1不等式的性质--比较实数大小的方法
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质-比较实数大小的方法(教案)第一章：引言教学目标：1. 了解不等式的概念和实数大小的比较方法。
2. 掌握不等式的基本性质。
教学内容：1. 不等式的定义：介绍不等式的概念，例如a < b 表示a 小于b。
2. 实数大小的比较：介绍实数的大小比较方法，例如a < b 表示a 小于b，a >b 表示a 大于b。
教学活动：1. 引入不等式的概念，让学生通过实例理解不等式的含义。
2. 介绍实数大小的比较方法，让学生通过比较练习来掌握。
练习题：1. 判断下列不等式是否正确：2 < 3, 5 > 4, -1 < 0。
2. 比较下列实数的大小：-3, -2, 1, 2。
第二章：不等式的基本性质教学目标：1. 掌握不等式的基本性质，如传递性、反射性和同向不等式的可加性。
教学内容：1. 传递性：如果a < b 且b < c，a < c。
2. 反射性：对于任意实数a，有a < a 和a ≥a。
3. 同向不等式的可加性：如果a < b 且c < d，a + c < b + d。
教学活动：1. 通过实例讲解传递性，让学生理解不等式传递性的含义。
2. 引导学生通过观察和推理来发现反射性的性质。
3. 通过具体例子讲解同向不等式的可加性，让学生掌握这个性质。
练习题：1. 判断下列不等式是否正确，并解释原因：a < b 且b < c →a < c。
2. 根据反射性，判断下列不等式是否正确：-2 < -2, 3 ≥3。
3. 应用同向不等式的可加性，判断下列不等式是否正确：a < b 且c < d →a + c < b + d。
第三章：比较实数大小的方法教学目标：1. 学习比较实数大小的方法，如比较绝对值、比较分数和比较指数函数。
教学内容：1. 比较绝对值：如果|a| > |b|，a > b 或a < b。
第1章§1 1.1 实数大小的比较+1.2 不等式的性质
§1不等式的性质1.1 实数大小的比较1.2 不等式的性质1．理解实数大小与实数运算间的关系，会用作差(商)法比较大小．(重点) 2．理解并掌握不等式的性质．(重点、易错易混点)3．能用不等式的性质解决一些简单的问题．(难点)[基础·初探]教材整理1实数大小的比较阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．2．两实数大小与运算间的关系(1)a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔a－b＜0；a＝b⇔a－b＝0.(2)当a>0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b，ab＜1⇔a＜b；ab＝1⇔a＝b.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ab>1，则a>b.()(2)∀x∈R，x2>2x.()(3)若a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0.()【解析】(1)×因为b的正负不确定．(2)×因为x2－2x＝x(x－2)，其正负随x的范围的变化而改变．(3)√因为a>b，a>c，所以2a>b＋c，即3a>a＋b＋c＝0，所以a>0，又因为c<a，c<b，∴3c<a＋b＋c＝0，即c<0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2不等式的性质阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题.性质1对称性a＞b⇔b＜a性质2传递性如果a＞b，b＞c，那么a＞c性质3可加性如果a＞b，那么a＋c＞b＋c推论如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 性质4可乘性如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc推论1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd推论2如果a＞b＞0，那么a2＞b2推论3如果a＞b＞0，那么a n＞b n(n为正整数)推论4如果a＞b＞0，那么a1n＞b1n(n为正整数)填空(填不等号)：(1)若a>b＋c，则a－b________c.(2)若a>b>0，则1a________1b.(3)若a>b，c<d，则a－c________b－d.(4)若a>b>0,0<c<d，则ac________bd.【解析】利用不等式的性质可得．【答案】(1)>(2)<(3)>(4)>[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]实数大小的比较(1)(2)若m＞0，试比较m m与2m的大小．【精彩点拨】(1)只需考查两者差同0的大小关系；(2)注意到2m＞0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质．【自主解答】(1)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x＞3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)＞0，∴x3＋3＞3x2＋x.(2)m m2m＝⎝⎛⎭⎪⎫m2m，当m ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＝1，此时m m ＝2m ，当0＜m ＜2时，0＜m 2＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＜1，∴m m ＜2m .当m ＞2时，m 2＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＞1，∴m m ＞2m .比较大小的常用方法及步骤1．求差法：a ≥b ⇔a －b ≥0，a ≤b ⇔a －b ≤0. 一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．2．求商法：当a >0，b >0时，把比较a ，b 的大小转化为比较ab 与1的大小关系，此即为作商比较法．理论依据是不等式的性质：若a >0，b >0，则a b ≥1⇔a ≥b ，ab ≤1⇔a ≤b . 一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．[再练一题]1．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 与n 的大小.【导学号：94910000】【解】 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y`＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x ＞0，y ＞0，xy ＞0，x ＋y ＞0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0，即m ≥n .利用不等式性质判断命题的真假(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则|a |>|b |； (5)若c >a >b >0，则a c －a >bc －b.【精彩点拨】 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．【自主解答】 (1)由于c 的符号未知，因而不能判断ac ，bc 的大小关系，故该命题是假命题．(2)由ac 2>bc 2知c ≠0，而c 2>0， ∴a >b ，故该命题是真命题． (3)⎩⎨⎧ a <b ，a <0⇒a 2>ab ； 又⎩⎨⎧a <b ，b <0⇒ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2，故该命题是真命题．(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题． (5)⎭⎬⎫a >b >0⇒－a <－b <0，c >a >b >0⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎬⎫1c－a>1c －b>0，a>b>0⇒ac－a>bc－b，故该命题是真命题．1．判断命题的真假往往用举反例予以否定，或从条件入手，看是否推出与结论一致的结论．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．[再练一题]2．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若ac2＞bc2，则a＞b；(3)若a＞b，ab≠0，则1a＜1b；(4)若a＞b，c＞d，则ac＞bd.【解】(1)错误．当c＝0时不成立．(2)正确．∵ c2≠0且c2＞0，在ac2＞bc2两边同乘以c2，∴a＞b.(3)错误．a＞b⇔1a＜1b成立的条件是ab＞0.(4)错误．a＞b，c＞d⇒/ ac＞bd，例如当a，b，c，d为负数时不成立．[探究共研型]不等式性质的简单应用探究1甲同学认为a＞b⇔1a＜1b，乙同学认为a＞b＞0⇔1a＜1b，丙同学认为a＞b，ab＞0⇔1a＜1b，请你思考一下，他们谁说得正确？【提示】甲说得不正确．当a>0，b<0时不成立；乙说得是正确的，但不全面，当0>a>b时也有1a<1b；丙说得非常正确．探究2 根据60<x <84,28<y <33，如何求得x －y 和xy 的取值范围，直接用x 的取值范围去减或除以y 的取值范围可以吗？【提示】 不能直接用x 的取值范围去减或除以y 的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．正确解法应是： x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的取值范围； x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y 的取值范围． ∵28<y <33，∴－33<－y <－28，133<1y <128. 又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <8428， 即2011<x y <3.设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，在求f (－2)的取值范围时有如下解法：由⎩⎨⎧1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧32≤a ≤3，0≤b ≤32.∴3≤f (－2)＝4a －2b ≤12. 上述解法是否正确？为什么？【精彩点拨】 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，而a ＋b 与a －b 中的a ，b ，不是独立的，是相互制约的．本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f (－2)的范围扩大．因此需要将f (－2)用a －b 与a ＋b 整体表示．【自主解答】 不正确．设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b . 于是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 而1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.[再练一题]3．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2. 【证明】 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.(*) 由(*)式知(a －c )2>(b －d )2>0， ∴1(b －d )2>1(a －c )2. 又∵e <0，∴e (b －d )2<e(a －c )2.即e (a －c )2>e(b －d )2. [构建·体系]1．设a∈R，则下面式子正确的是() A．3a＞2a B．a2＜2aC.1a＜a D．3－2a＞1－2a【答案】 D2．已知m，n∈R，则1m＞1n成立的一个充要条件是()【导学号：94910001】A．m＞0＞n B．n＞m＞0 C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0【解析】∵1m＞1n⇔1m－1n＞0⇔n－mmn＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0.【答案】 D3．若6≤x≤13,2≤y≤7，则x－y的取值范围是________．【解析】∵2≤y≤7，∴－7≤－y≤－2，又∵6≤x≤13，所以－7＋6≤x－y≤－2＋13，即－1≤x－y≤11.【答案】[－1,11]4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是________．(填序号)①1a＜1b；②ab＞b2；③ba＞ab；④a＋bb＜1.【解析】 ∵a ＜b ＜0，∴1a ＞1b ，①不成立；由b ＜0，a ＜b ，∴ab ＞b 2，②成立；又a ＜b ＜0，∴0＜b a ＜1，a b ＞1，因此b a ＞ab 不成立；a ＋b b ＝a b ＋1＜1不成立，即①，③，④不正确，只有②成立．【答案】 ②5．已知一次函数f (x )＝ax ＋b ，且－1≤f (－1)≤2，－2≤f (2)≤3，求f (3)的取值范围．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1≤－a ＋b ≤2，－2≤2a ＋b ≤3.又∵f (3)＝3a ＋b ＝－13(－a ＋b )＋43(2a ＋b )， ∴－103≤f (3)≤133.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质——比较实数大小的方法一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式比较实数大小的能力。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容：1. 不等式的概念与基本性质2. 比较实数大小的方法3. 不等式的解法4. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念，不等式的基本性质，比较实数大小的方法。
2. 教学难点：不等式的解法，不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式的性质。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际例子学会比较实数大小。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解不等式的解法。
4. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神。
五、教学准备：1. 教师准备教案、PPT、教学案例及实数大小比较的素材。
2. 学生准备笔记本、文具、计算器等学习用品。
教案第一课时：不等式的概念与基本性质一、导入新课1. 复习相关概念：实数、有理数、无理数。
2. 提问：如何表示两个实数之间的大小关系？二、新课讲解1. 引入不等式概念：用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个实数的式子称为不等式。
2. 讲解不等式的基本性质：性质1：不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
性质2：不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
性质3：不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
三、课堂练习1. 判断下列不等式是否正确，并说明理由：2x > 3, 5(x 1) < 2x + 4, -3y ≤92. 解不等式：3x 7 > 2, 4(x 2) ≥12四、总结本节课内容1. 学生总结不等式的概念及基本性质。
2. 教师点评课堂练习，指出优点与不足。
第二课时：比较实数大小的方法一、导入新课1. 复习上节课的内容：不等式的概念及基本性质。
不等式的性质一---比较两个实数大小之差比法
它也表示b-a>0
A
Bபைடு நூலகம்
a>b a-b>0
a=b a-b=0
结论:
要比较两个数的 大小,就只要比较 它们的差与0的大 小.
a<b a-b<0
1、比较两个数大小的方法： 作差比较法
步骤:作差----变形----判号-----结论
2、例题讲解
例1、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。
不等式的性质(一)
-----比较两个实数大小的方法之差比法
学习目标：
1.掌握两个数大小比较与两数的运算性质 的联系 2.初步掌握一些常见的变形方式 3.初步培养严密推理的意识
课题引入:
糖水里面加糖后,糖水变得更甜, 如何从数学模型的角度来解释 这个问题?
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应 的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示 的实数比左边的点表示的实数大.例如，在 右图中，点A表示实数a, 点B表示实数b.点 B在点A右边,所以a<b
常见的变形方法： 通分，分解因式，配方
用作差法比较两个数大小的方法：
步骤:作差----变形----判号-----结论
练习A组： 1、比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小。 2、如果x>0，比较( x -1)2与( x +1) 2的大小。
2 3、已知a≠0，比较(a2+ 2 a+1)(a2- a+1)与 (a2+a+1)(a2-a+1)的大小。
练习B组： 1.a 0,1 b 0, 则（） A.a ab ab2 B.ab2 ab 0 C .ab a ab2 D.ab ab2 a 2.比较下列各组数大小 (1)若a 0, 且a 1, loga (a 3 1)与loga (a 2 1) 1 1 ( 2) log1 与log1 3 2 2 3
1.1.1不等式的基本性质课件人教新课标4
堂 双
主
基
导 学
所以xx－2yx2＋x＋1y＞0.
达 标
所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
不等式的基本性质
新课标 ·数学 选修4-5
判断下列命题是否正确，并说明理由．
课
当
前 自
(1)若a>b，则ac2>bc2；
堂 双
主
基
导 学
(2)若ca2>cb2，则a>b；
自 主
A．3a>2a
B．a2<2a
双 基
导
达
学
1
C.a<a
标
D．3－2a>1－2a
课
堂 互
【答案】 D
动
探
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
2．已知m，n∈R，则m1 ＞1n成立的一个充要条件是
课 前
A．m＞0＞n
自
主 导
C．m＜n＜0
学
B．n＞m＞0 D．mn(m－n)＜0
()
当 堂 双 基 达 标
课
堂 方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答
互 动
探 此类问题的基础．
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自
已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，ab的取值范围．
当 堂 双
主
基
导
达
学
【解】 ∵－6<a<8,2<b<3.
标
∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，
不等式的基本性质 课件
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为
, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.
1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
4
π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >
(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C
2 +1
>
, 故正确;选项
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质——比较实数大小的方法一、教学目标：1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质比较实数的大小。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 不等式的性质2. 比较实数大小方法三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的性质，比较实数大小的方法。
2. 教学难点：不等式性质在比较实数大小中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会比较实数大小。
3. 运用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活实例，引导学生思考如何比较实数的大小。
2. 讲解不等式的性质：介绍不等式的概念，讲解不等式的基本性质。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会运用不等式的性质比较实数大小。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后反思：教师对课堂教学进行反思，总结经验教训。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习题评价：对学生的练习作业进行批改，评估学生对不等式性质和实数大小比较方法的掌握程度。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、交流能力和问题解决能力。
七、教学资源：1. 教材：使用权威的数学教材，提供基本的教学内容和案例。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示不等式的性质。
3. 练习题：准备一定量的练习题，用于巩固所学知识和评估学生掌握情况。
八、教学进度安排：1. 第1周：介绍不等式的概念和基本性质。
2. 第2周：讲解不等式的性质在比较实数大小中的应用。
3. 第3周：通过案例分析，让学生熟练运用不等式性质比较实数大小。
不等式的性质与一元二次不等式
不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a > ba －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a > bab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2、不等式的基本性质3、不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质：①a >b ，ab >0⇒1a <1b ；②a <0<b ⇒1a <1b ；③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d .；④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a(2)有关分数的性质： 若a >b >0，m >0，则，①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)4、“三个二次”的关系有两相等实根5、常用结论(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法选择题：设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( )A.1a >1bB.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b解析 由题设得a <a －b <0，∴有1a －b <1a 成立，即1a －b>1a 不成立．若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln44ln3＝log 8164<1，∴a >b ；b c ＝5ln44ln5＝log 6251024>1，∴b >c ，即c <b <a若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0 解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，∴使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定 解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab (1＋a )(1＋b )>0已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >a D ．a >c >b 解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ≤B已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0，∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.已知x∈R，m＝(x＋1)(x2＋x2＋1)，n＝(x＋12)(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为()A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n解析m＝(x＋1)(x2＋x2＋1)＝(x＋1)(x2＋x－x2＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)，n＝(x＋12)(x2＋x＋1)＝(x＋1－12)(x2＋x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－12(x2＋x＋1)，∴m－n＝(x＋1)(x2＋x2＋1)－(x＋12)(x2＋x＋1)＝12(x2＋x＋1)－12x(x＋1)＝12>0.则有x∈R时，m>n恒成立已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2D．ac(a－c)>0 解析由c<b<a且ac<0知c<0且a>0，由b>c得ab>ac一定成立．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②ac<b c；③log b(a－c)>log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析由不等式性质及a>b>1知1a<1 b，又c<0，∴ca>cb，①正确；构造函数y＝x c，∵c<0，∴y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴a c<b c，知②正确；∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，则2α－β3的取值范围是( )A ．(0，5π6)B ．(－π6，5π6)C ．(0，π)D ．(－π6，π) 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1) 解析 依题意，可求得A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q 等于( )A ．[2,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1<x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0] B ．[－3,0) C ．[－3,0] D ．(－3,0) 解析 2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎨⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0.设a 为常数，任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4) 解析 任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＞g (x )C ．f (x )＜g (x )D ．随x 的值变化而变化 解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x )．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2] 解析 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4} 解析 由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，∴0≤a ≤4已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3 解析 由题意，得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为( )A.－1－52B.1－52C.－1±52D.1±52解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52，所以选D.若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4填空题：设a >0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是_____ 解析 由题意可知a >1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)>0，∴a 3－1>a 2－1，∴log a (a 3－1)>log a (a 2－1)，即P >Q .设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________ 解析 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________ 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．解析 因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}．∴1，2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________ 解析 由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是_______ 解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是______ 解析 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________解析 ∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3，∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是_____________ 解析 原不等式即(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝________.解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0，依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2.设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________ 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0，∴－1<a <23.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是________．解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根， 于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得， Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，∴(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.解答题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又∵m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可，∴m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0，∴f (x )－m <0，即f (x )<m .已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋3，∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.，即a 的值为3±3，b 的值为－3.专项能力提升若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∴当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba .∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎨⎧－b ＋ca ＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.已知a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列选项中不一定成立的是( ) A.c a <b a B.b －a c >0 C.b 2c <a 2c D.a －c ac <0 解析 ∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －ac >0，a －c ac <0， 但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c 不一定成立已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3} 解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，故选D.已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( ) A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞) B ．(－32，12) C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞) D ．(－12，32) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0， 由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12.若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152 解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15， 得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像的对称轴为直线x ＝1， 则有a2＝1，故a ＝2，由f (x )的图像可知f (x )在[－1,1]上为增函数． ∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， 令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (xm )－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是_____解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a 2＋c∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6.②，②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.。
不等式的性质-比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质——比较实数大小的方法一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质；（2）学会比较实数大小，熟练运用不等式性质进行大小比较。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳不等式的性质，提高逻辑思维能力；（2）运用不等式性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生勇于探索、合作交流的精神，提高团队协作能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）不等式的基本性质；（2）运用不等式性质比较实数大小。
2. 教学难点：（1）不等式性质的推导与理解；（2）复杂不等式的大小比较。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习不等式的概念，回顾已学过的不等式性质；（2）提问：如何比较两个实数的大小？引入本节课的主题。
2. 探究不等式的性质：（1）通过示例，引导学生发现不等式的性质；（2）分组讨论，让学生合作探究不等式性质的推导过程。
3. 讲解不等式性质：（1）不等式性质1：不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变；（2）不等式性质2：不等式两边乘以（除以）同一个正数，不等号方向不变；（3）不等式性质3：不等式两边乘以（除以）同一个负数，不等号方向改变。
4. 应用不等式性质比较实数大小：（1）举例说明，让学生掌握运用不等式性质比较实数大小的方法；（2）练习题，巩固所学知识。
四、课堂小结本节课主要学习了不等式的性质，以及如何运用不等式性质比较实数大小。
重点掌握了不等式性质1、2、3，并能灵活运用解决实际问题。
五、课后作业2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 探索不等式性质在实际问题中的应用。
六、教学拓展1. 对比等式的性质，引导学生发现等式与不等式的联系与区别；2. 举例说明不等式性质在实际问题中的应用，如溶液浓度、折扣优惠等；3. 引导学生思考：不等式性质在生活中的意义和作用。
七、课堂练习1. 选择题：（1）已知a < b，下列哪个选项正确？A. a + 1 < b + 1B. a 1 > b 1C. a 2 < b 2D. a / 2 > b / 2（2）已知x > 0，下列哪个选项正确？A. x + 2 > 2B. x 2 < -2C. x 3 > 3D. x / 3 < 12. 解答题：（1）比较实数a = -3 和b = 1/3 的大小；（2）已知实数x、y 满足x y > 4，求x + y 的取值范围。
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1.不等式的基本性
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x，y均为正数，设m＝x ＋y，n＝x＋y，试比较m和n的大小．两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝＋－4xy＋＝－＋，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝－－9＋a4≤0，所以6a29＋a4≤1. 当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：a －c >b －d .可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． 法一：e a －c －eb －d＝－d －a ＋－－＝－a ＋c －－－，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0.∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴－a ＋c －－－>0，即e a －c >eb －d . 法二：⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒－c>－d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d e<0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by .故a x ＋1<b y ＋1，即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.(1)已知－π2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围． 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2， ∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b .解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求ba 的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32. 课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a>3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d－c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b ；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b2a ＋a2b≥a ＋b . 证明：∵b2a ＋a2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝－＋ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴－＋ab≥0.∴b2a ＋a2b≥a ＋b . 9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，ab 的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤ab <4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab＜0.综合①②得－3<ab<4.∴2a ＋b ，a －b ，ab的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。
不等式的性质--比较实数大小的方法(教案)
课题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号授课类型：新授课教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．三、讲解范例：例1比较与的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：∵∴<例2已知≠0,比较与的大小.分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项解：∵-∵∴从而>引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?若没有这一条件,则,从而大于或等于此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要例3已知a>b>0，m>0，试比较与的大小解：∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴∴>从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例4比较与的大小.解:说明：“变形”的目的是为了判定符号，“变形”是解题的关键，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法四、课堂练习：1.比较与的大小.2.如果,比较与的大小.3.已知,比较与的大小.五、小结：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：作差——变形——判断符号在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系六、课后作业：1.比较与的大小.提示:∵∵∴<2.比较与的大小.3.已知，比较与的大小解： =……=∴≥七、板书设计（略）。
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质——比较实数大小的方法一、教学目标：1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够运用这些性质比较实数的大小。
2. 培养学生运用数学思维分析问题、解决问题的能力。
3. 提高学生对数学学科的兴趣，培养学生的逻辑推理能力。
二、教学内容：1. 不等式的性质：（1）不等式的定义及表示方法。
（2）不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）。
2. 比较实数大小的方法：（1）利用不等式的性质比较实数大小。
（2）利用数轴比较实数大小。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）不等式的基本性质。
（2）利用不等式的性质比较实数大小。
2. 教学难点：（1）不等式性质3的证明及应用。
（2）利用数轴比较实数大小。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生发现不等式的性质，培养学生独立思考的能力。
2. 利用数轴直观展示实数的大小关系，帮助学生理解不等式的性质。
3. 设计具有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：（1）复习相关知识点，如实数、数轴等。
（2）提问：如何比较两个实数的大小？2. 讲解：（1）介绍不等式的定义及表示方法。
（2）引导学生发现不等式的性质，讲解性质1、性质2、性质3。
（3）利用数轴展示实数的大小关系，讲解如何利用不等式的性质比较实数大小。
3. 练习：（1）设计具有针对性的练习题，让学生运用不等式的性质比较实数大小。
（2）让学生利用数轴比较实数大小，巩固所学知识。
4. 总结：回顾本节课所学内容，强调不等式的性质及比较实数大小的方法。
5. 作业布置：设计一些课后练习题，让学生进一步巩固不等式的性质及比较实数大小的方法。
六、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对不等式性质的理解程度，观察其在课堂上的参与度和思考问题的能力。
2. 练习题：通过学生完成的练习题，评估其对不等式性质的掌握情况以及运用能力。
3. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对所学知识的巩固程度。
七、教学反思：在课后，对教学过程进行反思，分析教学方法的适用性，以及学生的学习效果。
第二章 不等式含答案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2.等式的性质性质1：如果a =b ，那么b =a ；性质2：如果a =b ，b =c ，那么b =c ； 性质3：如果a =b ，那么a ±c=b ±c ； 性质4：如果a =b ，那么a c=bc ； 性质5：如果a =b ，c 0≠那么cbc a =；3.不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(可加性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则) 性质4 a b >，0c >⇒ __________，(可乘性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性) 性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向可加性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(同正同向可乘性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(可乘方性)性质8 ①a >b ，ab >0⇒1a < 1b . ②a <0<b ⇒1a < 1b.（可倒性）典例例1 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．例2 已知a ，b +例3 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B 2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc > 例4 已知1025m <<，3015n -<<-，求m+n ，m n -与mn 的取值范围．例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．课时作业1.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b -a>0 B.a 3+b 3<0 C.a 2-b 2<0 D.b+a>02、当1x ≤时，比较大小：33x 231x x -+．3、设1≤a －b ≤2, 2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．4、已知a ∈R ,且a ≠1,比较a+2与31-a的大小.2.2 基本不等式1. 重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．基本不等式：ab ≤a ＋b2:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．（a+b ≥2ab ）注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等典例例1．（1）函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞）C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) （2）．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243（3）.已知x ＜0，则y ＝2＋4x＋x 的最大值为_______例2、当x ＞0时，则y ＝2xx 2＋1的最大值为________．例3、若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．例4、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．例5、函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2例6 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课时作业一、选择题1、已知x ＞0，函数y=x+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．82、当x ∈R 时，x+的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3、已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=1，则xy 的最大值是( ) A ．B ．C ．4D ．84、的最小值为）（函数)0(2>+=ab abb a y A ．B．12C ．4D ．65、函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为A ．5B ．6C 7 D.86、已知正数x,y 满足431x y +=，则x+3y 的最小值为A ．5B ．12C ．13D ．25 7、设，，若，则的最小值为 A ． B ．6 C ． D ．8、已知y=，其中x≥0，则y 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|=x (x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x 的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?1a >0b >2a b +=121a b+-3+2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 二、“三个二次”之间的对应关系设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆0<∆c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2三、一元二次不等式的解法： （1）化二次项系数为正；（2）令左边=右边，求出两根x 1 , x 2; （当0<∆时，需另作考虑） （3）大于取两根之外，小于取两根之间。
第2章+一元二次函数、方程和不等式知识点汇总
《人教A版必修一知识点汇总》第2章《一元二次函数、方程和不等式》知识点汇总2.1 等式性质与不等式性质1.实数的大小比较（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）当 a ∈ R ,b ∈ R 时a −b >0⟺ a > ba −b <0⟺ a < ba − b=0 ⟺ a = b作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法.（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）当 a＞0 ,b ＞0 时a>1 ⟺ a >bba<1 ⟺ a <bba=1 ⟺ a =bb作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.2.不等式的性质（1）性质1（可加性）如果a > b, 那么 a±c > b±c；（2）性质2（可乘性）① 如果 a > b，c＞0,那么 ac > bc 或ac >bc;②如果 a > b，c＜0,那么 ac ＜ bc 或ac <bc.（3）性质3 （传递性)如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c；（4）性质4（对称性） a > b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a+b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性）如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ ,那么 a n>b n;（9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ , 那么√a n>√b n;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么1a <1b;2.2《基本不等式》1.基本不等式对于 ∀ a >0 ,b > 0 ，都有√a2+b22≥a+b2≥√ab≥21a+1b(当且仅当a=b 时等号成立）注1：a+b2叫正数 a 与 b 的算术平均数，√ab叫正数 a 与 b 的几何平均数；注2：基本不等式通常用于求解与两个正项相关的最值问题，且在实际运用中，通常变形为对于 ∀ a > 0,b > 0 ,都有a+b ≥2 √ab(当且仅当a=b 时等号成立）2.实例运用例1.已知x > 0 , 求x +1x的最小值.解：∵ 已知x > 0,∴ 1x>0∴ 据基本不等式可得x +1x ≥2√x ∙1x=2（当且仅当x =1x（即x=1）时等号成立）故x +1x的最小值为2例5.已知 x>0 ,y >0,且1x +9y=1,求 x+y 的最小值.解：∵ 已知1x +9y=1∴ x+y=（x+y) ( 1x +9y=1)=yx+9xy+10又∵ 已知x>0 ,y >0∴ yx >0，9xy>0∴ yx +9xy≥2√yx∙9xy=2√9=6y x +9xy+10≥6+10（可加性）即x+y≥16(当且仅当yx =9xy，即y=3x 时等号成立)故x+y 的最小值为16.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念像x2−7x+6>0这样，含有一个未知数，并且含有未知数项的最高次数为2的不等式，就称为一元二次不等式.其一般式为ax²+bx+c > 0 (a ≠ 0)注：上面一般式中的“＞”也可以换成“＜”，“≥”或“≤”.2.一元二次不等式的图解法三作图一 化二解 四答（1）典例讲解:解不等式 −x 2+2x >−3解:原一元二次不等式等价于x 2−2x −3 <0∵∆=b 2−4ac =(−2)2−4×1×(−3)=16>0解一元二次方程 x 2−2x −3 =0 可得x 1=−1,x 2=3又∵二次项系数a =1>0二次函数y =x 2−2x −3的图像如图所示由上图可知不等式 x 2−2x −3 <0的解集为 {x | −1< x < 3}即原不等式的解集为{x | −1< x < 3}（2）一元二次不等式的图解法小结①一化：将原不等式化成一般式，即ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的形式，其中二次项系数a >0；②二解：判断∆=b 2−4ac 的符号，并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax²+bx +c = 0 的实数根（x =−b±√b 2−4ac 2a）； ③三作图:根据二次函数y =ax²+bx +c (a > 0)的图像与x 轴的位置关系确定一元二次不等式ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的解集.④四答:通常要将不等式的解集用数集或区间来表示.（3）实例运用例1 看图口答.①不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x＜−1 或 x＞3 } ；②不等式x²−2x−3 ≤0的解集为{ x | −1≤x≤3 } ；③不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x≤−1 或 x≥3 } ；例2 求不等式9x2−6x+1>0的解集.解：∵ 已知9x2−6x+1>0∴ a=9 ,b=−6 ,c=1又∵ ∆=b2−4ac=(−6)2−4×9×1=0∴解一元二次方程9x2−6x+1=0可得x=13又∵二次项系数 a=9>0，∴可得二次函数y=9x2−6x+1的图像如图所示：由图可知原一元二次不等式的解集为{ x | x≠1}3例3 求不等式−x2+2x−3>0的解集.解：原不等式−x2+2x−3>0可化为x2−2x+3< 0∴ a=1 ,b=−2 ,c=3又∵ ∆=b2−4ac=(−2)2−4×1×3=−8<0∴ 一元二次方程 x2−2x+3=0没有实数根又∵二次项系数 a=1>0，∴可得二次函数 y=x2−2x+3的图像如图所示：由图可知一元二次不等式 x2−2x+3< 0的解集为 ∅故原一元二次不等式−x2+2x−3>0的解集为∅。
高一上期末数学复习---不等式
高一期末数学复习---不等式一、知识点突破1．比较两个实数大小的方法2．不等式的性质3（1）()0,2≥+≤b a b a ab ；（2）R b a ab b a ∈≥+,,222；（3）0,2>≥+ab ba ab ； （4）R b a b a ab ∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤,,22；（5）R b a b a b a ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+,,22222．当且仅当b a =时等号成立． 4．算术平均数与几何平均数设0>a ，0>b ，则a ，b 的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 5．利用基本不等式求最值问题 已知0>x ，0>y ，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时，x ＋y 有最小值是p 2．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是42p ．(简记：和定积最大)6．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数()02>++=a c bx ax y 的图象一元二次方程()002>=++a c bx ax 的根 有两个相异实根1x ，()212x x x <有两个相等实根ab x x 221-== 没有实数根一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集 {1x x x <或}2x x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集{}21x x xx <<φ φ对于0<二、题型突破题型一 比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知实a ，b ，c ，满足2346a a c b +-=+，244a a b c +-=-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >≥B ．b c a ≥>C ．a b c >>D ．b c a >> (2)已知1≥a ，试比较a a M -+=1与1--=a a N 的大小．巩固训练：1．已知R p ∈，()()312-+=p p M ，()()1036++-=p p N ，则M 、N 的大小关系为________． 题型二 不等式的性质【例2】（1）若0<<b a ，给出下列不等式：①221b a >+；②11->-b a ；③ba b a 111>>+，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 (2)(多选题)下列命题中不正确的是( )A ．若b a >，则22bc ac > B ．若b a >，d c <，则db c a > C ．若b a >，d c >，则d b c a ->- D ．若0>ab ，b a >，则b a 11<【例3】(1)若106<<a ，a b a22≤≤，b a c +=，则c 的取值范围是( ) A ．[]18,9 B ．()30,15 C ．[]30,9 D ．()30,9(2)已知41<<-x ，32<<y ，则y x -的取值范围是________，y x 23+的取值范围是________． 巩固训练：1．(多选题)若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是( )A ．b a >B ．ab a >2C.b a 11> D.ab a 11>- 2．若41<+<-y x ，32<-<y x ，则y x 23+的取值范围为________． 题型三 利用基本不等式求最值【例4】（1）函数()1122>-+=x x x y 的最小值为________． （2）已知两个正数x ，y 满足xy y x 82=+，则y x 24+的最小值为( ) A ．47 B ．2 C ．49 D ．25 （3）已知正实数a ，b 满足01=+-b ab ，则b a41+的最小值是________． 巩固训练： 1．若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,51C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-51,D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-51,2．已知函数()22>-+=x x mx y 的最小值为6，则正数m 的值为________． 3．若0>a ，0>b ，ab b a =+，则b a +的最小值为________． 4．已知0>a ，0>b ，且1=ab ，则ba b a +++82121的最小值为________． 题型四 一元二次不等式的解法【例5】（1）已知全集R U =，集合{}0232≥+-=x x x A ，则∁A R 等于( )A ．()2,1B ．[]2,1C ．(][)+∞⋃∞-,21,D ．()()+∞⋃∞-,21, （2）不等式1512-≥-+x x 的解集为________． （3）已知不等式02>++c bx ax 的解集是{}()0><<αβαx x ，则不等式02<++a bx cx 的解集是( )A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛αβ1,1 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11,αβ C ．()βα, D ．()()+∞⋃∞-,,βα 巩固训练： 1．解下列不等式：（1）08232≥+--x x ； （2）4202≤--<x x ．2．已知不等式052>+-b x ax 的解集为{}23-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<3121x x x 或 C ．{}23<<-x x D ．{3-<x x 或}2>x 题型五 含参数的一元二次不等式的解法[例6] 解关于x 的不等式()()00112><++-a x a ax ． 巩固训练：1．解关于x 的不等式()()012132>+++-a a x a x ．题型六 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例7] （1）若不等式012>+-kx x 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________． （2）设函数()012≠--=m mx mx y ，若对于[]3,1∈x ，5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．（3）若不等式342-+>+p x px x ，当40≤≤p 时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[]3,1- B ．(]1,-∞- C ．[)+∞,3 D ．()()+∞⋃-∞-,31, 巩固训练：1．设函数()012≠--=m mx mx y ，若存在[]3,1∈x ，使得5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．2．对任意的[]1,1-∈k ，函数()k x k x y 2442-+-+=的值恒大于零，则x 的取值范围为________．三、反馈练习一、单项选择题1．若a b <<0,0<<c d ,则下列正确的是( ) A .ac bd < B .d bc a >C .d b c a ->-D .d b c a +>+ 2．已知函数x x x y 122+-=，则y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上的最小值为（ ）A ．21 B ．34C ．1-D ．03．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数.设计师将某手机的屏幕面积与整机面积同时增加相同的数值,作为一款新手机的“屏占比”,则新手机的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比 ( )A .不变B .变小C .变大D .不确定4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式313m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．18 D ．245．若关于x 的不等式012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则b a +的值为 ( )A .41-B .0C .21D .1 6．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ）A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+ 7．已知,,(,0)a b c ∈-∞，则下列三个数1a b +，4b c+，9c a +（ ） A ．都不大于-4 B ．至少有一个不大于-4 C ．都不小于-4 D ．至少有一个不小于-4 8．为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD (阴影部分)和四周的绿化带组成. 规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ,绿化带的宽分别为m 2和m 5(如图所示). 当长方形1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为( ) A .m 20 B .m 50 C .m 1010 D .m 100 二、多项选择题9.关于函数542+--=m x mx y 的零点，以下说法正确的是 ( )A .当0=m 时，该函数只有一个零点B .当1=m 时，该函数只有一个零点C .当1-=m 时，该函数没有零点D .当2=m 时，该函数有两个零点 10.对任意实数x ，若不等式k x x >--+12在R 上恒成立，则k 的取值可以是（ ） A .6- B .5- C .4- D .3-11.已知命题p :R x ∈∀，042>++ax x ，则命题p 成立的一个充分条件可以是( ) A .[]1,1-∈a B .()4,4-∈a C .[]4,4-∈a D .{}0∈a12．十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远. 若R c b a ∈,,，则下列命题正确的是 ( )A .若0>>b a ，则22bc ac > B .若0<<b a ，则ab b a 11+<+C .若0<<<c b a ，则c a cb a b ++<D .若0>a ，0>b ，则b a b a a b +≥+22 三、填空题13.若关于x 的不等式0132<+-ax x 的解集为φ，则实数a 的取值范围是 . 14.已知实数x ，y 满足14-≤-≤-y x ，541≤-≤-y x ，则y x +3的最大值为 . 15.设集合{}5120≤-≤=x x A ，{}02<+=a x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围为 . 16.已知0>x ，0>y ，且111=+y x ，则yyx x -+-1419的最大值为 . 四、解答题17.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往. 甲车队说:“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 18.（1）若正实数x ，y 满足xy y x =++62，求xy 的最小值； （2）若实数x ，y 满足122=++xy y x ，求y x +的最大值. 19.已知集合R U =，{}112>-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=2153x x x B ，求B A ， A ∁U B .20.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . (1)若不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,23，求实数k 的值； (2)若不等式对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 21．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=023x x xA ，{}042<-=x x B ．（1）求∁()B A R ⋃；（2）已知函数12+-=kx x y ，从()+∞∈∀,0x ，都有0≥y 成立，[]2,1∈∃x ，使得0<y 成立，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答．问题：记p ∈k ∁()B A R ⋃，q ：________，若p 为假，q 为真，求实数k 的范围．若选择两个条件分别解答，按照第一个解答计分22.在，，∁A R ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式0232>+-x ax 的解集为{1<=x x A 或}b x >，关于x 的不等式()02<++-bm x b am ax 的解集为B （其中R m ∈）（1）求a ，b 的值； （2）求集合B ；（3）是否存在实数m ，使得___________（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.。
不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
a b 0
ab ab ab
a b 0 a b 0
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么
如果 b < a ，那么 a>b b<a b<a；
例5：已知f ( x) ax c, 且 4 f (1) 1,
2
1 f (2) 5, 求f (3)的取值范围。
【方法指导】(1)利用排除法(利用特值)可解， (2)利用两命题间的关系可解. 【解析】(1)当c<0时，ac<bc，A不正确;当 a>0>b时，B不正确;当a＝1，b＝－2时， a2<b2，C不正确;因为a>b，所以ea>eb，D正 确. (2)若(a－b)a2<0，则必有a－b<0，即a<b;而 当a<b时，不能推出(a－b)a2<0，如a＝0，b ＝1.所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要 条件.
a > b.
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c a>c
等价命题是：
c<b, b<a c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么
a+c<b+c (2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b 也就是说，不等式中任何一项都可以改变符号后移到
第一讲 一 1 不等式的基本性质
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、 记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等
式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结
构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件．
[例 3]
π π (1)已知：－ ≤α<β≤ ，求 α－β 的范围． 2 2
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求 ， 的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若 a>b，c>d，则 ac>bd； a b (2)若 a>b>0，c>d>0，则 c >d； (3)若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； (4)若 a>b，则 a ＞b ， a> b(n∈N 且 n≥2)．
n n
n
n
解：(1)取 a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即 3>2，－2>－3. 此时 ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题． (2)因同向不等式不能相除，取 a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此 a b 时c ＝d＝2.因此(2)为假命题． (3)∵c<d，∴－c>－d，因此(3)为真命题． (4)当 a>b>0 时，才能成立，取 a＝－2，b＝－3，当 n 为偶 数时不成立，因此(4)为假命题．
3[1].1.2nbsp不等式的性质1
![3[1].1.2nbsp不等式的性质1](https://img.taocdn.com/s3/m/428e314969eae009581bec94.png)
真
2.π/4<x<y<π/2，求y-x ，y + x 的取值范围．
0<y-x<π/4；
π/2<y=x<π．
3.若-14< x < y< -6 ,求 yx , y/x 的取值范围．
36<xy<196；
3/7<y/x<7/3．
小结
性质1.a b b a(对称性)
性质2.a b且b c a c(传递性)
性质3. a b a c b （同加性） c
性质4. (同乘性) a b且c 0 ac bc； a b且c 0 ac bc.
性质8. （非负不等式开方性质） a b 0 n a n b （其中n N * 且n 1 ）
作业
课本P83 习题3.1 B组 1、2、3
从而可得移项法则：
不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边 移到另一边,即
a b c a c b.
作用：移项的理论依据．
性质4： （可乘性）
a b, c 0 ac bc . a b, c 0 ac bc .
证明: ac-bc=( a-b )c ， ∵ a>b ， ∴ a-b>0．
a c. ∴ 由性质1，性质2还可以表示为：
如果
a c 0.
cb
且b
a
，那么
c a.
作用：放缩法证明问题的理论依据．
如果a b, 那么a c b c.（可加性） 性质3：
证明： ∵ (a c ) (b c ) a b 0,
∴
a c b c.
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课 题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法
教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；
2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．
教学重点：比较两实数大小．
教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号
授课类型：新授课
教学过程：
一、引入：
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系
生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?
转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可?引人课题
二、讲解新课：
1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
2．判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：
0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．
三、讲解范例：
例1比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项 解：∵)5)(3(-+a a -)4)(2(-+a a 07)82()152(22<-=-----=a a a a
∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a
例2已知x ≠0,比较22)1(+x 与12
4++x x 的大小.
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x 有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略
本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项 解：∵22)1(+x -)1(24++x x 2
2424112x x x x x =---++=
∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x 引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?
若没有 0≠x 这一条件,则20x ≥,从而 22)1(+x 大于或等于 124++x x
此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘
得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号多少，在此无关紧要
例3已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a
b 的大小解：)()()(m a a b a m m a a bm ab am ab a b m a m b +-=+--+=-++
∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴0)()(>+-m a a b a m ∴m a m b ++a 从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵
例4 比较23x +与3x 的大小.
解:22233(3)333()024x x x x x +-=-+=-+>233x x ∴+>
说明：“变形”的目的是为了判定符号，“变形”是解题的关键，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法
四、课堂练习：
1.比较(5)(7)x x ++与2(6)x +的大小.
2.如果0x >
,比较21)
与21)的大小.
3.已知0a ≠,
比较22(1)(1)a a ++与22(1)(1)a a a a ++-+的大小.
五、小结 ：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：作差——变形——判断符号
在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系
六、课后作业：
1.比较2
31-与10的大小. 提示:∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=
-=-+∴231-<10 2.比较222a b ++与22a b +的大小.
3.已知142=+y x ，比较22y x +与20
1的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05
)15(2
≥-y ∴22y x +≥201 七、板书设计（略）。