全等三角形复习专题

全等三角形复习专题

全等三角形总结

A．考点精析、重点突破、学法点拨

“全等四解”

全等三角形是初中平面几何的重要内容，它为解决线段以及角的相等问题提供了重要工具，也为以后的学习奠定了必要的基础，因此要学好平面几何，必须重视全等三角形的学习．那么怎样才能学好它呢？本文谈四点意见，供同学们学习时参考．

组成全等三角形的基本图形大致有以下几种：

①平移型，如图中的两种图形属于平移型，它们可看成是由图形随某一组对应边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段之和或差得到；

②对称型，如下图中的四种图形属于对称型，它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点；

③旋转型．如图中的两种图形属于旋转型，它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转而构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角或某些角的和或差中．

一、从“对应”看全等三角形

在说明三角形全等时，需要找出它们的对应边和对应角，那么，如何正确地找到全等三角形的对应边和对应角呢？下面介绍三种方法，希望对同学们有所帮助．

(1)字母顺序确定法

由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，所以可以利用字母的顺序确定对应元素．

(2)图形特征确定法

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①有公共边的，公共边一定是对应边．

如下左图，△ADB和△ADC全等，则AD一定是两个三角形的对应边．

②有公共角的，公共角一定是对应角，

如上中图，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC 是对应角．

③有对顶角的，对顶角是对应角．

如上右图，△ABE和△CDF全等，则∠1和∠2是对应角．

④两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）．

(3)图形分离法

从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分是较困难的，这时可把要证全等的两个三角形从图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素．

例如图，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，∠ACM=∠NCB=60°，请说明：BM=AN.

B．中考常考题型与解题方法技巧

一、证明三角形全等的思路

常用三角形全等证明线段、角相等，判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.可以看出，判定三角形全等一般需要三个条件，为了让你掌握这种思路，请结合口诀学习：

读已知，做标记，分析起来省力气；寻隐含，看仔细，发现图中隐藏点；

想欠缺，要联系，五个判定需牢记．

(1)已知两边对应相等

思路：找已知两边的夹角对应相等，联想到“SAS”

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例1 如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.求证：AB=CD．

(2)已知两角对应相等

思路1：找出已知两角的夹边对应相等，联想“ASA'’例2 如图，已知在△ABC中，F是AC的中点，E为AB 上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，CD与AE 相等吗？说明理由，

思路2：找已知一角的对边对应相等，联想"AAS"

例3 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相等吗？为什么？

(3)已知一边及某一邻角对应相等

思路1：找已知角的另～邻边对应相等，联想“SAS”．例4 如图6-32，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF．请问∠B=∠D吗？为什么？

思路2：找已知边的另一邻角对应相等，联想“ASA”．例5 如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE.AB 与CD相等吗？说明理由．

思路3：找已知边的对角对应相等，联想“AAS”．

例6 如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，∠B=∠D，请问AF=CE吗？为什么？

(4)已知一边与其对角对应相等

思路：找另一角对应相等，联想“AAS”．

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例7 AD与BC相交于O，构成如图所示图形，已知∠C=∠D，AO=BO，请问△AOC≌△BOD吗？为什么？

二、谈“截长”论“补短”

常利用三角形全等证明两线段相等，在证明一条线段等于另外两条线段的和时，常用到“截长法”与“补短”法．

(1)截长法

所谓截长法，就是在长线段上截取一段，使截取的线段等于两条短线段中的一条线段，然后证明剩下的线段等于两条短线段中的另一条线段．

例8 如图，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB.

(2)补短法

所谓补短法，就是延长两条短线段中的一条线段，使延长的部分等于两条短线段中的另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．

仍以上面例题为例．欲证AC+CD=AB，可延长AC到E，使CE=CD，连结DE，设法证明AB=AE即可．如下图：

注：由以上两种证法不难看出，无论是“截长法”还是“补短法”，都是通过作辅助线构造全等三角形和等腰三角形，并借助它们的相关知识达到证明的目的．希望同学们把这两种方法掌握好．

三、“测量妙法”之“全等”

全等三角形在现实生活中应用十分广泛，下面就如何利用三角形全等解决生活中的测量问题举例说明．

例9 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，由于条件限制无法直接测量，请你用学过的知识设计

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一种测量方案，并说明这样做的道理．

用同样的方法可以测量底部不可以直接测量的小山的宽度、古塔的底面直径等．

例10 有一河流，河的两岸有两棵树A、B，假设A、B 之间的距离即为河宽，现有若干标杆及卷尺，请你设计一个方案测量河宽AB，并说明道理．

例11 拿破仑曾在作战过程中用一种巧妙的方法测量河宽，当时法军和俄军在莱茵河的两岸作战，法军要使炮弹准确地落到对面的河岸上，就必须知道河有多宽，如何测量呢，要在平时可以过河测量，而当时双方对阵，不可能这样做．拿破仑是这样做的：如图，先站直身体，调整头上的军帽的帽舌，使他的视线最

远处恰好落在河对岸C处．然后保持头部的位置不变（即保证人的视角不变），全身向左转或右转或者后转，哪个方向的地面比较平坦，便于测出距离，就转向哪个方向，再找出从帽舌下望去的最远的点D，从测量人站立的位置B到点D的距离就是河宽．你能说明理由吗？

从上述几何题可以得出，当我们遇到不能直接测量某条线段长度的问题时，可以利用全等三角形，把需要测量的线段转换成为可以测量的线段，再进行测量，从而解决问题．

四、“全等三角形”用武之地

全等三角形的性质作用巨大，应用广泛．下面分类说明“全等三角形”之“用武之地”．

(1)证明线段或角相等

基本思路：先根据已知条件证明线段或角所在的两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质“全

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