华师大版初中数学九年级上册全册课件
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新华师大版九年级上册初中数学 23-6-2 图形变换与坐标变化 教学课件
知识回顾
1.表示平面上一个点的位置的方法： ①坐标； ②角度（方向）、距离.
2.确定一个平面图形的位置： 所有的平面图形都可以看成是点的集合，因此 可以通过确定有关点的位置（坐标），进而确定一 个平面图形的位置.
新课导入
课时导入
在同一个平面直角坐标系中，一个图形经过 变换之后，该图与坐标变化
例 矩形公园ABCD的长、 宽分别是6 千米, 4千米 ,以公园中心为原点建 立坐标系, 写出各顶点 的坐标.找出各点的关 系
新课讲解
解: 公园各顶点的坐标分别为A( 3 , 2),B( -3 , 2 ), C( -3 , -2 ), D( 3 , -2 ) .
如果将△AOB 向右移 动3个单位长度，得到 △A’O’B ’，各顶点的坐 标又有什么变化？你 能用自已的语言归纳 这个规律吗？
规律:左右移动时，横坐标左减右加，纵坐标不变
新课讲解
将△AOB向上或 向下移动几个单 位长度，你能探 索出图形上下移 动的规律吗？
规律:上下移动时，横坐标不变,纵坐标上加下减.
第二十三章 图形的相似
23.6 图形与坐标 23.6.2 图形变换与坐标变化
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.掌握图形运动与坐标变换的关系.
（重点）
2.掌握图形运动与坐标变换的具体应用. （难点）
新课导入
新课讲解
画△AOB关于原点 对称的△A’O B’ 你有什么发现？
规律：对应点关于原点对称。即对应点的横 坐标和纵坐标互为相反数
新课讲解
如果将△AOB缩小， 变成△COD，它们 的相似比是多少？ 对应点的坐标有什 么变化？
1.表示平面上一个点的位置的方法： ①坐标； ②角度（方向）、距离.
2.确定一个平面图形的位置： 所有的平面图形都可以看成是点的集合，因此 可以通过确定有关点的位置（坐标），进而确定一 个平面图形的位置.
新课导入
课时导入
在同一个平面直角坐标系中，一个图形经过 变换之后，该图与坐标变化
例 矩形公园ABCD的长、 宽分别是6 千米, 4千米 ,以公园中心为原点建 立坐标系, 写出各顶点 的坐标.找出各点的关 系
新课讲解
解: 公园各顶点的坐标分别为A( 3 , 2),B( -3 , 2 ), C( -3 , -2 ), D( 3 , -2 ) .
如果将△AOB 向右移 动3个单位长度，得到 △A’O’B ’，各顶点的坐 标又有什么变化？你 能用自已的语言归纳 这个规律吗？
规律:左右移动时，横坐标左减右加，纵坐标不变
新课讲解
将△AOB向上或 向下移动几个单 位长度，你能探 索出图形上下移 动的规律吗？
规律:上下移动时，横坐标不变,纵坐标上加下减.
第二十三章 图形的相似
23.6 图形与坐标 23.6.2 图形变换与坐标变化
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.掌握图形运动与坐标变换的关系.
（重点）
2.掌握图形运动与坐标变换的具体应用. （难点）
新课导入
新课讲解
画△AOB关于原点 对称的△A’O B’ 你有什么发现？
规律：对应点关于原点对称。即对应点的横 坐标和纵坐标互为相反数
新课讲解
如果将△AOB缩小， 变成△COD，它们 的相似比是多少？ 对应点的坐标有什 么变化？
华东师大九年级上册数学全册教学课件(2021年秋整理)
例4
1 化简 ，使分母中不含二次根式，
2
并且被开方数中不含字母.
解
1 1 12 2 2 2
= 2
= 2
= 22
22 =
=. 22 2
二次根式的被开方数中含有分母，通常可利 用分式的基本性质将分母“配”成完全平方， 再“开方”出来。
按照书中例题化简要求，化简后的二次根式 有这些特点：
（1）被开方数中不含分母； （2）被开方数中所有因数（或因式）的幂 的指数都小于2.
1 9； 3 25；
2 42； 4 32
解：（1）3； （3）5；
（2）4； （4）3；
3.若–3 ≤ x ≤ 2 时，试化简 x 2 x 32 . 解： x 2 x 32
x2 x3
由 –3 ≤ x ≤ 2 可得 x–2≤ 0 x+3≥0
∴原式= –(x – 2)+(x + 3) = 5
谢谢 大家
3. 二次根式的除法
华东师大版九年级上册
• 学习目标：
1.理解 a a a 0，b 0 和 a a (a > 0，
bb
bb
b > 0) ，并运用它们进行计算.
2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，
归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式
及利用它们进行计算和化简.
3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最
谢谢 大家
21.2 二次根式的乘除
• 学习目标： 理解 a b ab （a ≥ 0，b ≥ 0），并利用 它们进行计算和化简.
• 学习重点： a b ab（a ≥ 0，b ≥ 0）及它的运用.
• 学习难点： 发现规律，导出 a b ab（a ≥ 0，b ≥ 0）.
华东师大数学九年级上PPT课件
第18页/共59页
点Hale Waihona Puke 继续下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
AOB= COD
A
B
o
C
D
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
4、如图, 在⊙O中， A⌒B =A⌒，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOCC.
证明：
AB AC，
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°，
A
O·
B
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
第55页/共59页
5、如图，AB是⊙O 的直径，B⌒C = C⌒D =D⌒E
第52页/共59页
练习：
1.在半径相等的⊙O和⊙O´ 中,⌒AB和A´⌒B´ 所对的圆心 角((12都))AA⌒⌒是BB和和60AA°⌒´´⌒.BB´´各相是等多吗少? 度?
(3)在同圆或等圆中,度数相等的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
1°弧
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
第49页/共59页
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③
两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们
所对A 应的其余各组量A都分别相等.
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
点Hale Waihona Puke 继续下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
AOB= COD
A
B
o
C
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
4、如图, 在⊙O中， A⌒B =A⌒，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOCC.
证明：
AB AC，
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°，
A
O·
B
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
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5、如图，AB是⊙O 的直径，B⌒C = C⌒D =D⌒E
第52页/共59页
练习：
1.在半径相等的⊙O和⊙O´ 中,⌒AB和A´⌒B´ 所对的圆心 角((12都))AA⌒⌒是BB和和60AA°⌒´´⌒.BB´´各相是等多吗少? 度?
(3)在同圆或等圆中,度数相等的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
1°弧
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
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推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③
两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们
所对A 应的其余各组量A都分别相等.
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
华师大版九年级数学上册课件全册
32 9 3, 类似地，计算：
7 5
2
=
7 5
02 0
0.52 0.5
又如 32 = 9=3= 3，再计算：
7 5
2
=
7 5
0.52 = 0.5
归纳 一般地，有
a (a≥0) -a (a＜0)
知识要点 1.从运算顺序来看,
2 a 先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a a≥0
3.从运算结果来看:Fra bibliotek 2 a =a
a (a≥0)
a2 =∣a∣ =
-a(a＜0)
a2 先平方,后开方
a 2 a取任何实数
练一练 化简
(1) 16
(3) (7)2
解： (1) 16 42 4
(3) (7)2 7
(2) (5)2
(4) 72
问题3 平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根.
问题4 所有实数都有算术平方根吗？
正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根.
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为_______π___.
讲授新课
一 二次根式的定义及有意义的条件
如图所示的值表示正方形的面积，则
两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研 究乘法开始．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？
2 7= ？
特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！
讲授新课
一 二次根式的乘法法则及运算
1. a 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册
新课导入
试一试
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数 有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于
是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
相反数
相等
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1 一次项系数 常数项
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都 有这样的结果呢？
探索
推进新课
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根 分别为
p x1
p2 2
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解 方程，求下列代数式的值.
（1）1 + 1 （2） α2 + β2 （3） α – β
解：（1）1 + 1 = + = 3 = 3；
5 5
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的 根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明， 加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
= 29.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
华东师大版九年级数学上册23.2 相似图形课件 (共24张PPT)
例2.矩形 ABCD 纸片的边 A B 长为 2cm ， 动直线 l 分别交 AD、BC于E、F两点， 且 EF∥ AB.
（1）若直线 l 是矩形 ABCD 的对称轴， 且沿着直线 l 剪开后得到的矩形 EFCD与原 矩形 ABCD 相似，试求 A D 的长；
解： 1 矩形EFCD∽矩形CBAD， ADAB.
第23章 图形的相似
23.2 相似图形
情境引入
同学们，请观察下列几幅图片，你能发 现些什么？你能对观察到的图片特点进行归 纳吗？
形状相同，大小不同.
小结
相似图形的定义： 具有相同形状的图形叫相似图形.
思维提升
1.如图，从放大镜里看到的三角尺和 原来的三角尺相似吗？
相似
2.如图，人们从平面镜及哈哈镜里看 到的不同镜像，它们相似吗？
C
课堂小结
通过本节课的学习，同学们获得了哪 些收获？
作业
教材第60页习题23.2的第1～5题.
谢谢大家！
CD CF 设AD2CF2x,又 CDAB2. 2x2.解得：x 2,AD2 2.
2x
（2）若使 AD( 51)cm，试探究，在 A D
边上是否存在点 E ，使剪刀沿着直线 l 剪开
后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形 ABCD
相似的情况.若存在，请求出 A E 的值，并判
断 E 点在边 A D 上位置的特殊性；若不存在，
. . .D . .C
.....
E. . . . .B
.....
A. . . . .
.....
.
.
D.
C ..
. E . . .B .
.....
. A . . . .
思考
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3.化简二次根式的方法.
第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
复习导入 计算下列各式：
（1） 2 x 3 x; (3)x + 2x + 3y;
问题：1.什么是同类项？ 2.同类项怎样合并？
（2） 2 x2 3 x2 5 x2 ; (4)3a 2a a .
2 2 3
下列根式，哪些是最简二次根式？
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第21章 二次根式 21.1 二次根式
21.1 二次根式
课前复习 ⑴什么叫作一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数叫作 a 的平方根。a的平方根是± a 。
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫作它的算术平方根。0的算术 平方根平方根是0。用 (a≥0)表示。
2
5 ;
3 .
(3) 121
11 ;
(4) (-3)2
2.当x 3时,化简: (x 3)2 3 x ; 3.当x 4.当x
1 时, 1 x有意义;
2 有意义. ＞ 3 时, 3 x
计算
4 9 6 4 25 10 16 9 12
49 6 4 25 10 16 9 12
积的算术平方根:
积的算术平方根，等于各因式算术平方根 的积。
利用这个性质可以进行二次根式的化简
练一练
(1) 49 121 (2) 4 y 2 y
2 3
77
(3) 16ab c 4bc ac (4) (36) 16 (9) 72 (5) 5 12
2 2 2 4
13
例：计算
华师大版九年级数学上《22.1一元二次方程》课件(共15张ppt)
二次项 一次项 常数项Байду номын сангаас
注意：
1、整式方程 2、只含有一个未知数 3、未知数的最高次数是“2”
2、试比较下面两个方程的异同：
方程
相同点
整式方程
与
未
分式方程
知 数
不同点
未知数的 最高次数
概念
5x=20
整式方程 x 1
x2+10x-900=0 整式方程 x 2
一元一次方程 一元二次方程
掌握新知
例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由.
问题1
(2 )
绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房 之间，设置一块面积为900平方米的长方形绿 地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各 为多少？
分析
我们已经知道可以运用方程解决实际问题． 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程：
x(x+10)=900 整理得 x2+10x-900=0
问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到 明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增 长率. 分析 设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底 的图书数是5万册,则今年年底的图书数应是 5(1+x)万册.明年年底的图书数为5(1+x)(1+x)万 册,即5(1+x)2(万册).可列得方程 5(1+x)2=7.2
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
驶向胜利 的彼岸
复习导入
什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做 方程的解. 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1” 的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形 式是：ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
华师大版数学九年级上册全册课件
华师大版数学九年级上册全册课件详细阐述了平方根与二次根式的相关知识。首先明确了平方根的性质：正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。进而引出了算术平方根的概念，并指出正数和0都有算术平方根，而负数则没有。文档进一步探讨了二次根式的概念，即形如a(a≥0)的式子，数必须是非负数。此外，还通过多个例题和练习题，深入讲解了如何判断一个式子是否为二次根式，以及如何求解使二次根式有意义的字母取值范围。文档还重点强调了二次根式的三个重要性质，并通过实例加以验证和解释。这些性质在解决复杂的数学问题时具有关键作用。总的来说，这份课件为学生提供了系统而深入的理解平方根和二次根式的机会，有助于他们更好地掌握这一数学领域的核心知识。
华师大版九年级数学上册说课课件(共26张PPT)
二次根式 的概念 教 材特点
教学策略
( a )2 a(a 0)
a 2 a(a 0)
1、了解二次根式的概念 ，理解二次根式有意义 二次根式 的条件和基本性质。 的乘法 2、了解二次根式的性质 ，并会用来化简二次根 式。
1、本章是在数的开方的 基础上展开的，是算术平 方根概念的抽象与扩展， 同时又为下一章一元二次 方程的学习打下基础。
编者意图 、体例安排 、内在逻辑关系： 新课程 教学理念
1.要求数学课程要面向全体 学生。 2.数学课程要关注学生的生 活经验和已有的知识体系. 3.要求在数学学习方式上更 多融入动手实践，自主探 索，合作交流. 4.注重现代信息技术与数学 课程的融合。 体现
LOGO
体现
义务教育的普及性、基础性和发展性，面向 全体学生，使人人都能获得现代公民必需的 基本的数学知识与技能，同时又使不同的人 得到不同的发展。
基本概念、定理（公式）
探索、归纳 创设情境、数学建模
教
材
的
处
理
LOGO
围绕重点知识学习
基 础 与
过 程 与 结 果 的 关 系
关注学生获得知识的 过程与方法
注意归纳、比较、 消化、理解
能 力 的
联系学生实际操作能 力
用好教材中的例题和 习题
关 系
联系学生的生活经验 积累
教学策略：
（四） 关注证明 （三） 的必要性、 尊重学生 基本过程 课堂活动以学生为中心、 的个体差 （二） 和基本方 异，满足多 鼓励学生 法 样化的学 自主探索 课堂指导以老师为中心、 习需求 与合作交 流 知识载入以教材为中心。
拓展创新
教（学）反思
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相关主题
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非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a=
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
与 （ √ a ） 是一样的吗？ a 你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
2
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质？
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
注意：
a b
×
a
b
问题1： (4) (9)× 4 9
52 32 × 52 32
？
9 16 ？ 问题2： 9 16×
例题：计算
(1) 7 6
1 (2) 32 2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
算一算：(1) (3) （-9） 64
2
a -a
； 。
1 2 ( ) 3
|a| 。
(2)
(4) (x2+1)2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
性质 1： a ≥0 (a≥0) （非负性）
a -a |a|
； 。
。
二次根式的乘法
复习
1、什么叫二次根式？下列各式哪些是二 次根式？哪些不是？为什么？
160, 3a 5 ,
2
13, 4a
2
3
27,
a,
2、填空
( a ) _____( a 0)
2
a ______( a是任意有理数 )
2
( 0.5 ) ________
2
(7) ________
2
( 7 ) ________
2
3、计算
6 4 9 36 62 6
2 20 16 25 400 20 20
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)2
2
3
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10
5,
定义：式子
0. .04 04 ,
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8
叫做二次根式。
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
6 4 9 23 6
16 25 4 5 20 20
49
4 16
9 25
16 25
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
二次根式乘法运算规律公式
a b a b（a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方 根的积。
a
归 纳
由
a aa 0,可以得
2
a 2 a 0 。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题: (1)
15
2
2
(2)
2
1 5
2
2.若 (1 x ) 1 x ,则x的取值范围为 ( ) A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
二次根式的性质（２）
想一想
a a 0
2
等于什么?请举例验证.
性质２： a a, (a 0)
2
试一试（3）计算: 2 2 5 = 3 = 3 2
5 2
0.04 = 0.04
2
我们已经得到:
根据等式的定义，可得
a
2
a
全册优质课件
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
a
a , ( a 0)
2
。
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数 2 写成一个数的平方的形式。如 4= 4 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3
2
5 5 ， 2 2
2
0.04
0.04
2
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 16, 81, 0, , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
不要忽略
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
例 3：要使 什么条件？
x-2 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0,
得 x ≥2 且 x ≠3 。 x-2 想一想： 假如把题目改为： 要使 有意义， x-1
字母 x 的取值必须满足什么条件？x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
0 。 没有 负数有没有算术平方根？
零的算术平方根是
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
5、 x-3 + 4-x
二次根式的性质（１）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a=
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
与 （ √ a ） 是一样的吗？ a 你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
2
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质？
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
注意：
a b
×
a
b
问题1： (4) (9)× 4 9
52 32 × 52 32
？
9 16 ？ 问题2： 9 16×
例题：计算
(1) 7 6
1 (2) 32 2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
算一算：(1) (3) （-9） 64
2
a -a
； 。
1 2 ( ) 3
|a| 。
(2)
(4) (x2+1)2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
性质 1： a ≥0 (a≥0) （非负性）
a -a |a|
； 。
。
二次根式的乘法
复习
1、什么叫二次根式？下列各式哪些是二 次根式？哪些不是？为什么？
160, 3a 5 ,
2
13, 4a
2
3
27,
a,
2、填空
( a ) _____( a 0)
2
a ______( a是任意有理数 )
2
( 0.5 ) ________
2
(7) ________
2
( 7 ) ________
2
3、计算
6 4 9 36 62 6
2 20 16 25 400 20 20
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)2
2
3
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10
5,
定义：式子
0. .04 04 ,
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8
叫做二次根式。
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
6 4 9 23 6
16 25 4 5 20 20
49
4 16
9 25
16 25
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
二次根式乘法运算规律公式
a b a b（a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方 根的积。
a
归 纳
由
a aa 0,可以得
2
a 2 a 0 。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题: (1)
15
2
2
(2)
2
1 5
2
2.若 (1 x ) 1 x ,则x的取值范围为 ( ) A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
二次根式的性质（２）
想一想
a a 0
2
等于什么?请举例验证.
性质２： a a, (a 0)
2
试一试（3）计算: 2 2 5 = 3 = 3 2
5 2
0.04 = 0.04
2
我们已经得到:
根据等式的定义，可得
a
2
a
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正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
a
a , ( a 0)
2
。
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数 2 写成一个数的平方的形式。如 4= 4 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3
2
5 5 ， 2 2
2
0.04
0.04
2
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 16, 81, 0, , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
不要忽略
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
例 3：要使 什么条件？
x-2 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0,
得 x ≥2 且 x ≠3 。 x-2 想一想： 假如把题目改为： 要使 有意义， x-1
字母 x 的取值必须满足什么条件？x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
0 。 没有 负数有没有算术平方根？
零的算术平方根是
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
5、 x-3 + 4-x
二次根式的性质（１）