2014上海中学自主招生数学试题-

2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷

一、填空题(8×9=72)

1.已知

111a b a b +=

+，则b a

a b

+=___________. 【变式】已知：114a b a b +=+，则b a

a b +=___________.

【变式】已知：114a b a b -=+，则b a

a b

-=___________.

【变式】已知：22114

a b a b

+=+，则22b a a b +

=___________.

1b +=

b

+=___________. 2.有________个实数x

.

【变式】x 为1,2,3，……，2014

x 有_______个. 【变式】x 为1,2,3，……，2014

x 有_______个. 【变式】有________个整数x

.

3.如图，在ABC ?中，AB AC CD BF BD CE ===，，，用含A ∠的式子表示EDF ∠，应为EDF ∠=_____________.

F

E

D

C

B

A

【变式】如图，在等腰直角ABC ?中，0

90,A ∠=AB AC CD BF BD CE ===，，，则

EDF ∠=_____________.

F

E

D

C

B

A

【变式】如图，在等腰直角ABC ?中，0

901A AB AC ∠===，，D E F 、、分别是边

BC CA AB 、、上的点，且CD BF BD CE ==，，则DEF S ?面积最大值为__________.

F

E

D

C

B

A

4.在在直角坐标系中，抛物线2

2

3(0)4y x mx m m =+-

>与x 轴交于A B 、两点，若A B 、两点到原点的距离分别为OA OB 、，且满足112

3

OB OA -=，则m =_________.

5.定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆A 且沿着圆A 的圆周滚动一周，若动圆B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r 共有______个可能的值.

6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有________人.

7.对于各数互不相等的正整数组()12n a a a ，，，(n 是不小于2的正整数)，如果在i j <时有

i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组()2,3,1,4中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，

“3,1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组()123456a a a a a a ，，，，，的逆序数为2，则

()654321a a a a a a ，，，，，的逆序数为___________.

8.若n 为正整数，则使得关于x 的不等式1110

2119

n x n <<+有唯一整数解的n 的最大值为______.

【变式】若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119

n x n <<+有唯一整数解的n 的最小值为______.

二、选择题(4×10=40)

9．已知2

12x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为( )

A. 3个

B. 4个

C. 6个

D. 8个

10．如图，D E 、分别为ABC ?的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作//DM BA 交l 于M ，作//EN CA 交l 于N ，设ABM ?面积为1S ，ACN ?面积为2S ，则( )

A. 12S S >

B. 12S S =

C. 12S S <

D. 1S 与2S 的大小与过点A 的直线位置有关

11.设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2

110x p x q ++=， 乙：2

220x p x q ++=，则 ( )

A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根

C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定

12．设222

22222

12310071231007,13520133572015

a b =+

+++=++++，则以下四个选项中最接近

a b -的整数为( )

A ．252 B.504 C. 1007 D. 2013

三、解答题(38分，13题18分，14题20分)

13.直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC (B D 、位于AC 的两侧)，M N 、分别是AC BD 、的中点，且M N 、不重合，

(1)线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论.

(2)若0

30BAC ∠=，0

45,4CAD AC ∠==，求MN 的长.

N

M

D

C

B

A

14.是否存在m 个不全相等的正数12(7)m a a a m ≥，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值，若不存在，说明理由.

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答案：1. ()2

1

,1,a b a b ab a b ab

++=?=+

()()2

2

2222121a b ab a b b a a b a b ab ab ab

+-+++===-=-=-.

事实上，这道题是一道错题：()2

1,1,a b a b ab a b ab

++=?=+注意了，()

24a b ab +≥，已知条件

就错了，同样结果也错了，

2b a b a a b a b +=+≥=. 2.11, 3.EDF ∠=90°1

2

A -

∠.

4.2,

5.11,

6.44,

7.13.

8. 220, 9．C 10．B ， 11 C.12．B.13.(1)MN BD ⊥

14.【解析】设1234567811,,,y x

a x a y a a a a a x a y x x y y

========，，，，，，显然是一

个周期为6的数列，

(1) 当0(mod 6)m ≡,1211001m m m x x y x a a a y y a a a x x x y

y

y -?=?>??=????

??>???=????=?≠???;

(2) 当1(mod6)m ≡,12111m m m x y x

a a a x y x x x a a a y -=??=???

??==??=?=????

与不全相等矛盾；

(3) 当2(mod 6)m ≡,12111m m

m a a a x y y x y a a a y x x -=?=?????==?

?=?=???与不全相等矛盾；

(4) 当3(mod 6)m ≡,12111m m m y x y a a a x x y a a a y x y

x -?=??=?????==?

?=???=???与不全相等矛盾； (5) 当4(mod 6)m ≡,1211111m m m x y a a a x x y a a a y

x x

x -?=??=?????==?

?=???=???与不全相等矛盾； (6) 当5(mod 6)m ≡,12111111m m m x y a a a y x y a a a x y

x -?=??=???

??==??=???=?

??与不全相等矛盾；

综上所述，当0(mod 6)m ≡，7m >时，存在m 个不全相等的正数12(7)m a a a m ≥，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积.