZ
3、复数的模及其几何意义
z a bi OZ a2 b2
几何意义：复数 z=a+bi在复平面上
对应的点Z(a,b)到原点的距离.
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应
Z(a,b)
y
3+i
OA3,1
b
OB 2,ห้องสมุดไป่ตู้1
2-i
OZ
a
1
A（3，1）
o 12 3
x
-1
B（2，-1）
三、复数的模及其几何意义
都是纯虚数。（除原点外）
2、当m<1时，复数z=2+（m-1）i在复平面 上所对应的点位于（ D ）.
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知复数
z1
4 3i, z2
1 2
2i,
求 z1 和 z2 ，并比较它们模的大小.
【解析】 z1 42 32 5;
z2
1 2
2
2 2 3; 2
5
3 , 2
z1
z2
.
注： z 0; 两个复数的模可以比较大小;
小结
4、在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－ 3m＋2)i 的对应点
（1）在虚轴上；（2）在第三象限；
（3）在直线y＝x 上；
分别求实数m的值或取值范围.
小结
一一对应
复平面内点(a,b)
一一对应 平面向量 OZ
3、复数的模及其几何意义
z a bi OZ a2 b2
几何意义：复数 z=a+bi在复平面上
对应的点Z(a,b)到原点的距离.
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应
Z(a,b)
y
3+i
OA3,1
b
OB 2,ห้องสมุดไป่ตู้1
2-i
OZ
a
1
A（3，1）
o 12 3
x
-1
B（2，-1）
三、复数的模及其几何意义
3.1.2复数的几何意义课件人教新课标
答案： 1＋2i或－1－2i
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．当实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－ 15)i：
(1)对应的点Z在实轴上？ (2)对应的点Z在第四象限？ (3)对应的点Z在直线x－y－3＝0上？
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．若复数 z 对应的点在直线 y＝2x 上，且|z|＝ 5，则复数 z＝__________.
解析： 根据题意设 z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝ 5得 a2＋4a2 ＝ 5，
解得 a＝±1，故 z＝1＋2i 或－1－2i.
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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求解复数问题常用的解题技能 (1)代数化：由复平面内合适某种条件的点的集合来求其对 应的复数时，通常是由其对应关系列出方程(组)或不等式(组) 或混合组，求得复数的实部、虚部的值或范围，来确定所求的 复数． (2)几何化：利用复数的向量表示，充分运用数形结合，转 化成几何问题，渗透数形结合思想就是其中技能之一，可简化 解题步骤，使问题变得直观、简捷、易解．
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1．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复 平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y2＝4x上．
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4．当实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－ 15)i：
(1)对应的点Z在实轴上？ (2)对应的点Z在第四象限？ (3)对应的点Z在直线x－y－3＝0上？
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3．若复数 z 对应的点在直线 y＝2x 上，且|z|＝ 5，则复数 z＝__________.
解析： 根据题意设 z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝ 5得 a2＋4a2 ＝ 5，
解得 a＝±1，故 z＝1＋2i 或－1－2i.
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求解复数问题常用的解题技能 (1)代数化：由复平面内合适某种条件的点的集合来求其对 应的复数时，通常是由其对应关系列出方程(组)或不等式(组) 或混合组，求得复数的实部、虚部的值或范围，来确定所求的 复数． (2)几何化：利用复数的向量表示，充分运用数形结合，转 化成几何问题，渗透数形结合思想就是其中技能之一，可简化 解题步骤，使问题变得直观、简捷、易解．
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复 平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y2＝4x上．
课件9：3.1.2 复数的几何意义
解：∵a、b 对应的复数分别是 z1＝3，z2＝－5＋5i， ∴a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
所以 a·b＝－15，|a|＝3，|b|＝5 2，设 a 与 b 的夹角为 θ，
所以
cos
θ＝|aa|·|bb|＝3－×5152＝－
2 2.
因为 0≤θ≤π，所以 θ＝34π.
跟踪训练 4．已知两向量 a，b 对应的复数分别是 z1＝－3，z2＝－12＋ ai(a∈R)且 a，b 的夹角为 60°，求 a 的值． 解：∵a，b 对应的复数分别为 z1＝－3，z2＝－12＋ai(a∈R)， ∴a＝(－3,0)，b＝(－12，a)．
2．复数的两种几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
Hale Waihona Puke 复平面内的点 Z(a,b). 复平面内的向量O→Z.
想一想 1.复平面内的所有点构成的点集与复平面内所有的以 原点为起点的向量构成的集合是一一对应的关系吗？ 提示：是一一对应的关系．
3．复数的模
2．复数的模 (1)复数 z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝ a2＋b2； (2)从几何意义上理解，表示点 Z 和原点间的距离，类比向 量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点 Z1 和点 Z2 之间的距离．
名师解答 求两复数对应向量的夹角 例4 由已知两个向量a、b对应的复数分别是z1＝3和z2＝ －5＋5i，求向量a与b的夹角．
又 a，b 的夹角为 60°，
∴cos 60°＝
(－3，0)·(－12，a)
，
(－3)2＋02· (－12)2＋a2
即12＝ 3
3
2 ，解得 14＋a2
a＝±
3 2.
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（数）
（形）
y 建立了平面直角坐标系来
z=a+bi 表示复数的平面——复平面
b
Z(a,b)
x轴——实轴
0
ax
y轴——虚轴
这是复数的一种几何意义.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
y
一一对应
z=a+bi
b
Z(a,b)
平面向量 OZ
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi
a bi c di a c,b d
注:复数不能比较大小.
练习巩固: 1.已知 (1 2i)x (3 10i) y 5 6i 且 x, y R ,
则 x _2__, y __1__ ;
2.已知 x2 x 6 ( x2 5x 6)i 0 ( x R) ,
则 x _6__ .
思考: 虚数单位 i 是数学家想象出来的,由此可以得
到复数集.实数恰可以看成是特殊的复数(虚部为 零的),另外,由复数相等的意义可以知道复数由实 部和虚部唯一确定,那么复数集还有什么性质和特 点呢?复数有什么作用呢?
探索复数集的性质和特点 探索途径：
(1) 实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集？
实数
一一对应
数轴上的点
(数)
(形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,复数 z a bi(a,b R) 与有序实数对 (a, b) 可建立一一对应的关系.
能否找到用来表示复数的几何模型呢？
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”C
的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围. m 3 m 2 或 1 m 2
0
a
的模,记作 z 或 a bi .
x
易知 z a2 b2
这是复数的又一种几何意义.
模与绝对值
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离.
a
OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0)
a(a源自0)Ox|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
练习：
1.下列命题中的假命题是（ D）
(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.
选做作业:
1.若 复数 (m2 m 2) (m2 3m 2)i(m R) 在 复 平面
内的对应的点位于虚轴上，则 m 的值为( B )
(A)1
(B) 2 , 1 (C) 1
(D) 1 , 1, 2
2.满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上 将构成怎样的图形？
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
(2)从复数的特点出发，寻找复数集新的(实数集所不具 有)性质和特点？
想一想,实数集有些什么性质和特点?
(1)实数可以判定相等或不相等； (2)不相等的实数可以比较大小； (3)实数可以用数轴上的点表示； (4)实数可以进行四则运算； (5)负实数不能进行开偶次方根运算；
……
复数的几何意义 继续
我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
3变式
变式题:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
求证:对一切实数m，此复数所对应的点不可 能位于第四象限.
解题思考：
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
本课小结：
知识点： (1)复平面
(2)复数的模
思想方法：(1)类比思想 (2)转化思想 (3)数形结合思想
复数的几何意义
复习
练习巩固
复数的意义 探究
复数的向 量表示
练习巩固
复数的几何意义
上节课,我们大胆假设存在一个新数 i (叫 做虚数单位).
规定:① i2 1 ; ② i 可以和实数进行运
算,且原有的运算律仍成立.
1.复数 z a bi(a,b R)
a ─ 实部
b ─ 虚部
2.复数相等 (a, b, c, d R)