截面法求桁架杆件内力

截面法
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截面法可以快速求出某一内力，通常取结构 的一部分为隔离体，其上力系为平面一般力系。 每个隔离体上有3个独立平衡方程。一般表示 为： ∑ FX = 0 投影法 ∑ FY = 0 力矩法 ∑M = 0 计算要点： 尽量使一个方程解一个未知数，避免求解 联立方程。

一. 力矩法
例：求图示桁架1、2、3杆的轴力。
2
VA
VB
解：由整体平衡条件求得支座反力 VA=VB HA=0

作Ⅰ--Ⅰ截面,截开1、2、3杆的轴力 取截面以左为隔离体。 Ⅰ
3
Ⅰ

（1）求1杆轴力N1
K1
4
选取未知力N2和N3 延长线的交点K1作 为取矩点。 N1 对K1点取矩，由 ∑MK1 = 0 从而求出所求未知 力N1。
VA

（2）求2杆轴力N2
N2 K2 VA
Y2
5
2
X2
由∑MK2 = 0 ,
比例关系
从而求出所求未知力Y2。 2杆轴力N2

（3）求3杆轴力N3
Y3 N3 X3
K3 VA
6
由 ∑MK3 = 0
比例关系
从而求出所求未知力X3。 3杆轴力N3

力矩法要点：
„
7
„
„
欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 隔离体上除所求未知力外，其余未知力的延 长线均交于某一点K。 对K点取矩，从而求出所求未知力 。
（1）选择其余未知力延长线的交点K作为取矩 点，从而用∑MK=0，求出指定杆内力。 （2）将斜杆的内力放在某一个合适的点上分 解，使其一个分力通过取矩点K。

例1. 求图示桁架杆件a、b、c的轴力
8
90kN
30kN

作Ⅰ—Ⅰ截面
Ⅰ
9
Ⅰ

求Na
Na 求Na时，对另 外两个未知力的 交点C取矩，
10
C
由 ΣMc＝0，得 Na×4＋30×8＝0
30kN
解得： Na =－ 60kN

求Nb
D Xb E Yb Nb
30kN
11
求Nb时，对点D取矩。 将Nb 其在E点处分解 为水平和竖向分量。 由ΣMD＝0，得 Yb×12＋40×4 － 30×12＝0 解得 Yb＝16.67 kN
由比例关系得到：
N b = 2Yb = 2 × 16.67 = 23.57kN

求Nc
Yc Xc
D Nc
12
求Nc时，对点E取矩。 E 将Nc 其在D点处分解 为水平和竖向分量。 由ΣME＝0，得 Yc×12 － 40×8 ＝0 解得 Yc＝ 26.67kN
由比例关系得到：
30kN
N c = 2Yc = 2 × 26.67 = 37.71kN

二. 投影法
例：求图示桁架a杆的轴力.
P P
13
m
m
Na
作m-m截面，截开a 杆，取截面以上为隔离 体。其上共有四个未知力。

投影法
P
14
当隔离体上除所求 未知力Na外，其余未知 力均相互平行且都在竖 直方向上。 将Na 分解为水平和竖 向分量Xa 、Ya。 建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 Xa=－ P 由比例关系得到 Na 。
Xa Ya Na

投影法要点：
欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 当隔离体上除待求未知力外，其余未知力均相 互平行。 建立投影方程，求出待求未知力。
15

例2. 试求图示桁架a、b杆的内力
Ⅰ Ⅰ
2l
16
3l
作Ⅰ-Ⅰ截面，截开a 杆，取截面以上为隔 离体。其上共有三个未知力。

a杆的内力
17
Xa
建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 由比例关系得到
Xa = P
Na = 2P

b杆的内力
18
Ⅱ
Ⅱ
作Ⅱ-Ⅱ截面，截开b杆，取截面以上为隔 离体。其上共有五个未知力。

b杆的内力
19
Xb
建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 由比例关系得到
Xb=2P Nb = 2 2P

联合桁架
„
20
先求出联系杆件的内力，即先求出刚片间的约束 力，然后将约束力作为已知的荷载加在刚片上（简 单桁架上）。
C
S
S
∑MC = 0
S
∑Y = 0
S=0

例3 试求图示桁架杆a、b的内力。
21
VA=P
3l
VB=P
联合桁架
3l

求1杆的内力
Ⅰ
22
1
建立竖直投影方程 ∑Fy=0，可求出 y1 = 0
N1 = 0
VA=P Ⅰ VB=P

求a杆内力
作Ⅱ-Ⅱ截面，截开 b杆，取出隔离体.
0 0
Na Xa Ya O
23
P 对0点取矩，有∑M0= 0，即： Ya = − 3 1 Na = − 2P 3
Ⅱ
Ⅱ

求b杆内力
作Ⅱ-Ⅱ截面，截开 b杆，取出隔离体.
0 0 Ⅱ Ⅱ
Nb Xb Yb
24
A
2 对A点取矩，有∑MA=0，即：Yb = − P 3 1 Nb = − 5P 3

试求图示桁架杆a、b的轴力
25
联合桁架