高三数学理第二次联考试卷及答案
湖北部分重点中学2025届高三第二次联考数学试卷含解析
湖北部分重点中学2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．2．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12803．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ） A ．22B ．32C ．42D ．3224．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．225．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．86．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．67．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．8．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2B 5C 6D 79．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．23B ．223-C ．223±D ．1310．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A 3B 23C 3D ．2311．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－312．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷含解析
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．233．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163π D ．16833π5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件6．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．50010．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年河南省高三上学期联考(二)数学试题及答案
2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（ ）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（ ）A.22a b ab > B.2211ab a b> C.33a b < D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（ ）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（ ）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（ ）B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（ ）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（ ）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x的值域为⎡⎢⎣D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0e k t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan 2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D 由题意可得()(1)e xx f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1x f x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A，故min ||AB ==.9.ABD 当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD 由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD 因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得t <<()0g t '<，得1t -≤<1t <≤，则()g t在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，g ⎛= ⎝，g =()g t ⎡∈⎢⎣，即()f x的值域是⎡⎢⎣，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin t x ⎤=∈⎥⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在⎤⎥⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4 由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以sin C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7 由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln 32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15 由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以sin C =（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，sin C =，cos C =，则34sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C =+=+==由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==，sin sin a C c A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x xa a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x x x a af x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x xf x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992n n n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n n n n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
内蒙古赤峰市2025届高三第二次联考数学试卷含解析
内蒙古赤峰市2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．33．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．74．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053π C ．12π D ．20π5．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元6．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371158．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -9．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞10．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%11．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－112．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学第二次联合考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校八校2021届高三数学第二次结合考试试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】：化简集合，根据交集的定义计算．【详解】：因为集合，化简，所以，应选D．【点睛】：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．z满足为虚数单位，为z的一共轭复数，那么A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】分析：把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由，得，那么，，那么，应选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.ABCD中，，，假设向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】，由题意知此题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，那么三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的间隔要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影局部,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.应选D.为偶函数，且在上单调递减，那么的解集为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进展求解即可．【详解】∵f〔x〕=〔x-1〕〔ax+b〕=ax2+〔b-a〕x-b为偶函数，∴f〔-x〕=f〔x〕，那么ax2-〔b-a〕x-b=ax2+〔b-a〕x-b，即-〔b-a〕=b-a，得b-a=0，得b=a，那么f〔x〕=ax2-a=a〔x2-1〕，假设f〔x〕在〔0，+∞〕单调递减，那么a＜0，由f〔3-x〕＜0得a[〔3-x〕2-1〕]＜0，即〔3-x〕2-1＞0，得x＞4或者x＜2，即不等式的解集为〔-∞，2〕∪〔4，+∞〕，应选B．【点睛】此题主要考察不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决此题的关键．的离心率为，那么a的值是A.1B.C.1或者D.【答案】C【解析】分析：可用排除法，验证与是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当时，化为，离心率为，符合题意；当时，化为，离心率为，符合题意,的值是，应选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进展检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.假设结果为定值，那么可采用此法.特殊法是“小题小做〞的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以进步做题速度和效率.n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，那么A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，那么有构成等比数列，，即，，应选D.点睛：此题考察了等比数列的性质，考察了等比数列前项和，意在考察灵敏运用所学知识解决问题的才能，是根底题.7.执行如下列图的程序框图，假设输入，，输出的，那么空白判断框内应填的条件可能是A. B. C.D.【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会完毕，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，，，返回；第二次执行，，，，返回；第三次执行，，，，要输出x，故满足判断框，此时，应选B.点睛：该题考察的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进展模拟运行，结合题的条件，求得结果.图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，应选A.点睛：此题主要考察三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.的展开式中，含项的系数是A.119B.120C.121D.720【答案】B【解析】分析：展开式中含项的系数是，利用组合数的运行性质计算即可.详解：的展开式中，含项的系数是，应选B.点睛：此题主要考察二项展开式定理的通项与系数以及组合式的性质，属于简单题.比较1〕考察二项展开式的通项公式；〔可以考察某一项，也可考察某一项的系数〕〔2〕考察各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也〞翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶〞如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形那么它的体积为A. B.160 C. D.64【答案】A【解析】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，，应选A.点睛：此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，那么“轴〞是“直线AC过线段EF中点〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：假设轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得，进而可得结果.详解：假设轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，那么：，两次相除得：，又由第二定义可得，为的中点，反之，直线过线段中点，直线斜率为零，那么与重合，所以“轴〞是“直线过线段中点〞的充分不必要条件，应选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接根据定义、定理、性质尝试.比较.；；；A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】此题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进展适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小。
2025届内蒙古赤峰市新城区赤峰二中高三第二次联考数学试卷含解析
2025届内蒙古赤峰市新城区赤峰二中高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)2．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．23．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+4．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞5．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i6．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．1557．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18B ．17C ．16D ．158．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S9．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．510．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)-B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三第二次联考数学理试题(含解析)
高三第二次联考 数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1，答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在 本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1、已知全集U ＝｛y ｜y ＝xe ｝，集合A ＝{x ｜ln （x －1）＜0＝，则U A ＝A.（－∞，0］∪［2，＋∞）B.［2，＋∞） C ．（－∞，1］∪［2，＋∞） D. （0，0］∪［2，＋∞） 2.函数136,0()2,0xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过P （－5，12），则f ［f （cos α)］＝ A 、1 B 、2 C 、3 D 、 43.已知点P(x ，y)满足不等式，点Q(x ，y)是函数的图像上任意一点，则两点P 、Q 之间距离的最小值为 A.522－1 B.13－1 C. 4 D. 5224.已知b ＞1，0＜α＜，则x ，y ，z 的大小关系为A.x ＞y ＞zB.z ＞x ＞yC.z ＞y ＞xD.y ＞z ＞x5．如果关于实数θ的方程2x sin θ－x 2－1＝0有解，那么实数x 的取值范围是 A. ｛x ｜x ≤－l 或x ≥1} B.｛x ｜x ＞0l 或x ＝－1} C. ｛x ｜x ＜0或x ＝1} D{－1，1}6．要得到函数y 2cos2x 的图像，只需将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图像 A ．向左平移8π个单位 B 、向右平移8π个单位 C 、左平移38π个单位 D ．向右平移38π个单位7．在公差不为0的等差数列｛n a ｝中取三项a 2、a 4、a 8，这三个数恰好成等比数列，则此等比数列的公比为A·13 B·12C 、2D ．38、设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面：命题p ：m ∥n ，且p 是命题q 的必要条件，· 则q 可以是9．设函数()(xxf x e e x a x -=++-＞0），若存在b ∈（0，1］使得f ［f （b ）］＝b 成立，则实数a的取值范围是 A ．（2，1e e +］ B ．（2，1e e +） C 、［e ，1e e+］ D·［2，＋∞） 10．长度为1的线段MN 的正视图、侧视图和俯视图的投影长分别为a 、b 、c ，则a ＋b ＋c 的最大值为A\2 B ．22 C ．6 D ．311．如图所示，点P 为椭圆2243x y +＝1上任一点，F 1、F 2为其左右两焦点，△P F 1F 2的内心为I ，则12、偶函数y ＝f （x ）满足f （2＋x ）＝f （2－x ），当x ∈［－2，0］时有f （x ）＝2x-．若存在实数满足＝299，则的最小值为A 、198B 、199C 、198＋log 23D 、199一log 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置 13、已知＝14．已知三棱锥A 一BCD 所有顶点都在半径为2的球面上， AD ⊥面ABC ，∠BAC ＝90º，AD ＝2，则三棱锥A 一BCD 的体积最大值为15．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若对任意且，都有成立，则不等式的解集为16·如图所示，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，过F 2的直线交椭圆于B 、D 两点且｜BF 2｜＝2｜F 2D ｜，E 为线段BF 1上靠近F 1的四等分点，若对于线段BF 1上的任意点P ，都有成立，则椭圆的离心率为三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数（1）当3πϕ=时，求函数()()2sin 2g x f x x =+的单调递增区间；（2）若函数()f x 满足()()66f x f x ππ-=+，求ϕ的值。
高三第二次联考数学理试题(含答案)
高三第二次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()(1)1z i i +-=，则z = （ ）A ．2B ．3C ．2D ．12.已知222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=，则A B =I （ ）A ．1(0,)3B ．1[2,)3-C ．1(,2]3D ．1(,2)33. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C o的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ） A ．最低温与最高温为正相关 B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 4. 已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若3sin 3x =，则2cos 2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin ,5A B c ==5cos 6C =，则a =（ ）A ．22．3 C ．32．46.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．84225++ B．64245++ C．62225++ D．82225++7. 将曲线1:sin()6C y xπ=-上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线()2:C y g x=，则()g x在[,0]π-上的单调递增区间是（）A．5[,]66ππ-- B．2[,]36ππ-- C．2[,0]3π- D．[,]6ππ--8. 执行如图所示的程序框图，若输入的4t=，则输出的i=（）A．7 B．10 C．13 D．169. 设,x y满足约束条件22026020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2y xzx y=-的取值范围是（）A．7[,1]2- B．7[2,]2- C．77[,]23-- D．3[,1]2-10. 函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(2,22)+ C ．(2,2) D ．(1,2)(22,)++∞U 12. 已知函数()()231,ln 42x xf x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 22+ B ．ln 2 C ．12ln 22+ D ．2ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量m u r 与向量n r 互相垂直，且2(11,2)m n -=-u r r，若5m =u r ，则n =r ．14.在二项式61(2)2xx -+的展开式中，其3项为120，则x = ．15.如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为 ．16.已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,8)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必考题（60分）17. 已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11{}n na b + 的前n 项和n T .18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.19.如图，四边形ABCD 是矩形，33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,6ABCD PE =.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长是短轴长的22倍，且椭圆C 经过点2(2,2A . （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，22MN =l 在y 轴上的截距为m ， 求m 的最大值.21.函数()2ln(1)f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：2112()2ln 2f x x x >-+ .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )4ρθθ-=，若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 上在2C ，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值.23.已知()223f x x a x a =-+++ . （1）证明：()2f x ≥；（2）若3()32f -<，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBAB 6-10: CBDAD 11、D 12：A 二、填空题13. 5 14.215. 5 16.23三、解答题17.解：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知111111()2(1)21n na b n n n n +==-++，所以11111111[(1)()()()]22233412(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L . 18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则11214211313()25525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量(3,0.4)X B :， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=. 19.（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD是矩形，3,2AB BC DE EC ===,所以CE BCCE BC AB==,又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆∆∠=∠:,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E =I ，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,23,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,6)A B C P -,则6(0,33,0),(3,3,6),(,0,1)AB BP CB ==--=u u u r u u u r u u u r , 设平面APB 的法向量1111(,,)n x y z =u r ，则11113303360y x y z ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩，取1116,0,13x y z ===，即16(,0,1)3n =u r 设平面BPC 的法向量2222(,,)n x y z =u u r ，则2222303360x x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取2110,2,1x y z ===，即1(0,2,1)n =u r设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则1212125cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 由图可知二面角为钝角，所以5cos θ=-.20.解：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点(2,2A 的坐标代入椭圆的方程，得221118b b+=， 所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，联立方程组2218x y y kx m⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 得222(18)16880k x kmx m +++-=，由22225632(1)(18)0m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k--+==++，所以MN ===2222(81)(34)4(1)k k m k +-=+，令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，24921(8)214m t t=-+≤-，即m ≤ 当且仅当4984t t=，即8t =时，上式取等号，此时288k =，27(38m -=，满足2218m k <+， 所以m21.解：函数()f x 的定义域为()222(1,),1x x mf x x++'-+∞=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上，12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11()022g m -=-+≥，即12m ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得121122x x =-=-+，因为()10g m -=>，所以1111222x -<<--<-，当12x x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时，()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时，()f x 在11(22--上递减，在1(1,22---和1()22-++∞上递增，当12m ≥时，在(1,)-+∞上递增. （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在1(1,)x -和2(,)x +∞上递增，则2()(0)0f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证2112()2ln 2f x x x >-+又2222221222()22ln(1)24ln(1)f x x m x x x x x =++=++22222222224(1)ln(1)(1)2(1)ln 212(1)ln 2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+， 即证22222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立，设()2124(1)ln(1)(1)(12ln 2),(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()44(12)ln(1)lnx x x e ϕ'=-++- 当102x -<<时，4120,ln(1)0,ln 0x x e+>+<>，故()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在1(,0)2-上递增， 故()11111()24ln (12ln 2)024222x ϕϕ>=⨯-⨯⨯--=， 所以22222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->，所以2112()2ln 2f x x x >-+.22.解：（1）1C 的普通方程为22(1)1x y +-=，它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， 2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆. （2）由已知得(0,2)P ，设(2cos ,sin )Q θθ，则1(cos ,1sin )2M θθ+， 直线:240l x y --=，点M 到直线l的距离为d ==，所以d ≤=，即M 到直线l的距离的最小值为5. 23.（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+ 而2222323(1)22x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,3334()232222,4a a a f a a a a a ⎧++≥-⎪⎪-=+++=⎨⎪-<-⎪⎩ ， 所以234233a a a ⎧≥-⎪⎨⎪++<⎩或23423a a a ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得10a -<<，所以a 的取值范围是(1,0)-.。
高三数学第二次联考试题卷(附答案)
高三数学第二次联考试题卷数 学（理工类）考试时量:120分钟,试卷满分:150分.参考公式：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A ∩(U B ð)等于 （ ） A ．{4，5} B ．{2，4，5，7} C ．{1，6}D ．{3}2. 若a 、b 是两条不重合直线，α、β是两个不重合的平面，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）（A ）a α⊂，b α⊂，a ∥β且b ∥β （B ）a α⊂，b β⊂，且a ∥b （C ）a α⊥，b β⊥，且a ∥b （D ）a ∥α，b ∥β，且a ∥b 如果事件A 、B 互斥，那么 P (A + B ) = P (A ) + P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A · B ) + P (A ) · P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k knn p p C k P --=)1()( 球的表面积公式 24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径3. 在等差数列{}n a 中，1120a =，4d =-，若()2n n S a n ≤≥，则n 的最小值为（ ）（A ）60 （B ）62 （C ）70 （D ）724. 已知0m >，0n >，且满足4m n +=，则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）111m n+≤ （B ）112mn ≥ （C2≥ （D ）22118m n ≤+5.以直线y= -x+1与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A x 2=4y 或y 2=4x B x 2=2y 或y 2=2x C x 2=-4y 或y 2=-4x D x 2=2y 或y 2=-2x6．定义：| a × b | = | a | | b | sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若| a | = 2，| b | = 5，a · b = – 6，则| a × b | =（ ） A ．-8 B ． 8 C ．8或 – 8 D ．67．已知()y f x =与()y g x =则函数()()()F x f x g x =⋅的图象可以是8.在某城市中，A 、B两地有如右图所示道路网，从A 地A ．B ．C ．D ．到B 地最近的走法有（ ）种A 25B 2254C C + C 2254C CD 49C9．一个三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1，3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）（A ） 16π （B ） 32π （C ） 36π （D ） 64π10．定义在R 上的函数f(x)，给出下列四个命题:① 若f(x)是偶函数,则f(x+3)的图象关于直线x=-3对称； ② 若f(x+3)=-f(3-x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称； ③ 若f(x+3)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=3对称; ④ y=f(x+3)与y=f(3-x)的图象关于直线x=3对称. 其中正确命题的个数有（ ）A 0B 1C 2D 3试题卷 第 Ⅱ 卷 (非选择题，共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2025届安徽巢湖市高三第二次联考数学试卷含解析
2025届安徽巢湖市高三第二次联考数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．42．已知函数3sin ()(1)()x x x x f x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．33．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立 4．二项式22()n x x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．3605．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④ C ．①④ D ．①②③6．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+7．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A 5-1B 3-1C 31+D 51+ 8．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12i z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．12i - D ．12i +10．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥11．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） A 3B ．3 C ．1 D ．512．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年新疆高考数学第二次联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年新疆高考数学第二次联考试卷（理科）1. 已知复数z满足，则z的共轭复数z对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 集合，为以内的质数，记，则( )A. B. C. D.3. 设等差数列的前n项和为，若，则( )A. 18B. 36C. 54D. 1084. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A. B. C. D.5. 已知平面向量，，满足，，若对于任意实数x都有成立，且，则的最大值为( )A. 2B. 4C. 6D. 86. 在非等腰中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 中国算力大会“算力中国”创新成果展区分为A区和B区两大板块区由最新数据中心产业图谱和国家新型工业化示范基地组成，B区由算力筑基优秀案例、算力赋能案例、算力网络案例组成.若从该创新成果展区5个成果中，随机抽取3个成果，则其中恰有2个成果均是来自于B区的概率是( )A. B. C. D.8. 如图是一个简单几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.9. 函数，的图象大致为( )A. B.C. D.10. 已知抛物线的焦点为F，若抛物线上一点P满足，且直线PF 的斜率为，则a的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 1011. 已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面面积为( )A.B.C.D.12. 已知函数，其中且，若函数图象上存在关于原点对称的点仅有两对，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.13. 若实数x，y满足不等式组，则的最大值为______ .14. 已知双曲线C：的右焦点F到其中一条渐近线的距离为3，则双曲线的离心率______ .15. 已知函数满足下列条件：①是函数经过图象变换得到的；②对于，均满足成立；③的函数图象过点请写出符合上述条件的一个函数解析式______ .16. 对于函数和，设，，若存在m，n，使得，则称和互为“零点关联函数”，若函数与互为“零点关联函数”，则实数a的最小值是______ .17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且证明：；若D为BC边上的点，，，求b的值.18. 网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数其中10场为一个周期与产品销售额千元的数据统计如下：直播周期数x12345产品销售额千元37153040根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：5538265978101其中，请根据表中数据，建立y关于x的回归方程系数精确到；①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？②由①所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？最终答案精确到附：对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数：19. 如图，在直四棱柱中，，为等边三角形.证明：；设侧棱，点E在上，当的面积最小时，求AE与平面所成的角的大小.20. 已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点.求椭圆C的方程；已知过椭圆上一点的切线方程为设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点F，使得以PQ为直径的圆恒过点F？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.21. 已知函数，，其中e为自然对数的底数.若有两个极值点，求a的取值范围；记有两个极值点为，，试证明：22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，写出直线l的参数方程及曲线C的普通方程；设点，若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求实数m的值.23. 设函数，当时，求不等式的解集；对任意，恒有，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：，则，即，故，所以z的共轭复数z对应的点位于第四象限．故选：根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，为以内的质数，3，5，，故，故，，，故选：化简集合A，B，再根据交集的定义求集合M，最后利用元素与集合间的关系判断即可．本题主要考查元素与集合的关系，集合的化简与运算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：等差数列中，，，，，则故选：利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式求解即可．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由框图可知时，，时，，时，，时，，时，，时，，…，所以时，故选：分别求出，2，3，4，5时的关系式，然后根据规律即可求解．本题考查了程序框图的应用，涉及到导数的运算性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设则如图所示，因为，所以，即，所以，因为，所以，由，可得点C在以A为圆心，半径为1的圆面上包括边界，过圆周上一点C作OB的垂线，垂足为D，且DC与相切，延长DC交OA于N，则，又根据相似知识可得，所以的最大值为8，故选：设，作出，，由对于任意实数x都有成立，可得，由可得点C在以A为圆心，半径为1的圆面上包括边界，根据直线与圆的位置关系和几何知识可得结果．本题考查平面向量与平面几何的关联，从能力上考查学生的逻辑推理、观想象、数学运算等素养．属于一道中档题．6.【答案】A【解析】解：依题意得，而，得或，因为为非等腰三角形，所以舍去，所以当时，因为，，，单调递减，所以，所以，由正弦定理可得，反之不一定成立，即为充分不必要条件．故选：利用三角恒等变换可得或，由为非等腰三角形，可得，利用导数可得时，，从而可得，结合正弦定理及充分必要条件的定义即可得解．以充要条件为学科意境，实质上考查三角恒等变化、正弦定理，三角形中边角关系以及导数的应用，从能力上考查学生的数学运算，逻辑推理能力，数学抽象等核心素养．7.【答案】D【解析】解：基本事件总数，事件“恰有2个成果均来自B区”包含的基本事件总数，故选：可求出基本事件总数，事件“恰有2个成果均来自B区”包含的基本事件总数，然后根据古典概型的概率计算公式求即可．本题考查了古典概型的概率计算公式，组合数公式，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图得，该几何体是四分之一的圆锥，底面半径为2，高为，如图所示；它的表面积为：故选：根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．本题考查了空间中三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何体的直观图，从而求出答案来，是基础题．9.【答案】B【解析】解：，则函数是奇函数，排除A，当，时，函数，排除选项C、故选：利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用特殊点的位置排除判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为：，抛物线上一点P满足，可得，直线PF的斜率为，所以，可得，解得或舍去故选：求出抛物线的焦点坐标，结合抛物线的定义，利用直线的斜率，求出a即可．本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：延长AF，，且AF与相交于G，连接EG，并与相交于D，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面，在中，由，，得，在中，由，，得，因为F为的中点，所以由平面几何知识可知，≌，所以，，即F为AG的中点，所以，又由，可得∽，又，，所以，在中，由，，得，所以，所以在中，有，，，即，所以，在中，F为斜边中点，D为直角边EG的三等分点，，四边形AEDF的面积为，故选：A、E、F三点的平面在直三棱柱的截面为四边形AEDF，结合三角形相似，对应边成比例可得截面面积．本题考查空间几何体的截面问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：关于原点对称的函数为，即，若函数图象上存在关于原点对称的点仅有两对，则与在上有两个不同的交点，所以方程在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，由，得，即，令，则，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，，如图所示，所以有两个不同的实数根等价于与有两个交点，则满足，解得，即实数a的取值范围为故选：根据函数图象上存在关于原点对称的点仅有两对，可得与在上有两个不同的交点，即方程在上有两个不同的实数根，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，数形结合即可得解．本题考查函数的对称性质，以及运用导数手段求函数的单调性研究零点问题，考查学生的综合应用数学知识分析问题、解决问题的能力，考查化归与转化思想的应用．13.【答案】1【解析】解：作出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示，由图象可知，平移直线，且过点A时，目标函数z取得最大值，联立，解得，即，所以的最大值为故答案为：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，即可求解结论．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】【解析】解：双曲线C：，则双曲线C的右焦点，，且双曲线的渐近线为，右焦点F到其中一条渐近线的距离为3，，解得，，故答案为：由题意得双曲线C的右焦点，，且双曲线的渐近线为，利用点到直线的距离公式求出n，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】答案不唯一【解析】解：令，它满足：将的图象向右平移个单位，把所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得图象所有点的纵坐标扩大到原来的2倍，最后将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数为，即满足①，令，即，函数取得最大值为；令，即，函数取得最小值为，所以满足②，又，所以的函数图象过点，满足③，所以为所求函数．故答案为：答案不唯一由①可得，再根据②③条件求出A，，，b的值即可得到满足条件的一个函数解析式．本题主要考查了三角函数图象的变换，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：函数的零点为设的零点为，若函数与互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则，，由于在内有零点，即方程在内有解，构造函数，，令，，在内单调递减，，，，单调递增，且，，要使方程在内有解，则，实数a的最小值是故答案为：先得出函数的零点为再设的零点为，根据函数与互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有，从而得出的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用，属中档题．17.【答案】证明：，由正弦定理可得，，，即，，即；解：在中，由余弦定理可得，①，在中，由余弦定理可得，②，联立①②可得，，即，则，故【解析】根据已知条件，结合正弦定理，推得，再结合余弦定理，即可求解；分别在，中，运用余弦定理，并结合，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：对两边取对数，得，设，则，由表中数据可知，，所以，，所以，所以，即，故y关于x的回归方程为①，所以乙建立的模型拟合效果更好．②令，解得，故该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为2次．【解析】对两边取对数，得，设，有，根据已知数据求出z关于x的回归方程，即可得y关于x的回归方程；①计算可得，再由相关系数越大，拟合效果越好，得解；②令，求出x的范围，即可．本题考查回归方程的求法与应用，相关系数的含义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接AC，并与BD相交于点P，如图，由题知是等腰直角三角形，且为等腰三角形，点P为BD中点，且，在直四棱柱中，平面ABCD，且平面ABCD，，又，BD，平面，平面，又平面，，在四边形中，有，，四边形是平行四边形，，，由知平面，且平面，，的面积为，要使的面积最小，则PE最小，即，根据∽及边长可知点E为靠近点B的三等分点，以A为坐标原点，以AB，AD，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，，与平面所成角为【解析】连接AC，与BD相交于点P，推导出点P为BD中点，且，，从而平面，，推导出四边形是平行四边形，，由此能证明推导出，，根据∽及边长可知点E为靠近点B的三等分点，以A为坐标原点，以AB，AD，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与平面所成角．本题考查空间中线线垂直关系及线面角的大小的求解，考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养，是中档题．20.【答案】解：因为的中点在y轴上，可知轴，而，可得，解得，，所以椭圆的方程为：；由可得在P点，则，则在P点处的切线方程为：，令，可得Q的纵坐标为，即，假设存在这样的F点满足条件，设，则，即整理可得：，要使式子恒成立，则，解得，即存在点满足条件．【解析】由题意可得轴，再由A点的坐标，可得c，的值，再由a，b，c之间的关系，进而求出a，b的值，求出椭圆的方程；假设P的坐标，由点P在椭圆上，可得P点的横纵坐标的关系，设切线的方程，令，可得Q的纵坐标，再由以PQ为直径的圆恒过点F，可得，求出F点的坐标．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，以线段为直径的圆的性质的应用，属于中档题．21.【答案】解：，设，则，若有两个极值点，则有两个变号零点，当时，，在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，当时，令得所以在上，单调递减，在上，单调递增，又当时，；当时，，要使得有两个变号零点，则只需，所以，所以，所以a的取值范围为证明：要证，需要证，因为，为的零点，则，所以，令，则，解得，，所以只需证明，即证，设，，当时，，单调递减，所以，所以，即，所以【解析】求导得，设，则，若有两个极值点，则有两个变号零点，分两种情况：当时，当时，分析是否有两个变号零点，即可得出答案．要证，需要证，又，为的零点，则，令解得，，只需证明，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：已知直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为为参数曲线C的参数方程为为参数，转换为普通方程为把直线的参数方程为参数，代入，得到，所以，①，，②，由于，故，③，由①②③得：，解得【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．23.【答案】解：函数，当时，函数的关系式转换为；①当时，，解得，故；②当时，，解得；③当时，，解得，故；由①②③得：由于函数恒成立；即，即或，解得或，故实数a的取值范围为【解析】直接利用绝对值不等式的解法求出结果；首先利用恒成立问题和三角不等式的解法求出实数a的取值范围．本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，三角不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．。
2023年江西省九所重点中学高考数学第二次联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年江西省九所重点中学高考数学第二次联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，( )A. B. C. D.3. 《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l 是八尺时注：一尺等于十寸，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为( )A. B. C. D.4. 已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( )A. B. C. D.5. 已知抛物线C：的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点.若，则抛物线C的方程是( )A. B. C. D.6. 已知圆C：上的点均满足，则r的最大值为( )A. B. C. D.7. 一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记事件A：“3个球中至少有一个白球”，事件B：“3个球中至少有一个红球”，事件C：“3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是( )A. 事件A与事件B不为互斥事件B. 事件A与事件C不是相互独立事件C. D.8.中，已知的面积为，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于( )A. 2B. 4C.D.9. 将边长为4的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D.10. 已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，记的最小正周期为T，则当取最大值时，的值为( )A. 1B.C.D.11. 已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C交于不同的两点P，Q，且P，Q与构成的三角形中有，则t的取值范围是( )A. B.C. D.12. 已知函数，，的定义域均为R，为的导函数.若为偶函数，且，则以下命题错误的是( )A. B. 关于直线对称C. D.13. 在的展开式中，常数项为______请用数字作答14. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______ .15. 已知某圆锥的侧面积等于底面面积的4倍，直线l是底面所在平面内的一条直线，则该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为______ .16. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______ .17. 已知数列和满足，且满足，，求数列，的通项公式；设数列的前n项和为，求当时，正整数n的最小值.18. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，且笔试成绩高于70分的学生进入面试环节.从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：若，则，，，19. 如图，在几何体ABCDE中，，，已知平面平面ACD，平面平面BCE，平面ABC，证明：平面ACD；若，设M为棱BE上的点，且满足，求当几何体ABCDE的体积取最大值时AM与CD所成角的余弦值.20. 设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为求椭圆的方程；若动直线l与椭圆E交于P，Q两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由.21. 已知函数，，其中a为实数，e为自然对数底数，….已知函数，，求实数a取值的集合；已知函数有两个不同极值点、①求实数a的取值范围；②证明：22. 在平面直角坐标系xoy中，圆O的方程为，圆E以为圆心且与圆O 外切.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求圆E的参数方程与极坐标方程.若射线与圆O交于点A，与圆E交于点B，C，且，求直线BC的斜率.23. 已知正数a，b，c满足求证：若正数m，n满足，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，故选：求出集合P，Q，利用交集定义求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，则，故，所以故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：如图所示，设，则，所以故选：可设，先根据条件求出，然后利用二倍角公式求出结果．本题考查解三角形知识、三角恒等变换的方法在实际问题中的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设收集的48个准确数据为，，⋯，所以，所以，所以，又，故选：根据数据总和不变，则平均数不变，再结合方差公式，即可求解．本题主要考查方差公式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：过点M作，垂足为点D，点是抛物线C上一点，，①，由题意可得，，，，，解得②，由①②，解得舍去或故抛物线C的方程为过点M作，垂足为点D，由已知可得，由，可得，求解可得抛物线C的方程．本题考查求抛物线的方程，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．6.【答案】A【解析】解：圆心到直线：的距离，点到直线：的距离，，的最大值为故选：求得圆心C到两直线的距离，可求r的最大值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离，属基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，取出的3个球的可能情况为：3个红球；1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个白球．故事件A包含：1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个白球，且；事件B包含：1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个红球，且；事件C包含：1个红球2个白球；2个红球1个白球，且所以，，，因为，则事件A与事件B不为互斥事件，A选项正确；，故事件A与事件C不是相互独立事件，B正确；，故D错误；，故C正确；根据题意，取出的3个球的可能情况为：3个红球；1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个白球，进而依次分析事件A、事件B、事件C，及其概率，再讨论各选项即可得答案．本题考查条件概率，互斥事件，独立事件，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：的面积为，，在中，由余弦定理得，，即，当且时，则，此时，不符合题意，，解得，将代入，解得，是BC边的中点，，，故选：利用三角形的面积公式和余弦定理可得，当时不符合题意，则，求出A，利用向量的线性运算可得，即可得出答案．本题考查平面向量数量积的性质和余弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：在边长为4的正方形ABCD中，设E、F分别为AB、BC的中点，、、分别沿DE、EF、FD折起，使A，B、C三点重合于点，满足题意，如下图所示：翻折前，，，翻折后，则由，，，将三棱锥补成长方体，其中，，设三棱锥的外接球的半径为R，则，，故该三棱锥的外接球的表面积为故选：作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果．本题考查了三棱锥的外接球的表面积计算，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：，函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，，解可得，则当取最大值时，的最小正周期，则故选：先结合和差角，辅助角公式对已知函数进行化简，由题意可知，解不等式可求的范围，进而即可求解．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，解题中要注意性质的灵活应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：联立直线与双曲线C：，可得，则，即，且，①设，，可得，由P，Q与构成的三角形中有，可得为等腰三角形，且，设PQ的中点为N，则，又PQ的中点N的坐标为，直线MN的斜率为，所以，化为，②，③由①②③解得或，故选：联立直线l的方程与双曲线的方程，运用判别式大于0，结合中点坐标公式求得线段PQ的中点N的坐标，再由题意可得为等腰三角形，由，结合两直线垂直的条件可得k，t的方程，即可得到所求取值范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由，，可得，则与为常数，令，则，，则，故关于直线对称，故B正确；为偶函数，，，则为奇函数，故，即，则是以4为周期的周期函数，由，令，则，可得，故，故A正确；由，令，则，即，令，则，即，故，则，由，得，则，由于无法得出的值，故C错误；，故D正确．故选：由已知等式可得，继而得到，即可判断B；由为偶函数可得为奇函数，继而得到是以4为周期的周期函数，即可判断本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数图象的对称性，考查函数的导函数的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．13.【答案】60【解析】【分析】考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．求出展开式的通项，然后令x的指数为0，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项为，，1，2，，6，令，解得，所以展开式的常数项为，故答案为：14.【答案】6【解析】解：由题意得，，故答案为：根据向量数量积的定义，即可求解．本题考查向量数量积的概念，化归转化思想，属基础题．15.【答案】【解析】解：已知圆锥的侧面积等于底面面积的4倍，设圆锥底面圆半径为r，母线长为，则，解得，直线l与母线所成的最小角为母线与圆锥底面所成角，即；当直线l为DE时，且满足，又底面圆O，底面圆O，所以，，所以平面OAC，平面OAC，所以，即直线l与母线AC垂直，直线l与母线所成的角最大，余弦值为所以直线与与母线所成的角的余弦值的取值范围为故答案为：直线l与母线所成的最小角为母线与圆锥底面所成角，当直线l与一条母线垂直时所成的角最大，即可得解．本题考查了直线与平面所成的角以及异面直线所成的角的问题，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设，则，故，则，又因为，即，所以，，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，即当时，恒成立，构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，所以，即，故，故，实数a的取值范围为故答案为：先构造函数，利用，最终求得，即当时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的最值和极值，属于难题．17.【答案】解：已知数列和满足，，，则，，又满足，数列为等比数列，又，，；由可得，又，，又，，即正整数n的最小值为【解析】由题意可知数列为等比数列，结合已知条件求出数列和的通项公式即可；由可得，然后结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可．本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了分组求和及公式法求和，属基础题．18.【答案】解：由题意可知，，则，所以，从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，这10人中至少有一人进入面试的概率为由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4，则，，，，，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X01234P故【解析】计算出试点高校每名学生进入面试的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进一步可求得的值．本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．19.【答案】证明：过点D作，与AC交于点O，平面平面ACD，且两平面的交线为AC，由面面垂直的性质定理可得平面ABC，又平面ABC，，又且，由线面垂直的判断定理可得平面解：过点E作交BC与点N，连接ON，平面平面BCE，且两平面的交线为BC，平面ABC，又平面ABC，，E到平面ABC的距离相等，且，平面ACD，，，，又，令，则，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，据此可知当，即时取得最大值，如图所示，以点O为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，因为M为棱BE上的点，且满足，所以，，，设AM与CD所成角为，则，即当几何体ABCDE体积最大时，AM与CD所成角的余弦值为【解析】由题意通过面面垂直的性质得到平面ABC，然后结合线面平行可得，进而根据线面垂直的判定定理即可证明平面ACD；过点E作交BC与点N，连接ON，据此可得四边形ODEN为平行四边形，然后把多面体ABCDE分为两个三棱锥求体积，令，把求体积的最大值转化为求关于x的函数的最大值，利用导数研究其最值，然后以点O为原点建立空间直角坐标系，通过向量法求AM与CD所成角的正切值．本题主要考查线面垂直的证明，锥体体积的相关计算，利用导数求最值的方法，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．20.【答案】解：设点M的坐标为，点M在线段AB上，满足，，，故，，，，解得，椭圆的方程的方程为；当直线斜率不存在时，直线l的方程为，，，此时，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，，原点O到直线l的距离为d，，整理得，由，可得，，，，，，，恒成立，恒成立，，，定圆的方程为当时，存在定圆C与直线l相切，其方程为【解析】设点M的坐标为，由已知可得，，结合已知可得，求解即可；当直线斜率不存在时，直线l的方程为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，，联立方程可得，，进而由，可求解．本题考查求椭圆的方程，考查求圆的方程，考查运算求解能力，属中档题．21.【答案】解：由，得，当时，为增函数，因为，所以当时，，不合题意；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，要使，只需，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，则由，得，，故实数a的取值的集合为；①由已知，，函数有两个不同极值点、有两个零点，若时，则在R上单调递增，在R上至多一个零点，与已知矛盾，舍去，当时，由，得，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，当，，，，故实数a的取值范围；②证明：设由①得，，，，取对数得，令，，则，即，令，则，，在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递增，又，时，，即，，，在，上单调递增，，，即，故成立．【解析】求出函数的导数，分类讨论可得函数的单调区间，进而分析可得答案；由已知得有两个零点，分类讨论，结合构造函数可证不等式成立．本题考查导数的综合应用，考查构造函数证明不等式，属难题．22.【答案】解：因为圆E以为圆心且与圆O外切，所以其半径为所以圆E的普通方程为圆E的参数方程为为参数，由，得由，得圆E的极坐标方程为由题意得，所以把代入，得，则，是的两个根，所以，解得，所以，所以，所以直线BC的斜率为【解析】根据直角坐标方程和参数方程与极坐标方程的转化关系即可；根据极坐标方程的几何意义，求出直线BC的倾斜角即可．本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查极坐标的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．23.【答案】证明：因为a，b，c为正数，所以当且仅当时，取等号，同理可得当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，因为正数a，b，c满足，所以当且仅当时取等号；因为正数a，b，c满足，所以，因为正数m，n满足，所以当且仅当时取等号【解析】首先根据题意得到，再利用不等式的性质即可证明；首先根据三个正数均值不等式得到，再根据证明即可．本题考查了不等式的性质和正数均值不等式，属于中档题．。
2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第二次联考数学试卷含解析
2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第二次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 2．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}3．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ）A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>5．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞6．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．21313-B ．1313C ．613D 6138．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．969．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件.A ．1B ．2C ．3D ．4 10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．11．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．10512．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届陕西省安康市高三第二次联考数学试卷含解析
2025届陕西省安康市高三第二次联考数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞2．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π3．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅4．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A 5 B 5C 25D ．355．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．46．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种B ．27种C ．37种D ．47种7．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤8．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]9．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．810．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩11．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A ．13-B ．13C ．12-D ．1212．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ）A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．28358二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试题含答案
沅澧共同体2025届高三第二次联考（试题卷）数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分命题单位：一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1A x x =>，{}23B x x =-<，则A B = （）A.{}15-<<x x B.{}15x x << C.{}1x x >- D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】解不等式，可求出集合B ，进而与集合A 取交集即可.【详解】由题意，2332315x x x -<⇔-<-<⇔-<<，则{}{}2315B x x x x =-<=-<<，所以{}{}{}11515x x x x x x A B >-<=<<<= .故选：B.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算能力，属于基础题.2.设命题:0p x ∀>，20x >，则p ⌝为（）A.0x ∃>，20x ≤B.0x ∀≤，20x >C.0x ∀>，20x ≤D.0x ∃≤，20x ≤【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，命题:p “0x ∀>，20x >”的否定:p ⌝“0x ∃>，20x ≤”.故选：A.3.设 1.212,lg3,ln3a b c ===，则a b c 、、的大小顺序为（）A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案.【详解】由函数ln ,lg y x y x ==在 t h ∞上单调递增，可得1ln ln103<=，0lg1lg 3lg101=<<=.因函数2x y =在R 上单调递增，则 1.21222>=.故 1.21ln ln10lg1lg 3123<==<<<，即a b c >>.故选：A4.已知(1i)2i z +=-，则|i |z -=（）A.1B.22C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法计算，利用复数的模公式可得解.【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 2z ----===++-，则1ii 2z +-=，所以2i 2z -==.故选：B.5.若4,1a b == ，向量a 与向量b 的夹角为120︒，则a在b 上的投影向量为（）A.3b- B.2bC.2b-D.b-【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量定义计算即可.【详解】由投影向量定义可知，a在b 上的投影向量为41cos12021a b b b b bb⋅⨯⨯︒⋅==-.故选：C 6.已知π3cos(44α+=，则sin2α=（）A.18B.78-C.18-D.78【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为π3cos()44α+=，所以sin2α=πcos(2)2α-+πcos 2()4α⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2π2cos 14α⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭9121168=-⨯+=-.故选：C.7.关于x 的一元二次不等式2650ax ax -+≤的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围是（）A.5|18a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B.{|01}a a <<C.5|18a a ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭D.5|18a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意画出2()65f x ax ax =-+的草图，由(2)0,(1)0,f f ≤⎧⎨>⎩解出实数a 的取值范围.【详解】函数2()65f x ax ax =-+的图象如图所示．若关于x 的一元二次不等式2650ax ax -+≤的解集中有且仅有3个整数，则(2)0,(1)0,f f ≤⎧⎨>⎩即41250,650,a a a a -+≤⎧⎨-+>⎩解得518a ≤<.故选：A ．8.设函数22e sin ()1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】求导后求出切线的斜率，再由点斜式得到切线方程，然后求出与坐标轴的交点，最后求出三角形面积即可；【详解】由题意可得()()()()()()22222222222e cos 12e sin 222e cos 2sin cos ()11xx x x x x xxx x x x x xf x x x ++-+-++-+¢==++，所以()03f '=，所以切线方程为13y x -=，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，则三角形的面积为1111236⨯⨯=，故选：A.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．9.若()f x 满足对定义域内任意的12,x x ，都有()()()1212f x f x f x x +=⋅，则称()f x 为“优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（）A.()2xf x = B.()3log f x x =C.2()f x x = D.()sin f x x=【答案】ACD【解析】【分析】利用“优美函数”的定义，举例说明判断A,C,D 不是“优美函数”，通过对数的运算判断B.【详解】对于A ，函数()f x 定义域为R ，取121,2x x ==，则()()()12126,4f x f x f x x +=⋅=，则存在12,x x ，使得()()()1212f x f x f x x +≠⋅，故A 满足题意；对于B ，函数()f x 的定义域为{0}xx >∣，对于定义域内任意的()()()()1212313231212,,log log log x x f x f x x x x x f x x +=+==⋅，故B 不满足题意；对于C ，函数()f x 定义域为R ，取121,2x x ==，则()()()12125,4f x f x f x x +=⋅=，则存在12,x x ，使得()()()1212,f x f x f x x +≠⋅故C 满足题意；对于D ，函数()f x 定义域R ，取12π0,3x x ==，则()()()12123,02f x f x f x x +=⋅=，则存在12,x x ，使得()()()1212,f x f x f x x +≠⋅故D 满足题意.故选：ACD.10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C.2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数D.将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象【答案】ABD 【解析】【分析】由最值求A ，由周期求ω，结合特殊点的三角函数值求ϕ，进而可求函数解析式；将5π12x =-代入计算，得到最小值就可判断；利用奇函数的定义进行判断为奇函数即可判断；直接进行伸缩变化即可判断．【详解】A ．由图可得，2A =，ππ12π3124ω-=⨯，解得2ω=，又函数图象经过点π,212⎛⎫⎪⎝⎭，所以π2sin 2212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π2ϕ<，所以ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；B ．当5π12x =-时，ππ232x +=-，此时函数取得最小值，()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；C ．2π4ππ2sin 22sin2333f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，故C 错误；D ．将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 正确，故选：ABD ．11.已知函数()121xmf x =-+是奇函数，下列选项正确的是（）A.2m =B.12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，恒有()()()()12120x x f x f x --<C.函数()f x 在[)1,2-上的值域为13,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.若x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-的一个充分不必要条件是5a >【答案】AD 【解析】【分析】对A ：根据奇函数定义运算求解；对B ：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对C ：根据单调性求值域；对D ：根据单调性整理可得：x ∀∈R ，2410ax x -+>恒成立，结合一元二次不等式的恒成立问题分析运算.【详解】对于A ：∵函数()121xmf x =-+是奇函数，其定义域为R ，则()()21122021212121x x x xx m m m m f x f x m -⋅⎛⎫⎛⎫+-=-+-=-=-= ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭，解得2m =，故A 正确；对于B ：由选项A 可得：()2121xf x =-+，对12,x x ∀∈R ，且12x x <，则12022x x <<，可得1212121x x <+<+，故1211102121x x >>>++，可得12222121x x -<-++，则1222112121x x -<-++，即()()12f x f x <，故()2121x f x =-+在R 上单调递增，∴12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，恒有()()()()12120x x f x f x -->，故B 错误；对于C ：∵()21111312f -=-=-+，()232155f =-=，且()f x 在定义域内单调递增，∴函数()f x 在[)1,2-上的值域为13,35⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故C 错误；对于D ：∵x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-，且()2121x f x =-+在R 上单调递增，∴x ∀∈R ，2212x ax x -<-恒成立，即x ∀∈R ，2410ax x -+>恒成立，当0a =时，则410x -+>不恒成立，不合题意；当0a ≠时，则0Δ1640a a >⎧⎨=-<⎩，解得4a >；综上所述：实数a 的取值范围为()4,+∞.∵(5,)+∞(4,)+∞，∴x ∀∈R ，恒有()()2212f x f ax x -<-的一个充分不必要条件是5a >，故D 正确；故选：AD ．【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数2710(0)x x y x x++=>的最小值是__________．【答案】7+7+【解析】【分析】由题知107,0y x x x=++>，进而直接利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为0x >，所以100,0x x>>，所以，2710x x y x ++=10772x x =++≥+7=+．当且仅当x =时等号成立．所以，最小值为7+故答案为：7+13.用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为__________3cm ．【答案】3【解析】【分析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r ，则可计算圆锥筒的高，代入体积公式计算即可.【详解】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r ,则12222r ππ⨯⨯=，1r ∴=，=这个圆锥筒的体积为;21133Vπ=⋅⨯=.故答案为：3【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式，半圆的弧长与圆锥的底面周长之间的关系，属于容易题. 14.函数()22cos02xf x xωωω=->（），已知()f x在区间π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭恰有三个零点，则ω的范围为_______.【答案】73,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】根据题意，由三角恒等变换公式将函数()f x化简，然后由函数的零点列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得()2π2cos cos12sin126xf x x x x xωωωωω⎛⎫=-=--=--⎪⎝⎭，令π6t xω=-，即1sin2t=恰有三个实根，三根为：①()π5ππ2π2π21π666k k k++++，，；()()5ππ5π2π21π21π666k k k+++++②，，，k∈Z，∵0ω>，∴π2π636πππ36xωωω⎛⎫-∈---⎪⎝⎭，，∴()()()5ππππ21π2π6366π2ππ5π21π21π6366k kk kωω⎧++-≤--<+⎪⎪⇒⎨⎪++<-≤++⎪⎩，，无解；或()()πππ5π63612π2π63669135π2πππ3321π22π226366k kk kk kk kωωωω⎧--<≤--+≤--<+⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨+<≤+⎪⎪++<-≤++⎩⎪⎩，，，当1k =-时，解得ω的范围为73,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故答案为：73,2⎛⎤ ⎥⎝⎦四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角,,A B C 的对边，且a =，1c =，2π3A =．（1）求b 及ABC V 的面积S ；（2）若D 为BC 边上一点，且1AD =，求ADB ∠的正弦值．【答案】（1）2b =，32ABC S =（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出关于b 的二次方程，可解出b 的值，进而可求得ABC V 的面积S ；（2）在ABC V 中，利用正弦定理可求得sin B 的值，再由AB AD =可得出ADB B ∠=∠，进而可求得ADB ∠的正弦值.【小问1详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，整理得271b b =++，即()()26320b b b b +-=+-=，因为0b >，解得2b =，所以11sin 212222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=.【小问2详解】由正弦定理得：sin sin b aB A=，所以sin sin b A B a ===，在三角形ABD 中，因为c AB AD ==，则ADB B ∠=∠，所以21sin sin 7ADB B ∠==.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{}n b 满足34log 1n n a b =+．（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】（1）41n a n =+，3n n b =（2）1312322n n T n +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）已知n S 求n a ，利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解n a ，进而利用已知关系求n b 即可；（2）利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由34log 141n n a b n =+=+，所以3n n b =.【小问2详解】由（1）知(41)3nn n a b n =+⋅125393(41)3n n T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ②①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅1119(132154(41)33(41)313n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-），所以1312322n n T n +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭．17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AB BC ⊥，2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点．（1）求证：AM ⊥面SBC ；（2）求异面直线SD 与CM 所成角的余弦值；（3）在线段CD 上是否存在一点N ，使得直线BN 和平面SCD 所成角为π3？若存在，求出CN CD 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）23015（3）存在；215CN CD =或23【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为0即可证明线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明即可；（2）求出直线SD 与CM 的方向向量，利用空间向量求异面直线的夹角即可；（3）求出平面SCD 的法向量，假设(01),CN CD λλ=<< 通过空间向量的线性运算求得BN ，利用已知条件列出等式求解即可得到λ的值，进而可求CN CD的值.【小问1详解】以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0A B C D ，()()()()0,0,2,0,1,1,0,1,1,2,0,0S M AM BC ∴== ,()0,2,2BS =- ()·0210100,·0012120,AM BC AM BS =⨯+⨯+⨯==⨯+⨯-+⨯=,AM BC AM BS ∴⊥⊥,BC BS B = ，且,BC BS ⊂平面,SBC AM ∴⊥平面SBC【小问2详解】由（1）得，()()1,0,2,2,1,1SD CM =-=-- ，()()1221230cos ,1556SD CM SD CM SD CM⋅⨯-+-⨯∴===⨯ ∴异面直线SD 与CM 所成角的余弦值为23015．【小问3详解】由（1）得，()()1,2,0,1,0,2DC DS ==- ,()2,1,1MC =- ．设平面SCD 的法向量 t t ，由00n DC n DS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩，令1z =，则()2,1,2,1,1x y n ==-∴=- ，设()()(01),1,2,0,,2,0CN CD CD CN λλλλ=<<=--∴=-- ，()()()2,0,0,2,02,2,0BN BC CN λλλλ∴=+=+--=-- ．()()()22222π3sin cos ,32622BN n BN n BN n λλλλ⋅-+∴===⨯-+- 整理得，2453640λλ-+=，解得215λ=或2,3∴存在点2,15CN N CD =或23．18.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为2，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若10MN =，求MN 的方程；（3）记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.【答案】（1）221124x y +=（2）123y x =--（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l 的方程为13y x m =-+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN 的方程；（3）将韦达定理代入12k k 中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得2222291122a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得322a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为13y x m =-+，()()1122,,,M x y N x y 由22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22469360x mx m -+-=，由()22Δ(6)14440m m =-->，得33m -<<，则212123936,24m m x x x x -+==.2MN ===解得2m =或2m =-当2m =时，直线1:23l y x =-+经过点()3,1P ，不符合题意，舍去；当2m =-时，直线l 的方程为123y x =--.【小问3详解】直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以123,3x x ≠≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()212121212111(1)9339x x m x x m x x x x --++-=-++()222221936131(1)3619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+为定值.19.已知()e 1,,e x f x ax a =-+∈R 是自然对数的底数．（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若关于x 的方程()10f x -=有两个不等实根，求a 的取值范围；（3）当e a =时，若满足1212()()()f x f x x x =<，求证：122x x +<．【答案】（1）答案见解析；（2）(e,)+∞；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0,0a a ≤>分类讨论导数值正负即得.（2）把()10f x -=的根转化为直线y a =与e ()=x g x x的图象有两个交点求解.（3）由（1）的信息可得121x x <<，构造函数()()(2),1h x f x f x x =--<，利用导数探讨单调性即可推理得证.【小问1详解】函数()e 1x f x ax =-+的定义域为R ，求导得()e '=-x f x a ，当0a ≤时，恒有()0f x '>，则函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，由()0f x '<，得ln x a <；由()0f x '>，得ln x a >，即函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的递减区间为(,ln )a -∞，递增区间为(ln ,)a +∞.【小问2详解】方程(00)e 1xf x ax -=-=⇔，当0x =时，方程不成立，则e xa x =，令e ()=x g x x ，依题意，方程()10f x -=有两个不等实根，即直线y a =与()y g x =的图象有2个交点，求导得2(1)e ()xx g x x '-=，当0x <或01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在(,0),(0,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，而当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，且当1x =时，()g x 取得极小值(1)e g =，作出函数()y g x =的图象，如图：观察图象，当e a >时，直线y a =与函数()y g x =的图象有2个交点，所以a 的取值范围为(e,)+∞.【小问3详解】当e a =时，()e e 1x f x x =-+，求导得()x f x e e '=-，由（1）知，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，由12x x <，且12()()f x f x =，得121x x <<，令函数()()(2),1h x f x f x x =--<，求导得22e e e e e e 2e 0()()(2)x x x x h x f x f x ---'''+->⋅=+-=-=，则函数()h x 在(,1)-∞上单调递增，有()(1)0h x h <=，于是()(2)f x f x <-，而11<x ，因此11()(2)f x f x <-，即21()(2)f x f x <-，又1221,1x x ->>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，从而212x x <-，所以122x x +<.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．。
2025届河北省邢台市第七中学高三第二次联考数学试卷含解析
2025届河北省邢台市第七中学高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8y x =+，则表中数据m 的值为（ ）变量x 01 2 3 变量y m35.57A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.52．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．13．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元4．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．325．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．36．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >7．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．43608．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．839．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥C ．αβ⊥且//m αD ．m n ⊥且//n β10．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．22C 3D 2311．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C 3D 512．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省普洱市2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试卷
云南省普洱市上学期2025届高三年级第二次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}532,1,0,5,log 2A B x y x ⎧⎫⎛⎫=--==+⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，则AB =（）A.{}5 B.{}0,5 C.{}2,1-- D.{}1,0,5-【答案】D 【解析】【分析】由对数函数的定义域求出集合B 的元素，进而利用交集运算即可得出.【详解】由对数函数的定义域可得32B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，故{}1,0,5A B ⋂=-.故选：D.2.已知23i=-z ，则z =（）A.5 B.2C.25D.3【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数z ，再由求模公式即可得解.【详解】因为()()()23i 231i 3i 3i 3i 55z +===+--+，所以105z =.故选：A.3.已知向量()()2,1,3,7a m m b m =-+=-，则“1m =”是“a //b ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由a ∥b 可求m 的值，进而利用充分、必要条件的概念即可求解.【详解】由a ∥b 可得()()()3127m m m +=--，解得1m =或11m =，故“1m =”是“a ∥b ”的充分不必要条件.故选：A.4.近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程．相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数(x 单位：百次 与锂离子电池性能指数()0100y y ≤≤的回归模型，通过实验得到部分数据如下表：充放电循环次数x 3456电池性能指数y91888279由上表中的数据求得回归方程为y bx a =+，则计算可得b =（）（参考公式及数据：121ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，411509iii x y==∑）A.8.2B. 4.2C.8.2-D. 4.2-【答案】D 【解析】【分析】由是意，结合公式，利用最小二乘法，可得答案.【详解】由3456 4.54x +++==，91888279854y +++==，且411509i ii x y==∑，4222221345686i i x ==+++=∑，故12221415094 4.5854.2864(4.5)4niii nii x yxyb xx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑．故选：D.5.已知()0,πα∈，且21sin 121cos αα+=-，则sin α=（）A.23B.13 C.14- D.13或14-【答案】B 【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系转化为一元二次方程，进而因式分解解方程并结合()0,πα∈可得sin α的值.【详解】由题意可得21sin 12sin αα+=，即212sin sin 10αα--=，即()()4sin 13sin 10αα+-=，又()0,πα∈，故1sin 3α=.故选：B.6.已知函数()()ln 2f x ax x =-+在区间()2,3上单调递增，则a 的最小值为（）A.1B.2C.14D.15【答案】C 【解析】【分析】由题意可知()102f x a x '=-≥+在区间()2,3上恒成立，进而分离参数得12a x ≥+，从而由函数()()1,2,32g x x x =∈+的单调性即可求解.【详解】由题意可得()102f x a x '=-≥+在区间()2,3上恒成立，所以12a x ≥+，设函数()()1,2,32g x x x =∈+，易得()g x 在()2,3上单调递减，故()124a g ≥=，即a 的最小值为14.故选：C.7.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222222221a a c b b b c a +-=≠+-，则A B +=（）A.π2B.π4C.π3D.π6【答案】A 【解析】【分析】先利用余弦定理和正弦定理边化角得sin cos sin cos A A B B =，然后用二倍角公式进行化简，从而可求A B +的值.【详解】由余弦定理化简可得222cos 2cos a ac Bb bc A=，即cos cos a B b A =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，由题意A B ≠，且(),0,πA B ∈，故22πA B +=，所以π2A B +=.故选：A.8.已知110,,22a a a b c a ⎛⎫⎛-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c b a<<【答案】C 【解析】【分析】构造()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合单调性和函数零点存在定理可求a 的取值范围，进而由指数函数的单调性即可得到答案.【详解】令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在R 上单调递增，由()110,02f f ⎛⎫><⎪⎝⎭，得1,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x =，故1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而12b ⎛= ⎪⎝⎭，12aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为a <12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可得11022a a b ⎛⎫⎛-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故a b >，又由指数函数x y a =在R 上单调递减可得1a a a >，即12aa c a a ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故b a c <<.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()πsin 206f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（）A.()f x 的相位为π6x +B.5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心C.函数π3f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称D.()f x 在区间()0,π上有且仅有2个极值点【答案】BD 【解析】【分析】由函数最小正周期求出ω，得()f x 的相位判断选项A ；检验曲线对称中心判断选项B ；由平移得新函数解析式求对称性判断选项C ；结合函数图象判断极值点个数判断选项D.【详解】由题意可得()f x 的最小正周期为π，所以2ππ2ω=，所以1ω=，故()f x 的相位为π26x +，故A 错误；由A 可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，且5π5ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心，故B 正确；πππ5πsin 2sin 23366f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，不为偶函数，其图象不关于y 轴对称，故C 错误；()0,πx ∈时，ππ13π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π26t x =+，结合正弦曲线得函数()sin f t t =在区间π13π,66⎛⎫⎪⎝⎭上有1个极小值点和1个极大值点，故D 正确.故选：BD.10.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11,212122f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线12x =对称B.()1f x +为奇函数C.()f x 的最小正周期为4D.()02f =【答案】AB 【解析】【分析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断A 选项；由()()2121f x f x -+=-+可得()()11f x f x -+=-+，结合奇偶性可判断B 选项；由题意化简可得()()()21f x f x f x +=-+=，可判断C 选项；用()()2121f x f x -+=-+代入0x =得，用1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入12x =可得()()010f f ==，可判断D 选项.【详解】对于A ：因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的图象关于直线12x =对称，故A 正确；对于B ：由()()()()212111f x f x f x f x -+=-+⇔-+=-+，故()1f x +为奇函数，故B 正确；对于C ：因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()()11f x f x f x =-=-+，即()()()21f x f x f x +=-+=，故()f x 的最小正周期为2，故C 错误；对于D ：由题意可得 ，对于1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =可得()()010f f ==，故D 错误.故选：AB.11.已知函数()32f x x ax bx =++，则（）A.若2,1a b ==，则()f x 有且仅有两个零点B.若0b =，则0为()f x 的极值点C.当a 为定值时，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为定值D.若0,0a b >=，当且仅当0203a x -<<时，曲线()y f x =上存在关于直线0x x =对称的两点【答案】ACD 【解析】【分析】将2,1a b ==代入，利用因式分解求()f x 的零点可判断A 选项；利用特殊情况，即用0a =来判断В选项；利用导数求曲线 在 푈 处的切线方程即可判断C 选项；由曲线 上存在关于直线0x x =对称的两点，可得即()()00f x x f x x +=-有非零的实根，进而转化为一元二次不等式，可判断D 选项；【详解】对于A ：若()()32222,1,221(1)a b f x x x x x x x x x ===++=++=+，有且仅有1,0-两个零点，故A 正确；对于B ：若()20,32b f x x ax ==+'，当0a =时()()0,f x f x '≥没有极值点，故В错误；对于C ：()()232,132f x x ax b f a b =+'+=++'，()11f a b =++，故切线方程为()322y a b x a =++--，在y 轴上的截距为2a --，为定值，C 正确；对于D ：曲线 上存在关于直线0x x =对称的两点即()()00f x x f x x +=-有非零的实根，即()()()()32320000x x a x x x x a x x +++=-+-，化简得()32002640x x ax x ++=有非零的实根，故22002640x x ax ++=有非零的实根，故200640x ax +<，得0203a x -<<，由于每步都为充要条件，故D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正数,x y 满足119x y+=，则23x y +的最小值为__________.【答案】59+【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．【详解】因为正数,x y 满足119x y+=，所以()(111132152323559999y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++=++≥⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32y x x y =，即3327y x +==时取等号.故答案为：59+.13.已知命题“[]31,2024,40x x ax ∃∈--≤”为真命题，则a 的取值范围为__________.【答案】[)3,∞-+【解析】【分析】由题意分离参数可得2min 4a x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，进而利用单调性求函数()24f x x x=-在[]1,2024上的最小值，即可得到答案.【详解】由题知命题“[]31,2024,40x x ax ∃∈--≤”为真命题，故2min 4a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，易得函数()24f x x x =-在[]1,2024上单调递增，故143a ≥-=-.故答案为：[)3,∞-+.14.已知1211π1212π,,1818a a x x --⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，且12x x >时，12ππsin 3sin 31212x x ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则正整数a =__________.【答案】2【解析】【分析】设t =π312x +，问题转化为函数()sin f t t =在23ππ2,21212t a a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递减，列不等式求a 的取值范围即可.【详解】由题意可转化为对于任意的1211π1212π,,1818a a x x --⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x >时，12ππsin 3sin 31212x x ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，设函数()πsin 312f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为11π1212π,1818a a x --⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π23ππ32,2121212x a a ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，不妨设t =π312x +，则可转化为函数()sin f t t =在23ππ2,21212t a a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故23ππ22π,122π3π22π,122π23π22,1212a k a k a a ⎧-≥+⎪⎪⎪-≤+⎨⎪⎪->-⎪⎩解得π17π224a <≤，故可取的正整数a 只能为2.故答案为：2.【点睛】方法点睛：通过换元，设t =π312x +，不等式恒成立问题转化为函数()sin f t t =在23ππ2,21212t a a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合正弦函数的单调区间，列不等式求a 的取值范围即可.四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1cos C C +=.（1）求C ；（2）设2,b a c M =+=为AB 的中点，求CM 的长度.【答案】（1）π3C =（2【解析】【分析】（1）先利用辅助角公式将把1cos C C +=转化为π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而即可求解；（2）根据题意利用余弦定理求得ab ，再利用()12CM CA CB =+可求CM 的值.【小问1详解】因为1cos C C +=，整理得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πC ∈，所以ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66C -=，所以π3C =.【小问2详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且c =，则22252()a b ab a b ab =+-=-+，又2b a =+，故48ab =，又M 为AB 的中点，则()12CM CA CB =+，()222211()33744CM a b ab a b ab ⎡⎤=++=-+=⎣⎦，故CM =16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为()2,0，点(在C 上.（1）求C 的离心率；（2）设恒过点D 的直线210kx y k -++=交C 于A ，B 两点，且D 为AB 的中点，求直线AB 的方程.【答案】（1）2（2）30x y -+=【解析】【分析】（1）由题意得到关于,a b 的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率；（2）设 푈 ， 푈 ，直线210kx y k -++=与椭圆联立，由根与系数关系可得k ，从而得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意得222224212a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得28a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=，故C的离心率22c e a ===；【小问2详解】设 푈 ， 푈 ，联立2221184y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214128860k x k k x k k +++++-=，故()12241212k k x x k ++=-+，由直线210kx y k -++=化为()210k x y +-+=，恒过()2,1D -，故1222+=-x x ，即124x x +=-，所以()2412412k k k+-=-+，解得1k =，此时二次方程为2312100x x ++=，2124310240∆=-⨯⨯=>满足题意，故所求直线的方程为30x y -+=．17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11ADD A 为正方形，点O 是线段1AC ，1AC 的交点，点M 在线段AB 上，且//OM 平面11BCC B ．（1）证明：AM BM =；（2）若1OC B D ⊥，求二面角B CO M --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）利用线面平行性质证得1//OM C B ，由1AO C O =，可得AM BM =；（2）建立空间直角坐标系，先求出平面法向量，进而求解二面角的余弦，进而得解.【小问1详解】连接1BC ，因为//OM 平面11BCC B ，OM ⊂平面1AC B ，平面11BCC B 平面11AC B C B =，所以1//OM C B ，而在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11AB C D 是平行四边形，则1AO C O =，故AM BM =；【小问2详解】连接1B C ，不妨设12AA AD ==，则11B C A D ==，在1CB D 中，因为O 为1B D 的中点，1OC B D ⊥，所以1CD B C ==，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,C，()2,B，()M，()O ，所以()1,CO =，()2,CM =，()2,0,0CB =，设平面COM 的法向量为()111,,m x y z =，则00m CO m CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111020x z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，故平面COM的一个法向量为()m =设平面BCO 的法向量为()222,,n x y z =，则00n CO n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，则20x =，2z =(n =,设二面角B CO M --为θ，则cos cos ,3m nm n m nθ⋅=〈〉===，则3sin 3θ==，即二面角B CO M --的正弦值为318.已知函数()()()12sin ,1g x x x f x g x x =-=++.（1）求曲线()y g x =在点()()π,πg 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积；（2）求()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数.【答案】（1）22π3（2）1【解析】【分析】（1）利用导数求出切线方程，得到与坐标轴的交点，可求与坐标轴所围成的三角形的面积；（2）利用导数可求得()f x 在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点，当[)π,x ∞∈+时，()0f x <，函数无零点，可得()f x 在区间π,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上的有1个零点.【小问1详解】()2sin g x x x =-，则()ππg =-，得切点坐标为()π,π-，由()2cos 1g x x ='-，得()π3g '=-，则曲线 ࢵ 在点()()π,πg 处的切线斜率为-3，故切线方程为32πy x =-+，易得该直线与坐标轴的交点坐标分别为()2π0,2π,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故其与坐标轴所围成的三角形的面积为22π2π2π323S ⨯==.【小问2详解】由题意可得()1π2sin 12f x x x x x ⎛⎫=-+> ⎪+⎝⎭，则()212cos 1(1)f x x x =--+'，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ，所以()f x 在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又πππ1π12sin 20ππ22221122f ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭++，()11π2sinπππ0,π1π1f =-+=-+<++由零点存在性定理得，()f x 在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点.当[)π,x ∞∈+时，()12sin 2π101f x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点，综上所述，()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点个数为1.【点睛】方法点睛：求()f x 在区间π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点个数，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用导数求函数在区间内的零点个数，当[)π,x ∞∈+时，利用放缩得()12sin 2π101f x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点.19.设m 为正整数，已知数列12,,,m a a a ，其中(]()0,11,2,,i a i m ∈=.若12,,,ma a a可以被分为l 组，使得每组各数之和不超过1，则称数列12,,,m a a a 为l -可分的.（1）若123456789101111,2202442024a a a a a a a a a a =====+=====-，数列1210,,,a a a 是l -可分的，求l 的最小值；（2）若()202412,1i m a i m i ==≤≤，证明：数列12,,,m a a a 是2024-可分的；（3）给定正实数M ，若任意满足12m a a a M +++=的数列12,,,m a a a 均为l -可分的，求l 的最小值（用含M 的表达式表示）.附：⎡⎤⎢⎥x 表示向上取整函数，其结果可表示为不小于x 的最小整数，即1x x x ≤<+，如3.24=⎡⎤⎢⎥.【答案】（1）5（2）证明见解析（3）1,01,21, 1.M M M <≤⎧⎨->⎩【解析】【分析】（1）根据所给定的定义即可求解；（2）根据题意先分组，进而利用定义即可得证；（3）分别对01M <≤，1M >分类，进而结合定义即可求解.【小问1详解】一方面，125,,,a a a 两两不能同组，故5l ≥；另一方面，按()5,i i a a +分组，1,2,3,4,5i =，则数列12,,,m a a a 为5-可分的；综上所述，l 的最小值是5.【小问2详解】证明：考虑以下分组方式，第j 组：2121121,,,,1,2,,2024j j j a a a j --+-=，然后把m a 放入第2组.此时，第j 组各数之和()1212112121212j j j j j a a a a j ---+--+++≤=≠，第2组各数之和231m a a a ++<，故数列12,,,m a a a 是2024-可分的.【小问3详解】l 的最小值为1,01,21,1,M M M <≤⎧⎨->⎩①若01,M l <≤的最小值显然为1；②若1M >，记1022m M εε⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭，则(]22,121M m m m M m ε=+∈+⇒=+.一方面，取12121,,,,2m m a a a a a a m ε====+两两不能同组，故21l m M ≥=-；另一方面，我们考虑如下分组方式：先把12,,,m a a a 分为m 组；任选两组，若这两组所有数之和不超过1，则合并这两组，然后重复操作，直到任意两组无法合并.记()1,2,,j S j l =为重复操作至无法合并的第j 组数列的和，此时，()1111,2,,1,1j j l S S j l S S ++>=-+>，累加得，()122l S S S l +++>，即2M l >，故21l M =-满足.综上所述，l 的最小值为1,01,21, 1.M M M <≤⎧⎨->⎩【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解定义，方可使用定义验证或探究结论.。
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广东省深圳市翠园、宝安中学2008—2009学年第一学期第二次联 高三数学（理）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集I 是实数集R . 2{|4}M x x =>与2{|1}N x =≥，则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤ D ．{}22x x -≤≤(第1题图)2． 在复平面内，复数2009122i z i -=-对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若把函数1sin 3cos +-=x x y 的图象向右平移m （m>0）个单位，使点（3π，1）为其对称中心，则m 的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π4．已知物体的运动方程是23416441t t t s +-=（t 表示时间，单位：秒；s 表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是 ( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒5．设函数f(x) (x∈R)为奇函数，f(1)=21，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)=( ) A ．0 B ．1 C ．25D ．56．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( ) A ．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B ．当α⊂b 时，若b⊥β，则βα⊥C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c∥α，则b∥c7．已知曲线22:x y C =，点(0,2)A -及点(3,)B a ，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C挡住，则实数a 的取值范围是 ( )A ．（4，＋∞） B.（－∞，4） C.（10，＋∞） D.（－∞，10）8． 定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示， 给出下列四个命题中：(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是 ( ) A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4(第8二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．若~(,),6,3B n p E D ξξξ==，则(1)P ξ=的值为____________10．从4双不同鞋子中取出4只鞋，其中至少有2只鞋配成一双的取法种数为 . 11 请将错误的一个改正为lg =12．图中所示的S 的表达式为 .13（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线cos()13πρθ+= 与圆2=ρ的公共点个数是_______．14．（不等式选讲选做题）设a ，b ?R ＋，且a+b =1，则1212+++b a 的最大值是_______.15．（几何证明选讲选做题）如图所示， AB 是半径等于3 的的直径，CD 是的弦，BA ，DC 的延长线交于点P ，若PA=4，PC=5，则CBD ∠= ________．(第15题图)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）)0,0(),sin ,(cos ),sin )1(,(cos πβαλββαλα<<<>=-=设是平面上的两个向量，且b a b a -+与互为垂直.（1）求λ的值； （2）若αβtan ,34tan ,54求==⋅的值.17．（本小题满分12分）某企业有一套价值为4万元的生产设备，因要提高其生产能力，计划对该套设备进行技术改造，假设改造后产值y 万元与投入的改造费用x 万元之间的关系满足:①y 与2(4)x x -成正比；②当2x =时，32y =；③04(4)xax ≤≤-，其中a 为常数，且∈a [0, 2]（1）设)(x f y =，求出)(x f 的表达式； （2）求产值y 的最大值，并求出此时x 的值． 18．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC=BC=3，AA1=1，∠ACB=90°．（Ⅰ）求异面直线A1B 与CB1所成角的余弦值；（Ⅱ）问：在A1B1边上是否存在一点Q ，使得平面QBC 与平面A1BC 所成的角为30°，若存在，请求点Q 的位置，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分） (第18题图)动圆P 与定圆034:054:222221=+-+=-++x y x O x y x O 和均外切，设P 点的轨迹为C.（1）求C 的方程；（2）过点A （3，0）作直线l 交曲线C 于P 、Q 两点，交y 轴于M 点，若MQ MP MA 21λλ== 当m m 求时,21=+λλ的取值范围. 20．（本小题满分14分）如果)(x f 在某个区间I 内满足：对任意的12,,x x I ∈都有12121[()()]()22x x f x f x f ++≥，则称)(x f 在I 上为下凸函数；已知函数.ln 1)(x a x x f -=（Ⅰ）证明：当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上为下凸函数；（Ⅱ）若)(x f '为)(x f 的导函数，且]2,21[∈x 时，,1|)(|<'x f 求实数a 的取值范围. A1A B 1B C 1C21．（本小题满分14分）已知一系列的抛物线Cn 的方程为y=anx2（n ∈N*,an>1）,过点An （n, ann2）作该抛物线 Cn 的切线ln 与y 轴交于点 Bn, Fn 是 Cn 的焦点，∆An Bn Fn 的面积为n3 求数列｛an ｝的通项公式；求证：1＋23≤an <2; 设22n n nb a a=-，求证：当n≥1时，12334n b nb +++<翠园、宝安中学2008—2009学年第一学期第二次联考 高三数学（理）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．9．1032-⨯10．54 11．lg15= 3a-b+c 12．11113539+++13．214．22 15．30三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）由题设，得=-=+⋅-22||||)()(ααλ222sin sin )1(--222(1)sin sin 0λαα∴--= --------------------------2分22(2)sin 00,sin 0,0λλααπαλ-=<<∴≠>即又02=-∴λ λ故的值为2. --------------------------4分（2）)sin ,(cos ),sin ,(cos ,ββαα==-+b a b a b a 垂直时与 4cos cos sin sin cos()5a b αβαβαβ⋅=+=-=--------------------------6分3sin()5αβ∴-=-，43)tan(-=-βα，--------------------------8分247tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =--+-=+-=∴ββαββαββαα-----------------------12分17．（本小题满分12分）解：（1）∵y 与2(4)x x -成正比，∴设2()(4)y f x k x x ==-，又2x =时，32y = ∴解得k=4，从而有24(4)y x x =-…………………………………………… 3分由04(4)x a x ≤≤-解得16014a x a ≤≤+ 故2()4(4)f x x x=-16(0)14ax a ≤≤+…………………………………………… 5分（2）∵23()164f x x x =-，∴'()4(83)f x x x =-令0)('=x f 解得x1=0，283x =……………………………………………… 6分(ⅰ) 若168143a a ≥+，即221≤≤a ，当0(∈x , 8)3时，0)('>x f所以)(x f 在[0, 8]3上单调递增；当816314a x a <<+时，0)('<x f ，由于)(x f 在8[3, 16]14a a +上单调递减，故当83x =时，)(x f 取得最大值81024()327f =…………………… 9分(ⅱ) 若168143a a <+，即210<≤a 时，当0(∈x , 16)14a a +时， 由于0)('>x f ，∴)(x f 在[0, 16]14a a +上单调递增， 故2max3164096()()14(14)a a f x f a a ==++……………………………………… 11分综上可知：当210<≤a 时，产值y 的最大值为234096(14)a a +，此时投入的技术改造费用为1614a a +万元；当221≤≤a 时，产值y 的最大值为102427，此时投入的技术改造费为83万元…… 12分18．（本小题满分14分）解：分别以CA ，CB ，CC1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系………………1分则1A B，1(0,0,0),)C B ………………2分7||),1,3,3(11=--=B A B A2||),1,3,0(11==CB CB77722||||cos 111111==>=⋅<CB B A CB B A (6)异面直线A1B 与CB1所成的角的余弦值为………………7分（Ⅱ）解法一：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=90°，∴BC⊥CA1，BC⊥CC1 ∴∠A1CC1是二面角A1－BC －C1所成的平面角 在RtΔA1C1C 中，可求∠A1CC1=60°………9分假设存在这样的点Q ，使得面QBC 与面A1BC 成30°角．在平面A1B1C1中过点Q 作QP∥B1C1，交A1C1于P ，连PC ，则P ．Q ．B ．C 共面 ∴∠A1CP 就是Q —BC —A1的平面角为30°…………………12分 ∵30°<60°，故存在点P ，在角A1CC1的平分线上在RtΔPC1C 中，可得331=PC ，又A1B1=6，由相似比可求得QB1=36，∴Q 在距点A1362处（或距B1点36处）……14分解法二：假设存在这样的点Q ，使得面QBC 与面A1BC 成30°角．11(A B =-，1(3,0,1)CA =，设111AQ A B λ=，则11((1,1)CQ CA AQ λ=+=-，又(0,CB =，…………………8分 设面QBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则11(1)3030n CQ xy z n CB y λ⎧⋅=-++=⎨⋅=⋅=⎩，取x=1，有1(1,0,(n λ=-，…………………10分同理设面A1BC 的法向量为2(,,)n x y z =，由2213030n CB y n CA x z ⎧⋅==⎨⋅==⎩，取x=1，有2(1,0,n =，…………………12分 1212cos30223(n n n n ⋅∴===⋅，求出23λ=∴Q 在距点A1362处…………14分19．（本小题满分14分）解（1）1)2(:,9)2(:222221=+-=++y x Q y x Q ，动圆的半径为r ，则|PQ1|=r+3， |PQ2|= r+1，|PQ1|－|PQ2|=2，…………………3分点P 的轨迹是以O1、O2为焦点的双曲线右支，a=1，c=2，方程为221(0)3y x x -=>………………………………………………6分（2）设P （x1，y1），Q （x2，y2），当k 不存在时，不合题意.直线PQ 的方程为y=k （x －3）， 则),3,(),3,3(),3,0(11k y x k k M +==-得由k y x 2122)3,(λλ==+=⎩⎨⎧==221133x x λλ………………8分由0936)3(13)3(222222=--+-⎪⎩⎪⎨⎧=--=k x k x k y x x k y 得1x 、0339,036,222122212>-+=>-=+k k x x k k x x x 是此方程的两正根32>∴k …………………………………………………………10分)2,59(1322136)(33322221212121∈+-=+=+=+=+=k k k x x x x x x m λλ…………14分20．（本小题满分14分）解（Ⅰ）任取),,0(,21+∞∈x x 则)]()([2121x f x f +]ln 1ln 1[212211x a x x a x -+-= ,ln 2212121x x a x x x x -+=…………………………………………………………2分 ,2ln 2)2(212121x x a x x x x f +-+=+…………………………………………3分,4)(,221221212221x x x x x x x x ≥+∴≥+又,22,0,021212121x x x x x x x x +≥+>>…………………………………………5分又,0,22121>≥+a x x x x ,2ln ln 2121x x a x x a +≥-∴即)2()]()([212121x x f x f x f +≥+.),0()(+∞∴为x f 上的下凸函数………………7分（Ⅱ）x axx f --='21)(，…………………………………………………………9分 ,1|1|,1|)(|2<+<'x a xx f 即 ,1)1(x x a x x -<<+-∴……………………………11分 1|)(|,]2,21[<'∈x f x 时 恒成立，设11()(),()g x x h x x x x =-+=-则有max min ()()g x a h x <<，又1()()g x x x =-+在1[,1]2上为增函数，在[1,2]上为减函数 max ()(1)2g x g ∴==-……………………………12分，而1()h x x x =-在1[,2]2上为增函数，min 13()()22h x h ∴==-……………………13分)23,2(--∈∴a …………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1） An （n, ann2）在抛物线Cn 上，2n y a x '=y, 则切线ln 的斜率为2ann,切线方程为 y －ann2=2 ann （x －n ）……………………………2分令x=0,得y=－ann2,, ∴Bn（0, －ann2），又Fn （0,n a 41） ∴S n n n F B A ∆=21（n a 41+ ann2）n=n3∴n a 41+ ann2=2n2, 即4n2an2－8n2an ＋1=0, ……………………………3分∴∆=64n4－16n2=16n2（4n2－1）>0, ∵an>1, ∴ an=1+n21142-n ……………4分（2）证明：∵an=1+n21142-n =1+2411n -，｛an ｝为递增数列，∴an≥1+411-=1+23. ……………………………6分又an <1+1=2, ∴1＋23≤an <2. ……………………………8分(3).证明：22124n n n b a a n =-=……………………9分∴123n b nb ++=222211()4123n n++++∵2k ≥时，==<==……………………12分∴1231[12(1)]42231n b nb k k +++≤+-+-++--113[12(1(3444=+=<……………………14分。