【新教材】新人教B版 高中数学必修一 集合 课件
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人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件3：1.2 集合间的基本关系
[微体验] 1．思考辨析 (1)空集可以用表示．( ) (2)空集中只有元素0，而无其余元素．( ) 答案 (1)× (2)×
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0}
B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x＞4}
解析 满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x|x＞8，且x＜5}＝∅. 答案 B
答案 C B A
课堂互动探究
探究一 集合关系的判断
例 1 (1)已知集合 M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合 M 与 N 的关系是( )
A．M＝N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．N M
C．M N
D．N⊆M
解析 解方程 x2－3x＋2＝0 得 x＝2 或 x＝1，则 M＝{1,2}，
因为 1∈M 且 1∈N,2∈M 且 2∈N，所以 M⊆N.
探究二 子集、真子集问题
例 2 已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，写出满足 A⊆C⊆B 的集合 C 的所有可能情况．
解 由 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1,2,3,4,5}， 又因为 A⊆C⊆B，即{1,2}⊆C⊆{1,2,3,4,5}， 所以 C 中至少含有元素 1,2，故 C 的所有可能情况是： {1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}，共 8 个．
A．M⊆P
B．P⊆M
C．M＝P
D．M，P互不包含
解析 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含． 答案 D
【新教材】新人教B版 高中数学必修一 基本不等式 课件(26张)
这4个直角三角形的面
E
积之和是___2_a_b____，
b
B
S> 正 方 形 A B C D
4S直 角 三 角 形 ，
即a2b2 2ab.
2. a 2 b2 2ab成 立 吗 ？
提示: 当且仅当a=b时，等号成立， 即 a2b22a b 成 立 .
【提升总结】
一般地，对于任意实数a，b，我们有a2 b2 2ab,
也就是a＋4 b<1 可得)，所以
a＋b
a＋b >2>
ab.而 y＝
log 1 x 为减函数，故 Q>P>M.
2
3.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是( C )
A. 2ab ＜a b＜ ab ab 2
B. a b 2ab ab 2 ab
C. a b＞ ab＞ 2ab
2
ab
D. ab＜ 2ab ＜a b ab 2
a
a
a1的最小值是2 ×
a
a0 √
2 . 若 0 x 1 ， 则 由 x ( 1 x ) x ( 1 x ) 1 得 22
x(1x)的最大值是1 √
2 和定积最大
探究点2 利用基本不等式证明简单的不等式
例 已知 a>0,b>0,a+b=1, 求证： (11)(1 1) 9.
ab 分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母， 直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号 方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现 “1”的代换？
4. （ 2015 · 陕 西 高 考 ） 设 f (x) ln x, 0 a b ， 若
p f(
ab) ，q
f
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语：集合及其表示方法pptx课件新人教B版必修第一册
5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有
限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空 集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然 数集，记作N；
在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或 N＋；
所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
知识点三 集合的表示 1．列举法：把集合中的元素_一__一_列__举__出来(相邻元素之间用逗号分 隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做___列__举_法__．
2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合 A的一个特征性质 ．此时，集合A可以用它的特征性质 p(x)表示为 {x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述 法．
12≤x<5}＝
− 1 ，5
2
.
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，
1)∪ 2，3 .
课堂探究•素养提升
题型1 集合的概念[经典例题]
例1 下列对象能构成集合的是( )
①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；
②所有的钝角三角形；
③2019年诺贝尔经济学奖得主；
图形等； (3)不能出现未被说明的字母．
知识点四 区间及其表示 1．区间的几何表示
定义 {x|a≤x≤b}
名称 闭区间
{x|a＜x＜b}
开区间
高中数学第一章集合1.2.2.1交集与并集课件新人教B版必修1
12
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
名师点拨1.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并 集中只出现一次.
2.对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能仅认为A∩B中的任一元素 都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含 义,这就是定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型二
两个集合的并集运算
【例2】 求下列各对集合的并集: (1)A={x|x2-5x+4=0},B={x∈N|0<x<5}; (2)C={x|-4<x<8},D={x|-5≤x≤6}; (3)E={菱形},F={正方形}. 分析:(1)先化简两个集合,再通过观察可得;(2)借助数轴观察分 析;(3)由特征性质分析求得. 解:(1)由已知得A={x|x25x+4=0}={1,4},B={x∈N|0<x<5}={1,2,3,4},故A∪B={1,2,3,4}; (2)结合数轴分析, 可得C∪D={x|-5≤x<8}; (3)由已知得E∪F={菱形}.
2.能使用Venn图表示集合之间的运算,体会直观图示对理解抽象 概念的作用.
3.理解集合的交集、并集运算的性质,并能简单应用.
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知识梳理
HISHI SHULI
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件4：1.1 第1课时 集合的概念
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _N__ __N__＋_或__N_*_ _Z__
_Q__
_R__
[题型探究] 题型一 集合的基本概念 例1 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； 解 “高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合. (2)不超过20的非负数； 解 任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”， 即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故 “不超过20的非负数”能构成集合；
[预习导引]
1.元素与集合的概念 (1)集合：把一些能够 确定的不同的对象看成一个整体，就说这个 整体是由这些对象的全体 构成的集合(或集). (2)元素：构成集合的 每个对象 叫做这个集合的元素. (3)集合元素的特性： 确定性、 互异性 .
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
如果 a是集合A 的元素， 属于
[即时达标]
1.下列能构成集合的是( C ) A.中央电视台著名节目主持人 C.上海市所有的中学生
B.我市跑得快的汽车 D.香港的高楼
【解析】A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.
2.已知1∈{a2，a}，则a＝__-_1___.
【解析】当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性 知a＝－1.
【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.
4.已知① 5∈R；②13∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.
【解析】序号 Biblioteka 否构成集合理由(1)
能
其中的元素是“三条边相等的三角形”
“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以
(2)
不能
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第一章集合与常用逻辑用语章末复习课
【例1】 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元
素的个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1
B.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.5
D.9
解析 (1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素， 故选C. (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y ＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x －y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时， x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个. 答案 (1)C (2)C
【训练4】 (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为 ________. (2) 若 － a<x< － 1 成 立 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 － 2<x< － 1 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ________.
解析 (1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当 a＝0 时，方程无解；当 a≠0 时，x＝－1a. 由题意知p q，q p，故a＝0舍去；
当 a≠0 时，应有－1a＝2 或－1a＝－3，解得 a＝－12或 a＝13. 综上可知，a＝－12或 a＝13. (2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－2<x<－1} {x|－a<x< －1}，故有a>2. 答案 (1)－12或13 (2)a>2
新教材人教B版高中数学必修第一册全册精品教学课件 共723页
(empty set)，记作 ∅ .
知识点五 集合的分类 (1)有限集； (2)无限集． 知识点六 几个常用数集的固定字母表示
知识点七 集合的表示方法
集合常见的表示方法有： 自然语言
、列举法 、 描述法 、
“区间” (以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方
法)． (1)列举法：把集合中的元素 一一列举
[解析] ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． ②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成 集合． ③不能构成集合．因“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定， 故不能构成集合． ④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”． ⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于 1 的点”．
2．集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的 “点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义， 因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可 以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合及其表示方法 1.1.2 集合的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.2.3 充分条件、必要条件
第二章 等式与不等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.1.3 方程组的解集 2.2.1 不等式及其性质 2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用
2021_2022学年新教材高中数学1.1.1第2课时集合的表示方法课件新人教B版必修第一册
自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…},称为尾端省略列举.
(6)这里集合的“{ }”已包含“所有”的意思.例如:{整数},即代表整数集Z,所
以不能写成{全体整数}.
微思考
用列举法可以表示无限集吗?
提示 可以.但构成集合的元素必须具有明显的规律,并且表示时要把元素
间的规律呈现清楚,如正整数集N+可表示为{1,2,3,4,5,6,…}.
②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示的是该函数
的函数值构成的集合.由图易知(图略),y≥1,该集合就是{y|y≥1}.
③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足y=x2+1的有序
实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.
系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关
注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
延伸探究(1)本例中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.
(2)本例中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.
≠ 0,
解 (1)由题意得
= (-8)2 -4 × × 16 > 0,
2021
第一章
第2课时 集合的表示方法
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法.(数学抽象)
2.能够利用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(直观想象)
3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集
(6)这里集合的“{ }”已包含“所有”的意思.例如:{整数},即代表整数集Z,所
以不能写成{全体整数}.
微思考
用列举法可以表示无限集吗?
提示 可以.但构成集合的元素必须具有明显的规律,并且表示时要把元素
间的规律呈现清楚,如正整数集N+可表示为{1,2,3,4,5,6,…}.
②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示的是该函数
的函数值构成的集合.由图易知(图略),y≥1,该集合就是{y|y≥1}.
③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足y=x2+1的有序
实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.
系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关
注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
延伸探究(1)本例中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.
(2)本例中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.
≠ 0,
解 (1)由题意得
= (-8)2 -4 × × 16 > 0,
2021
第一章
第2课时 集合的表示方法
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法.(数学抽象)
2.能够利用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(直观想象)
3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集
新教材高中数学第一章集合的表示方法课件新人教B版必修第一册ppt
4－x＝－1
4
时，4－x
＝－4∈Z，x＝5∈N；
4－x＝－4 时，4－4 x ＝－1∈Z，x＝8∈N；
4－x＝－2
4
时，4－x
＝－2∈Z，x＝6∈N.
综上，A＝{0，2，3，5，6，8} .
答案：{0，2，3，5，6，8 }
1．用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点 (1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么． (2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．
当 a，b 为正数，c 为负数时，x＝－1；
当 b，c 为正数，a 为负数时，x＝－1；
当 a 为正数，b，c 为负数时，x＝1；
当 b 为正数，a，c 为负数时，x＝－1；
当 c 为正数，a，b 为负数时，x＝1； 当 a，b，c 全为负数时，x＝1. 故 x 的所有可能取值构成的集合为
{－1，1，3，－3} . 答案：{－1，1，3，－3 }
【思考】 {(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？ 提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的 元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．
3．区间及其表示 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下：
【补偿训练】
设 a，b，c 为非零实数，则 x＝|aabb| ＋|bbcc| ＋|aabbcc| 的所有可能取值构成的集合为_____．
【解析】因为 a，b，c 为非零实数，
|ab|
【新教材】2021学年高中数学人教B版必修第一册课件：2.2.1+不等式及其性质
A．a2>－a3>－a
B．－a>a2>－a3
C．－a3>－a>a2
D．a2>－a>－a3
解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，
a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3.故选B．
2 ． 给 出 下 列 不 等 式 ： ①a2 ＋ 2>2a ； ②a2 ＋ b2≥2(a － b － 1) ； ③a2 ＋
必备知识·探新知
基础知识
1．不等关系与不等式 (1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换.
大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不小于 不大于
><
≥
≤
≤≥ ≥
≤
(2)不等式的定义：含有__不__等__号___的式子．
思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与“a＝b”同 时成立时，该不等式才成立，是吗？
误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件， 如“非负乘方保序”．还应特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”等 情况．
学科核心素养
典例剖析
用不等式(组)表示不等关系
构造不等式模型时，先要分析题目中有哪些未知量，然后选择其中 起关键作用的未知量，再根据题目中的不等关系，即可列出不等式．注 意不等式与不等关系的对应，要不重不漏，尤其要检验实际问题中变量 的范围．
(2)已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值 范围．
思路探究：(1)求a－b的取值范围时，应先求出－b的范围，再利用不 等式的性质求解．(2)用f(1)和f(2)表示出a，c.
【新教材】2021学年高中数学人教B版必修第一册课件：1.1.3+第2课时+补集及其应用
解析：(1)因为U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，所以A＝{0,1,3}，所以集合 A的真子集共有7个．
(2)借助数轴得∁UA＝{－3}∪(4，＋∞)．
类型 二
典例剖析
交集、并集、补集的综合运算
典例 2 (1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－
3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. (2)全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B
解析：因为A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}， 我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围， 在数轴上表示集合A，B，如图所示．
由aa≤2＋21，≥4，
a≤2， 得a≥ 3或a≤－
3.
故 a≤－ 3或 3≤a≤2，
即 A∩B＝∅时，a 的取值范围为{a|a≤－ 3或 3≤a≤2}，
故 A∩B≠∅时，a 的取值范围为{a|a>2 或－ 3<a< 3}．
易混易错警示
典例剖析
忽视全集
典例 5 已知集合A＝{x|x2－4mx＋1＝0，x∈R}，B＝(－∞，0)，若 A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
错因探究：本题容易忽略全集的范围，误认为 U＝R，从而得到错误 答案：实数 m 的取值范围是 m<12.
(2)方法一：根据题意作出维恩图如图所示． 由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}． 方法二：∵(∁UB)∩A＝{1,9}， (∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}． 又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}． ∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}． ∴A＝{1,3,9}．
高中数学(人教B版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】
在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言
可以表示为：
{(x，y) | y=0}∩{(x，y) | x=0}={(0,0)}.
从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出
一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为
交集运算.
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：
sF=M，
sM=F.
例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则
UA={2，4，6}.
注意，此时UA仍是U的一个子集，因此U（UA）也是有意
义的，此例中的U（UA）={1，3，5}=A.
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下
性质：
A∪(UA)=U；
英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，
需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，
可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合
N.
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的
集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.
两个集合的并集可用图（1）或（2）所示的阴影部分形象地表
可以看出，集合S 中的元素既属于集合P，又属于集合M.
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素
（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，
读作“A交B ”.两个集合的交集可用下图所示的阴影部分形象地表
示.
因此，上述情境与问题中的集合满足P∩M=S.
例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；
A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.
可以表示为：
{(x，y) | y=0}∩{(x，y) | x=0}={(0,0)}.
从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出
一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为
交集运算.
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：
sF=M，
sM=F.
例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则
UA={2，4，6}.
注意，此时UA仍是U的一个子集，因此U（UA）也是有意
义的，此例中的U（UA）={1，3，5}=A.
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下
性质：
A∪(UA)=U；
英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，
需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，
可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合
N.
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的
集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.
两个集合的并集可用图（1）或（2）所示的阴影部分形象地表
可以看出，集合S 中的元素既属于集合P，又属于集合M.
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素
（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，
读作“A交B ”.两个集合的交集可用下图所示的阴影部分形象地表
示.
因此，上述情境与问题中的集合满足P∩M=S.
例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；
A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.
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(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒ A⊆C ； (3)A∪A＝A∩A＝ A ，A∪∅＝ A，A∩∅＝ ∅ ，∁UU＝ ∅ ，∁U∅＝ U.
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是 正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是 集合与集合的包含关系．
A，y∈A}中元素的个数为
()
A．3
B．6
C．8
D．9
解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，
(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
答案：D
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
考点三 集合的基本运算 [锁定考向] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域
并集
属于集合A _或__属于集 合B的元素 组成的集合
{x|x∈A， 或x∈B}
图形语言
记法 _A__∩__B__
_A_∪__B__
表示 文字语言 符号语言
运算
图形语言 记法
补集
全集U中不__ 属于集合A 的元素组成 的集合
{x|x∈U， x ∉ A}
ห้องสมุดไป่ตู้
_∁_U_A__
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即 A⊆A ；
1．集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性： 确定性 、无序性 、 互异性 ．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为 ∉ . (3)集合的三种表示方法：列举法 、 描述法、 图示法 ． (4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
_N__
_N_*_或N＋ _Z_
_Q__
_R_
2．集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
符号语言 记法
集合A的 元素都是 x∈A⇒
基 子集
集合B的元素
x∈B
本
集合A是集合B的子 A⊆B，且 关
系 真子集 集，且集合B中_至__少_ ∃x0∈B，
有一个元素不属于A x0∉A
A⊆B或 _B_⊇__A_
A___B或 BA
表示 关系
文字语言
相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集 合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处 理问题的能力．
常见的命题角度有： (1)集合的运算； (2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．
[通法在握]
解集合运算问题4个技巧
看元素构 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成 成 入手是解决集合运算问题的关键
符号语言
基
本
集合A，B的元素完
相等
关
全_相__同__
系
A⊆B， B⊆A
空集
_不__含_任何元素的集 合．空集是任何集 合A的子集
∀x，x∉∅， ∅⊆A
记法 _A_＝___B_
∅
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言 符号语言
交集
属于集合A _且__属于集 合B的元素 组成的集合
{x|x∈A， 且x∈B}
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本 身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心． 5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异
性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
考点一 集合的基本概念 [题组练透]
1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈
对集合化 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并 简 进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
创新性问 以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以
题
深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应
数学知识来解决
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