(完整版)广义胡克定律

广义胡克定律 强度理论

[知识回顾]

1、 轴向拉（压）变形

在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）

横向变形

2）纯剪切

[导入新课]

胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。

[新课教学]

x x E εσ=E x

x y σ

μμεε-=-=γ

τG =

广义胡克定律 强度理论

一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ）

1、主应力单元体－叠加法

只在1σ作用下：1方向

只在2σ作用下：1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变

只在3σ作用下：1方向

即

同理：

2、非主应力单元体

可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，

线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。

E

1

1σε=

'E

21σ

με-=''E 31

σ

με-='''111εεεε'''+''+'=()[]

32111

σσμσε+-=E

()[]1322

1

σσμσε+-=E

()[]21331σσμσε+-=E []

[]

[]

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪

⎬⎫===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111小变形，线弹性范围内，符合叠加原理

3、体积应变

单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。 变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为

由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为

dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++=

将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得

dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-=

V

V

V θ称为体积应变（或体应变）

。它描述了构件内一点的体积变化程度。 5、体积应变与应力的关系

将广义虎克定律（8-22）代入上式，得到以应力表示的体积应变

式中

K 称为体积弹性模量，m σ是三个主应力的平均值。体积应变θ只与平均应力m σ有 关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。 体积应变θ与平均应力m σ成正比，称为体积虎克定律。

dxdydz V =dz

dz dz dy

dy dy dx

dx dx )1()1()1(332211εεεεεε+=++=++=+)21(3μ-=

E K )(31321σσσσ++=m K E m σσσσμθ=

++⋅-==3)21(3321)(21321321σσσμ

εεεθ++-=++=E