第2章 微分方程+传递函数

dx
(x x0 )
x x0
写成增量形式:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 )
y k x
9
2.2.3 微分方程的线性化
例2-15 微分方程线性化
f (h) h
A dh(t) a dt
h(t) qi (t)
其中包含非线性项 h(t) ，单独将其线性化:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 ) f (x) k x
b1
dr(t) dt
b0r(t)
式中nm, n是系统阶次, r(t), c(t)是系统输入量和输出量。
例2-12 RC无源网络，输入电压ei(t)和输出电压eo(t)
R
解：由基尔霍夫定律
标准式： 左出右入降阶
ei (t) i C
eo (t)
ei (t) i(t)R eo (t)
eo
(t)
1 C
16
知识巩固
传递函数和微分方程一样, 也是用于描述系统的( ); 本课程使用的三种数学模型是( ), 其中( )是最主要的; 传递函数的定义是( ); 传递函数是代数表达式吗? 传递函数的求取方法一般有二种,分别是( ); 传递函数的成立条件是( ); 系统的阶次符号为( ), 它是传递函数的( )多项式的次数; 使传递函数分子为零的点, 称为传递函数的( ); 使传递函数分母为零的点, 称为传递函数的( ), 数学上称为( ),
2
a h0
h(t)
qi (t)
线性化方程已经把系统的工作坐标
从原点移至平衡工作点(h0 , qi0 ) 10
2.2.3 微分方程的线性化
具有两个自变量x、y的非线性函数 z=f (x, y)小偏差线性化的方法:
非线性函数 z =f (x, y),平衡工作点 z0=f (x0, y0), 泰勒展开并略去高次项得
R(s)
有
C(s) K R(s)
K 称为比例系数、传递系数 或放大系数。
• 一般每个控制系统中都 有放大环节。
• 机电系统中常有：电子 放大器、齿轮减速器; （均在一定范围内）
• 比例环节对控制系统性 能有重大影响;
19
2.3.2 典型环节的传递函数
(2) 积分环节
传递函数为 G(s) C(s) 1
2
2.2.1 线性系统微分方程的列写
单输入单输出系统的线性定常微分方程的一般形式：
an
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
a1
dc(t) dt
a0c(t) bm
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0r(t)
式中nm, n是系统阶次, r(t), c(t)是系统输入量和输出量。
(n m)
13
线性定常系统微分方程标准式：
an
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0r(t)
c(t)是输出量，r(t)是输入量，n是系统的阶次
当初始条件为零时，对上式两端进行拉氏变换，得传递函数：
i(t)dt
i(t) C deo (t) dt
消去i(t)并整理成标准式：
R
C
deo (t dt
)
eo
(t
)
ei
(t
)
一阶线性定常微分方程
4
2.2.1 线性系统微分方程的列写
例2-13 液位控制系统
根据流量平衡原理，流入量与 流出量之差等于箱内水量的变 化量：
dh(t) qi (t) qo (t) A dt
dt 2
dt
G(s) Y(s)
1
F (s) ms 2 s k
ei (t)
eo (t)
RC
deo (t) dt
eo
(t
)
ei
(t)
G(s) Eo (s) 1 Ei (s) RCs 1
18
2.3.2 典型环节的传递函数
(1) 比例环节 (又称放大环节)
传递函数为 G(s) C(s) K
例： • 接触式测温计; • RC无源网络(低通滤波器);
T 称为惯性环节的时间常数; T>0; 量纲是时间单位(秒sec);
时间常数值反映了物理系 统的快速性，如弱电为微秒毫秒 级，机械为毫秒至秒级.
21
2.3.2 典型环节的传递函数
(4) 振荡环节－又称二阶振荡环节
例：
传递函数为 G(s) C(s)
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0r(t)
传递函数：
G(s) C(s) bms m bm1sm1 b1s b0 R(s) an s n an1s n1 a1s a0
(n m)
例2-17 由微分方程求传递函数：
(n m)
当初始条件为零时，对上式两端进行拉氏变换 (练习)：
ansnC(s) an1sn1C(s) L a1sC(s) a0C(s) bmsmR(s) bm1sm1R(s) L b1sR(s) b0R(s)
整理
G(s)
C(s) R(s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
微分方程（组）；
3. 消去中间变量，得到一个输入、输出之间 关系的微分方程；
4. 写成标准化形式: 左出右入，降次排列。
5
2.2.2 用拉普拉斯变换求解微分方程
例2-14 用拉普拉斯变换方法求解下列微分方程
x(t) x(t) sin t x(0) x(0) 0
解： 对微分方程两端进行拉氏变换:
8
2.2.3 微分方程的线性化
小偏差线性化的方法:
非线性函数 y = f (x),平衡工作点 y0= f (x0), 泰勒展开得
y
f (x)
df
1 d2 f
f (x0 ) dx xx0 (x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2 L L
x x0
略去增量的高次项得
df
y
f (x)
f (x0 )
例2-11 弹簧－质量－阻尼器系统
标准式： 左出右入降阶
输入量: 外力f (t)
输出量: 位移y(t)
（输入输出是什么 均是已知的）
重力mg与弹簧预 压缩量ky0平衡
解：由牛顿第二定律 Fi ma
f
(t) ky(t)
y0
dy(t) dt
mg
m
d 2 y(t) dt 2
写成标准式：
d 2 y(t) m dt 2
s2 X
(s)
s x(0)
x(0)
X
(s)
1 s2 1
代入初始条件: s 2 X (s) X (s) 1 s2 1
整理:
X
(s)
(s2
1 1)2
查拉氏变换表: x(t) 1 (sin t t cost) 2
成代数方程
6
2.2.3 微分方程的线性化
实际的物理系统往往有各类非线性现象. 例如
传递函数特点，主要有：
G(s)
C(s) R(s)
bmsm an s n
bm1sm1 L an1sn1 L
b1s b0 a1s a0
• 又一种数学模型, 是代数表达式; 系统本身的特征; 与输入/出信号 无关.
• 成立条件：零初始条件、线性定常系统；
• n是系统的阶次（分母阶次），且有n≥m；
例2-13 液位控制系统的 一阶非线性定常微分方程
设h0为水箱的平衡工作点(平衡高度).
dh
1
h
h0 dh
(h h0 )
hh0
h0 2 h0 (h h0 )
h0
增量形式:
1
h
h
h0 2
h h0
去增量符号(相当于坐标原点移至工作点):
h(t) 1 h(t) 2 h0
代回原式:
A
dh(t) dt
G(s) C(s) bms m bm1sm1 b1s b0 R(s) an s n an1s n1 a1s a0
(n m)
即传递函数的定义是： 初始条件为零时，输出象函数 与 输入象函数 之比
14
2.3.1 传递函数的定义
微分方程：
an
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
11
2.2.3 微分方程的线性化
在线性化处理中应注意以下几点：
（1）针对特定工作点; （2）“小偏差”的概 念; （3）本质非线性(右图) 不能线性化;
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 )
12
2.3 传递函数
传递函数是本课程中最主要的数学模型; 2.3.1 定义
n2
R(s) s2 2 n s n2
机械系统中的质量-弹 簧-阻尼系统;
电气线路中的RLC回路;
力控制系统;
(0 1) 阻尼比, 无量纲.
m d 2 y(t) dy(t) ky(t) f (t)
dt 2
dt
f (t)是输入量，y (t)是输出量，系统阶次n=2. 直接写出:
Y (s)
1
G(s)
F (s) ms 2 s k
传递函数求取方法： • 由定义求（来自微分方程） • 直接列写（熟悉后）
15
2.3.1 传递函数的定义
第二章 控制系统的数学模型
2.1 拉普拉斯变换和反变换
√ 2.2 系统微分方程的建立 √ 2.3 传递函数
2.4 系统方块图 2.5 控制系统的传递函数
1
2.2 系统微分方程的建立
数学模型: 物理系统的数学描述; 本章介绍本课程用到的三种形式的数学模型：
➢ 微分方程 --- 来自物理学定律，本课程应用; ➢ 传递函数 --- 本章; ➢ 方 块 图 --- 本章 ;
z
f
(x0
,
y0
)
f x
x x0 , y y0
(x
x0
)
f y
xx0 , y y0 ( y y0 )
z
f
(x0 ,
y0 )
f x
xx0 , y y0
(x
x0 )
f y
xx0 , y y0 ( y y0 )
写成增量形式:
z k1x k2y
去增量符号,坐标原点移至工作点:
z k1 x k2 y
y
y
x
形成了非线性微分方程, 例如
A dh(t) a dt
h(t) qi (t)
导致了数学上的困难;
x
7
2.2.3 微分方程的线性化
小偏差工作原理:
y
(x0 , y0 )
• 设工作点(x0,y0 ); • 控制系统工作时一般总 在工作点附近小范围工作.
x • 在工作点附近以直线代 曲线, 误差可以接受: --- 小偏差线性化
dy(t) dt
ky(t)
f (t)
二阶线性 定常微分 方程 3
2.2.1 线性系统微分方程的列写
单输入单输出系统的线性定常微分方程的一般形式：
an
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
a1
dc(t) dt
a0c(t) bm
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
• 相似系统: 物理结构不同, 传递函数相同;
• 可表示为
G(s) bm (s z1 )(s z2 ) (s zm ) an (s p1 )(s p2 ) (s pn )
(2- 39)
• -Zi: 使其分子为零的点, 称为传递函数的零点；
• -Pi : 使其分母为零的点, 称为传递函数的极点(数学上称特征根). 是实数或共轭复数. 极点的作用很重要。
R(s) s
有 C(s) 1 R(s)
s
输入经积分后输出.
例：
• ABS液压缸：输入是流量，输 出是位移;
• 减速机：输入是角速度，输出 是角位移;
• 对电容施加电流输入, 输出电压;
20
2.3.2 典型环节的传递函数
(3) 惯性环节－又称一阶惯性环节
传递函数为 G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
根据流体力学知识，流出 量与液面高度（水头）有 关：
qo (t) a h(t)
消去qo(t)并整理成标准式：
A dh(t) a dt
h(t) qi (t)
一阶非线性定常微分方程
被控量是输出量!
输入
输出
水箱内截面积A
列写系统微分方程的要点： 1. 确定系统的输入量和输出量； 2. 依据所遵循的物理定律，依次列写相应的
它是实数或( );它在控制系统性能分析中很重要;
17
2.3.2 典型环节的传递函数
控制系统由典型环节组成, 掌握典型环节是基本功！
本课程要求熟悉5种典型环节：比例环节、积分环节、 惯性环节、振荡环节、微分环节;
环节的阶次:
例2-11 弹簧－质量－阻尼器系统
例2-12 RC无源网络
m d 2 y(t) dy(t) ky(t) f (t)
线性定常系统微分方程标准式：
d nc(t)
d n1c(t)
dc(t)
d mr(t)
d m1r(t)
dr(t)
an dt n an1 dt n1 a1 dt a0c(t) bm dt m bm1 dt m1 b1 dt b0r(t)
c(t)是输出量，r(t)是输入量，n是系统的阶次