材料分析方法-第二章

为了克服这一缺点，采用a1、a2、a3及C四个晶轴，a1
、a2、a3之间的夹角均为120°，晶面指数以（hkil）表示
。六个柱面的指数可确定为：
四轴定向下的直线的晶向指数
设3轴定向下的指数为[UVW ]，4轴定向下的
指数为[uvtw]，则有转换关系式：
六方晶系的晶面指数
四轴制中前三个指数只有两个是独立的，关系为
(三)六方晶系的指数
四轴定向的必要性
六方晶系可用三个指数标定 其晶面和晶向。取a1、a2和c 作 为 坐 标 轴 ， 取 a1 、 a2 夹 角 为120°。
其缺点是不能直观地显示 等同晶面和等同晶向关系 。如(1 0 0)、 (0 1 0) 和( 10) 是等同三个柱面 ，[1 0 0]、[0 1 0]、 [1 1 0]实际上是同晶向 缺点：1、不能显示出六 方晶系的对称特性。 2、在晶向和晶面指数的 表示上也不能显示其对称 情况。
(200)面，可以把(100)的2级反 射 看 作 是 (200) 的 1 级 反 射 ， 则 拉 格 方 程 为 2d200sin= ； 又 可 写成，2(d100/2)sin= ，这相 当于把2往左移动。但这两个式 子对应的衍射方向是一样的。
一般的说法是，把（hkl）的晶面n级反射看做是（nh nk nl）晶
②可见光是反射的结果， 强度与入射波相当；
X-ray：散射波干涉，强 度很弱
④可见光：入射角—入射线与法 线；X-ray：入射线与晶面
2. 反射级数
式中，n称为反射级数。
X 射 线 照 射 到 晶 体 的 (100) 时 ， 恰好能发生2级反射，则有 2d100sin= 2 ； 设 想 在 (100) 面中间均插入与其 完全相同的
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二、布拉格方程的讨论
1. X-ray的“反射”
x-ray在晶面“反射”与可见光镜面反射比较：
相同点： ① 两角相等 ② 三线共面
不同点：
① 可见光反射仅限于物 体表面；
x-ray不仅在表面而且 能进入晶体内部。
③可见光以任意角度入射都可进 行反射；
x-ray只有特殊角度才能进行反 射，称为x-ray的“选择反射”。
（四）晶带
➢ 晶带：在晶体结构或空间点阵 中，与某一取向平行的所有晶 面均属于同一个晶带。
➢ 同一晶带中所有晶面的交线互 相平行，其中通过坐标原点的 那条直线称为晶带轴。
➢ 晶带轴的晶向指数即为该晶带 的指数。
晶带定律：
➢ 根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法线都与晶 带轴垂直。
➢ 由矢量代数可以证明晶，凡是属于 [uvw]晶带的晶面 ，它们的晶面指数（hkl）都必须符合：
二、晶体学指数 （一）晶向指数
晶体点阵成周期性排列
晶向指数的确定
取点阵节点为原点，布喇菲晶胞的基
本矢量为坐标轴，并用过原点的直线 来取。设晶胞三个基本矢量为a、b及 c。从原点出发，在X方向上移动a长 度的u倍，Y方向移动b长度的v倍，Z 方向移动c长度w倍，可到达直线上 与原点最接近的节点M。 M 点 坐 标 [[uvw]], 则 该 直 线 指 数 在 数 值上与此点坐标相同，表示为[uvw].
若已知直线上任意两点坐标分别为，
则有
(X1Y1Z1)和(X2Y2Z2)
晶向指数的确定
➢ ⑴ 通过坐标原点引一直线，使其平行于所求的晶向； ➢ ⑵ 求出该直线上任意一点的三个坐标值； ➢ ⑶ 将三个坐标值按比例化为最小整数，加一方括号，即为所求的晶
向指数，其一般形式[uvw]。
一 [111]； 晶
如：AB的晶向指数：过O作一平行直线OP, 其上任一点的坐标[[110]],这样所求 AB的晶向指数即为[110]；
向，它们的原子排列完全相同，属于同一晶向族，
用<111>表示。
（二）晶面指数
晶面指数
➢1．AGE面： ➢截距1，1，1； ➢倒数1，1，1 ， ➢晶面指数（111）
➢2．PBEQ面： ➢截距是1/2，1，∞； ➢截距倒数是2，1，0 ； ➢化为最小整数后的晶 面指数（210）
➢3．DBEG面： ➢截距1，1，∞； ➢倒数 1，1，0， ➢晶面指数（110）
面的一级反射，如果（hkl）的晶面间距是d，则（nh nk nl）晶
面的间距为d/n.布拉格方程写为
或
3. 干涉面指数
4、认为光源和记录系统距离晶体无限远，入射线 和反射线都是平行光，也都是单色光。
一、布拉格方程的推导
1、单一原子平面的散射
当一束平行的X射线以θ角投射到原子平面上时，其中 任意两个原子的散射线在原子平面反射方向的光程差为 ：
bc ad ac cos ac cos 0
A、B两个原子的散射波是干涉加强的。 由于A、B是任意的，所以可以认为此原子平面上所有 原子的散射波在该方向都是干涉加强的。
C
cosα=d/(a/h)
cosβ=d/(b/k)
（hkl）
cosγ=d/(c/l)
O N
若晶体的三个基本矢量互相垂直，则有关系：

B
cos2α+cos2β+cos2γ=1
Y
d2
d2
d2
A
(a / h)2 (b / k)2 (c / l)2 1
X
则 :dhkl
1 h2 / a2 k2 / b2 l2 / c2
若各指数同乘以异于0的数n，则晶面位向不变 ，晶向则或是同向（n＞0）或是反向（n＜0）。
在立方晶系中等同晶向和等同晶面的比较： 例1：写出立方晶系的<100>的等同晶向和{100} 的等同晶面。 <100>=[100]+[010]+[001]+[T00]+[0T0]+[00T]
{100}=（100）+（010）+（001） 例2：写出立方晶系的<111>的等同晶向和{111} 的等同晶面。 <111>=[111]+[T11]+[1T1]+[11T]+[TT1]+[1TT] +[T1T]+[TTT] {111}=(111)+(T11)+(1T1)+(11T) 等价：数字相同，符号和排列次序不同。
OB：本身过原点不必作平行线，其上任
点的坐标[[111]]，其晶向指数
OC：其上任一点C的坐标[[100]]，其
向指数[100]。
同理：OD晶向指数[010],OA为[001]。
晶向指数具有如下规律
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向。
若晶体中两晶向相互平行但方向相反，-则- -晶向指数 中的数字相同，符号相反，例如[111]与[111] 。
➢ 我们把这个关系式叫作晶带定律。
➢ 晶带定律给出了晶面与晶向之间的关系，有了这个关 系，我们就可以根据已知的晶面或晶带来求得另外一 些晶面或晶带。
晶带定律：hu+kv+lw=0
(h(21k)2已l2)知，某则晶可带通中过任下Y意ou式r t两e求xt 个in出he晶re该面晶(带h1的k1晶l1)带和轴 方向[uvw]： h1u+k1v+l1w=0
➢4．DCFG面： ➢截距1，∞，∞； ➢倒数1，0，0； ➢晶面指数（100）
注意：
当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就是负 的，并将负号标在数字的上面。
晶面指数中第一、二、三位分别代表与a、b、 c轴的关系，它们之间不能随意变换。
一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组 晶面，而不是一个面。
当晶面指数中某个位置上的指数为0时，表示 该晶面与对应的晶轴平行。如（100）（110）（ 001）
h2u+k2v+l2w=0
u=k1l2—k2l1 v= l1h2—l2h1 w=h1k2—h2k1
晶带定律：hu+kv+lw=0 (2)已知某晶面同属于两个晶带[u1v1w1]和[u2v2w2]，
则可通过下式求出该Your晶text面in h的ere 晶面指数(hkl)：
hu1+kv1+lw1=0
材料分析方法
第二章 X射线衍射方向
本章主要内容 第一节 晶体几何学简介 第二节 布拉格方程 第三节 X射线衍射方法
第一节 晶体几何学简介
一、14种布喇菲点阵 晶体
晶体的特点
晶体具有一定的熔点 晶体具有自限性(晶体具有自发形成封闭凸多面体的能力称为自 限性) 晶体具有规则集合外形，但无固定外形 晶体具有面角守恒定律 （晶体外形中不受外界条件影响的特征因素是其晶面角守恒，即属 于同一品种的晶体，两个对应的晶面夹角恒定不变，即“面角守 恒定律”。） 晶体具有确定解理面 （晶体常具有沿某些确定方位晶面劈裂的性质，该面为解理面。） 晶体的各项异性 (在不同方向上，晶体的物理性质不同) 晶体的均匀性 (晶体中任意两点(在同一方向上)的物理性质相同。) 晶体的对称性
长程有序具有平移对称性
长程无序
晶格 1、晶格的概念：晶体格子，简称晶格，是
指晶体中原子排列的具体形式。 2、将晶格设想成原子球的堆积
晶体结构=空间点阵+结构基元
单位晶胞：三个方向上的重复周期矢量a、b、c称为基 本矢量。由基本矢量构成的平行六面体称为单位晶胞。 其在三个方向上重复即可建立整个空间点阵。
晶面指数具有如下规律：
晶面指数，并非仅指一晶格中的某一个晶面， 而是泛指该晶格中所有那些与其相平行的位向相 同的晶面。
在一种晶格中，如果某些晶面，虽然 它们的 位向不同，但原子排列相同。如（100）、（010 ）及 （001）等，这时若不必要予以区别时，可 把这些晶面统用{100}表示。
即：(hkl)这类符号系指某一确定位向的晶面 指数；而{hkl}则可指所有那些位向不同而原子 排列相同的晶面指数。表示由等同晶面构成的晶 面系或晶面族。
由于晶体的对称性，有些晶向上原子排列情况相同
，因而性质也相同。晶体中原子排列情况相同的一
组晶向称为晶向族（family of lattice
directions），用<uvw>表示。
-
-
- --
--
例如立方晶系中[111]，[111]，[111]，[111]，[111]，[111]
- - - --
[111]，[111]八个晶向是立 方体中四个体对角线的方
因为X射线的波长很短，穿透能力强，它不仅使表面的 原子成为散射波源，而且能够使晶体内部的原子成为散射 波源。在这种情况下衍射线是由许多平行的原子平面反射 的反射线迭加的结果。
如图，一束波长为λ的X射线以θ角投射到晶面间距为d的 一组原子平面上，其中任意两个相邻原子平面为P1、P2 。其反射的反射波的光程差为:
在立方晶系中等同晶向和等同晶面的比较：
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶 向。
晶向族：晶体中原子排列情况相同的一组晶向 （等价晶向），用<uvw>表示。
晶面指数，指该晶格中所有那些与其相平行的 位向相同的晶面。
晶面系或晶面族：所有那些位向不同而原子排 列相同的一组晶面（等价晶面），用{hkl}表示 。
正交晶系的晶面间距公式。
斜方(正交)晶系
正方晶系
立方晶系 六方晶系
1 dhkl 4 (h2 hk k 2) / a2 l2 / c2
3
晶面夹角的计算：
晶面夹角：两晶面
、
夹角
法线间
第二章 X射线衍射方向
本章主要内容 第一节 晶体几何学简介 第二节 布拉格方程 第三节 X射线衍射方法
hu2+kv2+lw2=0
h=v1w2—v2w1 k=w1u2—w2u1 l =u1v2—u2v1
三、简单点阵的晶面间距公式
晶面间距：指相邻两个平行晶面之间的距离。
cosα=ON/OA=d/ma
cosβ=ON/OB=d/nb
Z
cosγ=ON/OC=d/pc
由于m、n、p与h、k、l具有倒数关系，故有：
干涉加强的条件是光程差为等于波长的整数倍，即
2d sin n
式中，n为整数，称为反射级数或衍射级数。 当 n=1时，相邻原子平面的反射称为1级反射，
光程差为λ，2级反射的光程差为2λ。 θ为入射线或反射线与反射原子平面之间的夹角
，称为掠射角或半衍射角，而把2θ称为衍射角， 其为入射线与衍射线之间的夹角。 上式是产生衍射的必须满足的基本条件，它反映 了反射线方向与晶体结构的关系，称为布拉格方 程（布拉格公式、布拉格定律）。
基本假设：
1、晶体是理想完整的，即不考虑晶体中存在的缺 陷和畸变，忽略原子的热运动，即认为原子是固 定不动的；
2、把晶体看成是由许多平行的原子平面堆积而成 的，衍射线看成是原子平面对入射线的反射。
3、认为X射线在晶体中不发生折射，即折射率为1 ；入射线和反射线之间没有相互作用，反射线在 晶体中不被其它原子再散射（这样的理论被称为 运动学理论）。