工程力学课件第十章

y
面上弯矩的转向及所求正应力之
点在中性轴的哪一侧来判别弯曲
正应力为拉应力还是压应力。
四、横力弯曲 对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正
应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正 应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程 中的精度要求 。
σ ? My Iz
五、横截面上的最大正应力
1.中性轴 z 为横截面对称轴的梁，其横截面上最大拉应 力和b 最大压应力的值相等。且最大拉、压应力的值为：
σmax
?
M max Wz
σ max
?
M max Iz
ymax
（10－5）
对矩形截面
Wz
?
bh 3 12 h2
?
bh 2 6
对圆形截面
Wz
?
?d 4
d
64 2
?
?d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，
可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力
不超过材料的许用应力，所以 梁的正应力强度条件为
F
C
mp
D
nq (b)
4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：
（1）平面假设 梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且仍
然与梁弯曲后的轴线保持垂直。
（2）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之
间的相互作用可忽略不计。
二、正应力公式的推导 1、几何方面
中性层
dθ
m
p
n
q
A
?
yzd A ? EI yz ? 0
A?因此源自I yz ? 0(h)
即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为 横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以中性轴 应为横截面的形心主轴。
最后由式（f）可得
即有
? ? Mz ?
y? d A ? E
A
?
y2 d A ? EI z ? M
A
?
1? M
(b)
ρ
dx
y
相应的纵向线应变为 ：
?x ?
?
dx
?y
?
（10
2、物理方面
梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围
内正应力与线应变的关系为：
(c)
σ ? Eε
将式 ? ? y 代入，得 ?
σ? E y ρ
（10－2）
此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成 正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等 ，如下图所示。
? M z ?
yσdA ? M
A
? ? 又
FN ?
? d A? E
A
?
y d A ? ESz ? 0
A
?
因为E
?
不等于零，所以有
Sz ? 0
(g)
即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知， 中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。
? ? 由式（e）可得
My ?
z? d A ? E
? 0.06 ?
3.09? 106 Pa
?
3.09MPa
（拉应力）
§10－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中
性轴最远的位置，此时
σmax
?
M Wz
σ max
?
M Iz
ymax
而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩 极值的横截面上，距中性轴最远的位置，即
dx
(a)
m
p
中性轴
O1 a
Ob 2
n
q
(b)
ρ
y
O1 dx a
O2 b
(c)
弧线O1O2的长度为： d x ? ρ d θ
(a)
中性层
dθ
m
p
n
q
dx
(a)
m
p
中性轴
O1 a
Ob2
n
q
(b)
距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为 ：
ρ
O1 dx ya
O2 b
(c)
( ρ ? y)dθ ? ρdθ ? ydθ ? y dx
? EI z
（10－3）
上式中的EI z称为梁的弯曲刚度。
将式（10?3 ）代入式（10?2 ）
σ? E y ρ
可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
σ ? My Iz
（10－4）
三、梁横截面上任一点的正应力的计算公式为
b
O
z
h
y
σ ? My Iz
实际应用中往往 M、 y代入绝
k
对值求出正应力值，再根据横截
解： 先求出 C截面上弯矩
MC ? ? Fa ? ?1.5? 103 ? 2 ? ?3? 103 N ?m
例题10－1图
截面对中性轴的惯性矩
Iz
?
bh 3 12
?
0.12 ? 0.183 12
?
0.583 ? 10 ? 4 m 4
将MC、I z、y代入正应力计算公式，则有
?
K
?
MC Iz
y?
3? 103 0.583? 10? 4
? ? σmax ?
M max Wz
?
σ
F a B
D
F
Fa
3、梁的纯弯曲实验
横向线 ( mn 、pq）变形后 仍为直线，但有转动；纵 向线变为弧线，且上缩下 伸；横向线与纵向线变形 后仍保持垂直。
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层 。中性层与梁横截 面的交线称为 中性轴。
mp
nq
(a)
F
h
o
z
? max
?
Mymax Iz
?
M
????
Iz ymax
? ????
M Wz
? max
?
M Wz
Wz为截y面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。
b
横截面上正应力分布： h
oz
d2
yc,max
Oz h
2.中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大拉应力
yt,max
d1
z
y
z
3、静力学方面
y
由上图可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力 dF N=σdA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化 的结果应为以下三个内力分量：
? ? ? FN ?
σdA ， M y ?
A
zσdA
A
，
Mz
?
yσdA
A
? FN ?
σdA ? 0
A
(d)
? M y ?
zσdA ? 0
A
(e)
(f)
和最大压应力的值不相等。
y
b
中性轴z不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值 和最大压应力值分别为:
? t,max
?
Myt,max Iz
? c,max
?
Myc,max Iz
横截面上正应力分布:
yc,max yt,max
d2
? c,m ax
Oz
y d1 b
? t,m ax
例题10? 1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一 集中力F ，已知 h =0.18m，b=0.12m ，y =0.06m ， a=2m，F =1.5kN ，求C截面上K点的正应力。
第十章 梁的应力
§10－1 梁的正应力 一、纯弯曲与平面假设
1、纯弯曲 —— 梁或梁 上的某段内各横截面上 只有弯矩而无剪力 (如图 中的 CD段) 。
2、横力弯曲 ——梁或梁 上的某段内各横截面上既 有弯矩又有剪力 (如图中的 AC、BD段) 。
F a (a) A
Cl
F (b)
F S图 (c)
M图