椭圆及其标准方程教案设计

椭圆及其标准方程

一、学情分析

学生在必修Ⅱ中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。

二、教材内容分析

《椭圆及其标准方程》是人教版教科书（选修）数学1-1第2章《圆锥曲线与方程》第二节内容。本节在教材中的地位和作用：椭圆及其标准方程在本章节是非常重要的部分，起着总领全章的作用。而圆锥曲线是高考的重点，也是教学的重点。而且本章节的内容和生活实践的联系也比较紧密，是培养学生把数学知识应用到实际生活的能力的重要章节。本章节的教学还有利于培养学生的数形结合的能力。因为椭圆，双曲线以及抛物线有相类似的性质，教学中只要真正的把椭圆的性质讲透了，那其它两部分的教学也就事半功倍了。

二、教学设计思想

为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。

三、教学目标

（一）知识与技能

1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义。

2、掌握椭圆标准方程的推导过程。

3、建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程。

（二）过程与方法

通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力。

（三）情感态度、价值观

通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。

四、教学重点和难点

重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导。

难点：椭圆标准方程的推导和化简。

关键点：抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。

教学方法：主要采用探究实践、启发与讲练相结合

五、教学基本流程

（一）动手实验，亲身体会

阅读教材第43页探究1的内容，按着步骤动手画图（教师巡视指导，展示学生成果）

思考1：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？

思考2：如果调整细绳两端的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化?

师：同学们，看到老师写的标题，大家想知道什么呢？

生：椭圆。（有些会说是标准方程，这时老师：是什么的标准方程呢，椭圆）。椭圆椭圆，从字面来看，同学们会想到什么图形呢？

师：大家对圆应该不那么陌生吧。请大家告诉我：圆的定义是什么？

生：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。

师：那么，大家想想，画圆的时候我们有什么工具呢？

师生：圆规。

师：那画椭圆呢，（稍停顿）有没有椭圆规呢。

生：没有椭圆规，还没发明。

师：不用椭圆规，这里老师有一个办法可以画出椭圆，请同学们把课前准备的绳子拿出来。并翻到课本23页，按着探究1的步骤动手画一画，待会同学

们在画图的过程中，要认真观察你画出来的是什么图形，图形上的点要满足什么条件？下面同桌两个人一组，动动手。

师：（教师巡视）两个同学，一个同学把绳子的两端固定好，另一个同学用笔尖把绳子拉紧并在纸上慢慢地移动。

师：好，这个小组已经画好了，她们画出来的是什么图形呢？ 师、生：是一个椭圆。

师：还有哪个小组来展示一下自己的成果。.....好，大家一起来看看，她们画出的是什么图形？为什么会出现这种现象呢？

（二）分析实验，得出规律

活动：教师用多媒体演示画图的整个过程，之后与学生探讨在华椭圆的过程中能得到什么规律。

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ (2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ (4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？ 学生总结规律：1212||||||MF MF F F 轨迹为椭圆； 1212||

||||MF MF F F 轨迹为线段 ； 1212||

||||MF MF F F 轨迹不存在。

【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备。

师：刚才在画图的过程中，我们发现这两个点（F 1、F 2）是固定的还是移动的？ 生：固定的。

师：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 生：没有变，到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数。

师：我们可以另它为2a 。我想找一位同学来当我的助手，同学们要认真观察我们画出来的是什么图形。当定长>两定点距离的时候会画出来什么图形呢？

212|||||MF F F 椭圆）师：那如果改变两定点距离的大小，轨迹又是什么呢？212|

||||MF F F 线段）两定点距离的时候又会画出怎么样的图形呢？212|

||||MF F F 轨迹不存在 ）

（三）总结归纳，形成概念

师：下面同学们思考一个问题：我们学习过圆的方程，大家一起来回顾一下求圆的方程的基本步骤有哪些？

学生2：建立直角坐标系、设点、寻找等量关系列出方程、化简方程、检验。教师：很好。接下来我用这个步骤来求出椭圆的标准方程，首先是建立直角坐标系，诶，问题来了，我们该如何选取坐标系呢，那么就请同学们互相讨论一下，看看到底应该怎样建立直角坐标系，才能使我们接下来的化简比较加容易呢？待会我请几个同学来回答。

师：哪位同学能和大家说说，***，你是怎么想的呢？

学生1：把F1、F2建在x轴上，以F1、F2的中点为原点。

师：很好，请坐！其他同学，还有不同的观点吗？