三阶递归序列的性质及其应用

单位代码 01学号 **********分类号 024密级毕业论文三阶递归序列的性质及其应用院(系)名称信息工程学院专业名称信息与计算科学学生姓名**指导教师***2015 年 5 月15 日三阶递归序列的性质及其应用摘要斐波那契序列是一种经典的递推关系序列，由于后来的研究发现使得斐波那契序列有越来越多的性质被人们所发现，越来越多的应用被人们所使用，因而引起了国际上好奇数学家们的极大关注．上个世纪有一本专门研究它的杂志——《Fibonacci Quarterly (斐波那契季刊)》于1963年开始发行，并且在美国还专门设立了斐波那契数委员会，研究和处理有关问题．如今所发现的许多生物和生活现象也都与斐波那契数密切相关，同时其推广和应用几乎渗透到数学的各个分支，并且在物理、生物等自然科学中起着重要作用．后来科学家和研究者们又将二阶的斐波那契序列进行推广，得到了广义的三阶递归序列和三阶斐波那契序列．其中三阶斐波那契序列形式多样，而把三阶斐波那契序列与矩阵法联系起来，一直受到人们的青睐．本文便利用三阶线性递归序列的系数矩阵的若当标准形推出了三阶斐波那契序列的通项表达式以及前n 项和计算公式的性质，并得到了一些与斐波那契数列相似的性质，本文同时也涉及了三阶斐波那契数列的运用问题．关键词：递归序列，三阶斐波那契序列，若当标准型，矩阵法Third-order Recursion Sequence’s Properties and its ApplicationsAuthor: Zou KeTutor: Tang FengjunAbstractThe Fibonacci sequence is a kind of classic sequence of recursive relations. Due to later studies had found that the Fibonacci sequence had more and more natures to be found, and that had more and more applies to be used by people, thus it had caused the mathematicians being curious in the world. In the last century the specializes of a magazine——《Fibonacci Quarterly》was launched in 1963.In the United States it also set up a special committee of Fibonacci number to study and deal with related issues. Now in many biological and life phenomenon are closely related to the Fibonacci Numbers. At the same time its popularization and application of pervades virtually were a branch of mathematics, and in the natural sciences such as physic, biology also played an important role.Later scientists and researchers had popularized the second order of the Fibonacci sequence, so that had obtained the generalized third-order recursion sequence and the third-order Fibonacci sequence. The three-order of the Fibonacci sequence had varied forms. As we all known, the third-order the Fibonacci sequence was linked with matrix method, also had been under the favor of people. In this paper, by using the third-order of the coefficient matrix of the linear recursion sequence when standard form being launched the third order item expressions of the Fibonacci sequence and the nature of the calculation formula of the first n items. People also got some properties which were similar to the Fibonacci sequence. This paper also involves the use of the three-order about the Fibonacci sequence problems. Keywords: Recursion sequence, the third order of the Fibonacci sequence, Jordan Standard, Matrix method目录1 绪论 (1)1.1 斐波那契序列简介 (1)1.2 矩阵方法的背景简介 (2)2 几种初级递推序列的介绍 (3)2.1 二阶斐波那契序列 (3)2.2 卢卡斯序列 (3)3 三阶线性递归序列 (5)3.1 三阶线性递归序列的定义 (5)3.2 三阶线性递归序列特征值与通项表达式 (5)3.2.1 若序列特征根两两不同 (5)3.2.2 若序列特征根两个相等 (6)3.2.3 若序列特征根全相等 (7)4 三阶线性递推序列通项及前n项和计算公式 (10)4.1 三阶线性递推序列通项及前n项和 (10)4.2 一类特殊的3 阶线性递推序列 (12)5 三阶斐波那契数列 (15)5.1 三阶斐波那契数列和矩阵的定义 (15)5.2 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法及Cassini公式 (16)5.2.1 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法 (16)5.2.2 三阶斐波那契数列的通项公式的Cassini公式 (16)5.3 三阶斐波那契数列通项表示的行列式形式 (17)5.4 r阶斐波那契数列及性质 (18)6 三阶线性递归序列的应用 (19)7 结论 (21)致谢 .......................................................................................................... 错误!未定义书签。

参考文献 . (22)1 绪论1.1 斐波那契序列简介1202年，意大利比萨数学家斐波那契在一本为《算盘书》的数学著作中，提出了如下一个有趣的问题：假定兔子出生以后两个月就能生小兔，现养了初生的小兔一对（一雄一雌），若每月不多不少恰好生一对（一雄一雌），试问一年后共有多少对兔子（如果生下的小兔都能存活的话）？由兔子繁殖问题从而引出了一个有趣的数列——斐波那契数列，记为{}n F ，它是一个二阶线性递推数列：设01=0=1F ，F ，11n n n F F F +-=+ 1,2,3.n =我们将这个数列的每一项都称为斐波那契数．然而人们对斐波那契数列的研究兴趣历时几百年而依然不衰就是因为它有着许多奇特而美妙的性质．例如，菠萝、茉莉花、冬青、牛眼花等许多植物的花瓣数恰为斐波那契数，而且在计算数学、优化理论、运筹学等许多领域有着十分广泛的运用．目前为止，人们已经定义了二阶的斐波那契矩阵1 11 0⎛⎫⎪⎝⎭，同时还给出了斐波那契数列表示通项的多种表示形式，比如解析表达式：11,0,1,2,322n nn F n ⎡⎤⎛⎛⎢⎥-= ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（1.1）矩阵法表示形式：11 1 1,1,2,3 1 0nn n n n F F n F F +-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1.2）行列式表示形式：1 1 0 00 0 1 1 1 00 00 1 1 10 00 0 1 10 00 0 0 0 1 10 0 0 01 1n n nF ⨯---=- （1.3）及组合数表示形式20n in n i i F C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-==∑，其中[x]表示x 的部分整数．随着人们对其理论的不断深入研究，研究者们也不断地提出了斐波那契数列多种推广形式，这其中包括定义的三阶斐波那契数列，并用待定系数法求得的其与比内公式相似的通项公式，并将其推广到n 阶斐波那契数列，以及用生成函数的方法求得其通项表达式，而且还给出一些相关性质的结论及研究运用．本文在此理论基础上运用矩阵法的方法，对三阶斐波那契数列进行了进一步的深入研究，同时还定义出了三阶斐波那契矩阵并给出相关的定理和证明，利用它们求得三阶斐波那契数列的通项公式，并得到了一些与二阶斐波那契数列相似的性质，同时本文也涉及一些三阶斐波那契数列生活中的运用问题．1.2 矩阵方法的背景简介矩阵的英文名称为Matrix ．矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的，在数学术语中，矩阵是用来运算和统计各种相互关联的数据的．数学上，矩阵就是由方程组的系数项及常数项所构成的方阵，把它用来解各类线性方程组上即简洁又方便直观．就是因为这些数字是有规律地排列在一起，形状像一个矩形，以此后来数学家们称其为矩阵．此外，矩阵的一个重要用途是解线性方程组，另一个重要用途是表示线性变换，通过矩阵各种相关运算，就可以得出各类方程组的解来，而且矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性．矩阵及其理论在现代科学技术的各个领域都有广泛的应用，常见于线性代数、线性规划、组合数学以及统计分析等．2 几种初级递推序列的介绍2.1 二阶斐波那契序列若一个数列，若给定一个序列的前两项的值为0和1，那么定义从第三项起，每一项都是其前两项之和，称该数列为斐波那契序列，又称黄金分割数列．用数学式表示[1]为：010, =1F F =；12 + n n n F F F --=(对所有的正整数3n ≥)． （2.1）经早期研究者们发现，相邻两个斐波那契数的比值随着序号的增加而逐渐趋于黄金分割数[2]即：11lim0.618.2n n n F F →∞+=≈ 公元6世纪前古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正十边形和正五边形的作图中发现的，因此现代数学学家们推断当时的毕达哥拉斯等学派可能已经涉及甚至掌握了黄金分割这一理论．公元前4世纪，古希腊的数学家欧多克索斯首先系统地研究分析了黄金分割，并建立了比例理论．把一条线段分成两段，使其中较大一段与原线段的比值等于较小一段与较大一段的比值，这样的分割成为黄金分割，0.618≈称为黑金比．由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割．黄金分割运用于在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．斐波那契数列不仅仅只局限于兔子问题，在经济、科学、艺术、日常生活及优选法中具有广泛应用，黄金分割率的美感，更是一代代艺术家的不懈追求． 2.2 卢卡斯序列卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）．与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列，两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比．但是，最初两个卢卡斯数是02l = 和11l =，所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同．卢卡斯序列的定义如下[3]02l =，11l =；21+n n n l l l --=，2n ≥． （2.2）3 三阶线性递归序列3.1 三阶线性递归序列的定义定义1 若满足n 1n-12n-23n-313(a ,H C,i 1,2,3,n 3a 0)i i H a H a H a H -=++∈=≥≠且 的序列{}n H 称为三阶复系数线性递归序列，有文[4]知，3阶复系数线性递归序列的特征矩阵或系数矩阵为123 1 0 00 1 1a a a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.如果令()32112211012u ,u ,u 2n n n n H H H H H H n H H H ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么由第二数学归纳法可证得2121u u u n n n A A ---===，因此可得211u u n n A --=，因而A 的特征方程为0E A λ-=，即为321230a a a λλλ---=．对此可设()()()32123123a a a λλλλλλλλλ---=---，其中123,,C λλλ∈（复数），即设系数矩阵A 的特征根为123,,λλλ．以下我们分三种情况分别加以讨论． 3.2 三阶线性递归序列特征值与通项表达式 3.2.1 若序列特征根两两不同引理 1 设系数矩阵123 1 0 00 1 1a a a A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 的特征根123,,λλλ两两不同，则存在三阶可逆方阵222123123 1 1 1T λλλλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1,T AT J -=其中123 0 0,0 00 0 J λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．证明：根据线性代数的知识可求得属于特征值123,,λλλ的线性无关的特征向量分别为()()()222112233,,1,,,1,,,1λλλλλλ,因而由文 [5]引理1成立．定理1 设序列n 1n-12n-23n-313(a ,H C,i 1,2,3,n 3a 0)i i H a H a H a H -=++∈=≥≠且且A 的特征根123,,λλλ两两不同，则n H 的通项表达式为[6]:()()()()()()()()()()()()()()()()()()n 231312123n 212122322n 22223211322131121223n 2323131312121230121223.n n n nn nH H H H λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+-=----+-+-+----+-+-+--- （3.1）证明： 由引理1可知，1T AT J -=则1A TJT -=，因而221n n A TJ T ---=．而2122223 0 00 0,0 0 n n n n J λλλ----⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()()2223322323122311331311212232212211212 1=T λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫--- ⎪--- ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 代入即得定理1． 3.2.2 若序列特征根两个相等不妨假设系数矩阵A 的特征根123=.λλλ≠引理2 设系数矩阵123 1 0 00 1 1a a a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 的特征根123=λλλ≠，则存在三阶可逆方阵2212212 2 T 1 1 0 1λλλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1T AT J -=，其中122 0 00 00 1 J λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．证明： 由12332123 1 0 01 00 1 0 0 1 0 0 a a a E A a a a λλλλλλλ⎛⎫---⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭知A 的初等因子为()()212λλλλ--，因而存在三阶可逆方阵221212 = 1 1x T y z λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，使得1T AT J -=，其中122 0 00 00 1 J λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AT TJ =因而有201x A y T z λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2212 1x A E y z λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解此齐次线性方程组得()()()2222,,2,1,0,,1x y z k λλλ=+，其中k 为任意常数．特殊地取0,k =有()()2,,2,1,0x y z λ=，从而求得从2212212 2 1 1 0 1T λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而引理2成立．定理2 设序列n 1n-12n-23n-313(a ,H C,i 1,2,3,n 3a 0)i i H a H a H a H -=++∈=≥≠且，且A 的特征根123=λλλ≠,则n H 的通项表达式为：()()()()()()()()()()2211211221122n 212212122211212021222112 n n n n nn n n n H H H n n H λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---++-+-+-=+--+-+-+- （3.2）证明： 由2212212 2 1 1 0 1T λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，得()()()222122211212212122112 1 2 1 1 2 2T λλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫- ⎪=--- ⎪- ⎪--⎝⎭ 而()212221********* 0 0u u ,, 0 0 0 2 n n n n n n n n n A A TJ T J n λλλλ----------⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭，代入可得定理2成立．3.2.3 若序列特征根全相等不妨假设系数矩阵A 的特征根123=a λλλ==.引理3 设系数矩阵123 1 0 00 1 1a a a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 的特征根为123=λλλ=，则存在三阶可逆方阵21 2 0 1 0 0 1a a T a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1T AT J -=，其中123 0 01 0,==0 1 a J a a a λλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭．证明： 同理由引理2的证明过程知，此时A 的初等因子为()3a λ-，因而存在可逆矩矩2 = 1x r a T y s a z t ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，使得1T AT J -=，其中122 0 00 00 1 J λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则由,AT TJ =解此线性方程组得()()()()2212,,,,,1,0,0,2,1,0,,1,0,0,02,1,0,,,1x t z r s t a k a a k a a a =++，其中12k ,k 为任意复数．不妨特殊地取120k k ==，有()(),,,,,1,0,0,2,1,0x t z r s t a =，从而引理3成立．定理3 设序列n 1n-12n-23n-313(a ,H C,i 1,2,3,n 3a 0)i i H a H a H a H -=++∈=≥≠且且A 的特征根123=λλλ=，则n H 的通项表达式为：()()2221n 210n 2122nn n n a n n a H H n a H H ---++=-+ （3.3）其中123==a λλλ=．证明: 由21 2 0 1 0 0 1a a T a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，得21 1 2 0 1 0 0 1a a T a -⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．而211u u ,n n A --=221,n n A TJ T ---=()()()()2232432 0 0 2 023 2 2n n n n n n n a J n a a n n a n a a -------⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪-- ⎪- ⎪⎝⎭代入即得定理3成立．推论1 432n 32121 n n n n n n n n n H H H B H H H H H H ++++++++⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，n 30n B a B =．证明： 容易证明n 0n B A B =．对于A ，由以上的3 个引理可知：存在可逆矩阵T ，使得1T AT J -=，且123J λλλ=，其中J 为A 的若当标准形．则可得1,A TJT -=即有n 1n A TJ T -=，因而nn n A J J ==．由A 的特征方程得1233a λλλ=，故推论1 成立．4 三阶线性递推序列通项及前n 项和计算公式4.1 三阶线性递推序列通项及前n 项和定理4：设{}a n 表示如下三阶线性递推关系序列[7]: 123,0n n n n a pa qa ra r ---=++≠ (4.1) 则序列{}a n 通项表达式为123n n n n a Ar Br Cr =++． (4.2) 其中()()()21230231213a a r r a r r A r r r r -++=--，()()()21130132123a a r r a r r B r r r r -++=--，()()()21120123132a a r r a r r C r r r r -++=--．其中1r ，2r ，3r 是序列{}a n 的特征方程为32x 0px qx r ---=互不相同的根，并设0a ，1a ，2a 是序列{}a n 的初始值．证明: 已知序列{}a n 的特征方程为32x 0px qx r ---=根为1r ，2r 和3r 且两两互不相同，则{}a n 通项为123n n n n a Ar Br Cr =++．令01,2n =,，得方程组0A+B+C=a (4.3) 1231Ar +Br +Cr =a (4.4) 2221232Ar +Br +Cr =a (4.5)由(4.3)式得 0A a B C =-- (4.6) 将(4.6)式代入(4.4)式得 2110131(r )(r r )B r a a r C -=--- (4.7) 将(4.6)式代入(4.5)式得22211313120(r )(r )+(r r )(r r )B r r C a a r -+-+=- (4.8)将(4.7)式代入(4.8)式得()()()21120123132a a r r a r r C r r r r -++=-- (4.9)将(4.9)式代入(4.7)式得()()()21130132123a a r r a rr B r r r r -++=-- (4.10)将(4.9)式、(4.10)式代入(4.6)得()()()21230231213a a r r a r r A r r r r -++=-- (4.11)即得（4.2）式.在序列{}a n 中给定一些特殊的不同初始值，可得到如下一些常见的3阶递推序列公式[8]:命题1:0121230,0,1,;n n n n D D D D pD qD rD ---====++ 0121230,E 1,E 0,E n n n n E pE qE rE ---====++; 0121231,T 0,T 1,T n n n n T pT qT rT ---====++;序列{}{}{}n n n D E T ，，的通项为：111213n n n n D A r B r C r =++; (4.12) 212223n n n n E A r B r C r =++; (4.13)313233n n n n T A r B r C r =++; (4.14)其中： ()()112131A r r r r =--，()()121231B r r r r =--，()()131321C r r r r =--．()()()2321213r r A r r r r =----，()()()3121213B r r r r r r -+=--，()()()1221213C r r r r r r =-+--．()()2331213r r A r r r r =--，()()3132123B r r r r r r --，()()1233132r r C r r r r -- ． (4.15)命题2: 序列{}a n 通项可用n D ，n E ，n T 的线性组合表示:210a =n n n n a D a E a T ++ (4.16) 证明: 由(4.12)--(4.14) 代入(4.16)右端()()()()()()()()()()()()210211121312122230313233211203121120322112033212302321130132111212132123+n n n n n n n n n n n n n n n n n a D a E a T a A r B r C r a A r B r C r a A r B r C r a A a A a A r a B a B a B r a C a C a C r a a r r a r r a a r r a rr a a r r r r r r r r r r r r ++=++++++++=+++++++-++-++-+=++----()()()201233132123nn n n na rr r r r r r Ar Br Cr a +--=++=故(4.16)式成立．4.2 一类特殊的3 阶线性递推序列在定理4中令1p q r ===序列{}a n 有同系数线性递推序列为n 3n 2n 1n +a a a a +++=+． 此时序列{}a n 的特征方程为32x 10x x ---=，且它的特征根很是复杂，由于序列{}a n 通项用特征根表示显然困难，因此我们用发生函数的方法求序列{}a n 通项与序列{}a n 前n 项的和{}n s ，这里规定符号[]•表示•的整数部分．定理5设3 阶线性递推序列: n 3n 2n 1n +a a a a +++=+，并设初始值0,a 1,a 2a . (4.17) （1）序列{}a n 通项表达式为：()[]()()[]()()[]/441001/4/414243102100321231323122212121323n kn k n k n n kkn k n k k k n k n k a a k n k n k n k n k n k a a a a a k k n k n k --=------==-⎛⎫-=-+ ⎪-⎝⎭----⎛⎫⎛⎫------+--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭∑∑∑(4.18)（2）序列{}a n 前n 项和表达式为：()[]()()[]()()[]/41/4414201000/4143210031312122312n n kk n k n k n k k n k n k k n k n k s a a a k k n k a a a k -----==---=---⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--- ⎪⎝⎭∑∑∑ (4.19) 证明: 设()2301230n n n n n f t a t a a t a t a t a t ∞-==++++++∑应用线性递推关系(4.17)计算()()()()23f t tf t t f t t f t ---可得到()()()()201021024112a a a t a a a t t f t t t ⎡⎤+-+---⎣⎦=-+序列{}a n 通项a n 的()f t ()f x 中n t 系数．()()()()()()()()()()()()()()()()2010210242301021002301021000230102100011212112121nnn nkn k k nn k nnk kn k k n k k a a a t a a a t t f t t t a a a t a a a t t t tn a a a t a a a t t t k n n a a a t a a a t t k k ∞-∞-+-=-+==⎡⎤+-+---⎣⎦∴=-+⎡⎤=+-+----⎣⎦⎛⎫⎡⎤=+-+---- ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎛⎡⎤=+-+----- ⎪⎣⎦⎝⎭⎝∑∑∑∑∑3102.n k k n n t∞-++=⎡⎤⎫⎢⎥ ⎪⎭⎣⎦∑在3t k n +，31t k n ++指数取为n t ，并由组合序列恒等式()11,1n kr n kr n kr n r kk k k n kr ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()[]/42410102100032123n k n k nn k n k n k f t a a a t a a a t t k n k ∞---=-⎛⎫-⎡⎤=+-+--- ⎪⎣⎦-⎝⎭∑∑ 于是便得到序列{}a n 通项为：()[]()()[]()()[]/41/4414201000/41432100313212121231323221223n n kk n k n k n k k n kn k k n k n k n k n k a a a a k k n k n k n k n k a a a k n k -----==---=---⎛⎫⎛⎫---=-+-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--+--- ⎪--⎝⎭∑∑∑序列{}a n 前n 项的和s n 为()()1f t t -中n t 的系数，于是就得到 (4.19)．推论2:如果在序列(4.17)给定特殊的一些初始值，得到如下一些序列:（1）令0121,1,2,a a a ===称此三阶线性递推序列为三阶斐波那契序列321n n n n F F F F +++=++序列通项为：()[]/441032123n kn k n k n k n k F k n k --=-⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭∑,序列前n 项的和为：()[]/4410312n k n k f k n k w k --=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑. （2）令0121,0,0,a a a ===序列设为123n n n n d d d d ---=++,序列通项为：()[]()[]/4/414143003232221212323n n kk n k n k n k k n k n k n k n k d k k n k n k -----==---⎛⎫⎛⎫---=--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑, 序列前n 项的和：()[]()[]/4/414143003231212n n kk n k n k d k k n k n k w k k -----==---⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ . （3）令0120,1,0,a a a ===序列设为123n n n n e e e e ---=++,序列通项为：()[]()[]/4/414243001323122212121323n n kk n k n k n k k n k n k n k n k e k k n k n k -----==----⎛⎫⎛⎫----=--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭∑∑, 序列前n 项的和：()[]()[]1/4/414243013231212n n kk n k n k e k k n k n k w k k ------==----⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑. （4）令0120,0,1,a a a ===序列设为123n n n n t t t t ---=++,序列通项为：()[]/414323221223n kn k n k n k n k t k n k ---=--⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭∑, 序列前n 项的和：()[]/41432312n kn k t k n k w k ---=--⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑. （5）令0120,1,1,a a a ===序列设为123n n n n g g g g ---=++,序列通项为：()[]1/44213121213n kn k n k n k n k g k n k ---=--⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭∑, 序列前n 项的和为：()[]1/4421312n kn k g k n k w k ---=--⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑.5 三阶斐波那契数列5.1 三阶斐波那契数列和矩阵的定义定义1 若有数列{}n f ，定义[9] 0121121,1,2,f ,2,3,4.n n n n f f f f f f n +--====++=则称数列{}n f 为三阶斐波那契数列，且称矩阵1 1 11 0 00 1 0⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为三阶斐波那契矩阵．定理6 对于三阶斐波那契数列{}n f 有：1112123 1 1 1 1 0 0,3,4,50 1 0 nn n n n n n n n n n n n f f f f f f f f n f f f f --------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ (5.1)证明：易得当 n = 3时，3343223211210 4 3 2 1 1 1 2 2 1 1 0 01 1 1 1 0 1 f f f f f f f f f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭等式成立．不妨假设当n k =时，等式成立．即111122123 1 1 1 1 0 01 0 1 kk k k k k k k k k k k k f f f f f f f f f f f f +---------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭那么当n 1k =+时1111122123 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 k kk k k k k k k k k k k k f f f f f f f f f f f f ++---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=•=-• ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112112111123212 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f +-+++---+--------⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭即得定理等式两边成立．综上所述，对一切大于等于3的正整数n ，定理等式两边是恒成立的．5.2 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法及Cassini 公式 5.2.1 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法由于系数矩阵 1 1 11 0 01 0 1F ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程为3210λλλ---=，由一元三次方程的解法知它存在一个实根和二个共轭复根，不妨假设分别为123λλλ、、，并设特征根()123i i λ=、、对应的特征向量为()2,1Ti i λλ，1,2,3i =，有高等代数的知识可知存在可逆矩阵222123123 1 1 1T λλλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得()1123d ,,F T iag T λλλ-=，则()1123d ,,n n n n F T iag T λλλ-=，而n F 的第一行第一列元素即为nf ，因而可将nf 表示成()11111231d ,,.T n n n T n n f e F e e T iag T e λλλ-==其中()11,0,0e =，从而得到了以下推论．推论3 设123λλλ、、 是方程3210λλλ---=的三个根，并设()11,0,0e =，则存在可逆矩阵222123123 1 1 1T λλλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得三阶斐波那契数列的通项为[10]：()111231d ,,n n n T n f e T iag T e λλλ-=. (5.2)5.2.2 三阶斐波那契数列的通项公式的Cassini 公式事实上，定理6可看作是三阶斐波那契数列的矩阵式表示方法．而且我们还可以将斐波那契数列的Cassini 公式()11 1 nn n n n F F F F +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭推广到了三阶，从而得到了三阶斐波那契数列的Cassini 公式：定理7 对于三阶斐波那契数列{}n f ，有211-1-1-2 =-1 n n n n n n nn n f f f f f f f f f +++⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (5.3)证：由定理6知1n 111211232 1 1 1 1 0 01 0 1 n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f ++--------+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭等式两边分别取行列式即得：1n 111211232 1 1 1 1 0 0=-11 0 1 n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f ++--------+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭化简即得211-1-1-2 =-1 n n n n n n nn n f f f f f f f f f -++⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.5.3 三阶斐波那契数列通项表示的行列式形式定理8 对于三阶斐波那契数列{}n f ，有：1 1 1 00 01 1 1 10 00 1 1 10 00 0 0 0 1 10 0 0 0 1 10 0 0 01 1n n nf ⨯---=--等式右边是一个n n ⨯阶方阵．我们运用第二数学归纳法来证明这个定理．证明：当1,2,3n =时，123 1 1 11 111,2, 1 1 141 10 1 1f f f --=====-=，等式成立． 设当(),3n k k ≤≥时，等式都成立．则当1n k =+时，将行列式()()111 1 1 1 0 01 1 1 10 00 1 1 10 00 0 0 0 1 10 0 0 0 1 10 0 0 01 1k k +⨯+-----则按最后一列展开可得：()()111 1 1 00 0 1 1 1 00 01 1 1 10 0 1 1 1 1 0 00 1 1 10 00 1 1 10 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1k k +⨯+------=-- 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 10 00 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1k k ⨯---+-- 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 00 1 1 1 0 00 0 1 10 0 00 0 0 0 1 10 0 0 00 1k k ⨯---+--0 1 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 00 1 1 1 0 00 0 0 0 1 10 0 0 0 110 0 0 0 1 1k k k k ⨯⨯------=+--()()11 1 00 0 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 10 00 0 0 0 1 10 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1k k -⨯----+--()()22121 1 0 00 1 1 1 0 00 0 0 0 1 10 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1k k k k k f f f -⨯-------=++从而定理成立． 5.4 r 阶斐波那契数列及性质这里我们简要定义一下r 阶斐波那契数列，并给出r 阶斐波那契数列的通项公式以及前1n +项和表达式．定义：若一个数列(){}r n F 满足递推公式[11]:()()()()r r r r n+r n+r-1n+r-2...n ,0,1,2,3...F F F F n =+++= (5.4) 和初始条件()()1r r 01,2,1,2,3...i F F i i -=== (5.5) 我们称该数列(5.4)为r 阶斐波那契数列，(5.4)中的每一项都称之为r 阶斐波那契数．简称r 阶F 数．定理9 r 阶斐波那契数列(5.4)和满足初始条件(5.5)的通项公式为()()()()111r 0112,n r kn k r k n kr n r k F n k n rk ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦-+-=---⎛⎫=- ⎪-⎝⎭∑这里[]表示的整数部分． 定理10 r 阶斐波那契数列(5.4)前1n +项和表达式为：()()()1110112n r kn k r r k n kr S n k ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦-+-=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑.6 三阶线性递归序列的应用例1：假设共有三种票值分别为1元的、2元的和3元的邮票，且具有足够多的数量可供使用．现今要贴出票面值为n 元的邮票，从左到右贴于一张信封上，记不同的排列为不同的方法，请问一共有多少种的贴法?分析：记贴n 元票面值的方法共有n f 种，那么为了求n f ，我们考虑当第一张贴票面值为 1 元的邮票时，那么后面的方法共有1n f - 种贴法；如果第一张若贴票面值为 2元的邮票时，则后边的方法一共有2n f -种贴法；如果第一张若贴票面值为 3 元的邮票时，则后面的方法共有3n f -种贴法，于是有123n n n n f f f f ---=++贴法，而且显然有1231.2,4f f f ===，于是我们便得到了三阶斐波那契数列．不妨我们作以下分析：假设为了贴出n 元票面值时，我们一共用3元票面值的邮票i 张，一共用2元票面值的邮票j张，则1元票面值的邮票共需32n i j --张，且30,0j ,32n n i i -⎡⎤⎡⎤≤≤≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 这时一共需用邮票n 2i j --张，我们便从这32n i j --个位置中选出i 个 3 元邮票，再从剩余的n 3i j --个位置中选出j 个贴 2 元邮票，其余剩下的贴1元的，从而有不同的排列数为n 2i j n 3i j ,i j C C ----，于是我们就得到：332n 2i jn 3i j 0n n i ij n i j f CC -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦----===∑∑，其中[x]表示x 的整数部分．例 2：现有一些白、黑、红三种颜色的小球（三色的球都足够多），要将它们放成一排，且必须满足如下的规定：每个白球的右边都至少有一个红球，每个黑球的右边都至少有一个白球，若一排有n 个位置，问有多少种不同的排法？分析：设共有()f n 种不同的排法．若1n =，则按要求只能放红球，所以只有一种排法，即()21f=；若2n=，则按要求球的颜色只能是白红或红红，所以只有两种排法，即()22f=；若3n=，则按要求球的颜色只能是白红红、黑白红、红白红或红红红，所以只有四种排法，即34f=（）；若有n个位置()3n>，则若第一个位置放红球，则以后的1n-个位置只要按要求放即可，从而有()1f n-种放法．若第一个位置放白球，则后一个位置就必须放红球，而以后的2n-个位置只要按要求放即可，从而有()2f n-种放法．若第一个位置放黑球，则以后的两个位置就必须放白球与红球，而再后面的3n-个位置只要按要求放即可，从而有()3f n-种放法．综上所述()()()()123,f n f n f n f n=-+-+-且()()()11,22,34f f f===即排法数()f n构成三阶斐波那契数列．例3: 假如一个通讯员要将得到的电报传播出去，他决定发电报将这消息告诉其他的三个人，这三人接到电报后也立即再转告三人，依序每人分别将电报转告给另外三个，假定在这期间人员没有出现重复现象，且发通一电报需用一分钟时间，则 10 分钟后，共有多少人知道了这一电报？分析：根据题意，第一分钟中有 1 人的得到电报；第二分钟中有 2 人新得到电报；第三分钟有1+1+2=4 人新得到电报；第四分钟发布电报的人已通知了三人，他不再通知其它人，所以有1+2+4=7人新得到电报．如此分析下去，第n分钟中新得到电报的人数恰好是前三分钟得到电报的人数的总和，即它们恰好构成三阶斐波那契数列，从而10分钟后知道这一电报的人数就是01210600.f f f f+++=总之，三阶斐波那契数列作为斐波那契数列的推广形式，它在形式与性质上与斐波那契数列有许多相似之处，但在数列的复杂性上又比斐波那契数列强很多，它们在今天几乎渗透到了数学的各个分支，如计算数学、应用数学、数值分析、概率统计、运筹学、几何学等等．此外它们在生物学、物理学、化学以及电力工程、证券市场优化理论等方向有着极其广泛的应用，它的运用价值正日益被人们所发现．7 结论综上所述，三阶线性递归序列作为斐波那契推广形式，它在形式与性质上与斐波那契数列有许多数列的推多相似之处，但在数列的复杂性上又比斐波那契数列强很多．随着大型计算机的问世，人们继续对这个数列进行了深入探讨，同时发现了它有许多奇特的性质，并且它的运用价值正日益被人们所发现．论文主要运用矩阵方法，对三阶递归序列进行了深入的研究，并定义了三阶斐波那契矩阵，利用它求得了三阶斐波那契数列的通项公式，并得到了一些与斐波那契数列相似的性质，进而从斐波那契序列推广到广义斐波那契序列．广义斐波那契数列是一个有着神秘吸引力的数学科学领域，同时也有着广大的应用前景，是值得学者们长期的学习和钻研的．参考文献[1] 吴振奎．斐波那契数列[M]．沈阳：辽宁教育出版社，1987: 38-98．[2] 孔庆新．斐波那契数的若干性质[J]．青海师范大学学报，1990，(1): 7-12．[3] Lucas E．Theorie des numbers[M]．Paris：Blanchard，1961．[4] 肖薇．线性递归序列[J]．云南师范大学学报，1996，16(3):20-23．[5] 北京大学数学力学系.高等代数[M]．北京:人民教育出版社，1997: 20-34.[6] 陈咸存．3阶线性递归序列的通项与性质[J]．湖州师范学院学报，2005，4: 02-03．[7] 牟善志刘华．三阶递推序列[J]．江苏技术师范学院学报，2004(2): 11-12．[8] 张来萍，及万会．关于3阶线性递推序列[J]．西南民族大学学报·自然科学版，2012，04，05：01-04．[9] 邵品琮．广义斐波那契序列及其应用[J]．青岛教育学院学报，2001，14：36-38．[10] 彭黎霞．三阶斐波那契数列的性质与应用[J]．莆田学院学报，2006，10: 05-04．[11] 及万会．r 阶斐波那契数列[J]．高师理科学刊，2005，25(1): 13-16．。