2020年湖南省长郡中学高三第3次月考理科数学(含答案)

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2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案

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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)

F
B
ABFP
轴的垂线交抛物线于点，记
P
，则的值为（
）
2
4
8
A.
B.
C.6
D.
二、多项选择题(本题共小题，每小题分，共分)
4520
9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男
4
3
女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有
10
当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X，求X的数学期望.(精确到小数点后1
位)
9
4
9
4
11
k1
k1
k
k
9
10
1.80
2.05
，
参考数据：
，
10
5
10
5
k2
k2
11
9
4
11
9
4
k
k
k
k
9
10
10.79
13.32.
k
k
，
10
5
10
5
k2
k2
一、选择题(本题共小题，每题分，共分)
8540
n
2a12a13
n
a
n
n
n
C,D
19.在如图所示的圆柱OO
中，为圆O的直径，
AB
是AB
的两个三等分点，，，都是圆柱
EAFCGB
1
1
2
OO
1
的母线．
2
的
FO//
（1）求证：
平面ADE；
1
（2）设BC=1，已知直线

2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学(理)试题(解析版)

2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B2．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A ．国防大学，研究生 B ．国防大学，博士 C ．军事科学院，学士 D ．国防科技大学，研究生【答案】C【解析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位. 【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士. 故选：C. 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.4．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（）A ．160B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】首先把1x x+看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 5．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项；当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项；当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.7．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π 【答案】D 【解析】【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ．8．已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，1cos(),cos()43423ππβα+=-=，则cos()2βα+=（）A ．B ．-C D ．【答案】C【解析】首先判断3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，再由同角三角函数之间的关系求得sin()4πα+和sin()42πβ-的值，再运用配角2442βππβαα⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的余弦公式即可求得cos()2βα+的值.【详解】因为(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，所以3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又1cos()043πα+=>，所以,442πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin()4πα+===sin()423πβ-===， cos()cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos sin sin 442442442ππβππβππβααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133=+=. 故选：C 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式，考查了配角的应用技巧，()()2ααβαβ=++-是常见的配角，考查了运算能力，属于中档题.9．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（）A ．23B ．3 C ．323D ．23【答案】B【解析】首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D【解析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D【解析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．12．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【解析】由题可知：04i i x y <<≤，且i i y xi i x y =可得ln ln i ii ix y x y =，构造函数()()ln 04th t t t=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <，从而得出n 的最大值. 【详解】因为04i i x y <<≤，i i y xi i x y = 则ln ln yi xii i x y =，即ln ln i i i i y x x y =整理得ln ln i ii ix y x y =，令i i t x y ==，设()()ln 04th t t t =<≤，则()2211ln 1ln t tt t h t t t ⋅-⋅-'==，令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤，故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e=，因为i i x y <，()()i i h x h y =，由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<，所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<，所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈L故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<，故14n -≤，即5n ≤，所以：n 最大值为5. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______. 【答案】717【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：(|)P B A ，由条件概率公式即得解. 【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：()35%7(|)()85%17P A B P B A P A ===I故答案为：717【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.14．动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，直线AB 过(4,0)且交点P 的轨迹于,A B 两点，则以AB 为直径的圆必过_________.【答案】()0,0【解析】利用动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，,可知动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将(4)y k x =- ,代入24y x =,利用韦达定理,可得12120x x y y ∴+= ,从而可知以AB 为直径的圆经过原点O. 【详解】设点(),P x y ，由题意可得1x +=222(1)(1)x x y +=-+，2222121x x x x y ++=-++，可得24y x =，设直线AB 的方程为(4)y k x =-，代入抛物线可得()2222421160k x k x k -++=，()()()2112212122421,,,16,k A x y B x y x x x x k +∴=+=，()()2121244,y y k x x ∴=--()()222121212121416x x y y k x x k x x k ∴+=+-++ ()22222841614160k k k k k+=+-+=， 0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r，以AB 为直径的圆经过原点O .故答案为：（0,0）【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，属于中档题.15．已知224()ln ,()()e f x x g x x a ==-，如果函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是____________ 【答案】()3,e +∞【解析】首先把零点问题转化为方程问题，等价于224ln ()e x x a =-有三个零点，两侧开方，可得x a =±a x =即可求出参数的取值范围. 【详解】若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，即224ln ()e x x a =-零点有，显然1x >，则有224()ln e a x x-=，可得x a =±a x =±()g x x =±对于()g x x =-函数单调递增，0g =<，()220g ee e =->，所以函数在区间()1,+∞上只有一解，对于函数()g x x =+()()32'ln 10x g x ex-=-=，解得x e =，()'0g x <，解得1x e <<，()'0g x >，解得x e >，所以函数在区间()1,e 上单调递减，在区间(),e +∞上单调递增，()23g e e e e =+=，当1x →时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，此时函数若有两个零点，则有3a e >，综上可知，若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是()3,e +∞. 故答案为：()3,e +∞ 【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2 Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）【答案】1.7820【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ；将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ；因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ，所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ，故答案为：1.7820. 【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④22b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（23.【解析】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-==，由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④；（2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.18．为提供市民的健身素质，某市把,,,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,,,A B C D 四场馆的使用场数中依次抽取1234,,,a a a a 共25场，在1234,,,a a a a 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y1000011761 13010 13980 14771 15440 16020 43430.12y z e=+ 2.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求z 与x 的回归直线方程； ②40yx +叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值参考数据和公式：7723114.5,()700,()()70,20i i i i i z x x x x z z e ===-=--==∑∑71721()()()iii ii x x zz bx x ==--=-∑∑$，$az bx =- 【答案】（1）见解析，12.5（2）①0.12z x =+$②20【解析】(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得1234,,,a a a a 的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果; (2) ①由公式可计算77211(),()()iiii i x x x x zz ==---∑∑的值，进而可求z 与x 的回归直线方程；②求出()g x ，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值. 【详解】解：（1）抽样比为2511004=，所以1234,,,a a a a 分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15()1106p ξ==，()1123p ξ==，()1133p ξ==，()1156p ξ== 所以分布列为期望为1111()1012131512.56336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （2）因为77211()700,()()70,ii i i i x x x x z z ==-=--=∑∑所以71721()()()iii ii x x zz bx x ==--=-∑∑$，$701, 4.50.125270010a ===-⨯=， 0.12zx ∴=+$； ②43430.12y z e=+0.12x =+，设2401ln 4343ln (),()43434040(40)xy x x g x g x x x x +-'===+++，所以当[0,20],()0,()x g x g x '∈>递增，当[20,),()0,()x g x g x '∈+∞<递减所以约惠值最大值时的x 值为20 【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.19．如图，三棱台111.ABC A B C -中，侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =u u u v u u u u v ，2AE EB =u u u v u u u v，证明：∥平面11BCC B ；（Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)14. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接11,AC BC ，由比例可得DE ∥1BC ，进而得线面平行；（Ⅱ）过点A 作AC 的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==求得平面11A B BA 的法向量为m v ，设平面11C B BC 的法向量为n v ，由cos ,m n m n m n⋅=v vv v u u vu u v 求二面角余弦即可. 试题解析：（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ⋂==u u u v u u u u v；又2AE EB =u u u v u u u v，则DE ∥1BC ；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π；111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点()10,0,1A ，()0,4,0,C())1,B B ；设平面11A B BA 的法向量为()111,,m x y z =v，则有：()111111001,00y m AB m m AB y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪++=⎩u u u v v vu u u vv ；设平面11C B BC 的法向量为()222,,n x y z =v，则有：(22122200030y m CB n m CB y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩u u u v v vu u u v v ； 1cos ,4m nm n m n⋅==-v vv v u uvu u v ，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14. 20．已知函数21()(1)ln (,0)2f x ax a x x a R a =---∈≠ （1）求函数()f x 的单调递增区间（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同两点，如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数存在“中值和谐切线”，当2a =时，函数()f x 是否存在“中值和谐切线”请说明理由【答案】（1）见解析（2）不存在，见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令21x t x =，转化为方程有解问题，即可说明. 【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+，所以1(1)()()a x x a f x x-+'=当0a >时，()0,1f x x '>>；()0,01f x x '<<<，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增当0a <时， ①当111,1,()0,1a f x x a a '-<<->-<<时，函数在1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增 ②11,1a a-==-，显然无增区间； ③当11,10a a ->-<<时， 1()0,1f x x a '><<-，函数在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，综上当0,a >函数在1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增. 当1a <-时函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当1a =-时函数无单调递增区间当10a -<<时函数在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设1122(,),(,)A x y B x y 是曲线()y f x =上不同的两个点，且120x x << 则1111222ln ,ln y x x x y x x x =--=--2121212121ln ln 1AB y y x x k x x x x x x --==+----曲线在点00(,)M x y 处的切线的斜率为012122()1k f x x x x x '==+--+，2121122112ln ln 21x x x x x x x x x x -+--=+--+2212122112112(1)ln ln 2,ln 01x x x x x x x x x x x x --∴=∴-=-++.令21x t x =，则222(1)(1)()ln ,()01(1)t t h t t h t t t t --'=-=>++， ()h t ∴单调递增，()(1)0h t h ∴>=，故()0h t =无解，假设不成立综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．21．已知抛物线2:2G y px =，焦点为F ，直线l 交抛物线G 于,A B 两点，交抛物线G 的准线于点C ，如图所示，当直线l 经过焦点F 时，点F 恰好是AC 的中点，且83BC =.（1）求抛物线G 的方程；（2）点O 是原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，当直线l 的纵截距为1时，有数列{}n a 满足()2112n 1,16,42n a k a k a -==-=+，设数列1n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，已知存在正整数m 使得20201m S m ≤<+，求m 的值.【答案】（1）24y x =（2）2019m =【解析】(1) 设出直线的方程，再与抛物线联立方程组，进而求得点,A B 的坐标，结合弦长即可求得抛物线的方程；(2) 设直线的方程，运用韦达定理可得214k k +=，可得1,n n a a +之间的关系，再运用11111n n n a a a +=-+进行裂项，可求得2020S ，解不等式求得m 的值. 【详解】解：（1）设过抛物线焦点的直线方程为()2p y k x =-，与抛物线方程联立得：22222(2)04k p k x k p p x -++=，设2112221(,),(,),4p A x y B x y y y =，所以2223(,),(),326P P A kP B k P p =，83k BC ∴===， 2P =∴，所以抛物线方程为24y x = （2）设直线方程为()2(1)1,4x m y x m y y x =-⎧=-∴⎨=⎩， 21212440,4,4y my m y y m y y m ∴-+==+=，1221124y y k k x x +=+=， 221116(42)4,(1)n n n n n n n a a a a a a a ++∴-++=-+=+，11111(1)1n n n n n a a a a a +∴==-++， 111()11n n n n a a a a ∴=--++， 2020122320202021202111111112020(...)20201S a a a a a a a =-+-++-=-+ 由111,(1)1n n n a a a a +==+>得2019m =.【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和，考查了运算能力，属于中档题.22．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:2{2x m t y =+=（t 是参数）.（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||AB =试求实数m 值.（2）设为曲线上任意一点，求2x y +的取值范围. 【答案】（1）或；（2）[225,225]-+.【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围．【详解】（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：圆心到直线l 的距离（弦心距）圆心(2,0)到直线的距离为：或（2）曲线的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为：22cos {2sin x y θθ=+=(θ为参数）(),M x y Q 为曲线上任意一点，225)x y θα+=++2x y ∴+的取值范围是[25,25]-+23．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.（1）若1a =-，求不等式()1f x -…的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）[]2,0-【解析】（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集. （2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +…”为真命题，只需满足()max |21|f x a +…即可.【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩由()1f x -…，得12x -…. 故不等式()1f x -…的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +…”为真命题，所以()max |21|f x a +….因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-„，所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+…，所以()()22121a a -+…，即220a a +≤，解得20a -剟，即a 的取值范围为[]2,0-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。

(解析版)湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学(理科)

长郡中学2021届高三月测试卷〔数学〔理科〕第I卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合｛y E N|y = -/十6〕E M｝的真子集的个数是〔〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】二函数y =-工之l•3KE^^ x = 0. 1,2时,y分别等于63 2在［0,十面上是减函数,,*二3 时,y ＜0, J. ｛y EN¥=-/+0K EN｝=｛工5,6｝一,该集合的所有真子集为@闭,⑸,⑹：口5｝#2,6*5⑹,,该集合的真子集个数为7,应选C.2 .变量X?■成负相关,且由观测数据算得样本平均数",y =3.5,那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是〔〕A. y .1三B. .:,-'C. V - ；：D. ■■』■!【答案】C【解析】由变量x、y负相关,知A, B不正确,把代入C, D方程只有C满足,应选C.3.命题P：% E 〔y,0〕, 2%工3%,命题卬队E 〔o,|j, tanx ＞或ux,那么以下命题为真命题的个数是〔〕①口*q；②pv「q〕；③④pZF.A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】B2 靠【解析】•「当x＜.时,总有〔广1 ,即八命题P为假,从而不为真,■■■当匹吟|时,tanx-sinx --- ---------------- ＞.,即面ix＞Wnx.又命题q为真,二〔¥〕八9, pVq为真,真命题的个数cosx是工应选B.4 .复数工满足小1 = ।十］〔:为虚数单位〕,那么工的共轲复数工A. । - -B.C. T 十D. ।【解析】由于Z7 = l十］,所以(1+1)(-1) , gPz= 1-1, E的共轲复数』=1十i,应选A.5 .执行如下图的程序框图,那么输出的结果是( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C2 2 3【解析】第一次循环,S = log^,口= 2 ；第二次循环,S = log3- + = 3 ；第三次循环,J 3 45 = log3- ।匕g%- log2-Ji = <..,第n次需环,.234 , n , 2 2.一一.S = 10g3- + l0g2-卜iQg广1-- + ——一= ------ 浦=n + 1 ,令Wgr ------ < 一己,解得口> 1 5,八输出M 5 F + 1 F + 1 n- 1的结果是n十1 = 16,应选C.6 .f(x)为奇函数,函数［(X)与虱K)的图象关于直线丫=工十1对称,假设2⑴=4,那么£(-3)=( )A. -2B. 2C. -1D. 4【解析】解析：由题意设P〔1冉关于y = x+I的对称点Mo,那么,解之得二;那么｝』〔32〕在函数y = f〔x〕的图像上,故f〔3〕= 2,那么f〔-3〕= -2,应选答案B.7 .实数x;y满足|x| < y + I ,且T M y M I ,那么z = 2x十y的最大值〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6jn11* ■:c、f y > X-1 T x > 0根据题意,约束条件为：y<-x-Lx<0 约束条件围成的图形如图 A.ABC ,,-1 <y< 1z = 2x + >化为y =-2x+z,平移予=-2x十乙当二;时,y =-六+ z在Y轴上的截距m取得最大值,z = 2x + y = 2x2+ 1 = 5,应选C.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.8 .某空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为〔〕【解析】解析：由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组合体,其体积型=,2小2E 应选答案B . 3 3 3「 3兀9 .假设函数 f(x) = sinsx 斗小CQSSK R E R),又®) = -2 , f(p)=.,且o.-fJ|的最小值为一,那么正数m 的值是()A. B. C. D.3 2 3 3【答案】D/ 7C\ 乳 7T 二(冗 5jt 【解析】f(x) = 2洞ox 4,由 f(o) = -2,得切口 । - =的兀一出 E Z ,口 = ------------- ,由 f(p) =.,3/ 3 2 co 6o) 3.工 2时,|a-p 取得最小值—,那么—=一,解得团=-,应选D.2<0 4 310.如图,正三棱柱AB .A[Bgi 的各条棱长均相等,D 为AA1的中点,M,N 分别是线段口蜕和线段CJ 上的动点(含端点),且满足BM = gN .当M,N 运动时,以下结论中不正确的选项是()A.平面DMN 1平面BCCBB. 三棱锥A 】DMS 的体积为定值C. ADMN 可能为直角三角形D. 平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,三【答案】C如图,当M,N 分别在上运动时,假设满足BM = C[N,那么线段MN 必过正方形BCCiE .的中央.,而D0 1平面BCCiB]/平面DMN1平面BCC|B 「A 正确；当MN 分别在 BBpCC]上运动时,AA 】DM 的面积不变,N 到平面A 】DM 的距离不变,的棱锥N-AQM 的体积不..,了： . . ； .|, 那么 a B _ 2<k r k ^ ,八」dR --------------- co71 2©4(k 「kr)兀 f2<o、kWZ ,变,即三棱维A 「DMN 的体积为定值,E 正确；假设为直角三角形,那么必是以 AfDN 为直角的直角三角形,但的最大值为BG ,而此时DMDX 的长大于BBp 二Z\DMN 不可能为直角三角形,C 错误；当M,N 分别为BBpCC ］中点时,平面DMN 与平面ABC 所成的角为0,当M 与B 重 7E合,N 与G 重合时,平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角最大,为 ,C|BC 等于j, ,•.平面DMN 与n 7Txf-1) sin ----- 1- 2dx E [组2tl + l\(nEN),假设数列｛4｝满足11 .i- i . 7CX(—1)“+ 2n + 2,x E [2n + l,2n - 2),a m = ^mXmEN*〕,数列｛鼠〔的前加项的和为兀,那么瓦通一与小〔〕A. 909B. 910C. 911D. 912 【答案】A7tx1(-l)nsin — + 2ax E [2n,2n + 1)【解析】函数f(x)=」,n E N ,数列k J 满足(—I/1 siny - 2口 ▼ 2,x E [2n 十[,2n 十 2)斗u = f ⑹(m EN"),二斯/一蹑二的7十%吕+…十%5 二.4M , 49JF . 52?c .. . “、人. sin,— । 2 x 48 + 2-sm ----- + 2 x 49 । ... । sm — । 2 乂 52 4 2 = 909 ,应选 A.2 2 2 12.函数f(、) = x + /F , g(x) = iMx 十2)-4 ,其中1c 为自然对数的底数,假设存在实数 4,使口与)-虱飞)=3成立,那么实数a 的值为( )A.B. In...C. .D. .【答案】B_ ___ , 一 , 1 K + 1 ,, 【解析】令 Rx 〕-g 〔K 〕=x-i e - ln 〔x -I 2〕'I 4e ,令丁 = x- ln 〔x + 2〕 y 1 = l -- -- ----- ,故x + 2 x + 2y =x-ln 〔x +2〕在上是减函数,〔-1,十◎上是增函数,故当K = T 时,y 有最小值-1-0 =-1 , 由根本不等式得『一〞十命一〞之4〔当且仅当= 4/一",即x = a 十足之时,等号成立〕；故f 〔x 〕-g〔x 〕=3〔当且仅当等号同时成立时,等号成立〕,故x=a 十ln2=-1,即a = Tn2-1,应选B.【方法点睛】此题主要考查利用导数求最值、根本不等式求最值以及转化与划归思想的应用, 属于难题.利用根本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正, 二定,三相等〞的内涵：平面ABC 所成的锐二面角范围为〔0,： D 正确,应选C.11.函数Rx 〕一正是,首先要判断参数是否为正；二定是,其次要看和或积是否为定值〔和定积最大,积定和最小〕；三相等是,最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是屡次用3或•工时等号能否同时成立〕第n卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分,总分值20分,将答案填在做题纸上〕13.抹展开式的常数项为15,贝।sin2x〕dx =., -a【答案】23 -—1 十_j- q【解析】由题意得：T _] = 〔96-『,〔_火〕『=〔_]〕『.产,c：• x之,令3i；r = 0,即r = X D a C「15,,a - --7=15, /.a4= 1. ■■ a> 0, = 1 ,2 乂1H 1 I I 1'JG1 + sin2x〕dx = Jjl -x2d x + J sin2xdx = 法,根据定积分的几何意义可得Jjl—x?dK-a -1 -1 -1 -1表示半径为I的半圆的面积,【方法点晴】此题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及定积分的几何意义,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比拟明确,主要从以下几个方面命题：〔1〕考查二项展开式的通项公式T『+i = C/LE ;〔可以考查某一项,也可考查某一项的系数〕〔2〕考查各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.14 .向量满足：|a| = |b| = I ,且「E = L 假设c = xa十yl 其中x>0 , y >0且x+y = 2 ,那么|c 的最小值是.【答案】忑【解析】v|a| =|b| =1 ,且a -〔? = -,当c = xa 十?后时,c2= x2a3I 2xya - b I y气,,= x2+xy +/=〔x + y〕2-xy,又x>0,y > 0 且x i y = 2, - xy r< | = 1 ,当且仅当x = y = I 时取“=",二/ > 〔x r广笥丫= 231 = 3-、向的最小值是后,故答案为忑.15 .将正整数12分解成两个正整数的乘积有I第12, 2 乂6, 3三种,其中3,4是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称3丈4为12的最正确分解.当P'q 〔PWq且p,qEN* 〕是正整数口的最正确分解时,我们定义函数f〔n〕= q—p,例如f〔12〕= 4-3 = I .数列/⑨?的前100项和为【解析】当口为偶数时,耳片=0;当n 为奇数时,丁〞、,' ' f(3n ) = 3 2 一3 二S1翼=2(3°-31+…十3勺=2 x --------- = 3,0-1,故答案为产7.3_1 16 .如图,正方体ABCD-AjBgiD]的棱长为3,在面对角线A 】D 上取点M,在面对角线CD 】上取点N ,使得MN II 平面AAgg ,当线段YN 长度取到最小值时,三棱锥 AI-MND]的体积为【答案】1【解析】试题分析：如以下图所示,建立空间直角坐标系,从而可设,Y(m0m) , NB ,n,3-n),• - XdN = (-m,n n 3_n m),而面•工CC-看的■个法向量是 n=( 1,1,0) , •1- XIN ■ n = O^m = n , 「• xfrj2 = 十 n* 十(3一口-m)* = 2m* 十I 9 = 6(m -])1 + 3 > 3 , 当且仅当m = 1时,等号成立,此时%%/加]=V N -AM D]乂 2" = ],故填：। .考点：立体几何中的最值问题.【思路点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题,处理时常用如下两种方法：1 .结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2 .直接建系后,表示出最值函数,转化为求最值问题.三、解做题 (本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)n-1 n-1口=2x3?,17.某高校在今年的自主招生测试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为 5组制出频率分布直方图如下图〔1〕求4d 的值;〔2〕该校决定在成绩较好的 3、4、5组用分层抽样抽取 6名学生进行面试,那么每组应各抽多少名学生？〔3〕在〔2〕的前提下,面试有 4位考官,被抽到的 6名学生中有两名被指定甲考官面试,其余4名那么随机分配给3位考官中的一位对其进行面试,求这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望.【答案】〔1〕前,03, 20, 0.2; 〔2〕第三组应抽3人,第四组应抽2人,第五组应抽I 人；〔3〕 65 . 27【解析】试题分析：〔1〕由频率分布直方图,求出成绩有 [85,90〕中的频率,由此根据频率与频数的关系能求出abc 的值；〔2〕组的学生数分别为3d20,10 ,由此能求出用分层抽样抽取6名学生进行面试,每组应各抽多少名学生；〔3〕由得X 的可能取值为123,分别求出相应的概率,由此能求出这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 试题解析：〔1〕由题意知 b = o.oe X 5 = 0.3 , a = 100 x 0.3 = 30 , d = I -0.05-035 -03-0.1 =0.2 c= 100x0.2=20 ..30〔2〕三个组共60人,所以第三组应抽人, 20 10第四组应抽6、二=1人,第五组应抽6乂二=1人.60 60 （3） X 的所有可以取的值分别为 1,2,3叱=】)=#=万/+ 14 -P(X = 2) =-------- ----- =—(或 P(X = 2) =27组号分组；粮教频率1 [75,80) 产30.05 2 [80,85) 350,353 [85,90) a4 [90,95) r d5[95JOO)100, 1C ■设一 2) 144 一P(X = 3)=——=-(或 P(X = 3) = IT 9 所以X 的分布列为:14 27所以X 的数学期望E 〔X 〕 = 1【方法点睛】此题主要考查直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中档题.求解该类问题,首项要正确理解问题,其次要准确无误的随机变量的所以可能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要过三关：〔1〕阅读理解关；〔2〕概率计算关；〔3〕公式应用关.就18.在3ABe 1中,内角A,B,C 所对的边分别为电b,c,.=2,〔3 = §. 〔1〕当 2sin2A ++ C 〕 = siriC 时,求 AABC 的面积；〔2〕求.AABC 周长的最大值.【答案】〔1〕亍；〔2〕6.【解析】试题分析：〔1〕由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式化简可得23mAeosA = sinBcosA ,分类讨论先分别求出久,B ,再求出a,b 的值,利用三角形面积公式即可计算得解；〔2〕由余弦定理及条件可得：/十产rb = 4,利用根本不等式可得〔a + b 〕3 = 4 । 3册玉4 + 3史型-,解得a 『bW4,从而可求周长的最大值.由 2sm2A + sin(2B + C) = sinC得 241nAe 口SA = sinBeosA ,当时,sinB = 2sinA ,由正弦定理b = 2日,联立 2点4小解得b=?T,, 一,―…1 2小故二角形的面积为试题解析:a -+b - - ab = 4b = 2a〔2〕由余弦定理及条件可得：.由〔g+= 4十3处三4十3〔a；b〕得& ± b < 4 ,故AABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到 .19.如下图,直三棱柱ABC-中,AB=AC = 2, 0为-G的中点,E为的中点.B 民〔1〕求证：C^ill 面ARD；〔2〕假设AB[J-面A]DB,求二面角B %D瓦的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕—.4【解析】试题分析：〔1〕设AB1与AR交于F,连接DF.EF, •••EFIIBBJICC],那么EF与CQ平行且相等..♦・四边形EgDF为平行四边形,由线面平行的判定定理可得结果；〔2〕以BC的中点口为原点,分别以OE. OA方向为x轴和工轴正方向,以方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果 ^试题解析：〔1〕设居1与交于F,连接DF、EF,••• EFII BB仲CC1?那么EF与C]D平行且相等..•・四边形EC]DF为平行四边形..CjE IDF,又DF 匚面A]DB, C】E仁面ARB ,,C]E II 面ARD.〔2〕以BC的中点.为原点,分别以OB、OA方向为x轴和工轴正方向,以CC]方向为y轴正方向, 建系如图,设8=K, AAj = y,那么有H〔xaO〕, A〔0A^4^'〕, E]〔xy0〕, 一冬〔.邛<777〕, D卜.•・班= 〔-2x:0〕,..叫=〔-居媪匚♦,,赢1 =〔x,y-J4.x方由AB[,面A]DB ,那么H；A ■ BAj = 0,E；A liD = 0.那么1尸.、解得门.所以面ARD的法向量为_0]=〔12.我,又设面ARD的法向量为S =〔a,b,c〕, 口云「QI.〕,A自=〔】.,我,A1B1n = O, DB1 n = O,所以隹.二;,令a =收那么s瑜」〕,J7.、下-5出击..•",•.・■1 - .S ,尽44所以二面角的余弦值为—.4【方法点晴】此题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角,属于难题.证实线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证实两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证实的.20.数列kn｝满足为7, %+]=相1卜产1-4口〔武短〕.〔1〕是否能找到一个定义在因’的函数Rn〕=A,2n T I 〔4B、C1是常数〕使得数列｛日口一出口〕｝是公比为3的等比数列,假设存在,求出｛%｝的通项公式；假设不存在,说明理由；〔2〕ifiS1]=a l i-a2 iq 一। %,假设不等式'r?>p x非对任意“ E N〞都成立,求实数p的取值范围.【解析】试题分析：1「由即+1 = 3a n + 2n 1- 4n可得(n + 1) - 3f(n) = 2n-1 - 4n ,纪合f(n 4- 1) - 3f(n) = - A ' 2n 1 - 2Bn + (B - 20 ,对应项系数相等列不等式组求解即可；⑶ 先利用分组求和法求得£门二2n + r? + 2rv化简5n -n2> px 3rl可得p < \ ." +工口= 1,中II I 11 I ■3n试题解析：(1) 8n(口 + l)=地1r氏项,•.•%+[= 3% । Rn 7)-3f(n),所以只需.,■, i,■,二二匕1 '二,•二? ?.即::二T.‘‘」：・； 1 ・3〞一.：一•.7 ,,1 - 一.二"'' 「二n .(2 ：：.二：i- 3.•一：1：・；I ・二•••二：・二. ・n • .「' + ..：二,2 + 2n 2 - 2n=. ________2n-2n 2n- 4n + 2 2n-2(2n- I)当n"时,/=〔I + 1广十u/] 一…十黑；十C：；三2十五n- l〕= 2n>2n- I 二.n"时,％ + 产%.容易验证,当15W3时,% + ]三,,73一 ,O 1・•.p的取值范围为〔-叫\ 81 /21 .f(x) = e'(ax,- x 十］).〔1〕当aWO时,求证：f〔x〕< I ;〔2〕当a >0时,试讨论方程f〔x〕=］的解的个数.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕林」时,方程一个解；当林J且4.时,方程两个解.2 , 2【解析】试题分析：〔1〕f〔x〕三l=e*〞〔ax,十x十】〕01等价于e x - ax3 - X - I > 0 ,令h㈤= 利用导数研究函数的单调性求出h〔x〕En = h〔0〕= 0 ,即可得结论；〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x- ax2- x - 1的零点个数,通过两次求导,讨论三种情况,分别判断函数Mx〕单调性及最值情况,从而可得方程解的个数试题解析：〔1〕要证Rx〕三l=e*'〔ax"十犬十】〕三1 ,只要证e x- ax2- x - I > 0 (* )令h(x) =,- ax" - x - 1 ,贝U h(K)=/- - 1 ,而h"〔*〕=£-%>.,所以h&l在〔-8,十⑼上单调递增,又4〔0〕= 口, 所以Mx〕在上单调递减,在〔0,十⑼上单调递增,,h〔K〕min , h〔0〕= 0 ,即hg 至.,〔* 〕式成立所以原不等式成立.〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x-ax2-x - 1的零点个数.而h (x)=它*= 2ax - 1 , h (x) = e x- 2a.令h"(x) = O,解得x = ln2n所以h'〔x〕在「8血㈤上单调递减,在包十⑼上单调递增.所以h(x)mg = h (ln2a) = 2a - 2aln2a - 1 ,设m = 2a,, g(m) = m - mlnm - 1 ,而, 那么g〔x〕在〔L十刈上单调递减,在〔0,D上单调递增,所以虱m%«= gQ〕= Q,即成刈讪不.〔当m = l即l,时取等〕.1 1 ,1°当/=寸寸,h〔乂〕Mn =.,那么h〔x〕3.恒成立.所以Mx〕在R上单调递增,又h〔o〕= o,那么Mx〕有一个零点;2当时,ln2a > 0 , h(x) = h(In2a.) <0,、* n ■ LIIIJ, /有在। - 上单调递减,在(ln2a,十W上单调递增,且XT+ 馍时,h (x)=已、=2ax - 1 > 0那么存在乂1,()使得h(Kj = 0,又h"(0) = D这时M2在(-皿0)上单调递增,在(0明)上单调递减,h(x)在㈤)上单调递增所以卜的)之履0) = 0,又XT +M时,岭)=金一/.工.]>Q, h(0) = 0所以这时Mx)有两个零点；3 当时,hi2a <0, h(x)mjl]= h(ln2a)<0.有h&)在।-81n*i)上单调递减,在(In知十田上单调递增,且XT - 8时,h(x) =/- 2ax - 1 > 0,那么存在x z -「,)使得h(x2) = 0.又h(0) = 0 ,这时Mx)在(-qxj上单调递增,在(■与⑼上单调递减,Mx)在◎十⑼上单调递增.所以h(xj > h(0} = 0.又XT - 9时,h(x) = e x - ax^ - x - 1, < 0, h(0) = 0.所以这时h(x)有两个零点；,一 1 ,〜, 1 一 ,〜、〜〜…综上：H =-时,原方程一个斛；当：af-且时,原方程两个斛. 2 2请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .直线仃匕祟二(L为参数),圆黑e为参数),兀(1)当u=,时,求C]与％的交点坐标；(2)过坐标原点.作J的垂线,垂足为A, P为.A的中点,当M变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【答案】(1) (Z0)；(2) ! x = giiTs 圆心为(I.]半径为’的圆.[y = -cosasina \2 / 2【解析】试题分析：(I )求得Ci. G的普通方程, 联立方程组堂]？,解之得正解；(x y(n)求得Cj的普通方程n A点坐标为Qsin%, - 2coscisina)P点轨迹的参数方程为[)]皿" (口为参数)=P点轨迹的普通方程为仅二『卜y2：=故P点是圆心为&口),半(y=- cos as in ci 2 4 2径为I的圆.2试题解析：(I)当Q =:时,Ci的普通方程为丫二击仅一),G的普通方程为xJ『= 4.联立方程组F；后厂2)解得％与Q的交点为口,一回,Q0)J [ x —v1 = 4(II) %的普通方程为xsma - ycosa -左inct= 0. A点坐标为Q出i%, - 2cosasina),故当以变化时, P点轨迹的参数方程为[x-suAi (也为参数)ly = - cosasmaP点轨迹的普通方程为(x ；故P点是圆心为?.),半径为；的圆.选彳4- 4-5 :不等式选讲23. (1)函数R X)=|K/1|十|x-2|-旨-冽.假设函数f(x)的图象恒在x轴上方,求实数n的取值范围.(2)f(x} = J]十长,a#b,求证：f(b)| < |Ei-b|.【答案】(1) sE(-lJ) ; (2)证实见解析.【解析】试题分析：(1)求出f(x)的最小值,根据函数f(x)的图象恒在x轴上方,可得3-方炉0,|a-b||a + b|即可求实数a的取值范围；(2)不等式的左边化简为一/=;,利用忖十b|W|a|十|b和Jl 十a - Jl + b右品乒3舟后,即可证得不等式成立.试题解析：(1) fM的最小值为3-|『-冽,由题设,得力卜3,解得aE(-IJ).(2)证实：.「.,|a2|a- b||a i-b|।Jl +) Jl + H 1Jl +b2又. ■..|a I b| 一, . ----------------------------- --- 1 ----------------------------- ----- ।v11 + a + J ।b 'a^b, ..|a-b|>0.。

湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学参考答案

炎德·英才大联考长郡中学2023届高三月考试卷（三）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ACDDBDCD1．A 【解析】∵{}{}2422M x x x x x =>=<->或，{}{}24004N x x x x x =-≤=≤≤，所以{}24M N x x ⋂=<≤．故选A ．2．C 【解析】用“x -”代替“x ”，得()()()()321f x g x x x ---=-+-+，化简得()()321f x g x x x +=-++，令1x =，得()()111f g +=．故选C ．3．D 【解析】由AB a ∥ 知，存在实数λ，使(),2AB a λλλ==-，又AB =22495λλ+=⨯，即3λ=或3λ=-，所以()3,6AB =-或()3,6-．又点()2,1A -，所以()1,5OB OA AB =+=-或()5,7-．故选D ．4．D 【解析】若l m ∥，且m α⊂，则l α∥或l α⊂，即“l m ∥”¿“l α∥”；若l α∥，且m α⊂，则l m ∥或l ，m 异面，则“l m ∥”¿“l α∥”．因此，“l m ∥”是“l α∥”的既不充分也不必要条件．故选D ．5．B 【解析】易知四面体A EFD '的三条侧棱A E '，A F '，A D '两两垂直，且1A E '=，1A F '=，2A D '=，把四面体A EFD '补成从顶点A '出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A EFD '的外接球，球的半径为62r ==．故选B ．6．D 【解析】()sin 7sin 72a π==-．因为7264πππ<-<，所以122a <<，所以21142a <<；因为2xy =在R 1222a=<<；因为2log y x =在()0,+∞上为增函数，且1222a <<，所以2221log log log 22a <<，即211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<．故选D ．7．C 【解析】依题意，()cos cos 66g x A x A x πωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故2A =，又()g x 的周期T 满足4312T ππ=-，得T π=，所以2ω=，所以()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又23g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2233k ππϕπ⨯-+=，k ∈Z ，又0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()02cos 2cos 2333f f πππ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C ．8．D 【解析】∵()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，∴直线BC 的方程为20x y +-=，直线AC 的方程为20x y -+=，如图，作F 关于BC 的对称点P ，∵()1,0F ，∴()2,1P ，再作P 关于AC 的对称点M ，则()1,4M -，连接MA ，ME ，且ME 交AC 于点N ，则直线ME 的方程为1x =-，∴()1,1N -，连接PN ，PA ，分别交BC 于点G ，H ，则直线PN 的方程为1y =，直线PA 的方程为420x y -+=，∴()1,1G ，64,55H ⎛⎫⎪⎝⎭．连接GF ，HF ，则G ，H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 的方程为1x =，直线FH 的斜率为454615=-，∴直线FD 斜率的取值范围为()4,+∞．故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ABDBCDABDAD9．ABD 【解析】因为0a b -≥，所以a b ≥．根据不等式的性质可知A ，B 正确；因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确；2222110a b ab ba a b --=≥，可得2211ab ba ≥，所以D 正确．故选ABD ．10．BCD 【解析】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=--⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得6k x ππωω=+，∵0ω>，取0k =，∴062ππω<≤，即13ω≥．故选BCD ．11．ABD 【解析】根据题意可得纸板n P 相交于纸板()12n P n -≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=-，…，112122n n n n L L π----=-，累加可得2n L π=+11121012121111111112222211222222221122n n n n n n ππππππ------⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++-+++=++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ，所以321117122242L ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，故A 正确，C 错误；又2111122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=-，…，1212n n n S S π---=-，累加可得13521211118411222223214n n n n S πππππππ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=----=-=+ ⎪⎝⎭- ，故31132S π=，故B 正确．故选ABD ．12．AD 【解析】∵e e 1.01011a b a b ==>++，∴1a >-，1b >-，令()()e 11xf x x x=>-+，则()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，且()01f =，故0a >，10b -<<．令()()()()()ln ln 2ln 1ln 1h x f x f x x x x =--=-++-+，()1,1x ∈-，则()2112220111h x x x x-'=-+=-<+-+-，所以()h x 在()1,1-上单调递减，且()00h =，∵()1,0b ∈-，∴()()ln ln 0f b f b -->，∴()()f b f b >-，∴()()f a f b >-，∴a b >-，即0a b +>，故选项A 正确；∵()()1e 1e 0.990cdc d -=-=>，∴1c <，1d <，令()()()1e1xg x x x =-<，则()e xg x x '=-，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，故01c <<，0d <．令()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1m x g x g x x x x h x =--=-++-+=，()1,1x ∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()00m =，∵()0,1c ∈，∴()()ln ln 0g c g c --<，∴()()g c g c <-，∴()()g d g c <-，∴d c <-，即0c d +<，故选项B 错误；∵()()1f x g x =-，∴()()11000.99101g a f a -==>，()1,0a ∈-，∴()()g a g d ->，又∵()g x 在(),0上单调递增，∴a d ->，∴0a d +<，故选项C 错误；由C 可知，()()g b g c ->，()0,1b -∈，又∵()g x 在()0,1上单调递减，∴b c -<，∴0b c +>，故选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2i --【解析】由题图可知，112i z =-+，由21i z z =，得()21i 12i i 2i z z ==-+=--．14【解析】建立如图所示坐标系，其中O 为BC的中点，所以(A ，()3,0B -，()3,0C ．设(),P x y，则()PA x y =-，()3,PB x y =--- ，()3,PC x y =-- ，又因为320PA PB PC ++=，所以()()()323,3,0x y x y x y --+---+--=，()3623320x x x y y y ---+---=，即630x --=，60y -=，所以133,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以PA ==15．311,44⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由()1132n n n n S a n =-++-，得134a =-；当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()()111111113113111222n n n nn n n n n n n a n a n a a ----=-++------+=-+--+，若n 为偶数，则1112n n a -=-，∴1112n n a +=-（n 为正奇数）；若n 为奇数，则11111112121132222n n n n n n a a -+-⎛⎫=--+=---+=- ⎪⎝⎭，∴132n n a =-（n 为正偶数）．函数1112n n a -=-（n 为正奇数）为减函数，最大值为134a =-，函数132n n a =-（n 为正偶数）为增函数，最小值为2114a =．若()()10n n a p a p +--<恒成立，则12a p a <<，即31144p -<<．故答案为311,44⎛⎫-⎪⎝⎭．16．①③④【解析】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接MH ，MB ，如下图所示：因为H ，M 分别为ED ，EA 的中点，故可得MH AD ∥，12MH AD =，根据已知条件可知：BG AD ∥，12BG AD =，故MH BG ∥，MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG MB ∥，又MB ⊂平面ABE ，HG ⊄平面ABE ，故HG ∥平面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，DA ，DC ⊂平面ABCD ，故DE DA ⊥，DE DC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，故DA DC ⊥，则DE ，DA ，DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示：则()2,0,0A ，()0,0,2E ，()1,2,0G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AE ⊥，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=，即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误；对③：B GFH H BGF V V --=，因为B ，F ，G 均为定点，故BGF S △为定值，又DE CF ∥，CF ⊂平面BGF ，DE ⊄平面BGF ，故DE ∥平面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到平面BGF 的距离是定值，故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取EFC △的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ，则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上，因为1OO ⊥平面EFC ，FC ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥，CF CD C ⋂=，CF ，CD ⊂平面EFCD ，故CB ⊥平面EFCD ，即BC ⊥平面EFC ，则1OO CB ∥，故1OO ，BC 在同一个平面，则过O 作OP BC ⊥，连接OB ，OC 如图所示．在EFC △中，容易知EF =，EC =1FC =，则由余弦定理可得cos5EFC ∠=-，故25sin 5EFC ∠=，则由正弦定理可得12sin 2EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==，在OBP △中，OB R =，102OP =，又12222BP PC OO =-=-==，故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即2255422R R =++--，解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确．故答案为①③④．四、解答题：本题共6小题，共17．【解析】（1）设公差为d ，则依题意得23a =-，则13a d =--，33a d =-+，∴()()()33315d d ----+=-，得24d =，2d =±，∴21n a n =-+或27n a n =-．（2）由题意得27n a n =-，所以72,3,27,4,n n n a n n -≤⎧=⎨-≥⎩①3n ≤时，()()21257262n n n S a a a n n +-=-+++==- ；②4n ≥时，()()21234123122186n n n S a a a a a a a a a a a n n =---+++=-++++++=-+ ．综上，数列{}n a 的前n 项和226,3,618, 4.n n n n S n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩18．【解析】（1）由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =得：cos B C A C =-，即()cos B C B C C =+-，即cos C B C =，因为sin 0C ≠，化简得1cos 2B =，∵()0,B π∈，∴60B =︒．（2）设AC 边上的中线为BD ，则()12BD BA BC =+ ，所以()222124BD BA BC BA BC =++⋅，()22212cos 4BD BA BC BA BC B =++⋅ ，即有()2225144a c ac =++，①又2sin 3b R B ==，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+-，②由①②得8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△．19．【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3213121110C 33339P X ⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222421181C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2224212162C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()23232122163C 333327P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X123P1988116811627所以数学期望()1816161840123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X 、i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即()()121233X X X X +=-+-，则123X X +=，所以()()()()()()()121212031221P A P X P X P X P X P X P X ===+==+==()()12116816168161112030927818181812796561P X P X +===⨯+⨯+⨯+⨯=．20．【解析】（1）过点D 作DO AC ⊥交AC 与点O ，∵平面ABC ⊥平面ACD ，且两平面的交线为AC ，∴DO ⊥平面ABC ，又∵DE ∥平面ABC ，∴DO DE ⊥，又∵AD DE ⊥且AD DO D ⋂=，∴DE ⊥平面ACD ．（2）过点E 作EN BC ⊥交BC 与点N ，连接ON ，∵平面ABC ⊥平面BCE ，且两平面的交线为BC ，∴EN ⊥平面ABC ，又∵DE ∥平面ABC ，∴D ，E 到平面ABC 的距离相等，∴DO EN ∥且DO EN =，ON ⊥平面ACD ，∴CO ON =，DE ON =，∴()11111133333ABCDE E ABC E ACD ABC ACD V V V EN S DE S EN DE DO DO DE --=+=⋅+⋅=+⋅=+△△，又222221DO DE DO CO CD +=+==，令()01DE x x =≤≤，则()())11133ABCDEx V f x DO DE +==+=，())12f x x '=-．所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即1324ABCDE V f ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当且仅当12DE =时取得最大值．如图所示，以点O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，则3,0,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，130,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以13,,444M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，53,,444AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．设AM 与CD 所成角为α，则37cos 37AM CD AM CDα⋅==⋅ ，则tan 6α=，即当几何体ABCDE 体积最大时，AM 与CD 所成角的正切值为6．21．【解析】（1）由题意知()0,3P ，过点P 与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为3y kx =+，联立223,26,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得()222112120k x kx +++=，（*）由()()22214448214810k k k ∆=-+=-=，可得1k =±，即切线方程为3y x =±+，所以，PA PB ⊥，将1k =代入方程（*）可得2440x x ++=，可得2x =-，此时1y =，不妨设点()2,1A -，同理可得点()，PA PB ===因此，142S PA PB =⋅=．（2）证明：先证明出椭圆22163x y +=在其上一点()00,M x y 处的切线方程为00163x x y y+=，因为点()00,M x y 在椭圆22163x y +=上，则220026x y +=，联立00221,631,63x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得()222200002103633x y x x x y +-+-=，整理得220020x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，因此，椭圆22163x y +=在其上一点()00,M x y 处的切线方程为00163x x y y +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则切线PA 的方程为11136x x y y +=，切线PB 的方程为22136x x y y+=．设(),P m n ，则11221,631,63mx ny mx ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以，点A ，B 的坐标满足方程260mx ny +-=，所以，直线AB 的方程为260mx ny +-=，因为点(),P m n 在直线163x y+=上，则26m n +=，则26n m =-，所以，直线AB 的方程可表示为()660mx m y +--=，即()()610m x y y -+-=，由0,10,x y y -=⎧⎨-=⎩可得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线AB 过定点()1,1T ，因为OD AB ⊥，所以，点D 在以OT 为直径的圆上，当点Q 为线段OT 的中点时，1222DQ OT ==，此时点Q 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭．故存在点11,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值22．22．【解析】（1）令()0f x =，得e 0nx x nx -=．所以0x =或e nx n =．即0x =或ln nx n=．因为点P 在点Q 的左侧，所以()0,0P ，ln ,0n Q n ⎛⎫⎪⎝⎭因为()()1e nxf x nx n '=+-，所以()01f n '=-，得点P 处的切线方程为()1y n x =-，即()()1g x n x =-．当0x ≥时，()()()()e 1e 1nxnxf xg x x nx n x x -=---=-，因为0x ≥，*n ∈N 且2n ≥，所以0nx ≥，所以e 1nx ≥，即e 10nx -≥．所以()e 10nx x -≥，所以()()f xg x ≥．（2）不妨设12x x ≤，且只考虑x 的情形．因为()()1e nxf x nx n '=+-，所以()ln ln ln 1e ln 1ln nn n f nn n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫'=+-=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点Q 处的切线方程为()2ln ln ln ln n y n n x n n x n n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，记()()2ln ln h x n n x n =-，令()()()()()22e ln ln e ln ln nx nx F xf x h x x nx n n x n x n n n x n ⎡⎤=-=---=-++⎣⎦，0x ≥，设()()()()1e ln nx G x F x nx n n n '==+-+，则()()2e0nxG x n nx '=+>．所以()F x '单调递增．又因为()ln ln ln 1e ln 0nn n F nn n n n ⎛⎫⎛⎫'=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，当ln 0,n x n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<；当ln ,n x n ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>．所以()F x 在ln 0,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,n n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()F x 在ln n x n =时有极小值，也是最小值，即()()ln 2ln ln ln e ln ln 0nn nn n nF x F n n n n n n n⋅⎛⎫≥=-++= ⎪⎝⎭，所以当0x ≥时，()()f x h x ≥．设方程()h x t =的根为2x '，则22ln ln t nx n n+'=．易知()h x 单调递增，由()()()222h x f x t h x '≤==，所以22x x '≤．对于（1）中()()1g x n x =-，设方程()g x t =的根为1x '，则11tx n'=-．易知()g x 单调递减，由（1）知()()()111g x f x t g x '≤==，所以11x x '≤．所以22121ln 11ln ln 1ln 1t n t n x x x x t n n n n n n n+⎛⎫''-≤-=-=++⎪--⎝⎭．因为()()ln 1ln 11n n n n n --=-+，易知3n ≥时，ln 10n ->，故()()ln 1103n n n -+>≥；当2n =时，()2ln 211ln 410-+=->，所以ln 10n n n >->，所以110ln 1n n n <<-，所以112ln 1ln n n n n n+>-．记()()()1e nxx f x nx n ϕ'==+-，0x ≥，则()()2e0nxx n nx ϕ'=+>恒成立．所以()()1e nxf x nx n '=+-单调递增，因为()010f n '=-<，ln ln 0n f n n n ⎛⎫'=>⎪⎝⎭，所以存在0ln 0,n x n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=．所以，当()00,x x ∈时．()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．因为()00f =，ln 0n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数图象知当方程()f x t =（t 为实数）有两个正实根1x ，2x 时，0t <，所以112ln 1ln t t n n n n n ⎛⎫+<⎪-⎝⎭．所以21212ln ln t n x x x x n n n ''-≤-<+，即212ln ln t n x x n n n -<+．。

2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（三）数学（文）试题

2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（三）数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}012M =,,，{}2,3N =，则()UM N =（）A ．{}3B ．{}2,3,4C ．{}0,1,2,3D ．{}0,1,2,3,4【答案】B【解析】由M ,求出U C M ,即可求出()UM N 的值.【详解】由题可得：{}3,4U C M =，故(){}2,3,4U C M N =.故选:B . 【点睛】本题考查并集和补集,难度容易.2．若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由()12i z i -=,求出z ,进而求出z ,即可判断点所在位置. 【详解】∵()12i z i -=，∴22(1)2(1)=11(1)(1)2i i i i z i i i i +-===-+--+，因此1i z =--，所以z 在复平面上对应的点()1,1--在第三象限. 故选:C . 【点睛】本题考查共轭复数和复数所对应的点,难度容易. 3．sin195︒=（）A ．4B ．4C ．4-D ．4【答案】A【解析】利用两角和的正弦公式, 将sin195︒化简,利用特殊角的三角函数值代入即可求得. 【详解】法一：()()sin195sin 18015sin15sin 4530︒=︒+︒=-︒=-︒-︒()1sin 45cos30sin 30cos 4522224⎛⎫=-︒︒-︒︒=--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 法二：()1sin195sin 13560sin135cos 60sin 60cos1352⎛︒=︒+︒=︒︒+︒︒=+= ⎝⎭故选:A . 【点睛】本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.4．某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据()i i x y ，（12i n ＝，，，），用最小二乘法建立的回归方程为=10+200y x -，则下列结论正确的是（） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r ＝－C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右【答案】D【解析】试题分析：y 与x 具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误D 正确.B 项中-10是回归直线方程的斜率. 【考点】1.最小二乘法；2.线性相关性.5．直线40x y --=与圆222220x y x y +---=的位置关系是（） A ．相离 B ．相切 C ．相交且过圆心 D ．相交不过圆心【答案】A【解析】利用圆心到直线的距离和半径的关系,即可判断出直线和圆的位置关系. 【详解】圆222220x y x y +---=,即22(1)(1)4x y -+-=,是一个以()1,1为圆心,2为半径的圆，因为圆心()1,1到直线40x y --=的距离为2211422211+--=>,所以直线与圆相离.故选:A . 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,需熟记点到直线的距离公式,难度较易.6．我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A ．πB ．716πC ．43π D ．32π 【答案】A【解析】根据题意可知几何体为一个圆锥和半个球体的组合体,利用锥体和球体的体积公式代入即可求得. 【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示上边是一个底面半径为1.高也为1的圆锥.下边是半径为1的半球，所以几何体的体积为23114211132333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯=+=.故选:A . 【点睛】本题考查了三视图和几何体的体积,意在考查学生的空间想象能力和计算能力,难度较易.7．函数()222()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性定义可判断函数为偶函数, 排除,C D 选项,当0x ≠时,可判断得出，()0f x >,排除选项A 即可得解. 【详解】函数定义域为R .因为()2222()(22)()()2cos()2cos x xx x x x f x f x x x--+-+-===+-+，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除,C D 选项. 当0x ≠时,20x >,220x x -+>,2cos 0x +>,所以()0f x >,排除选项A . 故选:B . 【点睛】本题考查函数图象的辨识，可以从奇偶性,单调性,函数值符号,特殊值等入手,通过排除法求解,难度较易.8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74S S =，且10a <，则使得0k S >的最小正整数k =（） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由于74S S =,利用等差数列的求和公式()112n n n S na d -=+,可求得15a d =-,又10a <，所以0d >, 将0k S >化简为,(11)=02k k k S d ->,即可得出11k >,进而求出最小正整数k . 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，74S S =，∴1176437422a d a d ⨯⨯+=+，解得15a d =-，又10a <，所以0d >. ∴1(1)(1)(11)5222k k k k k k k S ka d kd d d ---=+=-+=，由0k S >得11k >，故使得0k S >的最小正整数12k =. 故选:D . 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,需熟记公式,难度较易. 9．已知奇函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值可能是（） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】由()f x 是奇函数知2ϕπ=,可得()2sin f x x ω=-,由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 关于4x π=对称, 即可得出,24k k Z ππωπ=+∈,进而解得24,k k Z ω=+∈,根据选项即可的出答案. 【详解】由()f x 是奇函数得2ϕπ=，所以()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,24k k Z ππωπ=+∈，解得24,k k Z ω=+∈.所以当1k =时，得6ω=. 故选:B . 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知cos()y A x ωϕ=+的奇偶性,对称轴时求ωϕ，的问题,难度较易.10．执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框①中可以填入的条件是（）A ．9?n ≥B ．9?n ≤C ．9?n >D ．9?n <【答案】D 【解析】由于()lglg lg 11nn n n =-++可知1lg1lg 2lg 2lg3lg lg(+1)S n n =+-+-++-,则1lg(+1)0S n =-=,求解出n 即可. 【详解】由图可得:1lg1lg 2lg 2lg3lg lg(+1)S n n =+-+-++-，则1lg(+1)0S n =-=，所以9n =，因为此时需退出循环，所以填写：9n <. 故选:D . 【点睛】本身考查算法和程序框图,难度较易.11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()()()0.20.20.2022.240.4log ,,40.44log 4f f f a b c ===，则（） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】C【解析】构造()()f x g x x=,借助已知条件可判断出()g x 在区间0,上单调递减,由()f x 在R 上为奇函数,可知()g x 在R 上为偶函数,由()()()250.24,0.4,log 4a g b g c g ===,借助函数图象性质即可解得.【详解】不妨设:120x x >>，由题意得()()21120x f x x f x -<，即()()1212f x f x x x <，同理.当120x x <<时，有()()1212f x f x x x >，据此可得函数()()f xg x x=在区间0,上单调递减，且函数()g x 是偶函数，因此()()()()0.220.220.2240.44,0.440.4f g b f a g ====，()()()()0.250.20.25log 4log 4log 44log 4log f c g g g ===-=，因为2.25000.40.160.5log 414<<<<=<，所以()()()50.224log 40.4g g g <<，即a c b <<. 故选:C . 【点睛】本题通过构造新函数,利用函数的单调性,奇偶性,比较函数值大小的问题,注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较,考查分析问题和解决问题的能力，难度一般. 12．设抛物线()2:20C y px p => 的焦点为F ，点M 在C 上，5MF = ，若y 轴上存在点()0,2A ，使得·0AM AF = ，则p 的值为（） A ．2或8 B ．2C ．8D ．4或8【答案】A【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点(0,2)，设M (x ,y ),由抛物线性质|MF |=x +2p =5,可得x =5−2p，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为552222p p-+=，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即M (5−2p,4),代入抛物线方程得p 2−10p +16=0，所以p =2或p =8. 本题选择A 选项.二、填空题13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线方程是_______________.【答案】10y -=【解析】借助求导公式求出()y f x =',因为切线的斜率为()00f '=,0x =代入()1xe f x x =+求得切点,即可求出切线方程. 【详解】()()21xxe f x x '=+，∴()00f '=且()01f =，所以函数()1x e f x x =+的图象在()()0,0f 处的切线方程是10y -=.故答案为: 10y -=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程的求法,难度容易.14．已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =，13a b +=，则b = . 【答案】4【解析】试题分析：向量a 与b 的夹角为120︒，313a a b ＝，＋＝，则3··cos 1?202a b a b b ︒=-＝，222||2a b a a b b +⋅+＋＝.所以21393b b =-+，则1b ＝－（舍去）或4b ＝. 【考点】平面向量的数量积.15．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为_______________.【答案】2【解析】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1C D ,直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角,利用圆柱的轴截面11ABB A 是正方形,12C D AD =,从而可得结论. 【详解】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1,C D AD ，则因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以//AD BC ，所以直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角. 因为1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，所以1C D ⊥圆柱下底面，所以1C D AD ⊥. 因为圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，所以12C D AD =，所以直线1AC 与AD .所以异面直线1AC 与BC .故答案为. 【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足条件22211, cos Bcos 4b c a bc C +-===-，则ABC ∆的周长为______________.【解析】利用余弦定理求出角A ,利用两角和的余弦公式求出1sin sin 4B C =的值,结合正弦定理求出ABC ∆外接圆的半径R 与边长a ,再求出b c +即可. 【详解】ABC ∆中，2221b c a bc +-==，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴3A π=，∴23B C π+=，即1cos()cos cos sin sin 2B C B C B C +=-=-；又1cos cos 4B C =-.∴1111sin sin cos cos 2424B C B C =+=-+=，∴2214sin sin 414bc R B C R ==⨯=，解得1R =，其中R 为ABC ∆外接圆半径，∴2sin 21sin3a R A π==⨯⨯=∴2231b c +-=，解得224b c +=，∴222()24216b c b c bc +=++=+⨯=，∴b c +=，∴ABC ∆的周长为a b c ++=.故答案为:【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.三、解答题17．已知数列{}()*n a n N∈的前n 项和122n nSn +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21321311111n n nT a a a a a a a a -=+++⋯+----，比较n T 与1的大小.【答案】（1）21nn a =+；（2）1n T <【解析】(1) 当1n =时，113;a S ==当2n ≥时,121nn n n a S S -=-=+,即可得出;(2) 由11111222n n n n n a a ++==--，可将n T 化简为12=1n nT -，即可与1比较大小. 【详解】（1）由题意知，当1n =时，2112123a S +=-==当2n ≥时()112221221n n n n n n a S S n n +-=-=--+--=++；当1n =时也满足上式；所以21nn a =+（2）因为11111222n n n n n a a ++==--，所以31212312111111111112221112222212n n n n n n T a a a a a a +-⨯=++⋯+=+++⋯+==-<---- 【点睛】本题考查n a 与n S 的关系在求数列通项公式中的运用,考查了数列的求和,难度较易. 18．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得12名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）（1）求该单位乙部门的员工人数；（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A ，乙部门选出的员工记为B .假设所有员工睡眠的时间相互独立.求A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间的概率. 【答案】（1）20人；（2）12；（3）23【解析】(1)运用分层抽样的特点,计算即可求得;(2)从12人中抽取一人可得12种, 每天睡眠时间不少于7小时的共有6人,由古典概型的计算公式即可求得;(3)运用分类讨论思想,由古典概率的计算公式即可求出所得. 【详解】（1）由题意知，抽取的员工共12人，其中乙部门抽取4个. 故乙部门的员工人数为1242060÷=（或6020124⨯=）. （2）从该单位中任抽取1人，此人为睡眠充足者的概率约为从样本中抽取1人，抽到睡眠充足者的频率，故所求的概率约为2221122++=. （3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，共有3412⨯=种可能情况；由题意知，若A 睡眠时间小时数为6，则B 的睡眠时间小时数为6，有1种情况；若A 的睡眠时间小时数为7，则B 的睡眠时间小时数为6657，，，之一，有3种情况；若A 的睡眠时间小时数为8，则B 的睡眠时间小时数为665775，，，，，之一，有4种情况；故所求的概率1342123P ++==. 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式,难度较易.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//,AB CD BC CD ⊥，且22CD AC PA PC PB AB ======，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求点C 到平面PAD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2155【解析】(1)利用等边三角形三线合一性质和勾股定理得线线垂直,进而得线面垂直; (2)利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）因为2AC PA PC ===，所以PO AC ⊥，且3PO =，因为//AB CD ，BC CD ⊥，所以AB BC ⊥. 连接OB ，则112OB AC AO CO ====，因为222314PO OB PB +=+==，所以PO OB ⊥，又OBAC O =，所以PO ⊥平面ABCD（2）设点C 到平面PAD 的距离为h ，易知12332ACD S ∆=⨯=取PD 的中点E ，连接,AE DO ，由1,2,AB AC AB BC ==⊥，知30ACB ∠=︒，所以60ACD ∠=︒，又2AC CD ==，所以ACD ∆是等边三角形所以2=,AD AC AP ==3DO =.所以222610,6,4222DP AE DP DP AE AD ⎛⎫⎛⎫⊥==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以110156222ADP S ∆==，由C PAD P ACD V V --=得115133323h ⨯=215h =. 故点C 到平面PAD 215. 【点睛】本题考查空间线面垂直的证明和点到面的距离的计算,难度一般.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆C 的四个顶点所围成的四边形的面积为4. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.证明：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M .【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析【解析】(1)利用性质建立方程组,求出椭圆的方程;(2)将求证以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M ,转化为证明=0MA MB ⋅,由直线l 过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭且斜率不为零可设直线6:5l x ty =+与椭圆方程联立消x ,化为一元二次方程，利用根与系数的关系,证明=0MA MB ⋅即可.【详解】（1）由题意知，242c ab a ==，所以1,1,22b b a a ===，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=，（2）由题设直线6:5l x ty =+，()()1112,,,,(2,0)A x y B x y M 联立直线方程和椭圆方程得()22126440525t y ty ++-=. ()()12122212640,,54254t y y y y t t -∆>+==-++ 所以()()()()212121212162214525MA MB x x y y t y y t y y ⋅=--+=+-++ ()()()()2222222264148166464481664025*********t t t t t t t t +--+++=-++==+++，所以MA MB ⊥，所以点M 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线和椭圆的综合应用,应强化直线和椭圆联立得出一元二次方程之后的运算能力,重视根与系数的关系,难度较难. 21．已知函数()12,xx f x te t R e=--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t >时，若函数()()1xxg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.【答案】（1）单调递增区间(),ln 2-∞-，单调递减区间()ln 2,-+∞；极大值6-，无极小值；（2）1【解析】(1)依题意4t =-可知()142xxf x e e =---,则()()12121()4x xx x xe ef x e e e +-'=-+=,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果.(2)当0t >时，()2()1(2)xxxx g x e f x te x tet e x =+-+=+--,利用导数的方法可得()g x 的单调区间, ()g x 的极小值是()ln g t -，只要()ln 0g t -=，即1ln 10t t-+=时,能满足题意;构造函数()1ln 1t F t t=-+在0,上单调递增,从而确定=1t 时有唯一的零点. 【详解】（1）当4t =-时，()142xx f x e e=---. 则()()12121()4x xx x xe ef x e e e +-'=-+=，令0f x，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(),ln 2-∞-，单调递减区间是()ln 2,-+∞， ∴()f x 的极大值是1(ln 2)42262f -=-⨯--=-，无极小值（2）当0t >时，()2()1(2)xxxx g x e f x te x te t e x =+-+=+--，则()()2g ()2(2)1121x x xx x tet e te e '=--=-++，令0g x，得ln x t =-，∴()g x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，∴()g x 的极小值是()ln g t -，∴只要()ln 0g t -=，即可满足函数在R 上有唯一零点∴()n 0ln 1l 1t g t t=-+=-，令()1ln 1t F t t =-+，则211()0F t t t'=+>. ∴()F t 在0,上单调递增，∵()01F =，∴t 的值是1. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,综合考查导数在函数中的运用,难度困难.22．已知圆1:2cos C ρθ=-，曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化圆1C 和曲线2C 的方程为普通方程；（2）过圆1C 的圆心1C 且倾斜角为3π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点.求圆心1C 到,A B 两点的距离之积.【答案】（1）1C ：22(1)1x y ++=，2C ：2214x y +=；（2）1213 【解析】(1)圆1:2cos C ρθ=-,即22cos ρρθ=-，利用互化公式可得圆1C 的普通方程, 曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,利用平方关系可得曲线2C 的普通方程;(2)由(1)可知：()11,0C -，则直线l的参数方程为：1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2214x y +=，有21330,4t t --=，圆心1C 到,A B 两点的距离之积为12t t .【详解】（1）圆1C 的普通方程为：22(1)1x y ++=，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=.（2）由（1）可知：()11,0C -，则直线l 的参数方程为：1123x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2214x y +=，有212131230,413t t t t =--=-，所以圆心1C 到,A B 两点的距离之积为121213t t = 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程, 参数方程化成普通方程,利用直线的参数方程求距离问题,难度一般.23．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1118a b ab++≥； (2)11(1)(1)9a b++≥.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）1的代换，将不等式左边化为齐次：()2a b a b a b a b ab+++++,再根据基本不等式求最小值为8，证得结论（2）左边展开得1111a b ab+++，再根据（1）得证试题解析：证明：(1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋4≥4＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝时，等号成立)， ∴＋＋≥8.(2)∵ ＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8. ∴≥9.。

2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数试卷及答案

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理科数学试题!长郡版"第!2 页!共"页"
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