第三章：上下文无关文法与下推自动机
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上下文无关文法和它所描述的上下文无关语言，在定 义程序设计语言、语法分析、简化程序设计语言的翻译 等方面有重要的意义. 内容：1、上下文无关文法 2、两个范式:Chomsky 范式,Greibach范式 3、确定的下推自动机、非确定下推自动机(PA)
(Pushdown Automaton)
4、对任何CFA都能找到一种具有特有形式的 等价的CFG (Context-Free Grammar) 与上下文无关文法相应的识别器是下推自动机. 确定的下推自动机对应于上下文无关语言的一个子集(大 部分程序设计语言) 例如:程序设计语言中的嵌套结构,用CFG描述而RG不行
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例: CFG G1= ({S,A,B}，{a}，S, P1 ). P1 ={S → AB,A→ a，B→ ε}, CFG G2 =({S,A,B},{a，b}，s，P2) P2＝{S→ AB,A→ a|ε，B→ b} 求与G1 和G2 分别等价,且没有ε产生式的CFG G1’,G2’ 解：G1, V0={ B}， P1’={S→ AB，A → a, S→ A} 所以G1’=({S,A,B},{a}，S,P1’) G2，V0={ A} P2’={S→ AB，A → a, B→ b， S→ B } G2’=({S,A,B},{a，b}，S, P2’) 当S∈V0时,(即S→ε),则P’’应加入以下生成式 S’ →ε∣S, S’是一个新非终结符。 N1= N∪{ S’ }，则 ：G’ =( N1,T,S,P’’)
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例：N＝｛S,A,B｝ T＝｛0,1｝ P＝｛S→ 0,A→ 1,B→ 0｝ 解： (1)N0＝φ (2)N＇＝｛S，A，B ｝ (3)N0≠N‘∴N0＝N‘ P＝｛S→ 0，A→ 1，B→ 0｝ (4)N＇＝N0∪{ }＝N0 ∴有用非终结符集＝N0＝｛S，A，B｝
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定理2：CFG：G＝(N，T，P，S)则必可找到等效的 G1＝(N1，T1，P1，S) 对ｘ∈N1∪T1 * 存在α ，β∈(N1∪T1)*，有S⇒ α x β (证：从文法起始S能推出含X的句型) 证明： 构造G1： S∈N1 (1)若A∈N1且A→ α ∈P，则含α中的非终结符是属 于N1，终结符∈T1。 (2)重复(1),直到再没有新的符号加入N1，T1为止 (3)P1={A→α |A→α ∈P,A∈N1, α ∈(N1∪T1)*｝ 由G1的构造可知:
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P2={B→αβ|B→ α Aβ∈P,A∈V0, α β≠ε}. 令P’’＝P- P1 +P2 从而，构造出G”＝(N,T,S,P’’) 显然，G”中没有ε产生式，如果G的某步推导中，用到 P中的产生式B→αAβ(A∈V0 , α β≠ε),而再以后的 每一步推导中，必须要用A→ ε的，那么再G’’相应推导 中，用P’’中的B→αβ，而不必用A→ε,推导照样进行； 反之亦然，L(G’’)=L(G) 再对G”应用定理1，2，便得到CFG G’＝(N’,T’,S,P’), G’没有无用符号，且L(G’)= L(G’’)= L(G), 又P’ ⊆ P’’，所以，G’也无ε产生式，可得 无ε字产生 式及无用符号的文法G’。
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(2) 单生成式 形如 A→ B, A,B∈N,则称为单生成式 当G是无ε产生式的CFG，但存在单产生式。可利用算 法2构成一个无单产生式的等效方法G1。 算法2： ① 对任意∀ A∈N, * 构造一个非终结符集合任意NA＝{B∣A⇒B} 1) N0={A}. 2) N’={C∣B→ C∈P且B∈N0}∪N0 3) 如果N’ ≠N0, 则N0＝N’,转2) 否则，NA＝N’
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定理：CFG G＝(N,T,S,P),若L(G)≠Φ, L(G)≠{ε},则 存在一个没有无用符号，没有ε产生式的 CFG G‘＝(N’,T’,S,P’),使：L(G’)=L(G) 证明：先构造一个与CFG G＝(N,T,S,P)等价，又没有ε 产生式的CFG G”＝(N,T,S,P”)。为此，先找出G中所 有的可零化的非终结符号。 设：V0={A| A→ ε,A ∈N} 可零化的非终结符号。 构造V0： (1)若:A → ε∈P，则 A → V0 (2)若:A →X1X2 …Xn∈P,且Xi∈V0(1≤i≤n),则 A∈V0 (3)重复(2)，直到没有新的非终结符加入V0为止， 现将P改造为P”： P1={A → ε|A → ε∈P}
+ 如果存在A⇒Aβ,则称G是左递归文法， + 如果存在A⇒aA, 则称G是右递归文法， + 如果存在A⇒A, 上一页
则称G是循环文法。
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定 理 :CFG G=(N,T,P,S),P 中 有 A 产 生 式 A→Aα1|Aα2∣…∣Aα m∣β1∣β2∣….∣βn,其中βi 是第一个字符不再是非终结符A，可构成文法G1 ： G1 ＝(N∪{A’},T,P,S) P1 是P中A的产生式用以下两组产生式取代： A→β1|β2|…|βn|β1A’|β2 A’∣…|βn A’ A’ →α 1|α 2|….|αm|α 1A’|α2 A’|…|α m A’ 其中A’是一个新非终结符，则有L(G1)=L(G) 证明：G中只有关于A的产生式被改变了，要证明G和G1 等效，主要考虑G中A产生式产生的语言，和G1 中AA’ 产生的语言之间的关系。 由G：A → Aα1|Aα2|….|Aα m|β1|β2|….|βm A → A (α 1|α 2|….|α m )|β1|β2|….|βm
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定义：CFG G是二义的⇔ ∃ ω∈L(G),有两棵不同的语法树(叶子为ω) 定义：CFG G是二义的⇔ ∃ ω∈L(G)，有两T不同的最 左(右)推导 文法二义的⇒语言二义⇒表示其文法均二义
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3.2上下文无关文法的改写 不改变文法描述能力前提下改写文法满足一定要求. 改写目标：将CFG改写成某种标准形式. (1) 改写成Chomsky范式： A→ BC｜a A,B,C∈N a∈T (2)Greibach范式 A→ a α α ∈N*, a∈T
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1、删除文法中的无用符号 (1)有用／无用符号 CFG G＝(N,T,P,S) ∀α,β,ω∈T*ｘ∈N∪T
* * 当ｘ出现在S⇒ αxβ⇒ ω,则ｘ有用符号 * * ｘ不出现在S⇒ αxβ⇒ ω,则ｘ为无用符号 即： ①CFA G中,∀A∈N,能否由A推导出某些终结符串； ②A是否能出现在由文法起始符号S推出的句型中 .
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②构造P1: 如果B→α∈P且不是单产生式，则对于B∈NA中的所有 A，把A→α加入P1中， ③得G1＝( N1,T1, P1 ,S) 结论：对于每个单产生式得CFG G，存在一个等效的无 单产生式的文法G1 。 例: G=({E,T,F},{+,*, (,),a}，p，E) E→ E+T∣T P: T→ T*F∣F F→ (E)∣a 解：G是无ε产生式文法，但有单生成式E → T,T → F ①N0＝{E} ②因为E→ T ∈P, F→ T ∈P,则N’＝{E,T,F}=NE ③同理：NT＝{T,F}，NF＝{F}，
* * 1）S⇒ ω与S⇒ ω等价,则G1与G等价 G G1
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2）∀ｘ∈(N1∪T1)它必出现在G1的 某个 * 句型中,即存 在ε∈(N1∪T1)*使得 S⇒ω=αｘβ G1 * 其中α，β∈(N1∪T1) 定理1：把G中不能推导出终结符串的非终结符删去； 定理2：把G中不在句型中出现的非终结符号和终结符号 删去。 G经过定理1和定理2后得出G1 与G等价,并没有无用符 号。 例：CFG G＝({S,A,B},{a},S,P) P={S→ AB|a,A→ a} 求一个与G等价的且没有无用符号的CFG。 解：删不能产生终结符的非终结符B.及S → AB. 得：G’=({S，A}，{a}, S, {S → a,A → a}) 删不可达非终结符A，及相应产生式A → a G’’=({s},{a}，s，{s → a})
形式语言与自动机
主讲：方 敏
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西安电子科技大学
第三章 上下文无关文法 与下推自动机
3.1 推导树与二义性 3.2 上下文无关文法的改写 3.3 Chomsky范式和Greibach范式 3.4 CFL的泵引理 3.5 下推自动机 3.6 上下文无关文法与下推自动机 3.7 上下文无关语言的性质 3.8 CFG中的ε规则
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例：G =( N,T, P ,S)。N＝{S},T={a，b} P: S→ aSbS∣bSaS∣ε 求：无ε字生成式的等效文法G1 解：G1是有ε生成式的文法，除S → ε外，S出现在产生 式右边 V0={ S} P’ ={S → aSbS|abS|aSb|ab|bSaS|baS|bSa|ba} 因为 S∈V0， 所以P’ ={S → a S b S |abS|aSb|ab|bSaS |baS|bSa|ba,S’→ε |S } G’ =({S,S’},{a,b},P’,S’) 结论：含ε产生式的CFG G ，存在一个与G等效的无ε 产生式的G1 。
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注：先删不能生成终结符的非终结符，再删不可达符 号，顺序不可颠倒。 2. CFG变换 上面讨论了CFG的化简，实际上也是CFG的一种变换。 CFG的变换：将一个CFG变换成另一个等价的CFG，其 目的是通过变换，得到一个具有较好性质的CFG。 例如：chomsky范式和Greibach范式，就是两个具有很好 性质的CFG。 (1)定义：ε产生式。可零化的非终结符。 设 CFG G＝(N,T,S,P).若A→ε∈P,则称： A → ε为ε产生式； * 若A⇒ ε ，则称A为G中可零化的非终结符号。 G 若P中无ε字产生式，或只有S →ε，S不出现在 任何产生式右部，则称G为无ε文法。
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算法1:找出所有有用非终结符(能推出终结符的非终结 符) 对已给G＝(N,T,P,S) 删无用非终结符,及相关产生式,得G1＝(N1,T,P1,S) (1) N0＝φ, N0为非终结符集合 (2) N’ ＝｛A｜A→ ω,ω∈T*｝, N’为非终结符集合 (3)如果N0≠N’,则(4),否则N1＝N＇(有用非终结符) (4) N0＝N’ N’= N0∪｛A｜A→ α , α ∈(T∪N0)*｝,转(3)
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构造P1,因为E→ E+T∈P，且不是单生成式，故P1有 E → E+T∣T*F∣(E) ∣a T→ T*F∣(E) ∣a F→ (E) ∣a 则 P1＝{ E → E+T∣T*F∣(E)∣a， T→ T*F∣(E)∣a， F→ (E)∣a } 3.递归文法 + 定义:CFG G,如果存在A ⇒aAβ,A∈N,称G是递归的文法；
* 证：A∈N如A⇒ ω，ω∈T*, 则A∈N1 经1步推导：有生成式A→ ω∈P
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根据定义有A∈N1 * 设当推导步骤＜K，有A⇒ ω,A∈N1成立 * 当进行K步骤推导时， A⇒ｘ1ｘ2…ｘｎ ⇒ ω(ω1ω2…ωｎ) * 其中ｘi⇒ ωi 1≤i≤ｎ ωi∈T* 而且它们都是少于K步推导出来的。 ∴ｘi ∈N1 * 故 A⇒ｘ1ｘ2…ｘｎ A∈N1 A→ｘ1ｘ2…ｘｎ∈P
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(2) 定 理1：已知：CFG G＝(N，T，P，S) L(G)≠φ，则必能找到一个等效G1，对G1的每个非终 结符A ,有： A⇒ω ,ω∈T*(证明有用非终结符可推出终结符串) 证明： 已知：G＝(N,T,P,S) 设：G1＝(N1,T1,P1,S) ∃ A∈N， 有A→ ω∈P 则：A∈N1 如果：有A →ｘ1ｘ2…ｘｎ∈P ｘi∈VT∪N1(已放入 N1 中非终结符) 则A⇒ｘ1ｘ2…ｘｎ⇒ ω(终结符串) 则A∈N1 G1的P1：是符号在N1∪T中的生成式。
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3.1 推导树与二义性(语法树) 树 中 的 一 个 枝 结 点 A ， 有 直 接 子 孙 ｘ 1 ｘ 2… ｘ K ， 有产生式A→ｘ1ｘ2…ｘK 定义：tree是CFG G＝(N,T,P,S)语法树,是有序树 树根：S 枝结点是非终结符 叶子结点是终结符或ε 枝特点A有直接子孙ｘ1ｘ2…ｘi,则A→ｘ1ｘ2…ｘi 例：G＝(｛E｝，｛+，＊，i,（，）,｝，P，E) E→ E+E｜E＊E｜(E)｜i 句子：(α＊α＋α) * 定义：CFG G＝(N，T，P，S)如果存在 S⇒ ω⇔ G是有一棵叶子为ω的语法树
上下文无关文法和它所描述的上下文无关语言，在定 义程序设计语言、语法分析、简化程序设计语言的翻译 等方面有重要的意义. 内容：1、上下文无关文法 2、两个范式:Chomsky 范式,Greibach范式 3、确定的下推自动机、非确定下推自动机(PA)
(Pushdown Automaton)
4、对任何CFA都能找到一种具有特有形式的 等价的CFG (Context-Free Grammar) 与上下文无关文法相应的识别器是下推自动机. 确定的下推自动机对应于上下文无关语言的一个子集(大 部分程序设计语言) 例如:程序设计语言中的嵌套结构,用CFG描述而RG不行
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例: CFG G1= ({S,A,B}，{a}，S, P1 ). P1 ={S → AB,A→ a，B→ ε}, CFG G2 =({S,A,B},{a，b}，s，P2) P2＝{S→ AB,A→ a|ε，B→ b} 求与G1 和G2 分别等价,且没有ε产生式的CFG G1’,G2’ 解：G1, V0={ B}， P1’={S→ AB，A → a, S→ A} 所以G1’=({S,A,B},{a}，S,P1’) G2，V0={ A} P2’={S→ AB，A → a, B→ b， S→ B } G2’=({S,A,B},{a，b}，S, P2’) 当S∈V0时,(即S→ε),则P’’应加入以下生成式 S’ →ε∣S, S’是一个新非终结符。 N1= N∪{ S’ }，则 ：G’ =( N1,T,S,P’’)
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例：N＝｛S,A,B｝ T＝｛0,1｝ P＝｛S→ 0,A→ 1,B→ 0｝ 解： (1)N0＝φ (2)N＇＝｛S，A，B ｝ (3)N0≠N‘∴N0＝N‘ P＝｛S→ 0，A→ 1，B→ 0｝ (4)N＇＝N0∪{ }＝N0 ∴有用非终结符集＝N0＝｛S，A，B｝
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定理2：CFG：G＝(N，T，P，S)则必可找到等效的 G1＝(N1，T1，P1，S) 对ｘ∈N1∪T1 * 存在α ，β∈(N1∪T1)*，有S⇒ α x β (证：从文法起始S能推出含X的句型) 证明： 构造G1： S∈N1 (1)若A∈N1且A→ α ∈P，则含α中的非终结符是属 于N1，终结符∈T1。 (2)重复(1),直到再没有新的符号加入N1，T1为止 (3)P1={A→α |A→α ∈P,A∈N1, α ∈(N1∪T1)*｝ 由G1的构造可知:
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P2={B→αβ|B→ α Aβ∈P,A∈V0, α β≠ε}. 令P’’＝P- P1 +P2 从而，构造出G”＝(N,T,S,P’’) 显然，G”中没有ε产生式，如果G的某步推导中，用到 P中的产生式B→αAβ(A∈V0 , α β≠ε),而再以后的 每一步推导中，必须要用A→ ε的，那么再G’’相应推导 中，用P’’中的B→αβ，而不必用A→ε,推导照样进行； 反之亦然，L(G’’)=L(G) 再对G”应用定理1，2，便得到CFG G’＝(N’,T’,S,P’), G’没有无用符号，且L(G’)= L(G’’)= L(G), 又P’ ⊆ P’’，所以，G’也无ε产生式，可得 无ε字产生 式及无用符号的文法G’。
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(2) 单生成式 形如 A→ B, A,B∈N,则称为单生成式 当G是无ε产生式的CFG，但存在单产生式。可利用算 法2构成一个无单产生式的等效方法G1。 算法2： ① 对任意∀ A∈N, * 构造一个非终结符集合任意NA＝{B∣A⇒B} 1) N0={A}. 2) N’={C∣B→ C∈P且B∈N0}∪N0 3) 如果N’ ≠N0, 则N0＝N’,转2) 否则，NA＝N’
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定理：CFG G＝(N,T,S,P),若L(G)≠Φ, L(G)≠{ε},则 存在一个没有无用符号，没有ε产生式的 CFG G‘＝(N’,T’,S,P’),使：L(G’)=L(G) 证明：先构造一个与CFG G＝(N,T,S,P)等价，又没有ε 产生式的CFG G”＝(N,T,S,P”)。为此，先找出G中所 有的可零化的非终结符号。 设：V0={A| A→ ε,A ∈N} 可零化的非终结符号。 构造V0： (1)若:A → ε∈P，则 A → V0 (2)若:A →X1X2 …Xn∈P,且Xi∈V0(1≤i≤n),则 A∈V0 (3)重复(2)，直到没有新的非终结符加入V0为止， 现将P改造为P”： P1={A → ε|A → ε∈P}
+ 如果存在A⇒Aβ,则称G是左递归文法， + 如果存在A⇒aA, 则称G是右递归文法， + 如果存在A⇒A, 上一页
则称G是循环文法。
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定 理 :CFG G=(N,T,P,S),P 中 有 A 产 生 式 A→Aα1|Aα2∣…∣Aα m∣β1∣β2∣….∣βn,其中βi 是第一个字符不再是非终结符A，可构成文法G1 ： G1 ＝(N∪{A’},T,P,S) P1 是P中A的产生式用以下两组产生式取代： A→β1|β2|…|βn|β1A’|β2 A’∣…|βn A’ A’ →α 1|α 2|….|αm|α 1A’|α2 A’|…|α m A’ 其中A’是一个新非终结符，则有L(G1)=L(G) 证明：G中只有关于A的产生式被改变了，要证明G和G1 等效，主要考虑G中A产生式产生的语言，和G1 中AA’ 产生的语言之间的关系。 由G：A → Aα1|Aα2|….|Aα m|β1|β2|….|βm A → A (α 1|α 2|….|α m )|β1|β2|….|βm
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定义：CFG G是二义的⇔ ∃ ω∈L(G),有两棵不同的语法树(叶子为ω) 定义：CFG G是二义的⇔ ∃ ω∈L(G)，有两T不同的最 左(右)推导 文法二义的⇒语言二义⇒表示其文法均二义
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3.2上下文无关文法的改写 不改变文法描述能力前提下改写文法满足一定要求. 改写目标：将CFG改写成某种标准形式. (1) 改写成Chomsky范式： A→ BC｜a A,B,C∈N a∈T (2)Greibach范式 A→ a α α ∈N*, a∈T
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1、删除文法中的无用符号 (1)有用／无用符号 CFG G＝(N,T,P,S) ∀α,β,ω∈T*ｘ∈N∪T
* * 当ｘ出现在S⇒ αxβ⇒ ω,则ｘ有用符号 * * ｘ不出现在S⇒ αxβ⇒ ω,则ｘ为无用符号 即： ①CFA G中,∀A∈N,能否由A推导出某些终结符串； ②A是否能出现在由文法起始符号S推出的句型中 .
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②构造P1: 如果B→α∈P且不是单产生式，则对于B∈NA中的所有 A，把A→α加入P1中， ③得G1＝( N1,T1, P1 ,S) 结论：对于每个单产生式得CFG G，存在一个等效的无 单产生式的文法G1 。 例: G=({E,T,F},{+,*, (,),a}，p，E) E→ E+T∣T P: T→ T*F∣F F→ (E)∣a 解：G是无ε产生式文法，但有单生成式E → T,T → F ①N0＝{E} ②因为E→ T ∈P, F→ T ∈P,则N’＝{E,T,F}=NE ③同理：NT＝{T,F}，NF＝{F}，
* * 1）S⇒ ω与S⇒ ω等价,则G1与G等价 G G1
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2）∀ｘ∈(N1∪T1)它必出现在G1的 某个 * 句型中,即存 在ε∈(N1∪T1)*使得 S⇒ω=αｘβ G1 * 其中α，β∈(N1∪T1) 定理1：把G中不能推导出终结符串的非终结符删去； 定理2：把G中不在句型中出现的非终结符号和终结符号 删去。 G经过定理1和定理2后得出G1 与G等价,并没有无用符 号。 例：CFG G＝({S,A,B},{a},S,P) P={S→ AB|a,A→ a} 求一个与G等价的且没有无用符号的CFG。 解：删不能产生终结符的非终结符B.及S → AB. 得：G’=({S，A}，{a}, S, {S → a,A → a}) 删不可达非终结符A，及相应产生式A → a G’’=({s},{a}，s，{s → a})
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第三章 上下文无关文法 与下推自动机
3.1 推导树与二义性 3.2 上下文无关文法的改写 3.3 Chomsky范式和Greibach范式 3.4 CFL的泵引理 3.5 下推自动机 3.6 上下文无关文法与下推自动机 3.7 上下文无关语言的性质 3.8 CFG中的ε规则
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例：G =( N,T, P ,S)。N＝{S},T={a，b} P: S→ aSbS∣bSaS∣ε 求：无ε字生成式的等效文法G1 解：G1是有ε生成式的文法，除S → ε外，S出现在产生 式右边 V0={ S} P’ ={S → aSbS|abS|aSb|ab|bSaS|baS|bSa|ba} 因为 S∈V0， 所以P’ ={S → a S b S |abS|aSb|ab|bSaS |baS|bSa|ba,S’→ε |S } G’ =({S,S’},{a,b},P’,S’) 结论：含ε产生式的CFG G ，存在一个与G等效的无ε 产生式的G1 。
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注：先删不能生成终结符的非终结符，再删不可达符 号，顺序不可颠倒。 2. CFG变换 上面讨论了CFG的化简，实际上也是CFG的一种变换。 CFG的变换：将一个CFG变换成另一个等价的CFG，其 目的是通过变换，得到一个具有较好性质的CFG。 例如：chomsky范式和Greibach范式，就是两个具有很好 性质的CFG。 (1)定义：ε产生式。可零化的非终结符。 设 CFG G＝(N,T,S,P).若A→ε∈P,则称： A → ε为ε产生式； * 若A⇒ ε ，则称A为G中可零化的非终结符号。 G 若P中无ε字产生式，或只有S →ε，S不出现在 任何产生式右部，则称G为无ε文法。
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算法1:找出所有有用非终结符(能推出终结符的非终结 符) 对已给G＝(N,T,P,S) 删无用非终结符,及相关产生式,得G1＝(N1,T,P1,S) (1) N0＝φ, N0为非终结符集合 (2) N’ ＝｛A｜A→ ω,ω∈T*｝, N’为非终结符集合 (3)如果N0≠N’,则(4),否则N1＝N＇(有用非终结符) (4) N0＝N’ N’= N0∪｛A｜A→ α , α ∈(T∪N0)*｝,转(3)
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构造P1,因为E→ E+T∈P，且不是单生成式，故P1有 E → E+T∣T*F∣(E) ∣a T→ T*F∣(E) ∣a F→ (E) ∣a 则 P1＝{ E → E+T∣T*F∣(E)∣a， T→ T*F∣(E)∣a， F→ (E)∣a } 3.递归文法 + 定义:CFG G,如果存在A ⇒aAβ,A∈N,称G是递归的文法；
* 证：A∈N如A⇒ ω，ω∈T*, 则A∈N1 经1步推导：有生成式A→ ω∈P
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根据定义有A∈N1 * 设当推导步骤＜K，有A⇒ ω,A∈N1成立 * 当进行K步骤推导时， A⇒ｘ1ｘ2…ｘｎ ⇒ ω(ω1ω2…ωｎ) * 其中ｘi⇒ ωi 1≤i≤ｎ ωi∈T* 而且它们都是少于K步推导出来的。 ∴ｘi ∈N1 * 故 A⇒ｘ1ｘ2…ｘｎ A∈N1 A→ｘ1ｘ2…ｘｎ∈P
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(2) 定 理1：已知：CFG G＝(N，T，P，S) L(G)≠φ，则必能找到一个等效G1，对G1的每个非终 结符A ,有： A⇒ω ,ω∈T*(证明有用非终结符可推出终结符串) 证明： 已知：G＝(N,T,P,S) 设：G1＝(N1,T1,P1,S) ∃ A∈N， 有A→ ω∈P 则：A∈N1 如果：有A →ｘ1ｘ2…ｘｎ∈P ｘi∈VT∪N1(已放入 N1 中非终结符) 则A⇒ｘ1ｘ2…ｘｎ⇒ ω(终结符串) 则A∈N1 G1的P1：是符号在N1∪T中的生成式。
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3.1 推导树与二义性(语法树) 树 中 的 一 个 枝 结 点 A ， 有 直 接 子 孙 ｘ 1 ｘ 2… ｘ K ， 有产生式A→ｘ1ｘ2…ｘK 定义：tree是CFG G＝(N,T,P,S)语法树,是有序树 树根：S 枝结点是非终结符 叶子结点是终结符或ε 枝特点A有直接子孙ｘ1ｘ2…ｘi,则A→ｘ1ｘ2…ｘi 例：G＝(｛E｝，｛+，＊，i,（，）,｝，P，E) E→ E+E｜E＊E｜(E)｜i 句子：(α＊α＋α) * 定义：CFG G＝(N，T，P，S)如果存在 S⇒ ω⇔ G是有一棵叶子为ω的语法树