矩阵范数标准详解

《周国标师生交流讲席010》

向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)

一． 矩阵范数的定义

引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。

最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n

A C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉

直”的变换），所以，直观上可用mn

C

上的向量范数来作为m n

A C

⨯∈的矩阵范数。比如

在1l -范数意义下，111

||||||m n

ij

i j A a

===

∑∑()12

tr()H

A A =； （1.1）

在2l -范数意义下，1

2

211||||||m

n

F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius

范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。

那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。

定义1 设m n

A C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：

（1）非负性：||||0A ≥；

（1a ）正定性：||||0m n

A O A ⨯=⇔=

（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；

（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈

则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||∙，有

（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l

B C ⨯∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。

我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,

把较容易的（1.1）的验证留给同学们，

三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,

,),(,,,)n n A a a a B b b b ==。

2

22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++=

()()2

2

121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++

++

()()()22

2

2

122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =+

+++

+++

+

对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有

222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2

(||||||||)F F A B =+ （1.3）

于是，两边开方，即得三角不等式。 再验证矩阵乘法相容性。

2

2

2

111111||||||||m l n

m l

n F ik kj ik ki i j k i j k AB a b a b ======⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑

221111||||m l n n

ik sj i j k s a b ====⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑ （这一步用了Cauchy 不等式） 22221111||||||||||||m n n l

ik sj F F i k s j a b A B ====⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑ （1.4） 可见，矩阵相容性满足。

这样就完成了对矩阵F-范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可以了吗？No!

运用l ∞-范数于矩阵范数时便出了问题。如果11||||max ||ij i m j n

A a ∞≤≤≤≤=，那么,这样的矩阵范

数在下面一个例子上就行不通。设2

1122,21122A A A ⎛⎫⎛⎫===

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。因此，按上述矩阵∞-范数的定义，||||1,||A A ∞=2

||||1,||||2A A ∞∞==，于是

22||||||||||||||||1A A A A A ∞∞∞∞==⋅≤=

但这是矛盾的。所以简单地将l ∞-范数运用于矩阵范数，是不可行的。

虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。 由此，我们必须认识到，不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。 为此,我们仅给出矩阵范数的定义是不够的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。当然，你也可以不去考虑构成方法，一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。不过这样做的工作量太大，也很盲目。

第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中，所以在考虑构造矩阵范数时，应该使它与向量范数相容。比如要考虑Ax 的“大小”，Ax 是一个向量，但它由A 与x 相乘而得的，它与A 的“大小”和x 的“大小”的关系如何？ 这提出了两类范数相容的概念。

定义2 对于m n

C

⨯上的矩阵范数||||M ∙和,m n C C 上的同类向量范数||||V ∙，如果成立

||||||||||||,

,m n n V M V Ax A x A C x C ⨯≤⋅∀∈∀∈ （1.5）

则称矩阵范数||||M ∙与向量范数||||V ∙是相容的。

例1．1 可以证明 12

211||||||m

n

F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑∑()1

2tr()H

A A = 是与向量范数2||||∙相容。

事实上，在（1。2）中，取1

n B x C ⨯=∈，那么 22||||||||||||||||||||||||F F F F Ax AB A B A x =≤=

二． 矩阵算子范数

现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容，当然，它也满足定义1规定的4个条件。

定义3 设,m n C C 上的同类向量范数为||||V ∙，

m n

A C ⨯∈，定义在m n

C

⨯空间上的矩阵A

的由向量范数||||V ∙诱导给出的矩阵范数为

||||||||max

||||V

V x V

Ax A x ≠= （2.1）