高二数学不等式综合练习课

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2020高二数学人教A必修5练习：3.2 一元二次不等式及其解法 Word版含解析

课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。

高二数学必修五第三章《不等式》3.2一元二次不等式及其解法

2
O
x1

x1=x2
x2
x
a x b x c 0的解
2

Hale Waihona Puke 25金太阳教育网
判别式 △=b2- 4ac
品质来自专业函数、方程、不等式之间的关系信赖源于诚信
△>0 y x1 O
y>0
△=0
△<0
y>0
y=ax2+bx+c 的图象
y
y
y>0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
⑴
当
1 a
6, 即a
1 6
时
1 解集为 : x x 或x 6 a
⑵ 当 ⑶
1
6, 即a
1
时
①当a<0时， a
②当a>0时， a
0,
1 解集为 x 6 x a 1
0
解集为 : x x R或x 6 1 1 当 6, 即0 a 时 a 6
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 2 (a 2) 4(a 2) 0
a 2 即 2 a 6 a 2 即 (a 2)(a 6) 0
解集为：
5 x x R且x a 2 ;
5
3.当⊿=25a2－24<0,

人教版A版高中数学高二版必修5习题一元二次不等式及其解法

[A 基础达标]1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23 解析：选 A.因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12. 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C.①显然不可能； ②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化2x 2－3x ＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.3．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞，则ab 等于( ) A ．－24B ．24C ．14D ．－14 解析：选 B.由已知可得－12，13是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，⎝⎛⎭⎫－12×13＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，所以ab ＝24. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)解析：选B.由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1.5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A ．{x |x >5a 或x <－a }B ．{x |x <5a 或x >－a }C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选B.因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－12，所以5a <－a .所以不等式的解为x >－a 或x <5a .故选B.6．不等式2x 2－x ＋1>0的解集是________．解析：由Δ＝1－4×2<0，则原不等式的解集为R .答案：R7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为________．解析：原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}8．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为________．解析：因为ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，所以⎩⎨⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.答案：{x |x >1或x <－2}9．解下列不等式：(1)(5－x )(x ＋1)≥0；(2)9x 2－6x ＋1<0.解：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)因为Δ＝0，方程9x 2－6x ＋1＝0有两相等实根，x 1＝x 2＝13，所以不等式9x 2－6x ＋1<0的解集为∅.10．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )> 0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝⎛⎭⎫32，3，求m 的值．解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2－x >0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝m m ＋1⇒m ＝－97.[B 能力提升]1．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b解析：选A.因为α，β为f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．因为a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，所以a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A.2．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由题意解得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8.答案：[2，8)3．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.解：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }；(2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ，此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }；当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }；当a ＝0时，∅.4．(选做题)(2016·广东云浮月考)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a .(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )>0的解集；(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－3x＋2，因为f(x)>0，所以x2－3x＋2>0，令x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以原不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)因为f(x)<0，所以f(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)<0，令(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1，当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为空集；当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．。

高二数学人教A必修5练习及解析：3-2 一元二次不等式及其解法

∴a=2.
∴不等式
+1
2+1
+2
>1 可化为
>1,移项通分得 >0,
-1
-1
-1
∴(x+2)(x-1)>0,解得 x<-2 或 x>1.
∴所求解集为{x|x<-2 或 x>1}.
8.解关于 x 的不等式 2x2+ax+2>0.
解:对于方程 2x2+ax+2=0,其判别式 Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
【解析】

1
由题意知，一元二次不等式 f(x)>0 的解集为x－1<x<2 .

而 f(10x)>0，
1
∴－1<10x<2，
1
解得 x<lg 2，即 x<－lg 2.
【答案】
D
二、填空题
6．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示)
①当 a>4 或 a<-4 时,Δ>0,方程 2x2+ax+2=0 的两根为:
1
4
1
4
x1= (-a-√2 -16),x2= (-a+√2 -16).
∴原不等式的解集为
1
4
1
4
{ | < (--√2 -16)或 > (- + √2 -16)}.
②当 a=4 时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;
1
1
∴不等式 bx2-ax-1>0 的解集是(- 2 ,- 3).

高中数学选择性必修二精讲精炼拓展四导与零点、不等式等综合运用(精练)(含答案)

拓展四导数与零点、不等式等综合运用(精练)【题组一零点问题】1．(2021·河北邢台·高二月考)已知函数()f x '满足()()()()43,00,11xxf x f x x f f e e -===+'，则函数()()1F x f x =-的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】当0x ≠时，由()()43xxf x f x e x -='，可得()()3263xx f x x f x e x ='-，则()()3263x x f x x f x xe '-=，即()'3x f x x e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以()3.x e f x C x =+因为()11f e =+，所以1=C ，故()()()310.xe f x x x =+≠因为()00f =，所以()()31xf x x e =+，则()()233.xe f x x x ⎡=+'⎤+⎣⎦设()()33x g x x e =++，则()()4x g x x e +'=，所以()g x 在(),4-∞-上单调递减，在()4,-+∞上单调递增，所以()4min ()430e g x g -=-=-+>，所以()f x '0，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()()1F x f x =-在(),-∞+∞上也单调递增，因为()()00110,F f =-=-<()()111110F f e e =-=+-=>，所以(0)(1)0F F <,所以()F x 有且只有1个零点. 故选：B2．(2021·河南南阳·高二月考(理))已知函数2()(2)(2)f x x x a a =->，若函数()(()1)g x f f x =+恰有4个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(3,4) B ．(3,)+∞ C ．(2,3) D ．(4,)+∞【答案】B【解析】因为2()(2)(2)f x x x a a =->的零点为0，2a，所以由()(()1)0g x f f x =+=，得()10f x +=或2a ，即()1f x =-或12a-．因为()2(3)(2)f x x x a a '=->，所以()f x 在(,0)-∞，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 的极大值为(0)0f =，极小值为3327a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为2a >，所以102a ->，所以结合()f x 的图象可得3127a-<-且102a ->，解得3a >．故选：B3．(2021·北京·首都师范大学附属中学高二期中)若函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．0,B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,eD ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】解：因为函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点, 所以方程ln 0x ax -=有两个不相等的实数根, 所以ln xa x=有两个不相等的实数根, 令ln x y x=，21ln 'xy x -=，所以当()0,x e ∈时，'0y >，函数ln xy x=为增函数，当(),x e ∈+∞时，'0y <，函数ln xy x=为减函数，由于当ln ln 0,,,0x xx x x x→→-∞→+∞→，故函数ln xy x=的图像如图，、所以ln x a x =有两个不相等的实数根等价于10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：B4．(2021·陕西省洛南中学高二月考(理))函数3()12f x x x m =-++有三个零点，则m 的取值范围为_______. 【答案】(16,16)-【解析】因为函数3()12f x x x m =-++，所以2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-，令()022()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-；或2x >，所以函数()f x 在()2-∞-，和(2)，+∞上为减函数，在(22)-，上为增函数，所以当2x =-时，()f x 取得极小值，且(2)16f m -=-，当2x =时，()f x 取得极大值，且(2)16f m =+，又函数有三个零点，所以160160m m -<⎧⎨+>⎩，解得1616m -<<.故答案为：(1616)-，5．(2021·河北邢台·高二月考)已知方程e 0x x m --=有且只有1个实数根，则m =__________. 【答案】1【解析】设()e x f x x =-，则()e 1.xf x ='-令()0f x '=，得0x =，则()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()f x 在0x =处取得最小值()0 1.f =故若方程e 0x x m --=有且只有1个实数根，则 1.m =故答案为：16．(2021·福建·福州三中高二期中)已知函数1()x f x xe +=，若关于x 方程2()2()20()f x tf x t R -+=∈有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为_______________．【答案】32⎫⎪⎭【解析】令1()x g x xe +=，111()(1)x x x g x e xe x e +++'=+=+，所以在(1,)-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(,1)-∞-上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以11()(1)1min g x g e -+=-=-=-，又(0)0g =，所以作出()g x 与()f x 的图像如下：()11f -=，令()(0)k f x k =>，则方程2()2()20()f x tf x t R -+=∈为2220()k tk t R -+=∈，则2222k t k k k+==+，令()2g k k k=+，作出()g k 的图像：当02t <<0t <<2y t =与()2g k k k=+没有交点，所以方程22t k k=+无根，则()(0)k f x k =>无解，不合题意．当2t =t =时，2y t =与()2g k k k=+有1个交点，所以方程22t k k=+有1个根为k =()(0)k f x k =>有1个解，不合题意．当2t >t >2y t =与()2g k k k=+有2个交点，所以方程22t k k=+有2个根为10k <2k >若11k =时，则1()(0)k f x k =>有2个解，2()(0)k f x k =>有1个解，所以()k f x =有3个解，不合题意．若101k <<时，则1()(0)k f x k =>有3个解，2()(0)k f x k =>有1个解，所以()k f x =有4个解，不合题意．11k >>时，则1()(0)k f x k =>有1个解，2()(0)k f x k =>有1个解，所以()k f x =有2个解，合题意．因为22t k k=+，所以23t <32t <，综上所述，t 的取值范围为3)2．故答案为：3)2．7．(2021·安徽·芜湖一中高二期中(理))已知函数2()2ln x f x e x t -=--有四个零点，则实数t 的取值范围为___________. 【答案】()0,2ln 21-【解析】函数2()2ln x f x e x t -=--的零点个数，也就是22ln x y e x -=-与y t =的交点个数，设()22ln x g x ex -=-，显然函数的定义域为()0,∞+，()22x g x e x -'=-，记()22x h x ex -=-，则有()20h =，()2220x h x e x-'=+>， ()h x ∴在()0,∞+上单调递增，所以当()0,2x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()0,2上单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()2,+∞上单调递增，所以()()min 212ln 20g x g ==-<，同一直角坐标系中画出函数22ln x y e x -=-与y t =的大致图象，如图：由图可知，函数22ln x y e x -=-与y t =有四个交点，可得02ln 21t <<-. 故答案为：()0,2ln 21-8．(2021·江苏·无锡市青山高级中学高二期中)已知函数f (x )＝3223,015,1x x m x mx x ⎧++≤≤⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为___．【答案】()5,0-【解析】当01x ≤≤时，()3223f x x x m =++，则()2660f x x x '=+≥，故()f x 在[]0,1x ∈上是增函数.要使函数()f x 有两个不同的零点，则函数()f x 在[]0,1与(1,)+∞上各有1个零点，显然0m <.故()()0?1050f f m ⎧≤⎨+>⎩，解得：50m -<<，综上所述：实数m 的取值范围为()5,0-. 故答案为：()5,0-.9．(2021·河南·高二期中(理))已知函数()()3xx e x f a =-+.(1)当1a =时，求()f x 的最小值；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)2-；(2)21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】(1)当1a =时，()3xf x e x =--，则()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1xf x e '=-，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， ()f x ∴的最小值为()02f =-.(2)由题意知：()f x 定义域为(),-∞+∞，()xf x e a '=-；①当0a ≤时，()0xf x e a '=->恒成立，()f x ∴在(),-∞+∞上单调递增，不符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得：ln x a =，∴当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；即当0a >时，()f x 有极小值也是最小值为()()ln 2ln f a a a =-+. 又当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞；∴要使()f x 有两个零点，只需()ln 0f a <即可，则2ln 0a +>，解得：21a e >；综上所述：若()f x 有两个零点，则a 的取值范围为21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.10．(2021·广东普宁·高二期中)设函数()cos x f x e x =，()'f x 为()f x 导函数． (1)求()f x 的单调区间；(2)令()()()2h x f x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，讨论当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()h x 的零点个数．【答案】(1)()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)只有一个零点．【解析】(1)由已知，有()(cos sin )x f x e x x '=-．当52,2()44x k k k ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z 时，有sin cos x x >，得()0f x '<，则()f x 单调递减；当32,2()44x k k k ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z 时，有sin cos x x <，得()0f x '>，则()f x 单调递增．所以()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． (2)证明：由(1)有()e (cos sin )x f x x x '=-，令()()g x f x '=，从而()2sin x g x e x '=-．当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()()()()(1)()22h x f x g x x g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'''⎭'，因此，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增．∴3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()02h x h π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭．所以，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()h x 只有一个零点． 11．(2021·江苏启东·高二期中)已知函数23(n )l f x x x c x d =-++，3(2)2f '=. (1)求()f x 的单调区间；(2)若2>d ，求证：()f x 只有1个零点.【答案】(1)单调增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞；单调减区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭；(2)证明见解析.【解析】(1)依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由23(n )l f x x x c x d =-++，得()23cf x x x'=-+，又()322f '=，即322322c ⨯-+= 计算得 1c =，所以2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'==. 令()0f x '>，得102x <<或1x >；令()0f x '<，得112x <<，所以()f x 的单调增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞；单调减区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由(1)知，()f x 在12x =处取极大值，在1x =处取极小值，当2>d 时，()f x 的极小值(1)20f d =->，所以()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点.由于1(1)02f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，而()2e e 3e e d d d df ----=-<3e 2e 0d d ---=-<，所以()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有1个零点.所以2>d 时，()f x 只有1个零点. 【题组二不等式证明问题】1．(2021·新疆·乌市八中高二月考(文))已知函数()ln f x x a x =-． (1)讨论的单调性；(2)若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，()f x m =有两个不同的根12,x x ，求证：121x x m +>+．【答案】(1)答案见解析；(2){}1；(3)证明见解析．【解析】解：(1)()ln f x x a x =-，则()()10a x a f x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，令()0f x '=，得x a =，所以x a >时，()0f x '>；0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；(2)()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1a x a f x x x'-=-=，当0a =时，()f x x =，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()1f x ≥不恒成立，不合题意；当0a <时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，且当0x →时，()f x →-∞，不合题意；当0a >时，由()0f x '=得x a =，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，所以()f x 在x a =处取到极小值，也是最小值()ln f a a a a =-，由题意得()ln 1f a a a a =-≥恒成立，令()ln g x x x x =-，()ln g x x '=-，()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()ln 11g x x x x g =-≤=，所以()ln 1f a a a a =-=，即1a =. (3)()ln f x x x =-，且()f x 在1x =处取到极小值1，又0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，故1m 且1201x x <<<，要证明：121x x m +>+，只需证明211x m x >+-，又2111x m x >+->，故只需证明：()()211f x f m x >+-，即证：()11m f m x >+-，即证：()111ln 1m m x m x >+--+-，即证：()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，则()()()11ln 11ln 1ln x x x h x x x x x -+'=-+=--，因为01x <<，所以()1ln 0x x ->，由(2)知ln 1≤-x x 恒成立，所以11ln 1,ln 1x x x x x≤--≤-，即1ln 0x x x -+≥，所以()h x 在01x <<上为增函数，所以()()10h x h <=，即命题成立. 2．(2021·重庆十八中高二月考)已知函数()ln 11x aF x x x =--+． (1)设2a =，1x >，试比较()()()1h x x F x =-与0的大小； (2)若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若a 使()F x 有两个不同的零点12 ,x x ，求证：21||a a x x e e --<-．【答案】(1)()0h x >； (2)(,2]-∞； (3)证明见解析. 【解析】(1)当2a =时，()()ln (1)1()ln ,1111x a a x h x x x x x x x -=--=->-++，可得()2222212(1)2(1)(1)4(1)(1)(1)(1)x x x x x h x x x x x x x x +-----'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上为单调递增函数，因为(1)0h =，所以()(1)0h x h >=.(2)设函数()(1)ln 1a x f x x x -=-+，则()222(1)1ln (1)x a x f x x x x +-+'=-+，令()22(1)1g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，可得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >，当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <，又因为122(1)0t t a +=->且121t t =，所以1201t t <<<，在2(1,)t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即(1)ln 1a x x x -<+，可得ln 011x ax x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上可得2a ≤，即实数a 的取值范围是(,2]-∞. (3)若()F x 有两个不同的零点12,x x ，不妨设12x x <，则12,x x 为()(1)ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且121,1x x ≠≠，由(2)知此时2a >，并且()f x 在12(0,),(,)t t +∞为单调递增函数，在12(,)t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以12()0,()0f t f t ><，因为()()220,0,111aaa a a aa a f e f e e e e e --=-<=-><<++，且()f x 的图象连续不断，所以1122(,),(,)a a x e t x t e -∈∈，所以2121a at t x x e e --<-<-，因为21t t -==综上可得：21||a a x x e e -<-<-.3．(2021·山东任城·高二期中)已知函数()ln ()R f x x a x a =-∈ (1)求()f x 的极值；(2)若()1f x ≥，求a 的值，并证明：()2.x f x x e >-【答案】(1)当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值；(2)1，证明见解析.【解析】解：(1)()1(0)a x a f x x x x-∴=-=>' ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增. ()f x ∴在()0,∞+上无极值.②当0a >时，令()0f x '>得x a >；令()0f x '<得0x a <<. ()f x ∴在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. ()f x ∴的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值.综上，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值. (2)由(1)可知，①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)1f =，∴当(0,1)x ∈时，()1f x <，即()1f x ≥不恒成立.②当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.min ()()ln 1.f x f a a a a ∴==-≥令()ln (0)g a a a a a =->，则()1(ln 1)ln .g a a a '=-+=-当(0,1)∈a 时，()0g a '>，()g a 在(0,1)上单调递增；当(1,)∈+∞a 时，()0g a '<，()g a 在(1,)+∞上单调递减.()(1) 1.g a g ∴≤=1.a ∴=设()()2ln (0)x x h x f x x e x x e x =-+=--+>，下面证明()0.h x > 当1a =时，()ln 1f x x x =-≥，即ln 1.x x ≤- ln 21,x x x ∴+≤-∴只要证21(*).x x e -<令()21,0x q x e x x =-+>，则'() 2.x q x e =-∴当(0,ln 2)x ∈时，'()0q x <，()q x 在(0,ln 2)上单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0q x >，()q x 在(ln 2,)+∞上单调递增. 3()(ln 2)3ln 4ln ln 40.q x q e ∴≥=-=-> (*)∴式成立，即()2x f x x e >-成立.4．(2021·河北邢台·高二月考)已知函数()21f x ax x=+. (1)当4a =-时，求()f x 的极值点.(2)当2a =时，若()()12f x f x =，且120x x <，证明21:3x x -.【答案】(1)极大值点为12-，无极小值点；(2)证明见解析.【解析】(1)当4a =-时，()214f x x x=-+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞. 则()3221818.x f x x x x +=--=-'令()0f x '=，解得12x =-则函数()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,0,02∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.所以12x =-为()f x 的极大值点，所以()f x 的极大值点为12-，无极小值点.(2)当2a =时，()212f x x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，则()()22112212112,2f x x f x x x x =+=+因为()()12f x f x =，所以2212121122x x x x +=+，整理得()()121212122.x x x x x x x x -+-=因为120x x <，所以()121212x x x x +=，所以()()22212112122121444x x x x x x x x x x -=+-=-.设1210t x x =<，则()()322212214148,422t x x g t t g t t t t t '+-==-=+=. 令()0g t '=，解得2t =-，则()2144g t t t=-在(),2-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增，所以()()23g t g -=，即2213x x -，故213x x -.5(2021·山西晋中·高二期末(文))已知()ln f x ax x =-，()a ∈R (1)讨论()f x 的单调性；(2)求证：当1a =时，()xe f x ex ≥.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】(1)()11ax f x a x x-'=-=，()0,x ∈+∞ 当a ≤0时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减； a >0时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.(2)证明：当a =1时，原不等式等价于()ln xe x x ex -≥欲证()ln xe x x ex -≥，只需证ln xex x x e -≥设()ln h x x x =-，()xexg x e =，()0x >()111x h x x x-'=-=，当()0,1x ∈ 时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()()min 11h x h ==()()1xe x g x e-'=，当()0,1x ∈)时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴()()max 11g x g == 所以()()h x g x ≥，即原命题成立.6．(2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高二期中)已知函数()2ln xf x me x =-．(1)若1x =是()f x 的极值点，求m 的值，并判断()f x 的单调性． (2)当1m 时，证明：()2f x >．【答案】(1)212m e=，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；(2)证明见解析. 【解析】(1)解：()212xf x me x'=-．因为1x =是()f x 的极值点，所以()20121me f '=-=，得212m e =．此时()221ln 2x e f x e x =-，()2211x e xf x e '=-．令()()()2211,0,x e x e x m x f x =-∈'=+∞，则()222210x e m x e x=+'>'，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，且()2211101e e m =-= 因此01x <<时，()0m x <；当1x >时()0m x >．故当01x <<时()0f x '<；当1x >时()0f x '>．所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．因此1x =是()f x 的极值点，故212m e =；()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增(2)证明：当1m 时，因为()222ln 2ln 2x xme x x e x f -=-->--，所以只需证2ln 20x e x -->即可．令()2ln 2x g e x x =--，则()()2211221xx g e xe x xx '=-=-．令()()2210x h e x x x =->，则()22240x xh e x xe '=+>，因为12111042h e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1102h e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即020210xx e -=，即02012x e x =，也可化为002ln 20x x +=，即00ln 2ln 2x x =--．所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0022000min 01ln 22ln 222x x g x g x e x e x x ==--==++-．因为()12ln 222n x x x =++-在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()11ln 2042n x n ⎛⎫>=+> ⎪⎝⎭，故()min 0g x >，即()2f x >．【题组三恒成立问题】1．(2021·重庆十八中高二月考)设函数()2ln f x a x bx =-．(1)若12b =，讨论函数()f x 的单调性； (2)当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的31,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(21,x e ⎤∈⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)(22e ⎤-∞-⎦，.【解析】解：(1)若12b =，()21ln 2f x a x x =-()>0x ，则2()a a x f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递减，当>0a 时，令()0f x '=，得x =负值舍去)，当0x <<()0f x '>，函数()f x在(0上单调递增，当x ()0f x '<，函数()f x在)+∞上单调递减；(2)当0b =时，()ln f x a x =.若不等式()f x m x ≥+对所有的(231,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，则ln a x m x ≥+对所有的(231,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，即ln m a x x ≤-,对所有的(231,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，令()ln h a a x x =-，则()h a 为一次函数，min ()m h a ≤， (21,x e ⎤∈⎦，ln 0x ∴>，()h a ∴在3[1,]2a ∈上单调递增，min ()(1)ln h a h x x ∴==-，ln m x x ∴≤-对所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立，令()ln g x x x =-，则()111x g x x x -'=-=，因为21x e <≤，所以()10xg x x-'=<，所以函数()ln g x x x =-在(21,e ⎤⎦单调递减，所以()()22222ln g x g e ee e -==-≥， 2min ()2m g x e ∴≤=-，所以实数m 的取值范围为(22e ⎤-∞-⎦，.2．(2021·江西省南昌县莲塘三中高二月考(理))已知函数32()f x ax bx cx d =+++为奇函数，且在1x =-处取得极大值2. (1)求()f x 的解析式；(2)若()()()221xf x m x x e ++≤-对于任意的[0,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)()33f x x x =-；(2)1m .【解析】(1)由于()f x 为奇函数，所以0b d ==，()3f x ax cx =+，()'23f x ax c =+，所以()()1211303f a c a f a c c ⎧-=--==⎧⎪⇒⎨⎨-=+==-⎪⎩'⎩，所以()()()()3'23,33311f x x x f x x x x =-=-=+-，所以()f x 在区间()(),1,1,-∞-+∞上()()'0,f x f x >递增，在区间()1,1-上()()'0,f x f x <递减，在1x =-处取得极小值，符合题意.(2)依题意()()()221xf x m x x e ++≤-对于任意的[0,)x ∈+∞恒成立，即()()32321xx x m x x e -++≤-①.当0x =时，①恒成立.当0x >时，①可化为21x m xe x x ≤--+，构造函数()21x h x xe x x =--+，()01h =，()()()''121,00x h x x e x h =+--=，()()()()''''2221,00x x x h x x e xe e h =+-=+-=，当0x >时，()''0h x >，()'h x 递增，所以在区间()0,∞+上，()'0h x >，所以在区间()0,∞+上，()1h x >. 所以1m .。

高二数学----不等式的证明题及解答

不等式的证明训练题及解答一、选择题(1)若l o g a b 为整数,且l o g ab 1>l o g a b l o g b a 2,那么下列四个结论①b1>b >a 2②l o g a b +l o g b a =0 ③0<a 2且|x 2|>2 B |x 1+x 2|>4 C |x 1+x 2|<4 D |x 1|=4且|x 2|=1(3)若x ,y ∈R +,且x ≠y ,则下列四个数中最小的一个是（）A)11(2y x + B yx + (4)若x >0,y >0,且y x +≤a y x +成立,则a 的最小值是（）A22C 2D 2(5)已知a ,b ∈R +,则下列各式中成立的是（）A cos 2θ·lg a +sin 2θ·lg b <lg(a +b )B a cos2θ·b sin2θ=a +bC cos 2θ·lg a +sin 2θ·lg b >lg(a +b )D a cos 2θ·b sin2θ>a +b(6)设a ,b ∈R +,且ab -a -b ≥1,则有（）A a +b ≥2(2+1)B a +b ≤+1C a +b ≥(2+1)2D a +b ≤2(2+1)二、填空题(7)已知x 2+y 2=1,则3x +4y 的最大值是(8)设x =21y -,则x +y 的最小值是(9)若51≤a ≤5,则a +a1的取值范围是 (10)A =1+n n与13121+++ (n ∈N )的大小关系是 (11)实数yx=x -y ,则x 的取值范围是 . 三、解答证明题(12)用分析法证明:3(1+a 2+a 4)≥(1+a +a 2)2(13)用分析法证明:ab +cd ≤22c a ⋅+(14)用分析法证明下列不等式:(1)求证:15175+>+ (2)求证:4321---<---x x x x (x ≥4)(3)求证:a ,b ,c ∈R +,求证:)3(3)2(23abc c b a ab b a -++≤-+ (15)若a ,b >0,2c >a +b ,求证:(1)c 2>ab ；（2）c -ab c -2<a <c +ab c -2 (16)已知x ,y ∈R +,且x +y >2,求证:xyy x ++11与中至少有一个小于2 (17)设a ,b ,c ∈R ,证明:a 2+ac +c 2+3b (a +b +c )≥0(18)已知1≤x 2+y 2≤2,求证:21≤x 2+xy +y 2≤3 (19)设a n =)1(3221+++⨯+⨯n n (n ∈N *),求证:2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有n (n ∈N *)都成立(20)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0,有两个实数根α,β,证明: (1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b 且|b |<4 (2)如果2|α|<4+b 且|b |<4,那么|α|<2,|β|<2 不等式的证明训练题参考答案：1．A 2．B 3．D 4．B 5．A 6．A7．5 8．-1 9．［2,526］ 10．A ≥n 11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 12．证明:要证3(1+a 2+a 4)≥(1+a +a 2)2只需证3［(1+a 2)2-a 2］≥(1+a +a 2)2,即证3(1+a 2+a )(1+a 2-a )≥(1+a +a 2)2≧1+a +a 2=(a +21)2+43>0 只需证3(1+a 2-a )≥1+a +a 2，展开得2-4a +2a 2≥0，即2(1-a )2≥0成立故3(1+a 2+a 4)≥(1+a +a 2)2成立13．证明:①当ab +cd <0时,ab +cd <2222d b c a +⋅+成立②当ab +cd ≥0时,欲证ab +cd ≤2222d b c a +⋅+只需证(ab +cd )2≤(2222d b c a +⋅+)2展开得a 2b 2+2abcd +c 2d 2≤(a 2+c 2)(b 2+d 2)即a 2b 2+2abcd +c 2d 2≤a 2b 2+a 2d 2+b 2c 2+c 2d 2，即2abcd ≤a 2d 2+b 2c 2只需证a 2d 2+b 2c 2-2abcd ≥0，即(ad -bc )2≥0因为(ad -bc )2≥0成立所以当ab +cd ≥0时,ab +cd ≤2222d b c a +⋅+成立综合①②可知:ab +cd ≤2222d b c a +⋅+成立14．证明:(1)欲证15175+>+ 只需证22)151()75(+>+展开得12+235>16+215,即235>4+215 只需证(235)2>(4+215)2，即4>15这显然成立故15175+>+成立(2)欲证4321---<---x x x x (x ≥4) 只需证2341-+-<-+-x x x x (x ≥4)即证22)23()41(-+-<-+-x x x x (x ≥4)展开得2x -5+22325241-⋅-+-<-⋅-x x x x x 即)2)(3()4)(1(--<--x x x x只需证［)4)(1(--x x ］2<［)2)(3(--x x ］2即证x 2-5x +4<x 2-5x +6，即4<6这显然成立故4321---<---x x x x (x ≥4)成立(3)欲证2(ab b a -+2)≤3(33abc c b a -++) 只需证a +b -2ab ≤a +b +c -33abc即证c +2ab ≥33abc≧a ,b ,c ∈R +，≨c +2ab =c +ab +ab ≥3333abc ab ab c =⋅⋅≨c +2ab ≥33abc 成立故原不等式成立15．证明:（1）≧ab ≤(2b a +)2<c 2，≨ab <c 2（2）欲证c -ab c -2<a <c +ab c -2只需证-ab c -2<a -c <ab c -2，即|a -c |<ab c -2，即a 2-2ac +c 2<c 2-ab只需证a (a +b )<2ac≧a >0,只要证a +b <2c (已知)，故原不等式成立16．证明:(反证法):假设x y y x ++11与均不小于2,即yx+1≥2,x y +1≥2,≨1+x ≥2y ,1+y ≥2x 将两式相加得:x +y ≤2,与已知x +y >2矛盾, 故xyy x ++11与中至少有一个小于2 17．证明:目标不等式左边整理成关于a 的二次式且令 f (a )=a 2+(c +3b )a +c 2+3b 2+3bc判别式Δ=(c +3b )2-4(c 2+3b 2+3bc )=-3(b +c )2≤0当Δ=0时,即b +c =0,等号成立故a 2+(c +3b )a +c 2+3b 2+3bc ≥0成立18．证明:设x =k cos θ,y =k sin θ,1≤k 2≤2≨x 2+xy +y 2=k 2(cos 2θ+cos θsin θ+sin 2θ)=k 2(1+21sin2θ) ≧sin2θ∈［-1,1］≨k 2≤k 2(1+21sin2θ)≤23k 2,故21≤x 2+xy +y 2≤319．证明:≧2)1(n n n >+=n ,≨a n >1+2+3+…+n =2)1(+n n2)1(232221+++++++<n n a n 又22)1(2)21(2n n n n n ++=++++=2)1(2122)2(22+=++<+=n n n n n ,故命题对n ∈N 都成立20．证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a ,αβ=b 则有:(1)(2)等价于证明|α|<2,|β|<2⇔2|α+β|<4+αβ,且|αβ|<4⎪⎩⎪⎨⎧+<+<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+<+<22)4()(44424αββααβαββααβ⎪⎩⎪⎨⎧>+--<⇔0164442222βαβααβ ⎪⎩⎪⎨⎧>--<⇔0)4)(4(422βααβ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><⇔4444442222βααββααβ或⎪⎩⎪⎨⎧<<<⎪⎩⎪⎨⎧>><⇔224224βααββααβ或⎪⎩⎪⎨⎧<<<⇔<<⇔2.2,224ββαααβ。

高二数学不等式综合练习课

排列3排列5的玩法介绍
[单选]仪表（云中）飞行空域的边界距离航路，空中走廊以及其他空域的边界，不得小于：（）。A.5公里B.10公里C.15公里 [名词解释]备用信用证 [单选]无线列调系统中，通道自动切换功能在（）设备A.调度所B.沿线地面C.传输 [单选]（）接口是MSC和VLR间的接口。A.AB.BC.CD.D [填空题]策划，归根结底是人（）活动。 [填空题]从技术角度来说，互联网是一个由（）、（）和（）组成的综合体系。 [多选]招标采购项目实施的检查内容比较复杂，主要检查的内容包括（）。A．招标文件的使用情况B．招标采购方案内容及其相关影响因素C．招标采购工作进度的符合性D．招标采购工作的人员专业水平E．招标采购过程的相关方信息反馈 [单选]锚具、夹具和连接器进场时，进行硬度检验验收时的抽检比例是()。A.抽取3%的锚具且不少于3套B.抽取5%的锚具且不少于5套.C.抽取8%的锚具且不少于8套D.抽取10%的锚具且不少于10套 [填空题]客运经营者、危险货物运输经营者未按规定投保承运人责任险的，由县级以上道路运输管理机构责令（）；拒不投保的，由原许可机关吊销《道路运输经营许可证》。 [填空题]酒曲又称（），是用谷物制成的发酵剂、（）或（）。 [单选,A1型题]关于血栓闭塞性脉管炎，不恰当的是（）A.病变一般自动脉开始B.早期主要是细菌感染引起C.主要侵袭四肢D.受累血管发硬而缩窄E.间歇性跛行是早期症状之一 [问答题,简答题]请写出《国家电网公司电费抄核收工作规范》中抄表段划分的原则。 [判断题]二氧化碳灭火剂在甲板上]某钢筋混凝土圆形烟囱基础设计尺寸，如图3-1所示。其中基础垫层采用Cl5混凝土，圆形满堂基础采用C30混凝土，地基土壤类别为三类土。土方开挖底部施工所需的工作面宽度为300mm，放坡系数为l：0.33，放坡自垫层上表面计算。 [填空题]按照观赏植物园开花对日照时间长短的要求，可分成（）、（）及日照中性观赏植物三类。 [单选]关于脊柱的描述，正确的是()A．有8块颈椎B．有4块骶椎C．胸部运动最灵活D．腰曲凸向前E．颈曲凸向后 [单选,A2型题,A1/A2型题]阳虚证最主要的表现是（）A.舌质淡白苔薄白B.口不渴或少饮C.面色白而无华D.脉沉细无力E.经常畏寒肢凉 [单选]关于“NOTAMC”，下列说法中正确的是。（）A.NOTAMC表示该通告为一份新的NOTAMB.NOTAMC表示该通告代替其他NOTAMC.NOTAMC表示该通告为取消NOTAM [单选,A1型题]某患者欲向单位请假找执业医师某医师开“病毒心肌炎，全休1个月”病假条，对于该医师的行为，县卫生局可以给予（）A.吊销其医师执业证书B.警告或责令其暂停执业活动3～6个月，并接受培训和继续教育C.警告或责令其暂停执业活动6个月至1年D.调离医师岗位E.给予行政或纪 [填空题]乙炔装置AR418分析仪的测量池温度是（）。 [单选,B型题]Ⅳ型超敏反应（）.A.中性粒细胞浸润B.单核-巨噬细胞浸润C.B淋巴细胞浸润D.嗜酸性粒细胞浸润E.Th2型淋巴细胞浸润 [问答题]教师侵犯学生的形式有哪些？ [单选]在胆囊扫查中，最容易显示胆囊、下腔静脉、右肾和胆总管的体位是A.直立位B.半侧卧位C.仰卧位D.侧卧位E.坐位 [多选]以下关于注册建造师在其执业活动中形成的施工管理文件上签字盖章的行为，表述正确的是（）。A．注册建造师签章完整的施工管理文件方为有效B．注册建造师签章的施工管理文件有错误的，单位可自行修改C．注册建造师有权拒绝在含有虚假内容的施工管理文件上签字盖章D．分包工程 [单选]某只股票要求的收益率为15%，收益率的标准差为25%，与市场投资组合收益率的相关系数是0.2，市场投资组合要求的收益率是14%，市场组合的标准差是4%，假设处于市场均衡状态，则市场风险溢价和该股票的贝塔系数分别为（）。A.4%；1.25B.5%；1.75C.4.25%；1.45D.5.25%；1.55 [单选]为明确上消化道大出血原因，首选的检查方法是（）A.上消化道造影B型超声检查C.纤维内镜检查D.选择性动脉造影检查E.胸片 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于吞咽神经检查，下列叙述哪项是正确的（）。A.嘱患者伸舌，观察有无偏斜B.舌缘两侧厚薄不相等及颤动C.嘱患者张口，观察两侧软腭上抬是否有力，腭垂是否居中D.检查鼻唇沟及口角两侧是否对称E.嘱患者鼓腮或吹口哨，观察左右两侧差异 [单选,A2型题,A1/A2型题]预防创伤性坏疽发病最可靠的方法是（）A.应用青霉素B.彻底清创C.应用甲硝唑D.应用抗毒素E.高压氧治疗 [多选]有扬程无限高、流量与排出压力无关、具有自吸能力的特点的泵包括（）。ABCD [单选]装载（）时，应检查车内有无恶臭异味。A、仪器B、医药品C、印刷品D、棉花 [单选]下列关于变更控制的说法中，表述不正确的是（）。A.对项目变更目标要有明确的界定B.任何变更都要得到建设单位、监理单位和承建单位三方的书面确认C.变更控制中要选择冲击最小的方案D.为了避免项目变更影响项目实施人员的情绪，要把变更信息控制在领导层和项目关键人员范围内 [名词解释]声级计 [单选]我国采用的资产负债表格式是（）。A.多步式B.单步式C.报告式D.账户式 [单选,A1型题]急性有机磷杀虫药中毒，治疗时最理想的合用药是()A.呼吸兴奋剂合脱水剂B.脱水剂合肾上腺皮质激素C.肾上腺皮质激素合阿托品D.阿托品合胆碱酯酶复活剂E.胆碱酯酶复活剂合肾上腺皮质激素 [单选,A4型题,A3/A4型题]29岁女性，7年前和3年前分别足月顺产一女孩和一男孩，1年前有一次宫外孕手术史，经咨询指导选择使用复方长效口服药避孕。服用复方长效口服避孕药1年后要求停用，为避免月经失调应的处理是（）A.服最后一次药后，加服炔雌醇0.005mg/日，至下次月经前B.服最 [单选]当归采收加工中所用的干燥方法是A.烘干B.阴干C.煤火熏干D.晒干E.烟火慢慢熏干 [单选,A2型题,A1/A2型题]最适宜用于鉴别原粒和原淋的细胞化学染色是（）A.PAS染色B.ACP染色C.AS-DAE染色D.NAP染色E.POX染色 [单选]下列哪种（哪些）投影方法可用来绘制航用海图（）。A．等角正圆柱投影B．等角横圆柱投影C．A、B都对D．A、B都错 [多选]高压断路器按用划分，除有发电机保护用断路器外，还应有()。A．电动机用断路器B．线路用断路器C．供电用断路器D．变压器用断路器 [单选,A2型题,A1/A2型题]婴儿痤疮（）。A.表现为严重结节、囊肿、窦道及瘢痕，好发于男性青年B.少数患者病情突然加重，并出现发热、关节痛、贫血等全身症状C.雄激素、糖皮质激素、卤素等所致的痤疮样损害D.婴儿期由于母体雄激素在胎儿阶段进入体内E.与月经周期密切相关

高二数学必修五第三章不等式练习题(Word版)

高二数学必修五第三章不等式练习题（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为()A．T40C．T≤40D．T≥40【解析】“限重40吨”即为T≤40.【答案】C2．(2021•临沂高二检测)设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是()A．b－a>0B．a3＋b30【解析】利用赋值法，令a＝1，b＝0，排除A、B、C.【答案】D3．(2021•芜湖高二检测)对下面的推理过程，判断正确的是()A．仅③正确B．仅③④正确C．仅①②正确D．①②③④均错【解析】①②④均不满足不等式的乘法法则；根据不等式的传递性知③正确，故选A.【答案】A4．若a A．正数B．负数C．非正数D．非负数【解析】1c－b＋1a－c＝a－c＋c－b（c－b）（a－c）＝a－b（c －b）（a－c）.∵a0，a－c0.【答案】A5．(2021•驻马店高二检测)若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为()A．M＞－5B．M＜－5C．M＝－5D．不确定【解析】∵m≠2，n≠－1，∴M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0，∴M＞－5.【答案】A二、填空题6．已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“”、“＝”)．【解析】∵ab－a2－b2＝－(a－b2)2－34b2 【答案】 7．如图3－1－1，在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，上述不等关系可用W表示为________．图3－1－1【解析】仓库的长L＝350W＋10－10，∴350W＋10－10＞4W.【答案】350W＋10－10＞4W8．(2021•威海高二检测)对于任意实数a、b、c、d，有以下说法：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则1a＜1b；⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd.其中正确的序号为________．【解析】①中当c＜0时不成立，①错；②中c＝0时不成立，②错；③正确；④中a＞0，b＜0时不成立，④错；⑤中若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，⑤错．【答案】③三、解答题9．一房地产公司有50套公寓出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，欲增加月租金，但每增加50元，就会有一套租不出去，已知租出去的公寓每月需花100元的维修费．若将房租定为x元，怎样用不等式表示所获得的月收入不低于50000元？【解】若房租定为x(x≥1000)元，则租出公寓的套数为50－x－100050，月收入为50－x－100050x－100元，则月收入不低于50000元可表示为不等式50－x－100050x－100≥50000.10．若x 【解】(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a元，二级小麦每千克b元(b 【解】分级收购时，粮站支出(ma＋nb)元，按平均价格收购时，粮站支出（m＋n）（a＋b）2元．因为(ma＋nb)－（m＋n）（a＋b）2＝12(a－b)(m－n)，且b 所以当m>n时，粮站占便宜；当m＝n时，一样；当m。

高二数学不等式综合练习课

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[单选]Cotard综合征常见于（）。A.精神分裂症B.老年性痴呆C.老年抑郁症D.顶叶病变E.麻痹性痴呆 [名词解释]药效学研究 [单选]关于腕关节的描述中正确的是（）A.近侧关节面由桡、尺骨构成B.可做屈、伸、收、展及环转运动C.囊内有关节盘，位于桡骨下端的下面D.远侧关节面由大多角骨、小多角骨、头状骨及钩骨的近侧面构成E.远侧关节面由舟骨、月骨、三角骨及豌豆骨的近侧面构成 [单选,A4型题,A3/A4型题]女，49岁，上腹胀满5年，2个月来食欲不振，全身无力，体检无明显异常发现，X线钡餐未见异常。胃镜活检：炎性细胞浸润及肠上皮化生，未见腺体萎缩。应诊断为()A．胃粘膜脱垂B．早期胃癌C．慢性萎缩性胃炎D．慢性浅表性胃炎E．胃神经症 [单选]变更控制过程中，对于需求变更的确立，监理人员必须遵守的规则是（）。①每一个项目变更必须用变更申请单提出，它包括对需要批准的变更的描述以及该项变更在计划、流程、预算、进度或可交付的成果上可能引起的变更②在准备审批变更申请单前，监理工程师必须与总监理工程师商 [单选]根据《信托公司集合资金信托计划管理办法》规定，委托人可以是投资一个信托计划的最低金额不少于（）人民币的自然人、法人或者依法成立的其他组织。A.50万元B.100万元C.200万元D.300万元 [单选]“我会尊重患者告诉我的一切秘密，即使患者已经死去”。此话出自（）。A.东京宣言B.夏威夷宣言C.日内瓦宣言D.赫尔辛基宣言E.希波克拉底誓言 [填空题]触电时人体会受到某种程度的伤害，按其形式可分为（）和（）两种。 [单选]何谓"六气"()A．风、湿B．寒、火C．暑D．燥E．以上都是 [填空题]下列符号的中文名称分别是：PRPP（）；IMP（）；XMP（）； [填空题]抗震设计时高层建筑按其（）可分为甲类建筑、乙类建筑、丙类建筑等三类。 [单

2022年高中数学第三章不等式2一元二次不等式及其解法第1课时练习含解析人教版必修

第1课时一、选择题1．(2014·江西文，2)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(綂R B)＝( )A．(－3,0) B．(－3，－1)C．(－3，－1]　D．(－3,3)[答案]　C[解析]　本题主要考查集合的运算，∵A＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}，而綂R B＝{x|x≤－1或x>5}，∴A∩綂R B＝{x|－3<x≤－1}，选C．2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )A．{x|x≠－} B．{x|－≤x≤}C．∅　D．{－}[答案]　D[解析]　变形为(3x＋1)2≤0.∴x＝－.3．不等式3x2－x＋2＜0的解集为( )A．∅　B．RC．{x|－＜x＜}　D．{x∈R|x≠}[答案]　A[解析]　∵△＝－23＜0，开口向上，∴3x2－x＋2＜0的解集为∅.4．函数y＝的定义域是( )A．{x|x＜－4，或x＞3}　B．{x|－4＜x＜3}C．{x|x≤－4，或x≥3}　D．{x|－4≤x≤3}[答案]　C[解析]　使y＝有意义，则x2＋x－12≥0.∴(x＋4)(x－3)≥0，∴x≤－4，或x≥3.5．(2012·陕西文，1)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )A．(1,2)　B．[1,2)C．(1,2]　D．[1,2][答案]　C[解析]　本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M＝{x| x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．6．(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式x2＋2x－3≥0的解集为( )A．{x|x≤－1或x≥3}　B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x≤－3或x≥1}　D．{x|－3≤x≤1}[答案]　C[解析]　由x2＋2x－3≥0，得(x＋3)(x－1)≥0，∴x≤－3或x≥1，故选C．二、填空题7．(2013·广东理，9)不等式x2＋x－2<0的解集为________．[答案]　{x|－2<x<1}[解析]　由x2＋x－2<0，得(x＋2)(x－1)<0，∴－2<x<1，故原不等式的解集为{x|－2<x<1}．8．不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．[答案]　{x|－2＜x≤－1或3≤x＜5}[解析]　由x2－2x－3≥0得：x≤－1或x≥3；由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4，∴－2＜x≤－1或3≤x＜4.∴原不等式的解集为{x|－2<x≤－1或3≤x<4}．三、解答题9．解不等式：1＜x2－3x＋1＜9－x.[解析]　由x2－3x＋1＞1得，x2－3x＞0，∴x＜0或x＞3；由x2－3x＋1＜9－x得，x2－2x－8＜0，∴－2＜x＜4.借助数轴可得：{x|x＜0或x＞3}∩{x|－2＜x＜4}＝{x|－2＜x＜0或3＜x＜4}．10．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为(－，)，求－cx2＋2x－a>0的解集．[解析]　由ax2＋2x＋c>0的解集为(－，)，知a<0，且－和是ax2＋2x＋c＝0的两个根．由韦达定理，得解得所以－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0.解得－2<x<3.所以－cx2＋2x－a>0的解集为{x|－2<x<3}.一、选择题1．不等式x2－4x－5>0的解集是( )A．{x|x≥5或x≤－1}　B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5}　D．{x|－1≤x≤5}[答案]　B[解析]　由x2－4x－5>0，得x>5或x<－1，故选B．2．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m、n的值分别是( ) A．2,12　B．2，－2C．2，－12　D．－2，－12[答案]　D[解析]　由题意知－2,3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－，－2×3＝，∴m＝－2，n＝－12.3．函数y＝的定义域是( )A．[－，－1)∪(1，]B．[－，－1)∪(1，)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)[答案]　A[解析]　∵log(x2－1)≥0，∴0＜x2－1≤1，∴1＜x2≤2，∴1＜x≤或－≤x＜－1.4．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且B A，则a的取值范围是( )A．a≤1　B．1＜a≤2C．a＞2　D．a≤2[答案]　A[解析]　A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}，∵B A，∴a≤1.二、填空题5．不等式x2－4x＋5＜0的解集为________．[答案]　∅[解析]　∵Δ＝16－20＝－4<0，∴方程x2－4x＋5＝0无实根，∴原不等式的解集为∅.6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．[答案]　{x|x＜－2或x＞3}[解析]　由表知x＝－2时y＝0，x＝3时，y＝0.∴二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为y＝a(x＋2)(x－3)，又当x＝1时，y＝－6，∴a＝1.∴不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x<－2或x>3}．三、解答题7．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax ＋1>0的解集．[解析]　依题意，得方程x2＋ax＋b＝0的解集为1,2.由根与系数的关系，得即∴不等式bx2＋ax＋1>0为2x2－3x＋1>0.∵方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝，x2＝1，∴bx2＋ax＋1>0的解集为{x|x<或x>1}．8．(2013·河南禹州高二期中测试)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B．(1)求A∩B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．[解析]　(1)由x2－2x－3<0，得－1<x<3，∴A＝(－1,3)．由x2＋x－6<0，得－3<x<2，∴B＝(－3,2)，∴A∩B＝(－1,2)．(2)由题意，得，解得.∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.。

2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式第1课时练习含解析人教版必修

第1课时一、选择题1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M>N　B．M＝NC．M<N　D．与x有关[答案]　A[解析]　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴M>N.2．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是( )A．>　B．2a>2bC．|a|>|b|　D．()a>()b[答案]　B[解析]　∵a<b，y＝2x单调递增，∴2a<2b，故选B．3．已知a<0，－1<b<0，则下列各式正确的是( )A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2C．ab2>ab>a　D．ab>ab2>a[答案]　D[解析]　∵－1<b<0，∴1>b2>0>b>－1，即b<b2<1，两边同乘以a得，∴ab>ab2>a.故选D．4．如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab>ac　B．bc>acC．cb2<ab2　D．ac(a－c)<0[答案]　C[解析]　∵c<b<a，且ac<0，∴a>0，c<0.∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．∵b可能等于0，也可能不等于0.∴cb2<ab2不一定成立．5．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则( )A．a>b>c　B．a>c>bC．c>a>b　D．c>b>a[答案]　B[解析]　∵0<lge<1，∴b＝(lg e)2＝a2<a，c＝lg＝lge＝a<a.又∵b＝(lge)2<lg·lge＝lge＝c，∴b<c<a.6．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )A．lg(x2＋1)≥lg2x　B．x2＋1>2xC．≤1　D．x＋≥2[答案]　C[解析]　A中x>0；B中x＝1时，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故≤1；D中当x<0时，x＋≤0.二、填空题7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是________．[答案]　a3＞b38．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．[答案]　x＜y[解析]　x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：方式轮船运输量(t)飞机运输量(t)效果种类粮食300150石油250100现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析]　设需安排x艘轮船和y架飞机，则，∴.10．设a>0，b>0且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小．[解析]　根据同底数幂的运算法则．＝a a－b·b b－a＝()a－b，当a>b>0时，>1，a－b>0，则()a－b>1，于是a a b b>a b b a.当b>a>0时，0<<1，a－b<0，则()a－b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有a a b b>a b b a.一、选择题1．下列命题正确的是( )A．若ac>bc，则a>b　B．若a2>b2，则a>bC．若>，则a<b　D．若<，则a<b[答案]　D[解析]　对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b.2．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．>　B．<C．>　D．<[答案]　D[解析]　本题考查不等式的性质，－＝，cd>0，而ad－bc的符号不能确定，所以选项A、B不一定成立.－＝，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd，所以选项D成立．本题也可以对实数a、b、c、d进行适当的赋值逐一排查．3．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A．a<<b　B．a<b<C．b<a<　D．b<<a[答案]　B[解析]　a＝sin15°＋cos15°＝sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，∴a<b，排除C、D两项．又∵a≠b，∴>ab＝sin60°×sin61°＝sin61°>sin61°＝b，故a<b<成立．4．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，比较A、B、C的大小结果为( ) A．A<B<C　B．B<A<CC．A<C<B　D．B<C<A[答案]　B[解析]　不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此得B<A<C，排除A、C、D，选B．具体比较过程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，C－A＝－(1＋a2)＝－＝－>0，得C>A，∴B<A<C．二、填空题5．给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得＜成立的是________．[答案]　①、②、④[解析]　＜⇔＜0，∴①、②、④能使它成立．6．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为________．[答案]　M＞N[解析]　∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N.三、解答题7．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析]　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360 t矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：，即.8．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．[解析]　∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．由，得.∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.。

北师版数学高二北师大版必修5练习 -1.2 不等关系不等关系与不等式

第三章不等式 1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a ____b ；如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a ____b ，反之也成立． (2)符号表示a －b >0⇔a ____b ； a －b ＝0⇔a ____b ； a －b <0⇔a ____b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b ____a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a ____c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c ____b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac ____bc ；a >b ，c <0⇒ac ____bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac ____bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n ____b n ； (8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a ____nb .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a 0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,00⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．1．1 不等关系1．2 不等关系与不等式答案知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)> 作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 20时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于C ，∵a0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)，又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.]7．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x2≤12. 10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n .∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A>B.11．解方法一作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x ＜43时，f(x)＜g(x)；当x ＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f(x)＞g(x)．13．A [特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.] 14．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y)2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．。

高中数学第三章不等式章末复习课练习(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； (2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a .2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ； (2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n或n a ＞nb . 4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b.[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b .归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值； (2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，求函数f (x )的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.(2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0，而2－a －2a －1＝aa －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1；当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值X 围是(0，1)．专题三简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少. [例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料/t现有原料数/tAB甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润/(万元/t)53____(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？(2)每吨B 产品的利润在什么X 围变化时，原最优解不变？当超出这个X 围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14.x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练] 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：法一：依题意得，x ＋1>1，2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时，等号成立，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.法二：由题意得，x ＝8－2y 2y ＋1＝－（2y ＋1）＋92y ＋1＝－1＋92y ＋1，所以x ＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＋1－1，≥292y ＋1·（2y ＋1）－2＝4，当且仅当2y ＋1＝3，即y ＝1时，等号成立．答案：B专题四成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，若对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立，某某数x 的取值X 围．解：因为mx 2－mx －6＋m <0，所以m (x 2－x ＋1)－6<0，对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1×（x 2－x ＋1）－6<0，3×（x 2－x ＋1）－6<0，即为⎩⎪⎨⎪⎧1－212<x <1＋212，1－52<x <1＋52，计算得出：1－52<x <1＋52.所以实数x 的取值X 围：1－52<x <1＋52.归纳升华不等式恒成立求参数X 围问题常见解法(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值X 围的变量看作主元． (2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ；若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，某某数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0. 综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所某某数a 的取值集合是{－8，0}．专题五利用分类讨论思想解不等式 [例5] 解关于x 的不等式x －ax －a 2<0(a ∈R)．分析：首先将不等式转化为整式不等式(x －a )(x －a 2)<0，而方程(x －a )(x －a 2)＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2，故应就两根a 和a 2的大小进行分类讨论．解：原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0.(1)若a ＝0，则a ＝a 2＝0，不等式为x 2<0，解集为∅； (2)若a ＝1，则a 2＝1，不等式为(x －1)2<0，解集为∅； (3)若0<a <1，则a 2<a ，故解集为{x |a 2<x <a }； (4)若a <0或a >1，则a 2>a ，故解集为{x |a <x <a 2}．归纳升华分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论． (2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论． (3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．[变式训练] 已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试判断f (α)＋f (β)＋f (γ)的值与0的关系．解：因为f(x)为R上的减函数，且α>－β，β>－γ，γ>－α，所以f(α)<(－β)，f(β)<f(－γ)，f(γ)<f(－α)，又f(x)为奇函数，所以f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.。

一元二次不等式及其解法(练)高二数学同步精品课堂(提升版)

一、选择题1．不等式错误!＜0的解集为( )A．（－1，0）∪（0，＋∞）B．(－∞。

－1)∪(0，1)C．（－1,0) D．（－∞,－1)【答案】B【解析】因为错误!＜0，所以x＋1＜0，即x＜－1。

2．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x）（n＋x)＞0的解是( ）A．x＜－n或x＞m B．－n＜x＜mC．x＜－m或x＞n D．－m＜x＜n【答案】B【解析】方程(m－x)（n＋x）＝0的两根为m，－n，因为m＋n＞0,所以m＞－n，结合函数y＝（m－x）(n＋x的图象，得原不等式的解是－n＜x＜m，故选B。

3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是错误!则不等式x2－bx－a＜0的解集是（）A．(2，3）B．（－∞，2）∪(3，＋∞）C。

错误! D.错误!∪错误!【答案】A4.二次函数f （x )的图象如图所示,则f (x －1）＞0的解集为( ）A ．（－2，1)B ．(0,3）C ．（1，2］D ．（－∞，0)∪（3,＋∞）【答案】B【解析】由题图,知f （x )＞0的解集为（－1，2)．把f （x ）的图象向右平移1个单位长度即得f (x －1）的图象，所以f （x －1）＞0解集为(0，3)．二、填空题5．不等式x 2＋mx ＋m2＞0恒成立的条件是________．【答案】0＜m ＜2【解析】由Δ＝m 2－4·错误!＜0，解得：0＜m ＜2.6．已知函数f （x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1（b ∈R ),若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是__________．三、解答题7．设函数f(x)＝mx2－mx－1。

(1)若对于一切实数x，f（x)<0恒成立，求m的取值范围;（2）若对于x∈[1，3］，f（x）<－m＋5恒成立,求m的取值范围。

解析：（1）要使mx2－mx－1〈0恒成立，若m＝0，显然－1〈0；若m≠0，则错误!⇒－4〈m<0。

人教版高中数学教案+学案综合汇编第3章：不等式课时12

人教版高中数学教案+学案综合汇编第三章不等式第十二教时教材：不等式证明综合练习目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。

过程：一、简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。

解一：[][])1(l o)1(lo )1(lo)1(lo g |)1(lo g | |)1(lo g |22x x x x x x a aaaaa+---+-=+-- xxx aa +--=11l o g )1(l o g 2∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-<x x ∴011log )1(log 2>+--xxx a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 解二：2111111l o11l o )1(lo )1(l o g )1(lo g)1(l og x x x x x x x x xx x aa-+=-=--=-=+-++++ )1(l o g 121x x--=+ ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++- ∵0 < 1 - x 2 < 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-变题：若将a 的取值范围改为a > 0且a ≠ 1，其余条件不变。

高二数学基本不等式训练练习

高二数学基本不等式训练练习数学基本不等式训练1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;②虽然x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy 是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx 提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修

课时训练15　不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.ABD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。

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