三角形倒角

【例1】 (北京市竞赛题)在ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，47C A ∠=∠，则B ∠的

度数为 ．

【解析】 设C x ∠=︒，则4()7A x ∠=︒，11

1801807

B A

C x ∠=︒-∠-∠=︒-︒，

则411

18077x x x <-<，解得7084x <<， 又4

7

x 是整数，得77x =，故44A ∠=︒，59B ∠=︒．

【例2】ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．

【解析】 25A B ∠=∠，依题意得27

18055

B B B ∠︒-∠∠≤≤，解得75100B ︒∠︒≤≤，故175m n +=．

【例3】 ⑴(河南竞赛题)若三角形的三个外角的比是234∶∶，则这个三角形的最大内角的度数是 ．

⑵ ABC ∆的内角A ∠、B ∠、C ∠满足35A B ∠>∠，32C B ∠∠≤，则这个三角形是( )． A ． 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定

⑴ 三角形内角和360︒，故最小的外角为2

360809

︒⨯=︒，它对应的内角为最大内角为100︒．

⑵ C ．∵35B A ∠<∠，∴22

35

C B A ∠∠<∠≤，

∴B C A ∠+∠<∠，180A A ︒-∠<∠，90A ∠>︒．

【例5】在ABC ∆中，若2AB BC =，2B A ∠=∠，判断ABC ∆的形状(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)，并写出理由．

D

A

C

B ． AB

C ∆是直角三角形．

理由：如上图，∵2AB BC =，∴AB BC >，

根据大边对大角：ACB A ∠>∠，作ACD A ∠=∠，CD 与AB 交于点D ， 根据等角对等边：AD CD =，

由外角定理：2BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠， 又∵2B A ∠=∠，∴B BDC ∠=∠， 由等角对等边：CD BC =， 又∵2AB BC =，

∴1

2

AD BD CD BC AB ====

， ∴60B BCD BDC ∠=∠=∠=︒，

∴1

302

ACD BDC ∠=∠=︒，

∴90ACB ACD BCD ∠=∠+∠=︒．

【例6】 如下图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，45DCE ∠=︒，求证：

BC BD =．

5

43

2

1E D C

B A

C ． 如图，∵245∠=︒，AE AC =，∴523453∠=∠+∠=︒+∠． ∴43A ∠=∠+∠，

15(453)(90)345445B A A ∠=∠-∠=︒+∠-︒-∠=∠+∠-︒=∠-︒．

∴4145BCD ∠=∠+∠︒=∠， ∴BC BD =．

【例7】 如图，ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，且AB BD CD +=，则C ∠的大小是( )

A 20︒

B 25︒

C 30︒

D 大于30︒

A

B C

D E

A

B C

D

D ． 如图，在DC 上取D

E DB =，连接AE ，易得Rt Rt ABD AED ∆∆≌．

AB AE CE ==，2AEB C ∠=∠，

所以22(902)120BAC EAD C C C ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒，得20C ∠=︒．

【例8】 在ABC ∆中，50A ∠=︒，高BE 、CF 所在直线交于点O ，且点O 不与点B 、C 重合，求BOC ∠的

度数．

(1) (2)

A

A

B

B

C

C E E F

F O

O

【解析】 对于没有给出具体图形的几何问题，一定有要根据题意画出图形，特别是要注意是否有多解的情

况．若ABC ∆是锐角三角形，如图(1)所示，

BOC A ABE ACF ∠=∠+∠+∠(90)(90)180130A A A A =∠+︒-∠+︒-∠=︒-∠=︒

若ABC ∆是钝角三角形，如图(2)所示，

909090(90)50BOC ECO ACF A A ∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠=︒

从本题我们能得到一个重要结论：

三角形两边上的高相交所形成的角与第三边所对的角的关系是：

当此三角形是锐角三角形时，它们互补；当此三角形是钝角三角形时，它们相等．

【例9】 如图，在ABC ∆中，BE 、CD 分别是ABC ∠、ACB ∠的角平分线，且BD CE BC +=，则A ∠的度数

为 ．

E

D C

B

A

【解析】 60︒．

【例10】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB ∠=∠=︒，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平

分COF ∠．

⑴ 求EOB ∠的度数； ⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；

⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．

A

B

C E F

O

【解析】 此题是一类重点题型，考查了学生的转化思想，题目难度较大，是角平分线与平行性质的综合，提

高班及精英班老师可提前给学生渗透这种思想，让学生掌握此类问题的解法． ⑴ 40︒；⑵ 1:2；⑶ 存在，60OEC OBA ∠=∠=︒．

【例11】 (2008年南通市)已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：

方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．

方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差． 方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形． 现给出三点坐标：(14)A -，，(22)B ，，(41)C -，，请你选择一种方法计算ABC ∆的面积，你的答

案是ABC S ∆=_________．

【解析】 本题考查三角形面积的求法及在坐标系内求线段长度．利用方法2，如图，取点(44)D ，，连接AD 、

BD 、DC ．

ABC ACD ABD BCD S S S S =--△△△△．

1125

55222ACD S AD DC =⋅=⨯⨯=△，

11

()52522BCD D B S DC x x =⋅-=⨯⨯=△，

11

()52522ABD D B S AD y y =⋅-=⨯⨯=△，

∴2555522ABC S =--=△．故应填5

2

．