第30届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,无答案)
中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]
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CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。
2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。
已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。
ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。
试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。
4.所有结点上数的总和S。
3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。
结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。
4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。
5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。
如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。
6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。
1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
+1 ∴ cos(n + 1)θ − cos nθ − 1 = −(2 sin 2n2 θ sin θ 2 + 1) = 0. +1 sin(n + 1)θ − sin nθ = 2 cos 2n2 θ sin θ 2 = 0. +1 +1 1 θ ∴ cos 2n2 θ = 0, sin 2n2 θ = ±1, sin θ 2 = ± 2 , 设 2 = ϕ. π (1)sin ϕ = 1 2 ,sin(2n + 1)ϕ = −1. ϕ = 2kπ + 6 或2kπ + 5π 6 ,k
设t = 5s + 3,则n = 6s + 4,总有6|n + 2. (2)sin ϕ = − 1 2 ,sin(2n + 1)ϕ = 1.显然以−ϕ代ϕ即有(1).所以6|n + 2.证毕. 2.把边长为1的正三角形ABC 的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线, 将这三角形分成若干个 小三角形,这些小三角形的顶点都称为结点, 并且在每一结点上放置了一个实数.已知: (1)A, B, C 三点上放置的数分别为a, b, c. (2)在每个由有公共边的两个最小三角形组成的菱形之中, 两组相对顶点上放置的数之和相等. 试求:(1)放置最大数的点和放置最小数的点之间的最短距离. (2)所有结点上数的总和S . 解:(1)不难证明同一直线上相邻三个结点上放置的数中间一个为两边的等差中项,所以同一直线上的数 按顺序成等差数列. 若两端的数相等,则所有的数都相等.否则两端的数为最大的和最小的. 若a, b, c相等,显然所有数都相等,最短距离显然为0. 若a, b, c两两不等,最大的数与最小的数必出现在A, B, C 上,最短距离为1. 若a, b, c有两个相等但不与第三个相等,不妨设a = b > c,最小的数为c,最大的数出现在线段AB 的任意 结点上. 当n为偶数时,与C 最近的为AB 中点,最短距离为
2013年中国数学奥林匹克竞赛(2013CMO)
max{| x − (a − d ) |,| y − a |,| z − (a + d ) |} > td
第二天
考试时间 2013.01.13 8:00~12:30
四、给定整数 n ≥ 2 ，设 n 个非空有限集 A1 , A2 , , An 满足：对任意 i, j ∈ {1, 2, , n} ，由
| Ai ∆Aj |= | i − j | ，求 | A1 | + | A2 | + | An | 的最小值
（这里， |X| 表示有限集合 X 的元素个数：对于集合 X，Y 规定
X ∆Y = {a | a ∈ X , a ∉ Y } ∪ {a | a ∈ Y , a ∉ X } ）
i 五、对正整数 n 及整数 i (0 ≤ i ≤ n) ，设 Cn ≡ c(n, i ) (mod 2) ，其中 c(n, i ) ∈ {0,1} ，并记
C
B
CB 交 K 2 于点 F。设线段 CD、EF 的中垂线分 别为 l1 , l2 ，证明： （1） l1 与 l2 相交
F E M
P
（2）若 l1 与 l2 的交点为 P，则三条线段 CA、AP、PE 能构成一个直角三角形
二、确定所有由整数构成的非空集合 S， 满足： 若 m, n ∈ S（m， n 可以相同） ， 则 3m − 2n ∈ S 三、求一切正实数 t ，具有下述性质：存在一个由实数组成的无限集合 X, 使得对任意 ，亦即任意实数 a 与正实数 d，均有 x, y, z ∈ X （这里 x，y，z 可以相同）
2013 年中国数学奥林匹克竞赛（2013CMO）
第8:00~12:30
一、如图，两个半径不相等的圆 K1 与 K 2 交于 A、B
中国数学奥林匹克竞赛CMO模拟题13套
(2013CMO－模拟测试 7－4) 给定圆内接五边形 ABCDE，满足 AC∥DE，M 是 BD 中点，证明：如果∠AMB=∠BMC，则 BE 平分 AC。
(2013CMO－模拟测试 7－5) 考虑方程：[x]3+x2=x3+[x]2；[x3]+x2=x3+[x2]。证明：第一个方程的解为整数，第二个方程有非整数解。
k
l
2kl
的个数至少为 2 Ckk+l。 k+l
(2013－模拟测试 2－1) △ABC 边 AB 的旁切圆与以 BC 为直径的圆相切。如果 BC、CA、AB 的长构成等差数列，求∠ACB。
(2013CMO－模拟测试 2－2) 如果 a,b,c 是整数使得 a(a-b)+b(b-c)+c(c-a) 是一个完全平方数，证明：a=b=c。
(2013CMO－模拟测试 3－3) 一个有限数集中的所有数的和称为它的元素和。任意给定不同自然数 a1,a2,…,am，证明：存在不同的自 然数 b1,b2,…,bn,n≤m，满足下面两个条件：(1){b1,b2,…,bn}的每个子集有不同的元素和；(2) a1,a2,…,am 中每一个数都是{b1,b2,…,bn}某个子集的元素和。
f(y) f(x) 值域。
(2013CMO－模拟测试 3－1) 四边形 ABCD 内接于⊙O，DA 与 CB 交于 N，NT 切⊙O 于 T，对角线 AC 和 BD 的交点 P 是△NTD 的重 心。求 NT : AP。
(2013CMO－模拟测试 3－2) 求所有的正数 a 和 b 使得对任意自然数 n 有[a[bn]]=n-1。
(2013CMO－模拟测试 1－4) 梯形 ABCD 中 AB∥CD，CB 延长线上点 E，线段 AD 上点 F 满足∠DAE=∠CBF，令 I 表示 CD 和 EF 的 交点，J 表示 AB 和 EF 的交点，K 是线段 EF 的中点，且假设 K 不在直线 AB 上。证明：I、A、B、K 四 点共圆当且仅当 K、C、D、J 四点共圆。
中国数学奥林匹克 CMO 试题及其解答
数为λ，则λ|2 而λ ∤ 2 ，所以λ = 2 。又根据费马小定理知v ≡ 1(mod q)，所以
2 |q − 1。引理二得证。
下面借助引理证明原命题。
取n = 2 · … · k，其中q 、q 、 … 、q 为互异的奇素数，s ∈ N 。
一方面，根据ω(n)的定义知：
( )=
()
·
…
·
·
…·
≥
·
而 p，q = 1，所以μ = 1。于是知u ≡ −1(mod d) ⇒ d|u + 1。
综合两方面知d = u + 1，所以 u + 1，u + 1 = u + 1，引理一得证。
引理二：设v为大于1的正整数，q为v + 1的奇素因子，则2 |q − 1。
交流知识 共享智慧
文武光华
引理二的证明：根据条件知v ≡ −1(mod q) ⇒ v ≡ 1(mod q)。设v关于模q的阶
交流知识 共享智慧
文武光华
A
E(E') N
I
M F(F')
综上所述，命题得证。
B
DL
C
二、对大于1的正整数n，定义集合D(n) = a − b|n = ab，a、b ∈ N ，a＞b 。证明：
对任意大于1的整数k，总存在k个互不相同且大于1的整数n 、n 、 … 、n ，使得
|D(n )⋂D(n ) ⋂ … ⋂D(n )| ≥ 2。
A
E N
M
I
F
B
DL
C
（2）我们再证明充分性，即若BE + CF = BC，则△DEF 的外心与△ABC 的内心重合。 如图，以△ABC 的内心 I 为圆心，以 ID 为半径作⊙I，设⊙I 与 AB 的交点中离点 A 较 近的点为E′，⊙I 与 AC 的交点中离点 A 较远的点为F′。根据（1）的证明，知△IDL≌△ IF′M≌△IE′N，且E′在线段 AN 上，F′在线段 CM 上。于是知∠IDL = ∠IE N = ∠IF′M，所以 I、D、B、E′四点共圆，I、E 、A、F′四点共圆，所以∠AF E = ∠AIE = ∠ABD，所以
中国数学奥林匹克(cmo) 评分标准
中国数学奥林匹克(cmo) 评分标准
中国数学奥林匹克（CMO）评分标准是根据考试得分和答题质量来评定参赛选手的表现。
首先，对于每道题目，评分会根据参赛选手的答案的正确性进行评定。
如果答案完全正确，那么该题目将获得满分。
如果答案有一部分正确，但存在错误或遗漏，那么将根据错误的数量和严重程度进行适当的扣分。
如果答案完全错误，将不会得到任何分数。
其次，评分还会考虑解答的完整性和逻辑性。
即使答案基本正确，如果解答过于简单或不够详尽，也可能会被扣分。
另外，对于开放性题目，评分会根据解题思路的合理性来进行评定，而不仅仅是依靠最终答案。
最后，CMO评分标准还会考虑答题的时间和效率。
参赛选手需要在限定的时间内完成所有题目，因此，快速且准确地解答问题将获得额外加分。
总体而言，CMO评分标准注重考察参赛选手的数学能力和解题能力。
正确性、完整性、逻辑性以及时间效率是评分的重要指标。
通过这些标准，能够客观地评价参赛选手的表现，选出优秀的数学才能。
历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答
P3,三角形
ABC的
2
面积减小
,归为情形
(2).
(2)不妨设
P1在AB上,P2在AC上,P3;P4在BC上,P3在P4C上.
(2.1)若P1P2
.
BC,设
AP1
=
AP2
=
.,P1P2
=
.BC.P1P2到BC的距离为
=
|
.
xk
+i
.
yk|
.
.
xk
.
√
.
42
42
zk2Azk2Azk2Azk2Azk2A
√
而42
<
6,
∴
|
.
zk|
.
1
6
.
zk2A
即A中复数之和的模不小于
1
6
.证毕
.
+
￠￠·
+
anxn
.
a1x1
2
+
a2x2
2
+
￠￠·
+
anxn
2
;
(2)否则至少存在一个
ai
<
0,由对称性不妨设
a1
<
0.又因为
a1;a2;:::;an中任两数之和非负
,所
以ai
+
a1
.
0;ai
=
|
.
xk
+i
.
中国数学奥林匹克竞赛CMO模拟题13套
2012-2013年中国数学奥林匹克年中国数学奥林匹克(CMO)(CMO)(CMO)模拟试题十三套模拟试题十三套西西汇编（西西汇编（QQ QQ 群：群：148443562148443562148443562））(2012-2013CMO －模拟测试1－1)CH 是△ABC 中边AB 的高，且H 位于A 、B 之间。
P 和Q 分别是△AHC 和△BHC 的内心。
证明：四边形ABQP 是圆内接四边形当且仅当AC =BC 或∠ACB =90°。
(2012-2013CMO －模拟测试1－2)333,,,3,a b c R a b b c c a ∈++=设且求()()4444222222(,,)1000f a b c a b c a b b c a c =+++++的最小值。
(2013CMO－模拟测试1－3)设a,b是整数，k是自然数。
如果方程a k x-b k y=a-b有整数解x,y满足条件|x-y|=1，则|a-b|是一个整数的k 次幂。
(2013CMO－模拟测试1－4)梯形ABCD中AB∥CD，CB延长线上点E，线段AD上点F满足∠DAE=∠CBF，令I表示CD和EF的交点，J表示AB和EF的交点，K是线段EF的中点，且假设K不在直线AB上。
证明：I、A、B、K四点共圆当且仅当K、C、D、J四点共圆。
(2013CMO－模拟测试1－5)令S⊂R是一个实数集。
称两个S到S的函数f,g为S上的一个“好”对，如果它们满足：(1)f和g都是严格递增的；(2)对任意的x∈S，都有f(g(g(x)))<g(f(x))。
在S上是否存在“好”对？(a)S为正整数集；(b)S={a-1b:a,b∈N}。
(2013CMO－模拟测试1－6)令k和l是两个正整数。
M={x1,x2,…,x k+l}是一个由区间[0,1]上k+l个不同的数组成的集合，记集合A中元素和为S(A)。
一个k元子集A⊂M称为“好的”，如果|1kS(A)-1lS(M\A)|≤k+l2kl。