北师大版选修1-2高中数学第3章《推理与证明》合情推理(二)导学案

高中数学 第3章《推理与证明》合情推理（二）导学案

北师大版选修1-2

学习目标

1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;

2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P 30~ P 38，找出疑惑之处）

1.已知 0(1,2,,)i a i n >=L ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；1212

11

()()()4ii a a a a ++≥； 123123

111

()()(

)9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a L 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列

1111,,,,13355779

--⨯⨯⨯⨯L L 的通项公式是 .

二、新课导学 ※ 学习探究

鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有

和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题

例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.

类比

角度 实数的加法 实数的乘法

运算 结果

运算律

逆运算

单位元

变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.

圆的概念和性质球的类似概念和性质

圆的周长

圆的面积

圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦

与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的

两弦不等，距圆心较近的弦较长

以点

00

(,)

x y为圆心，r为半径的圆的方程为

222

00

()()

x x y y r

-+-=

例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.

三角形四面体

三角形的两边之和大于第三边

三角形的中位线平行且等于第三边的一半

三角形的面积为

1

()

2

S a b c r

=++（r为三角形内

切圆的半径）

新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.

※ 动手试试

练 1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点

12

,

M M与点

12

,

N N，则三角形面积之比11

22

11

22

OM N

OM N

S OM ON

S OM ON

∆

∆

=•.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点

12

,P P，点

12

,

Q Q和点

12

,

R R，则类似的结论是什么？

练2. 在ABC

∆中，不等式1119

A B Cπ

++≥成立；在四边形ABCD中，不等式

111116

2

A B C Dπ

+++≥成

立；在五边形ABCDE中，不等式1111125

3

A B C D Eπ

++++≥成立.猜想，在n边形

12n

A A A

L中，有怎

样的不等式成立？

三、总结提升

※ 学习小结

1．类比推理是由特殊到特殊的推理.

2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.

3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.

※ 知识拓展

试一试下列题目：

1. 南京∶江苏

A. 石家庄∶河北

B. 渤海∶中国

C. 泰州∶江苏

D. 秦岭∶淮河

2. 成功∶失败

A. 勤奋∶成功

B. 懒惰∶失败

C. 艰苦∶简陋

D. 简单∶复杂

3.面条∶食物

A.苹果∶水果

B.手指∶身体

C.菜肴∶萝卜

D.食品∶巧克力

学习评价

※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.下列说法中正确的是（）.

A.合情推理是正确的推理

B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理

D.类比推理是从特殊到特殊的推理

2. 下面使用类比推理正确的是（）.

A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”

B.“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ⋅=⋅”

C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b

c c c

+=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n

（b ） 3. 设)()(,sin )('

010x f x f x x f ==，

'21()(),,f x f x =L '1()()n n f x f x +=，n ∈N，则2007()f x = （ ）. A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x

4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆

若将此若干个圆按此规律继续下去，

得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.

5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .

课后作业