抛物线的焦点弦问题
高二数学 人教A版：抛物线的焦点弦焦半径中点弦问题
AB
，对于
B，设
AB
:
x
my
1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由
AF
2FB ，
得 y1 2 y2 ，从而可求出 A, B 的坐标，进而可求出直线 AB 的斜率，对于 C，同选项 B，利用根与系数关系
后，计算
kOB
kOC
即可，对于
D，同选项
B，利用根与系数关系后，计算
FC
FD
即可
24.
故答案为：24
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可
直接使用公式 AB x1 x2 p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【例 8】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知抛物线 C : y2 2 px p 0 上一点 P 3, m 到焦点 F
不妨设点 A 在 x 轴上方，代入得， A1, 2 ，
所以 AB 3 12 0 22 2 2 .
故选：B 2.（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，点 A、B 在抛物线上，若 AF x 轴，
再利用 AB x1 x2 p 8 ，即可求出直线.
（1） 由题意可知： PF 3+ p 4 ，
2 解得： p 2 .
（2）
由（1）知抛物线 C : y2 4x ，则焦点坐标为 (1, 0) ，
由题意知直线 l 斜率不为 0，设直线 l 为： x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 )
|
xi
1 2
，
所以
P1F
P2 F
P2023 F
x1
1 2
抛物线焦点弦
抛物线焦点弦
抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
相关简介：
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py 时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
抛物线的焦点弦性质及其证明过程
抛物线的焦点弦性质及其证明过程有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1pp y y AB =+=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： )(832为定值p AB S oAB =?结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p y x ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则A 1F ⊥B 1F同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ?=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴AM 1⊥BM 1Θ11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点∴M 1F ⊥ABBF AF F M ?=∴21 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴Θ又B AM=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+结论9：（1）、A O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y pp y y x y k oB oA2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oAk p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线的焦点弦问题
探究1：抛物线焦点弦的性质
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图 方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x0, y0)…… 方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
C1
B1
O
F B
A、O、B1共线
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切
抛物线的 简单几何性质
复习回顾1:定义与标准方程
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点; 定直线l叫做抛物线准线. 抛物线方程的四种形式： 图 y 形 方 程 焦 点 准 线
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F ( 0, ) 2
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
A1 C1 O B1 B F C
A
•注意：讨论斜率不存在的情况
p 2 x1 x2 , y1 y2 p 4
2
焦点弦：长度关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线， 垂足分别为A1、B1、C1. A1
A
C
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切 AC1平分A1 AF AC1 BC1 BC1平分B1 BF A1 AC1 AFC1 课本81页B7 B1 BC1 BFC1
C1F AB
C1 B1
O
F
B
A1F B1F
C1F C1 A1 C1 B1 以C1为圆心, A1 B1 为直径的圆与AB相切
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题河北省武安市第一中学郅武强抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。
分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或12AB y y p=++。
二. 通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22( 2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+>1222px x p k +=+则1222222p p AB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。
证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 0(04k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值；从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一．弦长问题：例 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B 两点，求线段AB 的长。
分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p=++或12AB y y p=++。
二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为()2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22()2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩ 消去y 得22222(2)04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+> 1222px x p k +=+则1222222p pAB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小 即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。
证明：①联立22()2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2)0(0)4k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值； 从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0)y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论
![[很全]抛物线焦点弦的有关结论](https://img.taocdn.com/s3/m/ef2d77a3c1c708a1284a44ba.png)
p2 .
4
综上： x1x2
p2 .
4
（2）Q x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
， y12 y2 2
p4
y1 y2
p2,
但 y1 y2 0, y1 y2 p 2
（2）另证：设
AB :
x
my
p 2
与
y2
2 px 联立，得
y2
2 pmy
p2
0,
y1 y2
y 2 2 px
t
y2
2 pay
2 pt
0
y1 y2 2 pt ②
由①②得 t p 2
AB 恒过焦点 p ,0 2
5
抛物线 y 2 2 pxp 0
成立。
，过（2p，0）的直线与之交于 A、B 两点，则 OA⊥OB。反之也
小结： （1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题 时注意对这个梯形的运用； （2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.
m
n
mn
sin y1 y2 mn
S AOB
1 m nt
2
y1 y2 1 m nt
mn 2 mn
y1 y2
而 S AOB
p2 4
n m
m n
1 2
m n
mn
p2 2
t
y1 y2
p2 2
①
l : x ay 又可设
抛物线焦点弦问题(附答案解析)
（难度3星）1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xxx 中，抛物线x 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2).（1）求抛物线x 的标准方程；（2）过点x (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线x :x =−1上任意一点.证明：直线xx、xx、xx 的斜率依次成等差数列.【答案】（1）x 2=2x ；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线x 关于x 轴对称,可设抛物线为x 2=2xx ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2x ×2，得x =1，故抛物线方程为x 2=2x ；（2）设点x (−1,x )是直线x 上任意一点，—直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线xx 的斜率不等于0，可设直线xx :x =xx +1交抛物线于x (x 1,x 1)、x (x 2,x 2)，由{x =xx +1x 2=2x可得：x 2−2xx −2=0 从而有x 1+x 2=2x ,x 1x 2=−2,x xx =x 1−x x 1+1，x xx =x 2−x x 2+1，x xx =−x 2且在直线上,所以有:x 1=xx 1+1,x 2=xx 2+1x xx +x xx =x 1−x x 1+1+x 2−x x 2+1=2xx 1x 2+(2−xx )(x 1+x 2)−4x x 2x 1x 2+2x (x 1+x 2)+4 =−2xx 2−4x 2x +4=−x ，而2x xx =−x ，即证x xx +x xx =2x xx .得证直线xx ，xx ，xx 的斜率成等差数列.【（难度2星）2．（2020·河南高二期末（理））已知x 是抛物线x :x 2=2xx(x >0)的焦点，x (1,x )是抛物线上一点，且|xx |=2.(1)求抛物线x 的方程；(2)直线x 与抛物线x 交于x ，x 两点，若xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4（x为坐标原点），则直线x是否会过某个定点若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】(1)x 2=4x ；(2)是，x (2,0).【解析】（1）由抛物线的定义知|xx |=1+x 2=2,∴x =2,∴抛物线x 的方程为：x 2=4x*（2）由题意知:可设xx 的方程为：x =xx +x ,代入x 2=4x 有x 2−4xx −4x =0,设x (x 1,x 1),x (x 2,x 2),则x 1⋅x 2=−4x ,∴x 1⋅x 2=(x 1⋅x 2)216=x 2,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+x 1⋅x 2=x 2−4x =−4∴x =2∴xx 的方程为x =xx +2,恒过点x (2,0).所以直线x 过定点(2,0).?（难度2星）3．（2020·江西高二期末（文））已知抛物线x :x 2=2xx (x >0)的焦点F 为圆x 2+x 2−2x =0的圆心.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线相交于xx 两点，且|xx |=5，求直线l 的方程.【答案】（1）x 2=4x （2）x =2x −2或x =−2x +2【解析】（1）圆的标准方程为(x −1)2+x 2=1，圆心坐标为(1,0)，即焦点坐标为x (1,0)，则x 2=1,x =2得到抛物线x 的方程x 2=4x（2）设直线x 的方程为：x =xx +1联立抛物线x 的方程x 2=4x 消x 整理得： 》x 2−(4x 2+2)x +1=0 ∴x 1+x 2=4x 2+2根据焦点弦的性质可知:|xx |=x 1+x 2+x =4x 2+4 又因为|xx |=5∴4x 2+4=5解得x =±12所以所求直线x 的方程为：x =2x −2或x =−2x +2（难度2星）4．（2019·四川高二期末（文））已知点x (−2,0)，x (3,0)，动点x (x ,x )满足： xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6.（1）求动点P 的轨迹x ；-（2）已知点x (14,0)，若曲线E 上一点M 到x 轴的距离为12，求|xx |的值.【答案】（1）焦点在x 轴，开口向右的抛物线x 2=x ；（2）12【解析】（1）x 点坐标为(x ,x ),则有:xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x ,−x )，xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x ,−x ) ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x −6+x 2=x 2−6，即：x 2=x ，∴点P 的轨迹为焦点在x 轴，开口向右的抛物线.（2）由题意可得：x x =±12代入方程求得x x =14,所以x (14,±12),而x (14,0)∴|xx |=√(14−14)2+(±12−0)2=12 ,即|xx |=12.。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线的焦点弦问题
(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
|
PF
|
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
高中数学抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦8个结论
抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。
一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。
这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
二、焦半径与准线垂直。
焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。
这个结论说明，焦半径与准线垂直。
三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。
这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。
六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。
七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。
八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。
通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。
抛物线中焦点弦的有关问题
抛物线中焦点弦的有关问题------新疆实验中学强少华一直以来，焦点弦都是《圆锥曲线》中的重要知识点，也是高考中的热点问题，针对“抛物线的几何性质”这节课，笔者认为，教师在讲完之后，可适当延伸一些有关“焦点弦”的问题：知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4221p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221px x ==4221p x x =∴若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭⎝⎛-=2:x k y AB ()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k.4221p x x =∴ 综上：.4221p x x =（2）接上，py x p y x 2,2222211==Θ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:p my x AB +=与px y 22=联立，得 22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α，则2pAB 证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知α2sin 22pp AB == 若px y p x k y AB 2,2:,902=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得 ()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
抛物线焦点弦问题的多种处理途径
抛物线焦点弦问题的多种处理途径
抛物线焦点弦问题的多种处理途径可以有以下几种：
1. 几何法：通过绘制抛物线、辅助直线和点的位置，利用几何关系推导出焦点和弦之间的关系。
2. 解析法：通过将抛物线方程和焦点与弦之间的关系方程联立解方程组，求解焦点和弦的坐标。
3. 向量法：将抛物线焦点和弦问题转化为向量的运算问题，通过向量的运算求解焦点和弦的坐标。
4. 物理法：将抛物线焦点弦问题与物理问题相联系，利用动力学和力学的原理来求解焦点和弦的位置。
这些处理途径在实际问题中可以根据具体情况选择使用，其中几何法和解析法较为常用，向量法和物理法适用于特定类型的问题。
（完整版）抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线的焦点弦问题
知识回顾：
已知AB 是抛物线的焦点弦，为抛物线焦点，为抛物线的准线，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别F l 为C 、D 。
求证：
（1）4
2
21p x x =2
21p y y -=（2）（为直线AB 与y 轴的夹角）θ
2
21sin 2p
p x x AB =
++=θ（3）θ
sin 22
p S AOB
=
∆（4）
为定值。
BF
AF 1
1+
（5）以AB 为直径的圆与抛物线准线相切。
l （6）以AF 为直径的圆与y 轴相切。
（7）。
DF CF ⊥（8）、O 、D 共线。
A 典型例题：
1. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么
|AB|=（ ）
A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
2、2. 过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
q
p 1
1+等于（ ） A ．2a
B ．
a 21
C ．4a
D ．
a
43. 已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴
的距离为 ( )
A. B ．1 C.
D.345
474
4.
已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ）
A ．2:
B ．1:2
C ．1:
D ．1:3
5. 已知抛物线的焦点弦的两端点为, 则关系式
)0(22
>=p px y AB ),(),,(2211y x B y x A
值一定等于 （ ）
2
12
1x x y y A ．4
B ．－4
C ．p 2
D ．－p
6.已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若2
:8C y x =()2,2M -C k C ,A B ,则（ ）
0MA MB =
A k =A ．B
C
D ．122
7. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段的长分别为，则)0(2>=a ax y F B A ,BF AF ,n m ,等于 （ ） n
m mn + A.
B. C. D. a 21
a
41a 24a 8.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，与其准线相交于点若
l ()022
>=p px y F B A 、,C 则此抛物线方程可能为（
）
,3,2==AF BF BC A ． B ．
C ．
D ．2
32
x
y =
x y 92
=2
92
x y =
x
y 32
=9. 已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则
k ＝___________。
10. 设为抛物线的顶点，为其过焦点的弦，若，求。
O ()022
>=p px y PQ F ,a OF =b PQ =.OPQ S ∆
11．以抛物线的一条焦点弦为直径的圆与准线相切于点，求此抛物线和圆
()022
>=p px y AB ()3,2--的方程。
12. 直线与抛物线相交于两点，求证：2y x =-2
2y x =,A B OA OB
⊥13.如图已知的一个顶点为抛物线的顶点O ，A 、B 两点都在抛物线上，且.
AOB ∆2
2y x =0
90AOB ∠
=（1）证明直线AB 必过一定点；（2）求面积的最小值.
AOB ∆。