“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)

“PA+k·PB”型的最值问题

【问题背景】

“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2 类研究。即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。

其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】

线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

【模型初探】

（一）点P 在直线上运动“胡不归”问题

如图 1-1-1 所示，已知sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图 1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。

图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3

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思考：当k 值大于 1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

提取系数k即可哦！！！

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

P

C

O

【模型初探】

（二）点 P 在圆上运动

“阿氏圆”问题

如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r,点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r=k·OB.连接 PA 、PB ，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确 定？

A

A

B

B

图 2-1-1

图 2-1-2

图 2-1-3

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB ”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解。

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【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A 、B ，则所有满足PA=kPB （k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

B

P

A

O

P

C

O

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；

第二步：计算出所连接的这两条线段 OP、OB 长度；

第三步：计算这两条线段长度的比OP =k ；

OB

第四步：在 OB 上取点 C，使得OC =OP ；

OP OB

第五步：连接 AC，与圆 O 交点即为点 P．

① “胡不归”构造某角正弦值等于小于 1 系数

起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------

利用垂线段最短解决问题

② “阿氏圆”构造共边共角型相似

构造△PAB∽△CAP 推出 PA 2 = AB

即：半径的平方=原有线段⨯ 构造线段

AC

M

1．(胡不归问题)如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线

BD （不含 B 点）上任意一点,则 AM+ 1

2

1

BM 的最小值为

.

A

D

分析：如何将 2 即本题 k 值为 1

2

BM 转化为其他线段呢？

，必须转化为某一角的正弦值啊，

M

即转化为 30°角的正弦值。

思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC ， B

C

则 MN= 1 2

BM ，即 AM+ 1

2

BM 最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。

A

详解：如图，作 AN⊥于 BC 垂足为 N,

∵四边形 ABCD 是菱形且∠ABC=60°，

∴∠DBC=30°，

1 MN 即 sin∠DBC= = ，

2 BM

1

C

∴ BM=MN ，

2 1 1

∴AM+ BM=AM+MN ，即 AM+ 2

BM 的最小值为 AN.

2

在 RT△ABN 中，AN=AB·sin∠ABC= 6 ⨯ 1

3 = 3 3 .

2

∴AM+ BM 的最小值为3 3 .

2

变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？

(2) 本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？

答案：（1） 6 3 （2） 6 3

本题也可用“费马点”模型解决哦！！！！ ----- 详见：本公众号前文！