二次函数的图象分析

二次函数的图象分析

一、基本概念: 对于二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)

1．函数图象开口方向决定a的符号，开口向上，a>0，开口向下，a<0．

2．对称轴的位置决定a，b符号的异同，对称轴为，对称轴在x轴的负半轴时a，b同号，对称轴在x轴的正半轴时a，b异号．

3．函数图象与y轴的交点位置决定c的符号，当图象与y轴的交点在正半轴时c>0，交点在负半轴时c<0．

4．函数图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，由根与系数的关系知：，．

5．函数图象一般来说与x轴有交点，则．

二、基本类型

（一）对称轴不明确型

【例1】（20XX年非课改区中考试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，

0），且01 ②3a+b>0

③a+b<2 ④a<-1，其中正确的个数有（）

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

（二）基本方法

方法1：数形结合法

1．先确定a，b，c的符号，

2．根与系数的关系．

3．由特殊点列出等式与不等式．

4．灵活运用上述3个步骤中的条件逐步验证各个待定结论．

【解析】画出草图，如图，由图象可知：a<0，b>0，c＝－2，

∵0

两边同时乘以－a，得，－a0，结论③错误，由，得，两边同时乘以a，得0>－2>2a，∴a<－1，结论④正确，当x＝1时，y＝a＋b－2>0，故a＋b>2，结论③错误，当x＝2时，y＝4a＋2b－2<0，∴2a＋b<1，结论①也不对，故选A.

方法2:赋值法

∵0

＝，c＝－2，∴2a＋b＝+<1，3a＋b=＋<0，a＋b=＋>2，a＝<－1，容易验证只有一个结论是正确的，故选A.

点评：由于本题中x1，x2的范围限定得很窄，加上过一个定点，我们就可以从特殊值的角度来确定二次函数的y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式，将解析式中a，b，c的值求出，分别代入各待定结论中，加以验证，存真去伪，本法解题快捷，易于操作.

（三）对称轴明确型

【例2】（20XX年中考试题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴为x＝－1，交x轴的一个交点为（x1，0），且00 ②b0，其中正确的个数有（）

(A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个

【解析】画出大致草图如右，由图象可知：a>0，b>0，c<0，

由图象的对称性知，x＝－3时，y＝9a－3b＋c>0，

则结论①正确，∵对称轴是x＝－1，即，

∴b＝2a，b－a=2a－a=a>0，则b>a，结论②错误，当x=1，∴a＋b＋c>0，∵b=2a，

∴3a＋c>0，结论③正确.

∴①③正确.故选C.

函数与方程、不等式

函数与方程、不等式是初中代数的重要内容，在中考中占有相当大的比重，且在问题的设置上灵活多变，对于这些内容的考查大致可分为以下三种：

1.函数与方程、不等式的综合型题目

解决这类题目应重点关注一次函数、反比例函数和二次函数的图象与性质；要会用函数观点来理解方程与不等式；会利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解；会利用二次函数求一元二次方程的近似解；会通过观察图象比较两个函数值的大小.

2.函数与方程、不等式的实际应用型题目

代数中的应用型问题向来是中考解答题中的重要组成部分，通常以函数与方程的综合题为主，有时还可以与不等式的知识相结合，用来确定自变量的取值范围. 函数与方程的综合题中，二者的联系表现在：

（1）把求函数值，或由函数值求自变量的问题，转化为相应的方程问题；

（2）求函数的解析式，往往要根据题意列出方程或者方程组求解；

（3）以x为自变量的函数y，其图象与x轴（y轴）的交点问题，即为求当y=0（x=0）时的方程的解的问题；

（4）两个函数图象的交点问题，就是由两个函数解析式组成的方程组的解的问题.

解决这类问题要注意以下几点：

（1）应树立信心，抛开情节的束缚.因为这类题目实际上是套上实际背景的简单的纯数学问题；

（2）学会化简问题，面对一道实际应用问题应一边阅读一边思考，把相关的重要量、条件用线画出来；

（3）把关键的字、词、句中生活化的语言转化为数学语言.

3.函数、方程及不等式与几何的综合题

代数与几何的综合题是初中数学中涵盖面广、综合性最强的题型，一般题量较大，梯度明显，代数知识主要涉及方程、函数、不等式等；几何知识主要涉及三角形、四边形、相似形、圆等.

解决这类问题时要注意以下几点：

（1）宏观上进行总体把握.明确解题结果的终极目标和每一步骤的分项目标；把握概念的准确性和运算的准确性；注意条件的隐含性；（2）运用数形结合思想，设法从代数与几何的结合上找出思路，但要注意特殊性；

（3）富于联想，联系相关知识、相似问题与类似方法.

四边形中的二次函数问题

在四边形中确定二次函数解析式的问题是中考中常见的热点问题之一.这类问题巧妙地将代数、几何知识融为一体，一般通过“形”与“数”之间的对应、转化来解决.

【例1】（2005·广州）如图（1），某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B＝90°，AB＝100m，BC ＝80m，CD＝40m，现计划在上面建一个底面为矩形，面积为S的综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m.

（1）求边AD的长；

（2）设PA＝x（m），求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.

【分析】解决梯形问题时，常需添加适当的辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形.这道题我们也从这方面考虑.

解：（1）如图（2），过点D作DE⊥AB于点E，则DE∥BC，且DE＝BC，CD＝BE，DE∥PM.

在Rt△ADE中，DE＝80m，

AE＝AB－BE=100-40=60（m），