高中数学必修四课件：2.3.1平面向量基本定理

r r 相等的充要条件： 相等的充要条件：a = b ⇔ x = x 且y = y 1 2 1 2
r i
x
平面向量的坐标表示
r r r r r u r j 例1．如图，用基底 i ， 分别表示向量 a, b, c, d ．如图，
并求它们的坐标． 并求它们的坐标． 解：由图可知
y A2
r ∴ = (2,3) a 同理， 同理， r r r b = −2i + 3 j = (−2,3) r r r c = −2i − 3 j = (−2, −3)
说明： 说明：
r r (1)不共线的向量 (1)不共线的向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量
的一组基底; 的一组基底;
平面向量基本定理: 平面向量基本定理
r r r (2)基底不唯一 e1 , e2 ≠ 0 基底不唯一; 基底不唯一
r r r (3) 任一向量 a 都可以沿两个不共线的方向（e1 , e2 的 都可以沿两个不共线的方向（ r r
2.3.1平面向量基本定理 平面向量基本定理
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 平面向量正交分解及坐标表示
一、数乘的定义： 数乘的定义：
r r 一般地, 的积是一个向量,记作: 一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作: λa
它的长度和方向规定如下: 它的长度和方向规定如下
r r (1) | l a |=| l || a |;r r (2)当 l > 0 时, λa 的方向与 a 的方向相同; 当 的方向相同 r r 的方向相同; 当 l < 0 时, λa 的方向与 ar的方向相同 r r (3)当 l = 0 时,或 a = 0 时, λa = 0 当 或
利用向量共线定理， 利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两 直线平行问题.但要注意的是: 直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念 上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合, 上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行 则含两向量重合. 则含两向量重合.
AB ∥ BC A,B,C三点共线 A,B,C三点共线
r r 如图）， e1 , e2 （如图），
r a,
r r r 成立？ 使 a = λ e + λ e 成立？ 1 1 2 2
r 3e2
r e1
r e2
r − 2.5e1
r 3e2
r − 2.5e1
r r − 2.5e1 + 3e2
O
已知向量 r（如图） 及向量 a 如图）
r r e1 , e2
r e1
r a
r e2
问:能否找出实数对λ1与λ2 能否找出实数对λ r r r 成立？ 使 a = λ 1 e1 + λ 2 e2 成立？ 而这样的λ 有多少对？ 而这样的λ1与λ2有多少对？
r λ 1e1
r e1
O
r a
r e2
r λ 2 e2
的运算律： 二、数乘的运算律： r r (1)结合律 结合律: l ( ma ) = ( l m) a (1)结合律: r r r (2)第一分配律 第一分配律: (2)第一分配律: ( l + m)a = l a + ma r r r r (3)第二分配律 第二分配律: (3)第二分配律: l ( a + b ) = l a + l b
u r r r d = 2i − 3 j = (2, −3)
r uuur uuuu r r r a = AA1 + AA2 = 2i + 3 j
r b
r j
A 1
r a
A1
r O i
x
r c
u r d
例 2.已知 i , j是两个不共线向量 , 若 AB = 2i + 3 j , CB = λ i + j , CD = 3i − 2 j , 那么当实数 λ 为何值时 , A , B , D三点共线 ?
r r r (2) i = i + 0 j = (1, 0) r 0 = (0, 0) r r r j = 0i + j = (0,1)
y
r A(x, y) r a
j
O
r a
r r （3）两个向量 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) ）
uuu r r (4)如图以原点 为起点作 OA = a ，点A的位置 如图以原点O为起点作 如图以原点 的位置 r r 唯一确定. 此时点A的坐标即为 被 a 唯一确定 此时点 的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 ） 相等向量的坐标是相同的,但起点 但起点、 相等向量的坐标是相同的 但起点、终点的坐标可以不同 r (6) a = x 2 + y 2
r 平面内的任一向量 a ,
r 记作： 记作： a = ( x, y )
r 则称（x，y）是向量 a 的坐标 则称（ ， ）
r a
y
r a
注意： 注意：
r 相等的向量的坐标均为（ （1）与 a 相等的向量的坐标均为（x, y) ）
r j
O
r i
x
平面向量的坐标表示 注意： 注意： r 相等的向量的坐标均为（ （1）与 a 相等的向量的坐标均为（x, y) ）
思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数λ 1、 2是否相同？ λ （可以不同，也可以相同） M F OC = OF + OE B a OC = 2OA + OE A OC = 2OB + ON O N E C
r r 是同一平面内的两个不共线向量,那么 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量 那么 r 对这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 λ1 , λ2 , 有且只有一对实数 r r r 使 a = λ1e1 + λ2 e2
方向）分解成两个向量（ 和的形式； 方向）分解成两个向量（λ1e1 , λ2 e2）和的形式； (4)基底给定时 分解形式唯一 基底给定时,分解形式唯一 基底给定时 分解形式唯一.
例1： 已知向量 e1 、e 2 求做向量-2.5 e1 e 2 +3 C B
e2
3e 2
A
e 1− 2 .5 e 1
课后作业: 作业本
小结回顾
一、对 平面向量基本定理 的理解： 的理解： e1 ,e2是平面向量内两个不共线的固定向量，则任 是平面向量内两个不共线的固定向量， 意向量a可以在这两个向量的方向上进行分解。 意向量a可以在这两个向量的方向上进行分解。 当|e1|=|e2|=1且e1与e2垂直时，就可以建立直角坐标 |=|e |=1且 垂直时， 这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。 系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。
直线AB∥直线CD 直线AB∥直线CD
设e1 、e 2是同一平面内的两个不共 线的向量， 是这一平面内的任一向量， 线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
e 之间的关系。 我们研究 a 与 e1、 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 即 a= .
λ1OA
+
λ 2OB
λ1e1+ λ 2e 2
r a
A
r r a 与 b 反向
r r 记作 a ⊥ b
向量的正交分解
ur uu r r ur uu r 一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 = λ1 e1 + λ2 e2 ａ ur uu r 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上， 在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时， 为基底时，会为我们研究问题带来方便
M C
e1
a A
a
e2
e2
O
e1
N
B
平面向量基本定理 如果 e1 e 2是同一平面内的两个不 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数λ 1、 2 使 λ a = λ1e1 + λ 2e 2
e 我们把不共线的向量e1、 2 叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底。
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O N B O N a a E
OB 表示
OP
P B
uuu r uuu uuu r r OP = (1 − t )OA + tOB
O
A
uuu uuu r r 变式： 不共线, 所在的平面内, 变式： OA, OB 不共线,点P在O、A、B所在的平面内, uuu r uuu uuu r r 求证： 且 OP = (1 − t )OA + tOB (t ∈ R) 求证：A、B、P三点共线
平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中 分别取与 如图 在平面直角坐标系中,分别取与 轴、y轴正方向 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 轴正方向 rr 同向的两个单位向量 j 作基底. 同向的两个单位向量 i、 作基底
r r r 有且只有一对实数x,y,使 有且只有一对实数 使 a = xi + y j 成立
1 - 4 e1
C
.
A
N
B
评析 能够在具体问题中适当地选取 基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。
向量的夹角
则∠AOB = θ
r r uuu r uuu r r r 两个非零向量 a和 b ，作 OA = a, OB = b， r
(0 ≤ θ ≤ 180 )
o o
叫做向量a 和
三、向量共线的充要条件： 向量共线的充要条件： r r 共线的充要条件是有 定理: 充要条件是有 1. 定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件 r r