初升高自主招生考试数学试题

####二零一三年高中自主招生考试

数学试题

满分100分，时间120分钟

一、选择题（6个小题，每小题5分，共30分）

1．如图所示，某个装饰用的窗子是由一个矩形及两个半圆所组成的，AD与AB之比为3：2且AB=30公分．试问矩形的面积与两个半圆面积的和之比为（）

：3 ：2 ：π：π：π

2.图中的两圆有共同的圆心C，弦AD切小圆于B点，AC之长为10，且AD

之长为16．试问两圆之间所夹区域的面积为（）

πππππ

3.如图菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（）

°°°°

4.将长、宽、高分别为a，b，c（a＞b＞c，单位：cm）

的三块相同的长方体按图所示的三种方式放入三个底面

面直径为d（d＞a2+b2），高为h的相同圆柱形水桶中，

再向三个水桶内以相同的速度匀速注水，直至注满水桶

为止，水桶内的水深y（cm）与注水时间t（s）的函数

关系如图所示，则注水速度为（）

A．30cm2/s B．32cm2/s

C．34cm2/s D．40cm2/s

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的

顶点坐标分别为A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D（-1，1）．

以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）

A．（2010，2）B．（2010，-2）C．（2012，-2）D．（0，2）

6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论正确的是（）

|a|+|c|＞2|b| |a|+|c|=2|b|

|a|+|c|＜2|b| |a|+|c|≤2|b|

二.填空题（5个小题，每小题4分，共20分）

7.在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．

8.已知a=，则2a3+7a2-2a-12的值等于．

9.已知x、y是正整数，并且xy+x+y=23，x2y+xy2=120，则x2+y2= .

10.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 .

11.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．

题2图题3图

题5图题6图

题7图题10图题11图

三.解答题（4个小题，共30分）

12.（8分）①如图，点M、N在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N 作NF⊥x轴，垂足分别为E、F．试证明：MN∥EF．

②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图2所示，请判断MN与EF是否平行．

13.（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM•PN=PR•PS．14.（8分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，（1）求证：sinθ＝2S/kl；

（2）试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．

15.（8分）如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．

（1）判断△ABD的外接圆与△AE C的外接圆的位置关系，并证明你的结论；

（2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．

四.综合题（2个小题，共20分）

16.（11分）如图，AB、CD是半径为1的⊙P的直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧CQB 都相切，O、Q分别为PB、弧CQB上的切点．

（1）试求⊙M的半径r；

（2）以AB为x轴，OM为y轴（分别以OB、OM为正方向）建立直角坐标系；

①设直线y=kx+m过点M、Q，求k，m；

②设函数y=x2+bx+c的图象经过点Q、O，求此函数解析式；

③当y=x2+bx+c＜0时，求x的取值范围；

④若直线y=kx+m与抛物线y=x2+bx+c的另一个交点为E，求线段EQ的长度．17.（9分）如图已知抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，并与y轴交于点M，与x 轴交于点A和B．

（1）求出y=mx2+nx+p的解析式，试猜想出一般形式y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）；

（2）若AB中点是C，求sin∠CMB；

（3）如果一次函数y=kx+b过点M，且于y=mx2+nx+p相交于另一点N（i，j），如果i≠j，且i2-i+z=0和j2-j+z=0，求k的值．

备用图