一欧式空间的定义及性质

例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列

( x1 , x2 ,..., xn ), x 所成的集合.在 H 中用
n 1 2 n
然的方式定义加法和标量与向量的乘法:
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设
( x1 , x2 ,...), ( y1 , y2 , ), a R.
( x1 y1 , x2 y2 ,...); a (ax1 , ax2 ,...)
与 的夹角
解 因为 ， 1 1 0 0 1 0 0.1=1
12 02 12 02 2 12 02 02 02 2
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所以
cos
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恒正性 : 当 0时, 0
其中 , , 是V3 的任意向量，k 是任意实数.
2、线性空间的内积
定义1 设V是R上线性空间，定义一个V V 到R的代数运算.
, V，用 , 表示这个运算结果， 如果这个代数运算满足： 1.对称性： , ,
2
称为柯西(Cauchy)不等式
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例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
（ 8）
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
, ain )( i 1,2, , n) 两两正交,
且 i 的长度 | i | i , A (aij )nn ．求 A 的行列
定义 5 非负实数 叫做向量 与 的距 离, 记为 d ( , ). 向量距离相关性质:
(1)当 时, d ( , ) 0 d ( , ) d ( , ) (2)

规定
向量 ( x1 , x2 ,...), ( y1 , y2 , ) 的内积由公式
, xn yn 给出，那么 H 是一个欧氏空间.
n 1
练习 1 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )为向量空间中任意 两向量, 证明:
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R 2 对 , ma1b1 na2b2 作成欧氏空间的充分
1、 向量的内积
, V3 , cos
,cos 在 V3 中，内积具有下列性质：
对称性：
线性性： k k
和
a a , a a 2 , a
例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式(6)推出,对于 任意实数
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a1 , a2 ,
an , b1 , b2 ,
, bn
有不等式
(a1b1 anbn ) (a1
2
an ) (b1
2
bn ) (7) 式
3、举例
例1
n R 在 里,对于任意两个向量
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( x1 , x2 ,..., xn ), ( y1 , y2 ,..., yn ) 规定
, x1 y1 x2 y2 ... xn yn 容易验证,关于内积
n R 的公理被满足,因而 对于这样定义的内积来说作
成一个欧氏空间.
例 2 在 Rn 里 , 对 于 任 意 向 量
( x1 , x2 ,..., xn ), ( y1 , y2 ,..., yn ) 规定
, x1 y1 x2 y2 ... xn yn 不难验证 , R 也作
n
成一个欧氏空间.
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1 , n 2 , n n , n
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叫做 1 , 2 ,
证明: G 1 ,
, n 的格兰姆（Gram）行列式.
, n =0，必要且只要1 ,
, n
线性相交. 证 必要性： 由 G 1 ,
, n =0知齐次线性方程组
x1 0 1 , n x2 0 n , n x 0 n (*)
第 7 章欧氏空间 7.1 欧氏空间的基本概念
授课题目 欧氏空间的基本概念 授课时数 3 学时 教学目标 理解并掌握内积、欧氏空间、长度、夹角、 距离的定义及内积的性质 教学重点 欧氏空间有关概念及内积的性质 教学难点 Cauchy-Schwarz 不等式及应用
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一、欧式空间的定义及性质
,n
a ,b
例 设 1 , 2 ,
G 1 , , n
i 1 i i j 1 j
m
n
j
ai b j i , j
i 1 j 1
m
n
, n 是欧氏空间的n个向量，行列式
1 , 1 2 ,1 n , 1
1 , 2 2 , 2 n , 2
因此

3

1 1 (0 ) 2 2 2
由定义知wenku.baidu.com对于非零向量 , ，当且仅当
, 0 时，

2
三 向量的正交 定义 4 欧氏空间的两个向量 与 说是正交的,
如果 , 0 . 记作:

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定理 7.1.2
( )2
2 2
所以

思考题1：设 , 是 n维欧氏空间V 中两个不同
的向量,且 | || | 1, 证明: , 1.
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思考题 2：在欧氏空间 R n 中, 设 i (ai 1 , ai 2 , 式| A |的值.
1 , 1 n , 1
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必有非零解，设
n i
1 ,
j
, n 为其一组非零解则有
,
j 1
a j 0, i 1,2,
,n
二、向量的长度、两非零向量的夹角 定义2 设 是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 , 叫做 的长度.
向量 的长度用符号 表示： , .
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定理7.1.1
在 一 个 欧 氏 空 间 里 ,对 于 任 意 向 量 , . 有 不 等 式
, , , 当且仅当 与 线性相关
2
时，上式才取等号 .
证 如果 与 线性相关 , 则其中有一个可由另一个 线 性 表 示 , 不 妨 设 k , k R . 于 是
, 2 , k 2 k 2 , 2 , k , k , , .
如果 与 线性无 关 , 那么 , 对任 意实 数 k 都 有
k 0. 于是
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即 k 2 , 2k , , 0
,
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例 5 令 Rn 是 例 1 中 的 欧 氏 空 间 . Rn 中 向 量
( x1 , x2 ,..., xn )的长度是
2 2 2 由长度的定义, 对 , x1 x2 ... xn
于欧氏空间中任意向量ξ 任意实数 a ,有
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
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设 与 是欧氏空间的两个非零向量， , 与 的夹角θ 由以下公式定义：cos 定义 3
（ 1，，，）， 010 （ 1，，，） 0 0 1 。求 例 8 在 R 4 中，设
在一个欧氏空间 V 里， 如果向量 与
1 , 2 , ,m 中每一个正交，
那么 与 1 , 2 , 交.
,m 的任意一个线性组合也正
证
设 ki R, i 1,2,
,m ,m
因为 , , i 0, i 1,2,
m m
所以
, ki i ki , i 0
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(3) d ( , ) d ( , ) d ( , ).
证 (3)
(三角不等式)
d ( , ) ( ) ( ) d ( , ) d ( , )
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必要条件是 m > 0, n > 0.
1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0
证

0,
0
,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
这表明一元二次方程
, x 2 2 , x , 0 无 实 根 , 因
而它的判别式小于 0, 即
4 , 4 , , 0
2
于是 , 2 , ,
这就是著名的柯西-施瓦兹不等式. 也可表示为
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2) 线性性：
, , ,
k , k , ;
, 0 3) 恒正性：当 0时，
则称这个代数运算为V的一个内积,且称 , 为向量 与 的内积,实线性空间V叫做对这个 内积来说的一个欧几里得空间.(欧氏空间)
i 1 i 1
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根据柯西-施瓦兹不等式, 我们有下面的三 角形不等式. 定理 7.1.3 对欧氏空间 V 中任意向量 , , 有
.
证 因为 , 2 , 2 , , 2
例3 令 C [a , b] 是定义在[a, b] 上一切连续实函数所
成的向量空间, f ( x ), g( x ) C [a , b] 我
们规定 f , g f ( x )g( x )dx . 根据定积分的基
a b
本性质可知, 内积的公理 1)---4)都被满足, 因而 作成 C [a , b] 一个欧氏空间.
, ,
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(3) , V , k R, , k k , 证 , k k , k , k , (4) i , j V , ai , b j R, i 1,2, , m , j 1,2,