(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第1节《菱形的判定 》精品教案

第2课时菱形的判定

1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)

2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)

一、情景导入

木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形．

二、合作探究

探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

如图所示，ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形．

解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形．

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证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥DC .

∴∠FDO ＝∠EBO .

又∵EF 垂直平分BD ，

∴OB ＝OD .

在△DOF 和△BOE 中，

⎩⎨⎧∠FDO ＝∠EBO ，

OD ＝OB ，

∠FOD ＝∠EOB ，

∴△DOF ≌△BOE (ASA)．

∴OF ＝OE .

∴四边形D EBF 是平行四边形． 又∵EF ⊥BD ，

∴四边形DEBF 是菱形．

方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分的． 探究点二：四边相等的四边形是菱形

如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm.将△ABC 沿射线BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD .求证：四边形ACFD 是菱形．

解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论．

证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.

∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，

∴AC＝AB 2＋BC2＝62＋82＝10(cm)，

∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，

∴四边形ACFD

是菱形．

方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．

探究点三：菱形的判定和性质的综合应用

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC且2DE＝BC.

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又∵BE ＝2DE ，EF ＝BE ，

∴EF ＝BC ，EF ∥BC ，

∴四边形BCFE 是平行四边形．

又∵EF ＝BE ，

∴四边形BCFE 是菱形；

(2)解：∵∠BCF ＝120°，∴∠EBC ＝60°，

∴△EBC 是等边三角形，

∴菱形的边长为4，高为23，

∴菱形的面积为4×23＝8 3.

方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，

然后用定义法或判定定理1来证明菱形．

三、板书设计

菱形的判 定⎩⎨⎧

有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）

四边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形

经历菱形的证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括

以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.

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