一轮复习配套讲义：第2篇 第2讲 函数的单调性与最值精品教案导学案

成并集，如(6).
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考点一 确定函数的单调性或单调区间
k 【例 1】 (1)判断函数 f(x)＝x＋x(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
1 (2)(2013·沙市中学月考)求函数 y＝log3(x2－4x＋3)的单调区间．
( ) ( ) k
k
x1＋ x2＋
解 (1)法一 任意取 x1＞x2＞0，则 f(x1)－f(x2)＝ x1 － x2 ＝(x1－x2)＋
求最值．
【训练 3】
对任意两个实数 x1，x2，定义 max(x1，x2)＝Error!若 f(x)
＝x2－2，g(x)＝－x，则 max(f(x)，g(x))的最小值为________．
解析 f(x)－g(x)＝x2－2－(－x)＝x2＋x－2，当 x2－2－(－x)＝x2＋x－2≥0 时， x≥1 或 x≤－2；当－2＜x＜1 时，x2＋x－2＜0，即 f(x)＜g(x)，所以 max(f(x)，
2．函数的单调区间与最值
(5)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是
[1，＋∞)．(×) 1
(6)(教材改编)函数 y＝x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)
(7)(2013·汕头模拟)函数 y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×) (8)函数 f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为 0.(×) [感悟·提升]
令 u＝x2－4x＋3＞0.则 x＜1 或 x＞3. 1
∴函数 y＝log3(x2－4x＋3)的定义域为 (－∞，1)∪(3，＋∞)． 又 u＝x2－4x＋3 的图象的对称轴为 x＝2，且开口向上， ∴u＝x2－4x＋3 在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数
1 y＝log3u 在(0，＋∞)上是减函数，
1．一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指
函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．
2．两个防范 一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别
说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；
二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写
当 x1＜x2 时，都有 f(x1) ＜f(x2)，那么就说函数 f(x)
在区间 D 上是增函数
当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
续表
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
ax－1 a＋1
(2)解 法一 f(x)＝ x＋1 ＝a－x＋1，设 x1<x2<－1，
( ) ( ) a＋1
a＋1
a－
a－
则 f(x1)－f(x2)＝ x1＋1 － x2＋1
a＋1 a＋1 a＋1x1－x2 ＝x2＋1－x1＋1＝x1＋1x2＋1， 又函数 f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
2x1x2
，
∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0. 又 x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
7 ∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝2.
x2＋2x＋a (2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ x ＞0 恒成立， 则Error!⇔Error!等价于 a 大于函数 φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值． 只需求函数 φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值． φ(x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上递减， ∴当 x＝1 时，φ(x)最大值为 φ(1)＝－3. ∴a＞－3，故实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)． 规律方法 求函数最值的常用方法：
x－5
a－3
解析 (1)y＝x－a－2＝1＋x－a＋2，
由函数在(－1，＋∞)上单调递增，
有Error!解得 a≤－3.
(2)f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于 g(x)，只有当 a>0 时，它有两个减区间为
(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可，
( ) ( ) k k
kx2－x1
k
－
1－
x1 x2 ＝(x1－x2)＋ x1x2 ＝(x1－x2) x1x2 .
k
当 k≥x1＞x2＞0 时，x1－x2＞0,1－x1x2＜0，
有 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， k
此时，函数 f(x)＝x＋x(k＞0)在(0， k]上为减函数；
k 解得 x＞ k或 x＜－ k(舍)．令 f′(x)＜0，则 1－x2＜0， 解得－ k＜x＜ k.∵x＞0，∴0＜x＜ k.
∴f(x)在(0， k)上为减函数；在( k，＋∞)上为增函数， 也称为 f(x)在(0， k]上为减函数；在[ k，＋∞)上为增函数．
1 (2)令 u＝x2－4x＋3，原函数可以看作 y＝log3u 与 u＝x2－4x＋3 的复合函数．
g(x))＝Error!作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值在 A 处取得，所以 最小值为 f(1)＝－1. 答案 －1
1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌 握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方 法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质． 2．复合函数的单调性：对于复合函数 y＝f[g(x)]，若 t＝g(x)在区间(a，b)上是单 调函数，且 y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若 t＝g(x) 与 y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则 y＝f[g(x)]为增函数；若 t＝g(x)与 y＝f(t)的单调性相反，则 y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数 最值过程中的应用．
M 为最小值
辨析感悟
1．函数单调性定义的理解
(1)对于函数 f(x)，x∈D，若 x1，x2∈D 且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数 f(x)在 D 上是增函数．(√)
(2)函数 f(x)＝2x＋1 在(－∞，＋∞)上是增函数．(√) 1
(3)(教材改编)函数 f(x)＝x在其定义域上是减函数．(×) (4)已知 f(x)＝ x，g(x)＝－2x，则 y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√)
1 ∴y＝log3(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性
有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下
结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．
(2)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即 y＝f(u)与 u＝g(x)
(1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
(2)函数 f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数 a 的取值范围．
(1)证明 任设 x1＜x2＜－2， －2x1－1 －2x2－1
则 f(x1)－f(x2)＝ x1＋1 － x2＋1 x1－x2
＝－x1＋1x2＋1.
∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，
ax2－1－2ax2 －ax2＋1 f′(x)＝ x2－12 ＝ x2－12
当 a＞0 时，f′(x)＜0；
当 a＜0 时，f′(x)＞0.
∴当 a＞0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数；
当 a＜0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
考点二 利用单调性求参数
ax－1 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x＋1 .
(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 条件
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M
满足
(1)对于任意 x∈I，都有 f(x) (3)对于任意
≤M；
x∈I，都有 f(x)
结论
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. M 为最大值
≥M； (4)存在 x0∈I， 使得 f(x0)＝M.
则 a 的取值范围是 0<a≤1.
答案 (1)C (2)D 学生用书第 14 页
考点三 利用函数的单调性求最值 x2＋2x＋a 【例 3】 已知 f(x)＝ x ，x∈[1，＋∞)． 1 (1)当 a＝2时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围． 1 审题路线 (1)当 a＝2时，f(x)为具体函数→求出 f(x)的单调性，利用单调性求最 值．
ax2－x1x1x2＋1 ＝ x21－1x2－1 ， ∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0， x21－1＜0，x2－1＜0，|x1x2|＜1， 即－1＜x1x2＜1， ∴x1x2＋1＞0，
x2－x1x1x2＋1 ∴ x21－1x2－1 ＞0，
因此，当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0， 即 f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)为减函数； 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)为增函数． 法二 (导数法)
(2)当 x∈[1，＋∞)时，f(x)＞0 恒成立→转化为 x2＋2x＋a＞0 恒成立．
1
1
1
解 (1)当 a＝2时，f(x)＝x＋2x＋2，联想到 g(x)＝x＋x的单调性，猜想到求 f(x)
的最值可先证明 f(x)的单调性．任取 1≤x1＜x2，
( ) 1 1 x1－x22x1x2－1
－
则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋ 2x1 2x2 ＝
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用
基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最
值；Biblioteka Baidu
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法
的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题． x－5
【训练 2】 (1)函数 y＝x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则 a 的取值范围是( )． A．{－3} B．(－∞，3) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
a (2)(2014·日照模拟)若 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋1在区间[1,2]上都是减函数， 则 a 的取值范围是( )． A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]
而 a＝－1 时，f(x)＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数 a 的取值范围
是(－∞，－1)．
规律方法 利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所
给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；
二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由 f(x1)－f(x2)的符号确定参数
若具有相同的单调性，则 y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则
y＝f[g(x)]必为减函数． ax
【训练 1】 试讨论函数 f(x)＝x2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中 a≠0)． 解 法一 (定义法) 任取－1＜x1＜x2＜1，
ax1 ax2 则 f(x1)－f(x2)＝x21－1－x2－1
所以 f(x1)－f(x2)>0. 由于 x1<x2<－1，
∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即 a<－1.
故 a 的取值范围是(－∞，－1)．
ax－1
a＋1
ax－1
法二 由 f(x)＝ x＋1 ，得 f′(x)＝x＋12，又因为 f(x)＝ x＋1 在(－∞，－1)上
a＋1 是减函数，所以 f′(x)＝x＋12≤0 在 x∈(－∞，－1)上恒成立，解得 a≤－1，
k 当 x1＞x2≥ k时，x1－x2＞0,1－x1x2＞0，
有 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， k
此时，函数 f(x)＝x＋x(k＞0)在[ k，＋∞)上为增函数；
k 综上可知，函数 f(x)＝x＋x(k＞0)在(0， k]上为减函数；在[ k，＋∞)上为增函
数．
k
k
法二 f′(x)＝1－x2，令 f′(x)＞0，则 1－x2＞0，
第 2 讲 函数的单调性与最值 [最新考纲] 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任
定义
意两个自变量 x1，x2