数学命题教学讲座
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例1、看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？ 2) 你是不是作业没交？ 3) 这里景色多美啊！ 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。
不是（疑问句） 不是（疑问句） 不是（感叹句） 是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句）
数学命题的形式： 若p则q形式
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”
例2：公理 “在所有连接两点的线中，线段最 短”
课本上采用把连接两点的曲线、折线拉直， 与线段比较的办法。
关于定理 ：
➢ 定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运
用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。
• 定理的结构：条件（题设或已知）、结论（题断或 求证）
逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定 理的逆定理。
否
否命题
若p 则 q
互逆 互逆
逆命题
若q 则p 互
否
逆否命题
若q 则p
➢ 例子：
1.原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角
形等积。
真
逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角
形全等。
假
否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三
角形不等积。
假
逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个
三角形不全等。
真
2.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它
具有“若p则q”的形式。p
q
p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式也可写成“如果p,那么 q” ,
“若p则q”形式的命题的书写
对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添 补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。
如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。
写成“若p则q”的形式为：
公理和公理系统
不加定义的原始概念称为基本概念；不加证明而 承认的命题称为公理。
公理系统中的公理应满足的三个条件： （1）相容性：同一公理系统中的公理本身不能矛盾，
由公理推导的结果也不能矛盾 （2）独立性：任一公理不能由其它公理推出 （3）完备性：该系统中的全部命题均可推出而不能
借助直观
公理化方法与欧几里得的《几何原本》
• 明确定理的条件和结论：中学数学命题大部分是 以充分条件形式出现的，要对命题的结构进行分 析，使分清已知条件和结论
例如： “角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”
如果一点在一个角的平分线上，那么这点到 这个角的两边的距离相等
1. 数学命题的教学设计应凸现 （1）数学猜想的形成过程， （2）数学证明的探索发现过程。
• 了解什么是公理：它的真实性不能由逻辑推理来确 定，是人们长期实践的总结，是数学的基石或出发 点。
• 体会引入公理的必要性：如果没有公理的引入，则 进一步的推理便无法进行。
• 引入公理的过程，可通过对实际事物的观察，进行 一定的实验和检验，得出结论。从而对公理的真实 性确信不疑，便于我们对公理的理解和记忆和运用。
判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定 理。
性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。
引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个 或几个“小定理”。
推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。
定理的教学
• 了解定理的由来：在教学过程中一般不先提出命 题的内容，最好通过实验、演算等手段，先让自 己思考，估计出命题的内容，然后再去论证。
• 数学问题的解决，每前进一步都离不开定理和公 式；
• 有效的数学命题教学，将有助于学生牢固地掌握 数学知识结构，有助于解决问题能力的提高，有 助于数学思维的发展。
数学命题的定义
• 用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题。
• 判断为真的语句叫做真命题。 • 判断为假的语句叫做假命题。
六公共 十设十 五、三 条一卷 命百， 题一包
十括 九五 个条 定公 义理 和、 四五 百条
例1：公理 “经过两点有一条直线，并且只 有一条直线。”
用实验法探究：即过一个点作直线，再过 两个点作直线，然后总结出规律。在教学中， 我们这个过程应自己动手，在纸上实践，尝试 过三个点作直线情况，这样便得出，过一个点 有无数条直线；过两点有一条直线；过三个点 未必有直线，
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句叫做命题。
例：判断一个语句是不是命题？
1) 7是23的约数吗? 2) X>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
疑问句 开语句 祈使句
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是 否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个 条件。
有些语句中含有变量，变量的值不确定，无法 判断语句的真假，这样的语句叫开语句。
若两平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
数学命题的四种形式及其关系 为了更好地研究数学命题：若p则q，有必
要研究命题的四种形式及其关系
• 命题的四种形式： （1）原命题：p→q； （2）逆命题：q→p； （3）否命题：┐p→┐q； （4）逆否命题：┐q→┐p。
四种命题之间的相互关系
原命题
若p 则q 互
必须承认，直 觉是不可靠的 欧几里得
Euclid (ca. 325-ca. 270BC)
《原本》(Elements)
•第1卷：23个定义、公理、公设 •第1、3、4卷：平面几何内容 •第2卷：几何代数内容 •第5卷：比例理论 •第6卷：比例理论的几何应用 •第7、8、9卷：数论的内容
•第10卷：不可公度量 •第11、12、13卷：立体几何及穷竭法
的对角线互相平分。
真
逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它
是平行四边形。
真
否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的
对角线不互相平分。
真
逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，
则它不是平行四边形。
真
数学命题的获得通常采用两种方式：一种方式
是命题的接受学习，即直接向学生呈现要学习的新 命题，学生利用己有的认知结构中有关知识来理解 新命题；另一种方式是命题的形成学习，即通过考 察大量同类事物，进行实验、观察、推理、归纳， 猜想等发现新命题。形成对应的学习方式是发现式.
数学命题及其教学
主讲人
讲座内容
• 命题(Proposition)之重要性 • 数学命题的定义和结构 • 数学命题的四种形式及其关系 • 数学公理、定理、公式教学和教法探讨
数学命题的重要性
• 数学学科是由概念、公理、定理、公式等所组成 的严密的逻辑系统。正是数学命题将概念联系起 来，逐步形成完整的数学学科；
例1、看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？ 2) 你是不是作业没交？ 3) 这里景色多美啊！ 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。
不是（疑问句） 不是（疑问句） 不是（感叹句） 是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句）
数学命题的形式： 若p则q形式
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”
例2：公理 “在所有连接两点的线中，线段最 短”
课本上采用把连接两点的曲线、折线拉直， 与线段比较的办法。
关于定理 ：
➢ 定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运
用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。
• 定理的结构：条件（题设或已知）、结论（题断或 求证）
逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定 理的逆定理。
否
否命题
若p 则 q
互逆 互逆
逆命题
若q 则p 互
否
逆否命题
若q 则p
➢ 例子：
1.原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角
形等积。
真
逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角
形全等。
假
否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三
角形不等积。
假
逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个
三角形不全等。
真
2.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它
具有“若p则q”的形式。p
q
p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式也可写成“如果p,那么 q” ,
“若p则q”形式的命题的书写
对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添 补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。
如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。
写成“若p则q”的形式为：
公理和公理系统
不加定义的原始概念称为基本概念；不加证明而 承认的命题称为公理。
公理系统中的公理应满足的三个条件： （1）相容性：同一公理系统中的公理本身不能矛盾，
由公理推导的结果也不能矛盾 （2）独立性：任一公理不能由其它公理推出 （3）完备性：该系统中的全部命题均可推出而不能
借助直观
公理化方法与欧几里得的《几何原本》
• 明确定理的条件和结论：中学数学命题大部分是 以充分条件形式出现的，要对命题的结构进行分 析，使分清已知条件和结论
例如： “角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”
如果一点在一个角的平分线上，那么这点到 这个角的两边的距离相等
1. 数学命题的教学设计应凸现 （1）数学猜想的形成过程， （2）数学证明的探索发现过程。
• 了解什么是公理：它的真实性不能由逻辑推理来确 定，是人们长期实践的总结，是数学的基石或出发 点。
• 体会引入公理的必要性：如果没有公理的引入，则 进一步的推理便无法进行。
• 引入公理的过程，可通过对实际事物的观察，进行 一定的实验和检验，得出结论。从而对公理的真实 性确信不疑，便于我们对公理的理解和记忆和运用。
判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定 理。
性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。
引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个 或几个“小定理”。
推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。
定理的教学
• 了解定理的由来：在教学过程中一般不先提出命 题的内容，最好通过实验、演算等手段，先让自 己思考，估计出命题的内容，然后再去论证。
• 数学问题的解决，每前进一步都离不开定理和公 式；
• 有效的数学命题教学，将有助于学生牢固地掌握 数学知识结构，有助于解决问题能力的提高，有 助于数学思维的发展。
数学命题的定义
• 用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题。
• 判断为真的语句叫做真命题。 • 判断为假的语句叫做假命题。
六公共 十设十 五、三 条一卷 命百， 题一包
十括 九五 个条 定公 义理 和、 四五 百条
例1：公理 “经过两点有一条直线，并且只 有一条直线。”
用实验法探究：即过一个点作直线，再过 两个点作直线，然后总结出规律。在教学中， 我们这个过程应自己动手，在纸上实践，尝试 过三个点作直线情况，这样便得出，过一个点 有无数条直线；过两点有一条直线；过三个点 未必有直线，
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句叫做命题。
例：判断一个语句是不是命题？
1) 7是23的约数吗? 2) X>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
疑问句 开语句 祈使句
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是 否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个 条件。
有些语句中含有变量，变量的值不确定，无法 判断语句的真假，这样的语句叫开语句。
若两平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
数学命题的四种形式及其关系 为了更好地研究数学命题：若p则q，有必
要研究命题的四种形式及其关系
• 命题的四种形式： （1）原命题：p→q； （2）逆命题：q→p； （3）否命题：┐p→┐q； （4）逆否命题：┐q→┐p。
四种命题之间的相互关系
原命题
若p 则q 互
必须承认，直 觉是不可靠的 欧几里得
Euclid (ca. 325-ca. 270BC)
《原本》(Elements)
•第1卷：23个定义、公理、公设 •第1、3、4卷：平面几何内容 •第2卷：几何代数内容 •第5卷：比例理论 •第6卷：比例理论的几何应用 •第7、8、9卷：数论的内容
•第10卷：不可公度量 •第11、12、13卷：立体几何及穷竭法
的对角线互相平分。
真
逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它
是平行四边形。
真
否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的
对角线不互相平分。
真
逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，
则它不是平行四边形。
真
数学命题的获得通常采用两种方式：一种方式
是命题的接受学习，即直接向学生呈现要学习的新 命题，学生利用己有的认知结构中有关知识来理解 新命题；另一种方式是命题的形成学习，即通过考 察大量同类事物，进行实验、观察、推理、归纳， 猜想等发现新命题。形成对应的学习方式是发现式.
数学命题及其教学
主讲人
讲座内容
• 命题(Proposition)之重要性 • 数学命题的定义和结构 • 数学命题的四种形式及其关系 • 数学公理、定理、公式教学和教法探讨
数学命题的重要性
• 数学学科是由概念、公理、定理、公式等所组成 的严密的逻辑系统。正是数学命题将概念联系起 来，逐步形成完整的数学学科；