2019北京通州区初三(上)期末数学
2018-2019年北京市通州初三期末数学试卷 参考答案
通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 3 12. 150，0.35 13.()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411-， ………………… 4分=11-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分∵OD ∥AC ， ∴OD ⊥CB ，. ………………… 5分 ∴点D 平分BC . ………………… 6分另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . ………………… 1分 ∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. ………………… 2分 ∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD . ………………… 3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BFBD BD BC =. ………………… 4分∴=.∴5BF =. ………………… 5分 ∵DC ∥AE ， ∴△DFC ∽△EFB . ∴CFDC BF BE=. ∴45ABBE =. ………………… 6分20. （1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD . ……………… 1分 ∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形DECO 是平行四边形.∴四边形DECO 是矩形. ……………… 2分（2）解： ∵四边形ABCD 是菱形，∴ AO OC =. ∵四边形DECO 是矩形， ∴DE OC =.∴2DE AO ==. ……………… 3分 ∵DE ∥AC ， ∴OAF DEF ∠=∠. ∵AFO EFD ∠=∠，∴△AFO ≌△EFD .∴OF DF =. ……………… 4分 在Rt △ADO 中，tan OA ADB DO∠=.∴2DO =∴DO = ……………… 5分∴FO =.∴AF == ……………… 6分方法二：∴△AFO ≌△EFD .∴AF =FE. 在Rt △ACE 中，AC =4，CE=OD =∴AE =∴AF =12AE 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. ……………… 1分 ∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数k y x=中，∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分 ∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O' 的坐标为（. ……………… 5分 （3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .∴F BAD ∠=∠. ……………… 4分 在Rt △ABD 中， ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==.∴18355AB =.∴6AB =. ……………… 5分 ∴3OC =. 在Rt △COF 中， ∴3sin 5OC F OF ==. ∴335OF =. ∴5OF =. ……………… 6分 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G .23. 解：（1）40，108︒； ……………… 2分 （2）条形统计图补充正确； ……………… 4分（3）列表法或画树状图正确： ……………… 5分∴P （AC ）=21126=. ……………… 6分 24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧， ∴A()10,，B ()30,把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，∴3m a =. ……………… 2分 （2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ……………… 3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分（3）32a -<-≤或2<3a ≤. ……………… 6分26. （1）BF =． ……………… 1分（2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠.y 2cm 65432∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分 ∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ……………… 5分 ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ……………… 6分 ∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF =.∴DF =. ……………… 7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F .∴E （0，b ），F，0），OC ⊥EF .∴3tan OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==，∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分∴b的取值范围是44-≤≤．………………6分b（2）∴m的取值范围为22-<≤. ………………7分m。
【精品初三期末试卷】2018-2019学年北京市通州区初三第一学期期末数学试卷+答案
通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．若反比例函数的图象经过点（3，－2），则该反比例函数的表达式为 A ．6y x=B ．6y x=-C ．3y x=D ．3y x=-2．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 A ．6πB ．πC ．3πD ．32π 3．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m ，与树相距15m ，那么这棵树的高度为A ．5mB ．7mC ．7.5mD ．21m 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式为Δ＝b 2－4ac ，则下列四个选项正确的是A ．b ＜0，c ＜0，Δ＞0B ．b ＞0，c ＞0，Δ＞0C ．b ＞0，c ＜0，Δ＞0D ．b ＜0，c ＞0，Δ＜06．如图，⊙O 的半径为4，将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为A．3 B．C．6 D．7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上．则cos∠A的值为A B．2 C D．1 28．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4．点E为Rt△ABC边上一点，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止．连接CE，以点C 为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与线段BC交于点D．设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为t．则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．请你写出一个顶点在x轴上的二次函数表达式________．10．已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数2yx上，当y1＜y2＜0时，x1，x2的大小关系是________．11．如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，，则tanα＝________．12．如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD＝2，DB＝3．若∠B＝∠ACD，则AC＝________．13．如图，AC，AD是正六边形的两条对角线．在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）________；（2）________．14．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式－x2＋bx＋c＜0的解集为________．15．已知⊙O的半径为1，其内接△ABC的边AB ，则∠C的度数为________．16．阅读下面材料：小霞的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线（3）连接DE，过点O作射线（4）过点P作射线A P．老师说：“小霞的作法正确．”请回答：小霞的作图依据是________．三、解答题（共9小题，17—22题每小题5分，23，24题每小题7分，25题8分，共52分）17．计算：cos30°·tan60°－4sin30°＋tan45°．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与反比例函数myx=（m≠0）交于点A（32-，－2），B（1，a）．（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式mkx bx+>的解集．19．如图，△ABC内接于⊙O．若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．20．如图，建筑物的高CD为17.32米．在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，1.732≈，结果精确到0.1米）21．如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABC D．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边AB为x（米），面积为S（平方米）．（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？22．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos∠A的值．23．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2－2ax＋1（a＞0）的对称轴为x＝b．点A （－2，m）在直线y＝－x＋3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y＝ax2－2ax＋1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y＝ax2－2ax＋1（a＞0）与直线y＝－x＋3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若－3＜x1＜－1，求a的取值范围．24．如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示．那么，图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH＝________S四边形ABCD；在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下．请你将小瑞的思路填写完整：设S△DEP＝a，S△AKG＝b，∵EC∥AF，∴△DEP∽△DAK，且相似比为1︰2，得到S△DAK＝4a．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1︰3，得到S△ABM＝9b．又∵146DAG ABCDS a b S=+=△四边形，194ABF ABCDS b a S=+=△四边形，∴S四边形ABCD＝24a＋6b＝36b＋4a．∴a＝________b，S四边形ABCD＝________b，S四边形KPOL＝________b．∴S四边形KPOL＝________S四边形ABCD，则S四边形KPOL________S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“＝”）．（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML＝________S四边形ABCD．25．点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为d P ．特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0． 当⊙O 的半径为2时： （1）若点C （12-，0），D （3，4），则d C ＝________，d D ＝________； （2）若在直线y ＝2x ＋2上存在点P ，使得d P ＝2，求出点P 的横坐标；（3）直线y x b =+（b ＞0）与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．若线段AB 上存在点P ，使得2≤d P ＜3，请你直接写出b 的取值范围．通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．y ＝x 2（答案不唯一） 10．x 1＞x 2111213．∠F＝∠E，∠F＝120°，∠F＋∠ADE＝180°等，任何与角度相关的正确结论都可以给分．（写出一个给2分，写出第二个再给1分）14．x＜－1或x＞515．45°或135°16．（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（1分）（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（1分）（3）角平分线的定义．（1分）三、解答题（共9小题，17—22题每小题5分，23，24题每小题7分，25题8分，共52分）17．解：原式14122=⨯+（4分）12=．（5分）（四个三角函数值每写对一个给1分，答案对了给满分）18．解：（1）∵点A（32-，－2）在函数myx=（m≠0）上，∴3()(2)32m=-⨯-=，3yx=．（1分）又∵点B（1，a）在函数3yx=上，∴331a==，B（1，3）．（2分）∵直线y＝kx＋b（k≠0）过点A（32-，－2），B（1，3），∴直线解析式为y＝2x＋1；（3分）（2）32x-<<或x＞1．（5分）（写对一个给1分）19．解：方法一：过点A作射线AO交⊙O于点D，连接C D．∵AD 为直径，∴AD ＝12，且∠ACD ＝90°．（2分） 又∵∠D ＝∠B ＝60°，（3分） ∴在Rt △ADC 中，∠ACD ＝90°，sin ACD AD∠=．（4分）∴sin 6012AC AD =⋅︒==（5分） 方法二：过点O 作OE 垂直弦AC 于点E ，连接OA ，O C ．∵∠AOC ＝2∠B ＝120°，且OA ＝OC ，（1分） ∴在△AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°．（2分） 又∵OE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，AC ＝2A E ．（3分） ∴在Rt △AOE 中，∠AEO ＝90°，cos AEOAC AO∠=．∴cos3062AE AO =⋅︒=⨯=（4分）∴2AC AE ==．（5分）20．解：根据题意，在Rt △BCE 中，∠BEC ＝90°，tan BECEα=，（1分） ∴17.3210mtan 60 1.732BE CE ==≈=︒．（2分）在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°，tan AECEβ=，（3分） ∴AE ＝CE ·tan 20°≈10×0.364＝3.64m ．（4分） ∴AB ＝AE ＋BE ＝17.32＋3.64＝20.96m≈21.0m ． 答：旗杆的高约为21.0m ．（5分）（答案正确，但没有四舍五入，扣1分） 21．解：（1）根据题意，AB ＝x ，BC ＝80－2x ，（1分） ∴S ＝x （80－2x ）＝80x －2x 2．（2分） 又∵x ＞0，0＜80－2x ≤50， 解得15≤x ＜40．∴S ＝－2x 2＋80x （15≤x ＜40）；（3分）（2）∵202b x a=-=，（4分） ∴当x ＝20时，S ＝20×（80－20×2）＝800．答：当x ＝20时，活动区的面积最大，活动区的面积最大为800平方米．（5分）22．（1）证明：连接OD ，A D ．∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°，AD ⊥B C ．又∵AB ＝AC ，∴点D 为BC 中点．又∵点O 为AC 中点，∴OD ∥AB ．（1分）又∵DE ⊥AB ，∠AED ＝90°，∴∠ODE ＝90°．∴OD ⊥DE ，DE 是⊙O 的切线；（2）解：∵r ＝2，∴AB ＝AC ＝2r ＝4．∵BE ＝1，∴AE ＝AB －BE ＝3．（3分）∵OD ∥AB ，∴△FOD ∽△F AE ． ∴23FO OD FA AE ==．（4分） 设CF ＝x ，则OF ＝x ＋2，AF ＝x ＋4， ∴2243x x +=+，解得x ＝2． ∴AF ＝6． ∴在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，1cos 2AE A AF ∠==．（5分） 23．解：（1）212a x a-=-=，即b ＝1．（1分） ∵点A （－2，m ）在直线y ＝－x ＋3上，∴当x ＝－2时，m ＝－（－2）＋3＝5．（2分）（2）∵点D （3，2）在y ＝ax 2－2ax ＋1（a ＞0）上，∴当x ＝3时，2＝a ×32－2×3a ＋1． ∴13a =．（4分） （3）∵当x ＝－3时，y ＝－x ＋3＝6，∴当（－3，6）在y ＝ax 2－2ax ＋1（a ＞0）上时，6＝a ×（－3）2－2×（－3a ）＋1． ∴13a =．（5分） 又∵当x ＝－1时，y ＝－x ＋3＝4，∴当（－1，4）在y ＝ax 2－2ax ＋1（a ＞0）上时，4＝a ×（－1）2－2×（－a ）＋1． ∴a ＝1．（6分） ∴113a <<．（7分） 24．解：（1）16GKLH ABCD S S =四边形四边形； 32a b =，S 四边形ABCD ＝42b ，S 四边形KPOL ＝6b ； 17KPOL ABCD S S =四边形四边形，S 四边形KPOL ＜S 四边形GKLH ； （2）15ANML ABCD S S =四边形四边形． [备注]每个空给1分．25．解：（1）d C ＝1，d D ＝4；（2分，对一个给1分）（2）根据题意，满足d P ＝2的点位于以点O 为圆心，半径为1的圆周上．（3分） ∵点P 在直线y ＝2x ＋2上，∴设P （a ，2a ＋2）．（4分）∵PO ＝1，∴a 2＋（2a ＋2）2＝1，即（5a ＋3）（a ＋1）＝0．（5分）解得a 1＝－1，235a =-． ∴x P ＝－1或35-；（6分） [备注]若无过程，直接写出x P ＝－1，给1分；直接写出x P ＝－1或35-给2分．（3）3b <（8分） 备注：写对一边给1分．解析：根据题意，满足2≤d P ＜3的点位于以点O 为圆心，外径为32，内径为1的圆环内，当线段与外环相切时，解得b =当线段与内环相交时，解得b =。
通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷
通州区2018— 2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷2019年1月、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项 ）1.如图，点 D 、E 分别在△ ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①/么硬币正面朝上的概率为1 C.—44.如图，数轴上有 A 、B 、C 三点，点A 、C 关于点B 对称，以原点 O 为圆心作圆,A 、B 、C 分别在O O 夕卜、O O 内、O O 上，那么原点那么/ ACB 的大小是 ② AE.DEAB BC③空AEAC.使厶ADE 与厶ACB 一定相似的是ABC .①③D .①②③2.如图，A 、B 、C 是半径为3•小王抛一枚质地均匀的硬币, 如果/ ACB=45 ° 那么AB 的长为连续抛 4次，硬币均正面朝上落地 •如果他再抛第 5次，那 ADE = / C ;如果点O 的位置应该在 A .点A 与点B 之间靠近A 点 B .点 A 与点B 之间靠近 C .点B 与点C 之间靠近B 点D .点 B 与点C 之间靠近5.如图，PA 和PB 是O O 的切线，点 A 和点B 为切点,AC 是O O 的直径.已知/ P=50 °A . 65 °C . 55°D . 50 °②③B . 60 °列关系式中正确的是8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线, 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间 x （单位：s ）近似满足函数关系 y 二ax 2 • bx • c a = 0 .如图记录了 3个时刻的数据，根据 函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻y(m)A . 4B . 4.514 ----二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段 BD 、CE 相交于点 A , DE // BC .如果AB=4, AD=2 , DE=1.5 , 那么BC 的长6.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点 B 、C ,测得/ a =30° / 3=45° 量得BC 长为80米. 如果设河的宽度为 x 米，那么下x 802xB .x 80x 807.体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛, 要求每班选派10名队员参加•下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断:①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同; ③两班学生成绩的众数相同.上述说法中，正确的序号是 A .①②B .①③C .②③D .①②③20 — 18 ----- O 3 57 x(S)-t二班一班2 3456789 10队员编号10 98 7 6 52成绩份为210.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 y = - x-1 4的图象如图，将二次函数2 2y = _(x —1 )十4的图象平移，使二次函数 y = —(x -1) +4的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法:11•如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,在直线与半圆相交于点 D 、E ，量出半径0C=5cm ，弦DE=8cm，则直尺的宽度为 12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战 •”某校倡导 学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课 外书籍情况统计表•请你根据统计表中提供的信息， 求出表中 a 、b 的值：a= _____ , b= ___ .13•中国一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民16.下面是 经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.(2)分别以点A 和点P 为圆心，大于 1 AP 的长为半径使其一边经过圆心 0,另一边所图书种类 频数 频率 科普常识 210b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他360.06已知: 直线a 和直线外一点P • 求作: 直线a 的垂线，使它经过 P . 作法: 如图2.(1) 在直线a 上取一点A ,连接PA ;cm.2017 年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到 y 美元.设2017年到2019年该地件的a , b 的值：2作弧，两弧相交于 B , C 两点，连接BC 交PA 于点D ; (3)以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线 a 于点E (异于点A ),作直线PE .所以直线PE 就是所求作的垂线.请回答：该尺规作图的依据是 ___________________________________________________ . 三、解答题(本题共68分，第17 — 25题，每小题6分，第26— 27题，每小题7分)17•计算：4cos30n 一 3 °- -1 .19 .如图，在口 ABCD 中，连接DB , F 是边BC 上一点，连接 DF 并延长，交 AB 的延长线于 E ,且/ EDB = / A .(1) 求证：△ BDF BCD ;(2) 如果 BD =3-.5 , BC = 9，求 AB 的值. BEA B E20.如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 0,点E 是菱形外一点，DE // AC , CE / BD . (1) 求证：四边形 DEC0是矩形；18.已知:如图，AB 为O O 的直径, OD // AC.求证：点D 平分BC .B(2) 连接AE 交BD 于点F ，当/ ADB=30° DE= 2时，求AF 的长度.y 轴交于点B. (1) 求m 、k 的值;(2) 连接OA ，将△ AOB 沿射线BA 方向平移，平移后kB'，当点O'恰好落在反比例函数y k 0的图象上时，求点0'的坐标；x(3) 设点P 的坐标为(0, n )且0 ：：： n ：：： 4 ,过点P 作平行于x 轴的直线与直线 y = x • 2和k反比例函数y k 0的图象分别交于点x直接写出n 的取值范围.22 .如图，AB 为O O 的直径，C 、D 为O O 上不同于 A 、B 的两点，/ ABD=2 / BAC ，连接 CD ，过点C 作CE 丄DB ,垂足为E ,直径AB 与CE 的延长线相交于 F 点. (1) 求证：CF 是O O 的切线；18 3(2) 当 BD= , sinF 二—时，求 OF 的长.5 523. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课:21.如图，直线y = x 2与反比例函数k y k 0,xA 、0、B 的对应点分别为 A'、O'、A •书法；B •绘画；C .乐器;XA 0 )的图象交于点 A (2，m )，与FDD .舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门) •将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：(1) _________________________ 本次调查的学生共有 _________________ 人，扇形统计图中a 的度数是_______________________ ；(2) 请把条形统计图补充完整；(3) 学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A .书法；B .绘画；C .乐器；D .舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率.24. 如图，AB是O O的直径，点C是O O上一点，• CAB=30 , D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与O O的其中一个交点记为点 E (点E位于直线CD 上方或左侧)，连接EC .已知AB=6 cm，设A、D两点间的距离为x cm, C、D两点间的距离为y1cm, E、C两点间的距离为y2cm.小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1, y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小雪的探究过程：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1, y2与x的几组对应y 2/cm 5.20 4.56 4.22 4.24 4.77 5.60 6.00 (2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点( x, ) , (x,(3)结合函数图象，解决问题：当_______________ NECD =60°时，AD的长度约为cm .225.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax -4ax m a = 0与x轴的交点为A、B，(点A在点B的左侧)，且AB=2.点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.26. 如图1 ,在正方形ABCD中，点F在边BC 上,过点F作EF丄BC,且FE=FC (CE<CB), 连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG.(1)______________________________________________________ 用等式表示线段BF与FG的数量关系是_________________________________________________ ;(2)将图1中的△ CEF绕点C按逆时针旋转，使△ CEF的顶点F恰好在正方形ABCD 的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF.①在图2中，依据题意补全图形;y2),并画出函数％的图象;(1) 求抛物线的对称轴及m的值(用含字母(2) 若抛物线y二ax2 -4ax • m a = 0与432y轴的交点在(0, -1)和(£a的代数式表示)；,0)之间，求a的取值范围; -4 -3 -2 -1 o-1(3) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点. -2-3若抛物线在点A, B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整----------- ----------- J----------- 1----------- 1---------- 1 ---------- L ---------- 1 . Ji_ 0 123456xcm②求证：DF「2FG .A BA B27. 在平面直角坐标系xOy中，O C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在O C上存在一点M，使.MPC = 30，则称点P为O C的特征点.(1)当O O的半径为1时，如图1.①在点P l (-1, 0), P2 (1, J3), P3 (3, 0)中，0 O 的特征点是______________________ .②点P在直线y - - ,3x b上，若点P为O O的特征点，求b的取值范围.(2)如图2, O C的圆心在x轴上，半径为2，点A (-2, 0), B (0, 2罷).若线段AB。
北京通州区2019年初三上年末考试数学试题
北京通州区2019年初三上年末考试数学试题1.抛物线y=-x2+2x+1旳顶点坐标是()、A.(1,0)B.(-1,0)c.(-2,0)D.(2,-1)2.如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对旳优弧上，假设∠AOB=72°，那么∠ACB旳度数是()、A.18°B.30°C.36°D.72°3.有8个型号相同旳足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品旳概率是()A、B. C.D.4.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，那么以下等式正确旳选项是〔〕、A、BC：DE=1：2B.、BC：DE=2：3C.、BC：DE=8D.、BC：DE=65.以下函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小旳是()A.y=x2B.y=x-1C.D.6.如图：为了测楼房BC旳高，在距离楼房10米旳A处，测得楼顶B旳仰角为，那么楼房BC旳高为〔〕A、10tana(米)B.(米)C.10sina(米)D.(米)7、如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K差不多上7×8方格纸中旳格点，为使△DEM∽△ABC，那么点M 应是F、G、H、K四点中旳〔〕A、FB、GC、HD、K8、将抛物线C：y=x2+3x-10，将抛物线C平移到C′、假设两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，那么以下平移方法中正确旳选项是〔〕A、将抛物线C向右平移个单位B、将抛物线C向右平移3个单位C、将抛物线C向右平移5个单位D、将抛物线C向右平移6个单位9、假如=，那么10.计算：在Rt三角形ABC中，角C=90度，角A=30度，那么sinA+cosB11.一个不透明旳口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球鞋3个，这些球除去颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，要使摸到黑球旳概率为，需要往那个袋再放入同种黑球个？12、如图，D、E分别是△A B C旳A B、A C边上旳点，D E∥B C，且S△A D E︰S＝1︰8，那么A E︰A C等于〔〕△四边形D B C E13、反比例函数图象通过点〔-1，3〕，那么那个反比例函数旳表达式为14、如图，在等腰直角三角形A B C中，∠C＝90°，A C＝6，D是A C上一点，且，那么A D旳长为15、如图，AB是⊙O旳直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，那么阴影部分图形旳面积为、16、如图：在平面直角坐标系中，A〔-2，0〕，B〔0，1〕，有一组抛物线Ln,它们旳顶点Cn 〔Xn，Yn〕在直线AB上，同时通过点〔Xn+1，0〕,当n=1，2，3，4，5…时，Xn=2,3,5,8,13…，依照上述规律，写出抛物线L1旳表达式为，抛物线L6旳顶点坐标为，抛物线L6与X轴旳交点坐标为17、二次函数y=-+bx+c旳图象过A〔2，0〕，B〔0，-6〕两点，求那个二次函数表达式18、如图，四边形ABCD、DEFG差不多上正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N、求证：〔1〕；〔2〕19、如图，M是弧AB旳中点，过点M旳弦MN交弦AB于点C，设⊙O旳半径为4cm，MN=4〔1〕求圆心O到弦MN旳距离；〔2〕求∠ACM旳度数20.某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场旳设计示意图、按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入、请依照下图，求出汽车通过坡道口旳限高DF旳长(结果精确到0.1m，sin28º≈0.47，c os28º≈0.88，tan28º≈0.53)、21.如图：在Rt三角形ABC中，角C=90度，BC=9，CA=12，角ABC旳平分线BD交AC于点D，DE垂直DB于点E，点O在AB上，圆O是三角形BDE旳外接圆，交BC于点F，连接EF，求EF：AC旳值22、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B旳坐标为〔2，0〕，点C旳坐标为〔0，8〕，sin∠CAB=，E是线段AB上旳一个动点〔与点A、点B不重合〕，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE、〔1〕求AC和OA旳长；〔2〕设AE旳长为m，△CEF旳面积为S，求S与m之间旳函数关系式；〔3〕在〔2〕旳条件下试说明S是否存在最大值？假设存在，请求出S旳最大值，并求出现在点E旳坐标，推断现在△BCE旳形状；假设不存在，请说明理由、。
2019年秋北京市通州区九年级上册期末数学试卷(word版,(有答案)【精选】.doc
2019-2020学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则该反比例函数的表达式为（）A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣2．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（）A．B．πC．D．3．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（）A．5m B．7m C．7.5m D．21m4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（）A．b＜0，c＜0，△＞0B．b＞0，c＞0，△＞0C．b＞0，c＜0，△＞0D．b＜0，c＞0，△＜06．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．3B．2C．6D．47．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则cos∠A的值为（）A．B．2C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4．点E为Rt△ABC边上一点，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止．连接CE，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与线段BC交于点D，设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．请写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：．10．已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数y=上，当y1＜y2＜0时，x1，x2的大小关系是．11．如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2），则tanα=．12．如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=．13．如图，AC，AD是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）；（2）．14．二次函数y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为．15．已知⊙O的半径为1，其内接△ABC的边AB=，则∠C的度数为．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．小霞的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；（4）过点P作射线AP．所以射线AP为所求．老师说：“小霞的作法正确．”请回答：小霞的作图依据是．三、解答题（共9小题，满分52分）17．（5分）计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）交于点A（﹣，﹣2），B（1，a）．（1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．19．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．20．（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果精确到0.1米）21．（5分）如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边长AB为x（米），面积为S （平方米）．（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？22．（5分）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cos∠A的值．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y=﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．24．（7分）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？=S四边形ABCD；（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；=a，S△AKG=b．设S△DEP∵EC∥AF．=4a．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK∵GD∥BI，=9b∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．又∵S△DAG=24a+6b=36b+4a．∴S四边形ABCD=b，S四边形KPOL=b．∴a=b，S四边形ABCD=S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．∴S四边形KPOL=S四边形ABCD．（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML25．（8分）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为d P．特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．当⊙O的半径为2时：（1）若点C（﹣，0），D（3，4），则d c=，d p=；（2）若在直线y=2x+2上存在点P，使得d P=2，求出点P的横坐标；（3）直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得2≤d P＜3，请你直接写出b的取值范围．2019-2020学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则该反比例函数的表达式为（）A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），函数的图象经过点（3，﹣2），∴﹣2=，得k=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣．故选：B．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．2．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（）A．B．πC．D．【分析】根据弧长公式l=进行解答即可．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：=π．故选：D．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题．3．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（）A．5m B．7m C．7.5m D．21m【分析】先判定△OAB和△OCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴=，∵AB=2m，OB=6m，OD=6+15=21m，∴=，解得CD=7m．这颗树的高度为7m，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=55°，∴∠DAB=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠DAB=35°．故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（）A．b＜0，c＜0，△＞0B．b＞0，c＞0，△＞0C．b＞0，c＜0，△＞0D．b＜0，c＞0，△＜0【分析】根据抛物线的性质即可求出答案．【解答】解：由图象与y轴的交点位置可知：c＜0，由图象与x轴的交点个数可知：△＞0，由图象的开口方向与对称轴可知：a＞0，＞0，从而可知：b＜0，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．6．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．3B．2C．6D．4【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，即可求出AB的长度．【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD==2，由垂径定理得，AB=2AD=4，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则cos∠A的值为（）A．B．2C．D．【分析】过B作BD⊥AC于D，根据勾股定理得到AB的长，然后由锐角三角函数定义解答即可．【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，则点D为格点，AD=，由勾股定理知：AB2=32+12=10，∴AB=，∴Rt△ADB中，cos∠A===，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．8．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4．点E为Rt△ABC边上一点，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止．连接CE，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与线段BC交于点D，设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（）A．B．C．D．【分析】根据Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止，可得函数图象先上升再下降，根据当0≤t≤4时，扇形面积S=，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误；根据当4＜t≤8时，随着t的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，可得后半段函数图象不是抛物线，故C选项错误；再根据当t=8时，点E、D重合，扇形的面积为0，故D选项错误；运用排除法即可得到结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，∴当0≤t≤4时，扇形面积S=，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误；当4＜t≤8时，随着t的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，∴后半段函数图象不是抛物线，故C选项错误；∵当t=8时，点E、D重合，∴扇形的面积为0，故D选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．请写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：y=2（x+1）2（答案不唯一）．【分析】顶点在x轴上的函数是y=a（x﹣h）2的形式，举一例即可．【解答】解：顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，例如y=2（x+1）2．（答案不唯一）【点评】顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系．10．已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数y=上，当y1＜y2＜0时，x1，x2的大小关系是x1＞x2．【分析】先根据反比例函数y=中k=2可知此函数的图象在一、三象限，再根据y1＜y2＜0，可知A、B两点均在第三象限，故可判断出x1，x2的大小关系．【解答】解：∵反比例函数y=中k=2＞0，∴此函数的图象在一、三象限，∵y1＜y2＜0，∴A、B两点均在第三象限，∵在第三象限内y随x的增大而减小，∴x1＞x2．故答案为x1＞x2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．11．如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2），则tanα=．【分析】如图作PE⊥x轴于E．根据tanα=计算即可．【解答】解：如图作PE⊥x轴于E．∵P（2，2），∴OE=2，PE=2，∴tanα===．故答案为．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，属于中考常考题型．12．如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=．【分析】由∠B=∠ACD、∠A=∠A，可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出=，代入数据即可求出AC的值．【解答】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=﹣（不合题意，舍去）．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出关于AC的方程是解题的关键．13．如图，AC，AD是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）∠BAC=∠BCA；（2）∠DAF=∠ADE．【分析】根据正六边形的特点可得到：因为图形是正六边形，所以AB=BC，所以三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA．因为EF∥AD，AF=ED，所以四边形ADEF是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠DAF=∠ADE．【解答】解：由分析可知，两个关于图中角度的正确结论：（1）∠BAC=∠BCA；（2）∠DAF=∠ADE．故答案为：∠BAC=∠BCA；∠DAF=∠ADE．【点评】考查了多边形内角与外角，要结合题目中所提供的已知条件，特别是该图形为正六边形，得出结论．14．二次函数y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞5．【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），所以不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞5．故答案为x＜﹣1或x＞5．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．15．已知⊙O的半径为1，其内接△ABC的边AB=，则∠C的度数为45°或135°．【分析】过圆心作AB的垂线，在构建的直角三角形中，易求得圆心角∠AOB的度数，由此可求出∠C的度数．（注意∠C所对的弧可能是优弧，也可能是劣弧）【解答】解：如图，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D．在Rt△OAD中，AD=，OA=1，∴sin∠AOD=，∴∠AOD=45°，∠AOB=135°．点C的位置有两种情况：①当点C在如图位置时，∠C=∠AOB=45°；②当点C在E点位置时，∠C=∠E=180°﹣45°=135°．故答案为：45°或135°．【点评】本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用．注意点C的位置有两种情况，不要漏解．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．小霞的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；（4）过点P作射线AP．所以射线AP为所求．老师说：“小霞的作法正确．”请回答：小霞的作图依据是（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义．【分析】根据作图的依据解答即可．【解答】解：小霞的作图依据是（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义；故答案为：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义【点评】此题考查作图﹣复杂作图问题，关键是根据作图的依据解答．三、解答题（共9小题，满分52分）17．（5分）计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式=×﹣4×+1=﹣2+1=．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）交于点A（﹣，﹣2），B（1，a）．（1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．【分析】（1）首先由A（﹣，﹣2）在反比例函数y=的图象上，求得反比例函数的解析式，即可求得点B的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图形，一次函数的值大于反比例函数的值，一次函数在反比例函数上面的部分．【解答】解：（1）∵点A（﹣，﹣2）在函数y=上，∴m=﹣×（﹣2）=3，∴y=，∵点B（1，a）在y=上，∴a=3，∵直线y=kx+b经过A（﹣，﹣2），B（1，3），∴，解得，∴直线解析式为y=2x+1．（2）观察图象可知，不等式kx+b＞的解集为：﹣＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由函数图象比较函数大小，能够数形结合是解题的关键．19．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可．【解答】解：如图，作直径AD，连接CD．∴∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∵⊙O的半径为6，∴AD=12．在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=6．∴AC=6．【点评】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法．20．（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果精确到0.1米）【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边CE等价转换，解这两个三角形可得AE、BE的值，再利用AB=AE+BE，进而可求出答案．【解答】解：根据题意，再Rt△BCE中，∠BEC=90°，tanα=，∴CE=≈=10米，再Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，∴AE=CE•tan20°≈10×0.364=3.64米，∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0米，答：旗杆的高约为21.0米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（5分）如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边长AB为x（米），面积为S （平方米）．（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）设矩形的边AB为x米，则边BC为80﹣2x米，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式．（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得．【解答】解：（1）根据题意知AB=x，BC=80﹣2x，∴S=x（80﹣2x）=﹣2x2+80x，又∵x＞0，0＜80﹣2x≤50，解得15≤x＜40，∴S=﹣2x2+80x （15≤x＜40）；（2）∵S=﹣2x2+80x=﹣2（x﹣20）2+800，∴当x=20时，S最大值为800，答：当AB为20米时，活动区的面积最大，最大面积是800平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题．22．（5分）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cos∠A的值．【分析】（1）连接OD，AD，由AC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC中点，再由O为AC的中点，得到OD为三角形ABC的中位线，利用中位线性质得到OD与AB平行，进而得到OD垂直于DE，即可得证；（2）由半径的长求出AB与AC的长，根据BE的长，由AB﹣BE求出AE的长，由平行得相似，相似得比例，设CF=x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出所求．【解答】（1）证明：连接OD，AD，∵AC为圆的直径，∴∠ADC=90°，AD⊥BC，∵AB=AC，∴点D为BC的中点，∵点O为AC的中点，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，则DE为圆O的切线；（2）解：∵r=2，∴AB=AC=2r=4，∵BE=1，∴AE=AB﹣BE=3，∵OD∥AB，∴△FOD∽△FAE，∴==，设CF=x，则有OF=x+2，AF=x+4，∴=，解得：x=2，∴AF=6，在Rt△AEF中，∠AEF=90°，则cosA==．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y=﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的性质，可得b==1．将A（﹣2，m）代入y=﹣x+3，即可求出m=2+3=5；（2）将D（3，2）代入y=ax2﹣2ax+1，即可求出a的值；（3）把x=﹣3代入y=﹣x+3，求出y=6，把（﹣3，6）代入y=ax2﹣2ax+1，求出a=．再把x=﹣1代入y=﹣x+3，求出y=4，把（﹣1，4）代入y=ax2﹣2ax+1，求出a=1．进而得出a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，∴b==1．∵点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上，∴m=2+3=5；（2）∵点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，∴2=a×32﹣2a×3+1，∴a=；（3）∵当x=﹣3时，y=﹣x+3=6，∴当（﹣3，6）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，6=a×（﹣3）2﹣2a×（﹣3）+1，∴a=．又∵当x=﹣1时，y=﹣x+3=4，∴当（﹣1，4）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，4=a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1，∴a=1．∴＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．24．（7分）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？=S四边形ABCD；（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；=a，S△AKG=b．设S△DEP∵EC∥AF．=4a．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK∵GD∥BI，=9b∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．又∵S△DAG=24a+6b=36b+4a．∴S四边形ABCD=42b，S四边形KPOL=6b．∴a=b，S四边形ABCD=S四边形ABCD，则S四边形KPOL＜S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．∴S四边形KPOL=S四边形ABCD．（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML【分析】（1）根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题；=a，S△AEN=b．想办法证（2）如图4中，延长CE交BA的延长线于T，连接DN，设S△AGL=4b，S四边形ABCD=20b，即可解决问题；明S四边形ANML=S四边形ABCD；【解答】解：（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；=a，S△AKG=b．设S△DEP∵EC∥AF．=4a．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK∵GD∥BI，=9b∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．又∵S△DAG=24a+6b=36b+4a．∴S四边形ABCD=42b，四边形KPOL=6b．∴a=b，S四边形ABCD=S四边形ABCD，则S四边形KPOL＜S四边形GKLH．∴S四边形KPOL故答案为，，42，6，，＜．=a，S△AEN=b．（2）如图4中，延长CE交BA的延长线于T，连接DN，设S△AGL∵GL∥PH，=4a，∴△△AGL∽△AHP，相似比为1：2，得到S△AHP∵AT∥CD，∴∠T=∠ECD，∵∠AET=∠CED，AE=ED，∴△AET≌△DEC，∴AT=CD，∵AT∥CJ，∴==，∴=，=b，可得S△DNJ=4a+b=S四边形ABCD，S△ADJ=b=S四边形ABCD，∴S△ABF∴16a+b=20b，∴a=b，=（20b﹣8a﹣b）=4b，∴S四边形ANML=20b，∴S四边形ABCD=S四边形ABCD．∴S四边形ANML故答案为．【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（8分）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为d P．特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．当⊙O的半径为2时：（1）若点C（﹣，0），D（3，4），则d c=1，d p=4；（2）若在直线y=2x+2上存在点P，使得d P=2，求出点P的横坐标；（3）直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得2≤d P＜3，请你直接写出b的取值范围．【分析】（1）圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，由此即可解决问题；（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，可以假设P（a，2a+2），根据PO=1，构建方程即可解决问题；（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，分不清楚两圆与线段AB相切时b的值即可解决问题；【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，所以d c=1，d p=4；故答案为1，4；（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，∵点P在直线y=2x+2上，∴可以假设P（a，2a+2），∵PO=1，∴a2+（2a+2）2=1，解得a=﹣1或﹣，∴满足条件的点P的横坐标为﹣1或﹣．（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，当线段与外环相切时，可得b=，当线段于内环相切时，可得b=，所以满足条件的b的值：≤b＜．【点评】本题考查一次函数、圆、点P的“d值”定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题．。
2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综
2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综一．解答题（共27小题）1．（2019秋•北京期末）如图，AB 是O 的直径，点P 是AB 上一点，且点P 是弦CD 的中点．（1）依题意画出弦CD ，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若2AP =，8CD =，求O 的半径．2．（2019秋•北京期末）如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O 交AC 于点D ，连接BD ．（1）求证：A CBD ∠=∠．（2）若10AB =，6AD =，M 为线段BC 上一点，请写出一个BM 的值，使得直线DM 与O 相切，并说明理由．3．如图，点O 为ABC ∠的边BC 上的一点，过点O 作OM AB ⊥于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点（点E 在点F 的左侧）．（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果2BE =，2sin 3ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得90CBD MOB ∠+∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．4．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．BE 平分ABC ∠交AC 于点D ，交ABC ∆的外接圆于点E ，过点E 作EF BC ⊥交BC 的延长线于点F ．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF 是ABC ∆外接圆的切线；（2）若5BC =，12sin 13ABC ∠=，求EF 的长．5．（2019秋•密云区期末）已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点E，AD CB=．求证：AE CE=．6．（2019秋•密云区期末）已知：如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F．（1）求证：BF是O的切线；（2）连结BC，若O的半径为2，3tan4BCD∠=，求线段AD的长．7．（2019秋•海淀区期末）如图，在O中，AC CB=，CD OA⊥于点D，CE OB⊥于点E．（1）求证：CD CE=；（2）若120AOB∠=︒，2OA=，求四边形DOEC的面积．8．（2019秋•海淀区期末）如图，AB是O的直径，直线MC与O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E．（1）求证：AC是DAB∠的平分线；（2）若10AB=，AC=AE的长．9．如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，AED B ∠=∠．（1）判断图形W 与AE 所在直线的公共点个数，并证明．（2）若4BC =，1tan 2B =，求OB ．10．（2019秋•通州区期末）如图：在平面直角坐标系xOy 中，点(2,2)A −，(4,4)B ．（1）尺规作图：求作过A ，B ，O 三点的圆；（2）设过A ，B ，O 三点的圆的圆心为M ，利用网格，求点M 的坐标；（3）若直线x a =与M 相交，直接写出a 的取值范围．11．（2019秋•昌平区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的点，4sin 5A =，半径为5，求BC 的长．12．如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，点D 是半圆的中点，连接CD 交OB 于点E ，点F 是AB 延长线上一点，CF EF =．（1）求证：FC 是O 的切线；（2）若5CF =，1tan 2A =，求O 半径的长．13．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CD AB⊥于E，连接AC、OC、BC．求证：ACO BCD∠=∠．14．如图，AB是O的直径，BC交O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，2ACB EAB∠=∠．（1）求证：AC是O的切线；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．15．（2019秋•大兴区期末）已知：如图，B，C，D三点在A上，45BCD∠=︒，PA是钝角ABC∆的高线，PA的延长线与线段CD交于点E．（1）请在图中找出一个与CAP∠相等的角，这个角是；（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明．16．（2019秋•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．17．（2019秋•朝阳区期末）在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA的中点C ，过点C 作CD AB ⊥交图形W 于点D ，D 在直线AB 的上方，连接AD ，BD ．（1）求ABD ∠的度数；（2）若点E 在线段CA 的延长线上，且ADE ABD ∠=∠，求直线DE 与图形W 的公共点个数．18．（2019秋•东城区期末）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，30A ∠=︒，CD =，求O 的半径的长．19．如图，在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与图形G 有且只有一个交点？请说明理由．20．（2019秋•西城区期末）如图，AB 是O 的直径，PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，C ．连接PO交O 于点D ，交BC 于点E ，连接AC ．（1）求证：12OE AC =； （2）若O 的半径为5，6AC =，求PB 的长．21．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且CED BAC ∠=∠．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，4AB =，2AD =，求AF 的长．22．（2019秋•石景山区期末）如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD．E是O上一点，CE CA=，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：OFC ODC∠=∠；（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长．23．（2019秋•房山区期末）已知ABC∆如图所示，点O到A、B、C三点的距离均等于(m m为常数），到点O的距离等于m的所有点组成图形W．射线AO与射线AM关于AC对称，过C作CF AM⊥于F．（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；（2）判断直线FC与图形W的公共点个数并加以证明．24．（2019秋•房山区期末）如图，ABC∆内接于O，60∠=︒，高AD的延长线交O于点E，6BC=，BACAD=．5（1）求O的半径；（2）求DE的长．25．（2019秋•房山区期末）在ABC==B为圆心、1为半径作圆，设点M为∠=︒，AC BC∆中，90ACBB上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90︒，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图1中，补全图形，并证明BM AN=．（2）连接MN，若MN与B相切，则BMC∠的度数为．（3）连接BN，则BN的最小值为；BN的最大值为．26．（2019秋•平谷区期末）如图，O是ABC==，BC=，AB AC∆的外接圆，圆心O在ABC∆的外部，4求O的半径．27．如图，ABC∠，交O于点D，过点D作∆内接于O，AB是O的直径，过点A作AD平分BACDE BC交AC的延长线于点E．//（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE与O的位置关系；（3）若10AB=，8BC=，求CE的长．2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综参考答案一．解答题（共27小题）1．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）设O 的半径为r ，在Rt OPD ∆中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）画出弦CD ，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连接OD ，OA CD ⊥于点P ，AB 是O 的直径，90OPD ∴∠=︒，12PD CD =， 8CD =，4PD ∴=．设O 的半径为r ，则OD r =，2OP OA AP r =−=−，在Rt ODP ∆中，90OPD ∠=︒，222OD OP PD ∴=+，即222(2)4r r =−+，解得5r =，即O 的半径为5．【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．2．【分析】（1）利用圆周角定理得到90ADB ∠=︒，然后就利用等角的余角相等得到结论；（2）如图，连接OD ，DM ，先计算出8BD =，5OA =，再证明Rt CBD Rt BAD ∆∆∽，利用相似比得到403BC =，取BC 的中点M ，连接DM 、OD ，如图，证明24∠=∠得到90ODM ∠=︒，根据切线的判定定理可确定DM 为O 的切线，然后计算BM 的长即可．【解答】（1）证明：AB 为O 直径，90ADB ∴∠=︒，90A ABD ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒，90CBD ABD ∴∠+∠=︒，A CBD ∴∠=∠；（2）203 BM=．理由如下：如图，连接OD，DM，90ADB∠=︒，10AB=，6AD=，8BD∴==，5OA=，A CBD∠=∠，Rt CBD Rt BAD∆∆∽，∴BC BDAB AD=，即8106BC=，解得403BC=取BC的中点M，连接DM、OD，如图，DM为Rt BCD∆斜边BC的中线，DM BM∴=，24∠=∠，OB OD=，13∴∠=∠，123490∴∠+∠=∠+∠=︒，即90ODM∠=︒，OD DM∴⊥，DM∴为O的切线，此时12023 BM BC==．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．3．【分析】（1）求出BO的长，MB的长，根据三角形BOM的面积可求出MH；（2）过点O作ON BD⊥于点N，证得OM ON=．则结论得证．【解答】（1）解：到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W，∴图形W是以O为圆心，OM的长为半径的圆．根据题意补全图形：OM AB ⊥于点M ， 90BMO ∴∠=︒． 在BMO ∆中，2sin 3OM ABC BO ∠==， 32BO MO ∴=．2BE =， ∴322BO OE OM =+=，解得：4OM OE ==． 6BO ∴=． 在Rt △BOM ∆中， 222BM OM BO +=，∴BM =． 1122BOM S MO MB MH BO ∆==∴46MH ⨯=⨯，解得：MH =（2）解：1个． 证明：过点O 作ON BD ⊥于点N ，90CBD MOB ∠+∠=︒， 且90ABC MOB ∠+∠=︒， CBD ABC ∴∠=∠．OM ON ∴=．BD ∴为O 的切线．∴射线BD 与图形W 的公共点个数为1个．【点评】本题主要考查切线的判定，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．4．【分析】（1）根据已知条件得到ABC ∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到13∠=∠．求得//OE BF ．于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到1213AC AB =．根据勾股定理得到12AC =．根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：补全图形如图所示，ABC ∆是直角三角形，ABC ∴∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，OE OB ∴=．23∴∠=∠， BE 平分ABC ∠，12∴∠=∠，13∴∠=∠．//OE BF ∴．EF BF ⊥，EF OE ∴⊥，EF ∴是ABC ∆外接圆的切线；（2）解：在Rt ABC ∆中，5BC =，12sin 13ABC ∠=， ∴1213AC AB =． 222AC BC AB +=，12AC ∴=．90ACF CFE FEH ∠=∠=∠=︒，∴四边形CFEH 是矩形．EF HC ∴=，90EHC ∠=︒．162EF HC AC ∴===．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，正确的画出图形是解题的关键．5．【分析】由圆周角定理可得ADE CBE ∠=∠，从而利用AAS 可证明ADE CBE ∆≅∆，继而可得出结论．【解答】解：由圆周角定理可得：ADE CBE ∠=∠，在ADE ∆和CBE ∆中，ADE CBE AED CEB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBE AAS ∴∆≅∆，AE CE ∴=．【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出ADE CBE ∠=∠．6．【分析】（1）根据垂径定理得到AB CD ⊥，90AED ∠=︒，根据平行线的性质得到90ABF AED ∠=∠=︒，于是得到结论；（2）连接BD ，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据三角函数的定义得到34BD AD =，设3BD x =，4AD x =，求得5AB x =，于是得到结论．【解答】（1）证明：O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点， AB CD ∴⊥，90AED ∠=︒，//CD BF ，90ABF AED ∴∠=∠=︒，AB BF ∴⊥， AB 是O 的直径，BF ∴是O 的切线；（2）解：连接BD ，BCD BAD ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，3tan tan 4BCD BAD ∠=∠=， ∴34BD AD =， ∴设3BD x =，4AD x =，5AB x ∴=， O 的半径为2，4AB =，54x ∴=，45x =， 1645AD x ∴==．【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．7．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==，CD ∴===OCD ∴∆的面积12OD CD =⨯⨯=，同理可得，OCE ∆的面积12OE CE =⨯⨯=，∴四边形DOEC 的面积【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．8．【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到90OCM ∠=︒，得到//OC AD ，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接BC ，连接BE 交OC 于点F ，根据勾股定理求出BC ，证明CFB BCA ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出CF ，得到OF 的长，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OC ，直线MC 与O 相切于点C ，90OCM ∴∠=︒，AD CD ⊥，90ADM ∴∠=︒，OCM ADM ∴∠=∠，//OC AD ∴，DAC ACO ∴∠=∠，OA OC =，ACO CAO ∴∠=∠，DAC CAB ∴∠=∠，即AC 是DAB ∠的平分线；（2）解：连接BC ，连接BE 交OC 于点F ， AB 是O 的直径，90ACB AEB ∴∠=∠=︒，10AB =，AC =BC ∴===，//OC AD ，90BFO AEB ∴∠=∠=︒，90CFB ∴∠=︒，F 为线段BE 中点，CBE EAC CAB ∠=∠=∠，CFB ACB ∠=∠，CFB BCA ∴∆∆∽．∴CF BCBC AB =，解得，2CF =，3OF OC CF ∴=−=． O 为直径AB 中点，F 为线段BE 中点，26AE OF ∴==．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．【分析】（1）证明AE 是切线即可判断．（2）利用系数是局限性的性质求出EC 即可解决问题．【解答】解：（1）图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．理由：连接OE ． BD 是O 是直径，90DEB ∴∠=︒，90ABC EDB ∴∠+∠=︒，OD OE =，ODE OED ∴∠=∠，AED ABC ∠=∠，90AED OED ∴∠+∠=︒，90AEO ∴∠=︒，OE AE ∴⊥，AE ∴是O 的切线，∴图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．（2）在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4BC =，1tan 2AC B BC ∴==， 2AC ∴=，90ACB DEB ∠=∠=︒，//DE AC ∴，CAE AED ABC ∴∠=∠=∠，C C ∠=∠，CAE CBA ∴∆∆∽，2AC CE CA ∴=，2214CE ∴==， 3BE BC EC ∴=−=，1tan 2DE B EB ∴==， 32DE ∴=，2BD ∴===，12OB BD ∴==【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】（1）作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；（2）AB 的中点即为圆心M ，由此可得解；（3）求出半径，即可知直线x a =与M 相切时a 的值，由此可得相交时a 的取值范围．【解答】解：（1）如图即为所要求作的过A ，B ，O 三点的圆；作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可．（2）观察图形，由（1）可知点为M 的坐标为(1,3)；（3）(2,2)A −，(1,3)M ，r AM BM ∴===∴当1a =1+时，直线x a =与M 相切，∴当11a <<时，直线x a =与M 相交．【点评】本题是圆的综合问题，考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆相切时的有关计算是解题的关键．11．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB ，OC ，过点O 作OD BC ⊥，如图1OB OC =，且OD BC ⊥，12BOD COD BOC ∴∠=∠=∠， 12A BOC ∠=∠， BOD A ∴∠=∠，4sin sin 5A BOD =∠=， 在Rt BOD ∆中，4sin 5BD BOD OB ∴∠==， 5OB =， ∴455BD =，4BD =， BD CD =，8BC ∴=．方法Ⅱ：作射线BO ，交O 于点D ，连接DC ，如图2．BD 为O 的直径，90BCD ∴∠=︒，BDC A ∠=∠，4sin sin 5A BDC ∴=∠=， 在Rt BDC ∆中，4sin 5BC BDC BD ∴∠==． 5OB =，10BD =，∴4105BC =， 8BC ∴=．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．【分析】（1）如图，连接OD ．根据已知条件得到90AOD BOD ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ODC OCD ∠=∠．推出FC OC ⊥，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到12BC AC =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD ，OC ．点D 是半圆的中点，90AOD BOD ∴∠=∠=︒，90ODC OED ∴∠+∠=︒，OD OC =，ODC OCD ∴∠=∠．又CF EF =，FCE FEC ∴∠=∠．FEC OED ∠=∠，FCE OED ∴∠=∠．90FCE OCD OED ODC ∴∠+∠=∠+∠=︒，即FC OC ⊥，FC ∴是O 的切线；（2）解：1tan 2A =， ∴在Rt ABC ∆中，12BC AC =， 90ACB OCF ∠=∠=︒，ACO BCF A ∴∠=∠=∠，ACF CBF ∆∆∽， ∴12BF CF BC CF AF AC ===． 10AF ∴=，2CF BF AF ∴=．52BF ∴=． 1524AF BF AO −∴==．【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．【分析】先根据垂径定理得到BC BD =，再根据圆周角定理得到A BCD ∠=∠，加上ACO A ∠=∠．然后利用等量代换得到结论．【解答】证明：AB 是O 的直径，CD AB ⊥，∴BC BD =，A BCD ∴∠=∠， 又OA OC =，ACO A ∴∠=∠．ACO BCD ∴∠=∠．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．【分析】（1）如图①，连接AD ．根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及2ACB EAB ∠=∠．求得90BAD CAD ∠+∠=︒，则BA AC ⊥，根据切线的判定定理可得证；（2）如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ，先在Rt ADC ∆和Rt BAC ∆中，分别求得CD 、BC 、BD ．再在Rt BFH ∆中，由三角函数可求得FH 及DF ，则可用BD 的值减去DF 的值，求得BF ．【解答】（1）证明：如图①，连接AD ．图① E 是BD 的中点，∴BE DE =DAE EAB ∴∠=∠．2C EAB ∠=∠，C BAD ∴∠=∠． AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒90C CAD ∴∠+∠=︒90BAD CAD ∴∠+∠=︒即BA AC ⊥．AC ∴是O 的切线．（2）解：如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ．图②AD BD ⊥，DAE EAB ∠=∠，FH FD ∴=，且//FH AC ．在Rt ADC ∆中，3cos 4C =，8AC =， 6CD ∴=．同理，在Rt BAC ∆中，可求得323BC = 143BD ∴= 设DF x =，则FH x =，143BF x =− //FH AC ，BFH C ∴∠=∠． 3cos 4FH BFH BF ∴∠== 即31443xx =− 解得2x =．83BF ∴=． 【点评】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相关定理及相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键．15．【分析】（1）根据垂径定理和同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可以得到与CAP ∠相等的角，注意本题答案不唯一；（2）先写出线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，然后根据题意和图形，可以证明线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系成立．【解答】解：（1）AC AB =，AP BC ⊥，AP ∴平分CAB ∠，CAP BAP ∴∠=∠，2CAB CDB ∠=∠，CAP BAP CDB ∴∠=∠=∠， 故答案为：CDB ∠（或)BAP ∠；（2）AC ，EC ，ED 满足的数量关系：2222EC ED AC +=，证明：连接EB ，与AD 交于点F ，点B ，C 两点在A 上，AC AB ∴=，ACP ABP ∴∠=∠， PA 是钝角ABC ∆的高线，PA ∴是CAB ∆的垂直平分线， PA 的延长线与线段CD 交于点E ，EC EB ∴=，ECP EBP ∴∠=∠，ECP ACP EBP ABP ∴∠−∠=∠−∠，即ECA EBA ∠=∠，AC AD =，ECA EDA ∴∠=∠，EBA EDA ∴∠=∠，AFB EFD ∠=∠，45BCD ∠=︒，90AFB EBA EFD EDA ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90BAD BED ∠=∠=︒，222EB ED BD ∴+=，222BD AB =，2222EB ED AB ∴+=，2222EC ED AC ∴+=．【点评】本题考查勾股定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，利用垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后计算出DE 的长即可．【解答】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，118422AE BE AB ∴===⨯=，在Rt AEO ∆中，3OE ===，532ED OD OE ∴=−=−=，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．17．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．【解答】解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴=．OA OD点C为OA的中点，CD AB⊥，∴=．AD OD∴==．OA OD AD∴∆是等边三角形．OADAOD∴∠=︒．60∴∠=︒．ABD30（2）如图2，∠=∠，ADE ABD∴∠=︒．ADE30∠=︒．60ADO∴∠=︒．ODE90∴⊥．OD DEDE∴是O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．【点评】考查了圆的认识，切线的判定，切线必须满足两个条件：a 、经过半径的外端；b 、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．18．【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出90ACB ∠=︒，12CH DH CD ===得出2AC CH ==，AC ==，2AB BC =，得出2BC =，4AB =，求出2OA =即可．【解答】解：连接BC ，如图所示： AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，90ACB ∴∠=︒，12CH DH CD === 30A ∠=︒，2AC CH ∴==在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，AC ∴==，2AB BC =，2BC ∴=，4AB =，2OA ∴=，即O 的半径是2；【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30︒角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．19．【分析】（1）由勾股定理易求得AB 的长；可连接CD ，由圆周角定理知CD AB ⊥，易知ACD ABC ∆∆∽，可得关于AC 、AD 、AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．（2）当ED 与O 相切时，由切线长定理知EC ED =，则ECD EDC ∠=∠，那么A ∠和DEC ∠就是等角的余角，由此可证得AE DE =，即E 是AC 的中点．在证明时，可连接OD ，证OD DE ⊥即可．【解答】解：（1）如图所示，在Rt ACB ∆中，3AC cm =，4BC cm =，90ACB ∠=︒，5AB cm ∴=；连接CD ，BC 为直径， 90ADC BDC ∴∠=∠=︒；A A ∠=∠，ADC ACB ∠=∠，Rt ADC Rt ACB ∴∆∆∽； ∴AC AD AB AC=， 23955AD ∴==；（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与O 相切；证明：连接OD ， DE 是Rt ADC ∆的中线；ED EC ∴=，EDC ECD ∴∠=∠；OC OD =，ODC OCD ∴∠=∠；90EDO EDC ODC ECD OCD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；ED OD ∴⊥，ED ∴与O 相切．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．20．【分析】（1）根据切线的性质得到PB PC =，BPO CPO ∠=∠．根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）由切线的性质得到90OBP ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，CPB PC ∴=，BPO CPO ∠=∠．PO BC ∴⊥，BE CE =．OB OA =，12OE AC ∴=； （2）PB 是O 的切线，90OBP ∴∠=︒．由（1）可得90BEO ∠=︒，132OE AC ==． 90OBP BEO ∴∠=∠=︒． tan BE PB BOE OE OB∴∠==， 在Rt BEO ∆中，3OE =，5OB =，4BE ∴=．203PB ∴=． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．21．【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD 是O 的直径，得90BCD ∠=︒，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得90BDE ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（2）先根据平行线的性质得：90BHC BDE ∠=∠=︒．由垂径定理得AH CH =，AD CD =，由垂直平分线的性质得4BC AB ==，2CD AD ==．证明FAD FCB ∆∆∽，列比例式得2CF AF =，设AF x =，则22DF CF CD x =−=−，根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD ，如图1．四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，BD ∴是O 的直径，即点O 在BD 上．90BCD ∴∠=︒．90CED CDE ∴∠+∠=︒．CED BAC ∠=∠．又BAC BDC ∠=∠，90BDC CDE ∴∠+∠=︒，即90BDE ∠=︒．DE OD ∴⊥于点D ．DE ∴是O 的切线．（2）如图2，BD 与AC 交于点H ，//DE AC ，90BHC BDE ∴∠=∠=︒．BD AC ∴⊥．AH CH ∴=．4BC AB ∴==，2CD AD ==．90FAD FCB ∠=∠=︒，F F ∠=∠，FAD FCB ∴∆∆∽． ∴AD AF CB CF=． 2CF AF ∴=．设AF x =，则22DF CF CD x =−=−．在Rt ADF ∆中，222DF AD AF =+，222(22)2x x ∴−=+． 解得：183x =，20x =（舍)． 83AF ∴=． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出4BC =是解本题的关键．22．【分析】（1）①正确画图；②连接OC ，如图1，根据垂径定理得：90OBD ∠=︒，AC AD =，由已知可得CE AD =，则圆心角相等，即COE AOD ∠=∠，由CF 是O 的切线，则90OCF ∠=︒，由三角形内角和定理可得OFC ODC ∠=∠；（2）根据直角三角形的性质得：30ODB ∠=︒，再证明点D ，O ，E 在同一条直线上，最后根据勾股定理可得FB 的长．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接OC ，如图1，半径OA CD ⊥，90OBD ∴∠=︒，AC AD =，AC CE =，∴CE AD =，COE AOD ∴∠=∠， CF 是O 的切线，OC 是半径，90OCF ∴∠=︒，OFC ODC ∴∠=∠；（2）过点B 作BG OD ⊥于点G ，如图2．B 是OA 的中点，4OA =，2OB ∴=．∴在Rt BOD ∆中，30ODB ∠=︒，60DOB ∴∠=︒，AD AC CE ==，60EOC AOC DOA ∴∠=∠=∠=︒，180EOD ∴∠=︒．即点D ，O ，E 在同一条直线上，在Rt OCF ∆中，4OC =，可得8OF =，在Rt OGB ∆中，2OB =，可得1OG =，BG =，9FG OF OG ∴=+=，在Rt BGF ∆中，由勾股定理可得FB ===【点评】本题考查垂径定理、切线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据圆的定义补全图形即可得；（2）连接OC ，由射线AO 与射线AM 关于AC 对称知12∠=∠，由13∠=∠知32∠=∠，从而得//OC AE ，再由CF AM ⊥知CF OC ⊥，从而证得FC 与O 相切，据此可得答案．【解答】解：（1）依题意补全图形如下图所示，（2）如图，直线FC 与图形W 有一个公共点，证明：连接OC ，射线AO 与射线AM 关于AC 对称，12∴∠=∠，OC OA =，13∴∠=∠，32∴∠=∠，//OC AE ∴，CF AM ⊥于F ，CF OC ∴⊥，图形W 即O ，OC 为半径，FC ∴与O 相切，即FC 与图形W 有一个公共点．【点评】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和性质、圆的定义、切线的判定与性质等知识点．24．【分析】（1）作直径BF ，连接CF ，求得90BCF ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，得到GE GA =，四边形OHDG 是矩形，求得OH DG =，于是得到结论．【解答】解：（1）如图，作直径BF ，连接CF ，90BCF ∴∠=︒，60F BAC ∠=∠=︒，sin BC BF F ∴===O ∴的半径为；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，GE GA ∴=，四边形OHDG 是矩形，OH DG ∴=， 2OB =，30FBC ∠=︒，OH ∴=，DG ∴=5AG AD GD ∴=−=，5EG ∴=，55DE EG GD ∴=−==−【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）补全图形，证明()MCB NCA SAS ∆≅∆，即可得出结论；（2）分两种情况：①由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；②如图3所示：由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；（3）当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；证明四边形BMCN 是正方形，得出BN CN ⊥，1BN BM ==，CN 与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3；同（1）得()MCB NCA SAS ≅∆，得出1BM AN ==，求出2AB ==，得出3BN AB BN =+=，即BN 的最大值为3．【解答】（1）补全图形如图1所示：证明：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，90ACB MCN ∴∠=∠=︒，MCB NCA ∴∠=∠，在MCB ∆和NCA ∆中，BC AC MCB NCA CM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MCB NCA SAS ∴∆≅∆，BM AN ∴=；（2）解：分两种情况：①如图2所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，45BMC BMN CMN ∴∠=∠−∠=︒；②如图3所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，135BMC BMN CMN ∴∠=∠+∠=︒； 综上所述，MN 与B 相切，则BMC ∠的度数为45︒或135︒； 故答案为：45︒或135︒；（3）解：当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；理由如下：如图4所示：CM 与B 相切，90BMC ∴∠=︒，由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，180BMC MCN ∴∠+∠=︒，//BM CN ∴，1CM =，BM CM CN ∴==，∴四边形BMCN 是平行四边形，∴四边形BMCN 是正方形，BN CN ∴⊥，1BN BM ==，CN ∴与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3，理由如下：如图5所示：同（1）得：()MCB NCA SAS ≅∆，1BM AN ∴==，90ACB ∠=︒，AC BC ==2AB ∴==，3BN AB BN ∴=+=，即BN 的最大值为3； 故答案为：1；3．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．26．【分析】连接AO ，交BC 于点D ，连接BO ，由垂径可求AO BC ⊥，BD CD =，即可求BD =，由勾股定理可求AD 的长，圆的半径．【解答】解：连结AO ，交BC 于点D ，练结BO ．AB AC =，∴AB AC =．1又AO 是半径，AO BC ∴⊥，BD CD =．2BC =，∴BD =．3在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，222BD AD AB +=，4AB =，2.4AD ∴=设O 半径为r ．在Rt BDO ∆中，222BD DO BO +=，∴222(2)r r +−=，4r ∴=O ∴的半径为4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．27．【分析】（1）依据题意，即可补全图形；（2）根据切线的判定定理判断并证明：直线DE 与O 的位置关系即可；（3）根据10AB =，8BC =，圆的半径即可求CE 的长．【解答】解：（1）如图即为补全的图形．（2）直线DE 是O 的切线． 理由如下：证明：连结OD ，交BC 于F ． AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．∴CD BD =．OD BC ∴⊥于F ．//DE BC ，OD DE ∴⊥于D ．∴直线DE 是O 的切线．（3）AB 是O 的直径， 90ACB ∴∠=︒．10AB =，8BC =，6AC ∴=．90BOF ACB ∠=∠=︒， //OD AC ∴． O 是AB 中点，132OF AC ∴==． 152OD AB ==， 2DF ∴=．//DE BC ，//OD AC ， ∴四边形CFDE 是平行四边形． 90ODE ∠=︒，∴平行四边形CFDE 是矩形． 2CE DF ∴==．答：CE 的长为2．【点评】本题考查了作图−复杂作图、圆周角定理、直线和圆的位置关系、三角形外接圆与外心，解决本题的关键是根据语句准确画图并注明．。
2019年北京市各区九年级上册期末试卷分类汇编：圆基础(有答案)-(数学)
圆基础★与圆的位置关系1．（密云18期末5）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=4，BC=3.以点A 为圆心，AC 长为半径作圆.则下列结论正确的是（ ） A.点B 在圆内B.点B 在圆上C.点B 在圆外 D .点B 和圆的位置关系不确定 C2．（门头沟18期末6）已知ABC △，AC =3，CB =4，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内，那么半径r 的取值范围是A ．3r ＞B ．4r ≥C ．34r ＜≤D ．34r ≤≤C3．（顺义18期末13）已知矩形ABCD 中， AB =4，BC =3，以点B 为圆心r 为半径作圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围是 ．13．35r ≤≤；4．（石景山18期末14）14．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．14．35★圆周角、圆心角5．（密云18期末6）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A.20︒B.40︒C.80︒D.90︒B6．（大兴18期末2）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB ∠的度数为（ ）A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50 C7．（平谷18期末6）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO =40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D40°C8．（昌平18期末4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC的大小为（）A．40°B．30°C．80°D．100°D9．（门头沟18期末3）如图，DCE∠是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果75∠的度数是（）DCE∠=︒，那么BADA．65︒B．75︒C．85︒D．105︒B10．（朝阳18期末6）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=14，BC=7.则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°B11．（石景山18期末3）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠的度数为（）∠25ACD，则BOD︒=A．︒120100B．︒C．︒150130D．︒C12．（西城18期末5）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么∠BAD等于（）．A．34° B．46°C．56°D．66°C13．（丰台18期末7）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C ．140°D ．70°或110°D14．（怀柔18期末5）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为 （ ） A ． B ． C ．D ．B15．（通州18期末4）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（ ） A ．︒25 B ．︒30 C ．︒35 D ．︒40C16．（燕山18期末3）3．如图，圆心角 ∠ AOB=25°，将 AB 旋转n°得到 CD ，则∠ COD 等于（ ） A ．25° B ．25°+ n° C ．50°D ．50°+ n° 17．（燕山18期末13）如图，量角器的直径与直角三角尺 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，则第 20 秒点 E 在量角器上对应的读数是 °13.120°18．（通州18期末15）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为________.19．（东城18期末14）⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是.①AB=AD ；②BC=CD ；③AB AD =；④∠BCA=∠DCA ； ⑤ BC CD =.40︒50︒80︒100︒20．（丰台18期末14）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .14.（2，0）；21．（西城18期末16）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 . 1★垂径定理22．（顺义18期末6）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（ ）A B ．C ．D ．10B23．（石景山18期末4）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（ ） A ．32B ．34C ．52D ．54B24．（通州18期末6）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ） A. 3B. 32C. 6D. 34 D25．（怀柔18期末7）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.小明计算橡胶棒CD 的长度为（ ） A ．22分米 B ．23分米 C ．32分米 D ．33分米B26．（门头沟18期末13）如图，在△ABC 中，∠A =60°，⊙O 为△ABC的外接圆．如果BC=,那么⊙O 的半径为________. 227．（西城18期末13）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 . 228．（大兴18期末13）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．329．（东城18期末12）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D .若CD =1，AB =4,则⊙O 的半径是_______.12、5230．（燕山18期末11）如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC ，垂足分别为 M 、N ．如果 MN =2.5，那么BC =_______5★正多边形31．（东城18期末2）边长为2的正方形内接于M，则M的半径是（）A．B．2C D．C32．（丰台18期末12）如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为.133．（通州18期末13）如图，AD，AE是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.34．（昌平18期末13）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则劣弧AB的长为．35．（朝阳18期末9）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为.36．（平谷18期末13）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB =1，OC ⊥AB 于点D ，则圆内接正十二边形的边BC 的长是 （结果不取近似值）．13=★弧长、扇形面积37．（西城18期末4）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2πB38．（东城18期末5）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°B39．（大兴18期末4）在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为（ ）A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒120B40．（通州18期末2）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）A ．6πB ．πC ．3πD ．32πD41．（海淀18期末13）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______． 642．（丰台18期末10）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_______.10.2π343．（大兴18期末14）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是_______cm 2．14. 36 π .44．（密云18期末12）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为__________.12.60︒45．（平谷18期末10）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是cm （结果不取近似值）．10．4π46．（朝阳18期末7）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2πC ．4D ．4πB47．（石景山18期末11）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．11．2π48．（怀柔18期末15）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.π2549．（顺义18期末20）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 30005002300010ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分。
2019-2020北京市初三上数学期末考试新定义压轴题汇总(含答案)
2019-2020初三上期末考试新定义压轴题汇总1、（19-20朝阳期末）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作⊙C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作⊙C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.①如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为 ； ②若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤PA ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.①当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ；②记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图12、（19-20东城期末）28． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若︒<∠≤︒18060MPN ，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在)2,0(),1,1(),0,1(321P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以)0(33, m m m ）（为圆心，m 33为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．3、（19-20西城期末）28. 对于给定的，我们给出如下定义：若点是边上的一个定点，且以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，则称这样的圆为边上的点关于的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点关于的最大内半圆.若点是边上的一个动点（不与，重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为关于的内半圆.（1）在中，∠，，①如图1，点在边上，且，直接写出点关于的最大内半圆的半径长；②如图2，画出关于的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），点在直线上运动（不与重合），将OE关于的内半圆半径记为，当时，求点的横坐标的取值范围.4、（19-20海淀期末）28.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x=的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．②点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.图 1图 25、（19-20丰台期末）27．平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y ＞，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y ＜，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线22y x =-.① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的图 3x的取值范围．横坐标H6、（19-20石景山期末）28．在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC 有交点E （不与点D 重合），那么称 为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中是ABC △的一条A -外截弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)，点B 与坐标原点O 重合．（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上， ①求点C 的纵坐标的取值范围；②直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．ED CBA（19-20大兴期末）28. 在平面直角坐标系xOy中，已知P（a,b）,R（c,d）两点，且，，若过点7、P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△PRS为点P,R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S',连接PR，则称△RP S'为点R,P，S'的“坐标轴三角形”.右图为点P，R,S的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A,B,C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ;(2)已知点D（2，1），点E（e，4），若点D,E,F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.（3）若的半径为，点M（m,4）.若在上存在一点N，使得点N ，M, G的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求m的取值范围.8、（19-20房山期末）28.如图28-1，已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．点Q ，满足PQ AB £，则称点P 为线段AB 的“限距点”.（1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy 中，若点)01-(，A ，)01(，B . ① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，E 中，是线段AB 的“限距点”的是________；② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围.图28-2（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，t A ，)1-(，t B ，直线32+33=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.9、（19-20门头沟期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点P 为图形M上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记作 d （M ，N ）．若图形M ，N 的“近距离”小于或等于1，则称图形M ，N 互为“可及图形”． （1）当⊙O 的半径为2时，①如果点A （0，1），B （3，4），那么d （A ，⊙O ）=________,d （B ，⊙O ）= _________； ②如果直线y x b =+与⊙O 互为“可及图形”，求b 的取值范围；（2）⊙G 的圆心G 在x 轴上，半径为1，直线5y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，如果⊙G和∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心G 的横坐标m 的取值范围．备用图10、（19-20密云期末）28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足1322r d r≤≤，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（32-，2），D（12，12-）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．备用图11、（19-20平谷期末）28．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN 为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．12、（19-20顺义期末）28．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于x轴对称，点P1和点P2关于直线l 对称，则称点P2是点P关于x轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A(0，-1)．①若点B是点A关于x轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为；②点C (-4，1)是点A关于x轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为；③点D(-1，0)是点A关于x轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为；（2）如图2， O 的半径为2．若 O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，且点M ′在射线x y 3=(x ≥0)上，b 的取值范围是；（3）E ( ,t )是y 轴上的动点， E 的半径为2，若 E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 33=的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．图1 图213、（19-20通州期末）28.如图，在平面内。
2018~2019通州区九年级数学第一学期期末数学试题及参考答案
通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项） 1．如图，点D 、E 分别在△ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①∠ADE =∠C ； ②AE DE AB BC =；③AD AEAC AB=. 使△ADE 与△ACB 一定相似的是 A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③2. 如图，A 、B 、C 是半径为4的⊙O 上的三点. 如果∠ACB =45°，那么AB 的长为 A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为 A ．1B ．12C ．14D ．154．如图，数轴上有A 、B 、C 三点，点A 、C 关于点B 对称，以原点O 为圆心作圆，如果点A 、B 、C 分别在⊙O 外、⊙O 内、⊙O 上，那么原点O 的位置应该在 A ．点A 与点B 之间靠近A 点B ．点A 与点B 之间靠近B 点C ．点B 与点C 之间靠近B 点D ．点B与点C 之间靠近C 点5. 如图，PA 和PB 是⊙O的切线，点A 和点B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 已知∠P =50°，那么∠ACB 的大小是 A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B 、C ，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC 长为80米．如果设河的宽度为x 米，那么下列关系式中正确的是 A ．1802x x =+ B ．180xx =+ C．802x x =+ D．80x x =+7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛， 要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同. 上述说法中，正确的序号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x 是A ．4B ．4.5C ．5D ．6二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB =4，AD =2，DE =1.5， 那么BC 的长为_________．s )10.在平面直角坐标系xOy)214-+的图象如图，将二次函数()214yx =--+的图象平移，使二次函数()214y x =--+的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________. 11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm ，则直尺的宽度为____cm. 12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a = ，b = ．13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y 美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是________________________.14. 如图，直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，AC 边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm 的矩形纸条， 如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC 的长 度是____cm ．15. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a ，b 的值：a =______，b =________.16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ．作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接PA ；（2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交PA 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：(4cos30π1︒+-.18. 已知:如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC . 求证：点D 平分BC .19．如图，在□ABCD 中，连接DB ，F 是边BC 上一点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于E ，且∠EDB =∠A ．（1）求证：△BDF ∽△BCD ；（2）如果BD =9BC =，求ABBE的值．图1aaP20. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是菱形外一点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形DECO 是矩形；（2）连接AE 交BD 于点F ，当∠ADB =30°，DE=2时，求AF 的长度．21．如图，直线2y x =+与反比例函数()00ky k x x=>>，的图象交于点A （2，m ），与y 轴交于点B . （1）求m 、k 的值；（2）连接OA ，将△AOB 沿射线BA 方向平移，平移后A 、O 、B 的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数()0ky k x=>的图象上时，求点O' 的坐标； （3）设点P 的坐标为（0，n ）且04n <<，过点P 作平行于x 轴的直线与直线2y x =+和反比例函数()0ky k x=>的图象分别交于点C ，D ，当C 、D 间距离小于或等于4时，直接写出n 的取值范围．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长．23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，30CAB ∠=︒，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点E （点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB =6 cm ，设A 、D 两点间的距离为x cm ，C 、D 两点间的距离为1y cm ，E 、C 两点间的距离为2y cm ．小雪根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应学生选修课程条形统计图学生选修课程扇形统计图值，请将表格补充完整；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当60ECD ∠=︒时，AD 的长度约为________cm ． 25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2.（1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y a的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．26. 如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG .（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________；（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的y 2cm6543对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF .①在图2中，依据题意补全图形； ②求证:DF =.27. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，点P 与圆心C 不重合，给出如下定义：若在⊙C 上存在一点M ，使30MPC ∠=︒，则称点P 为⊙C 的特征点． （1）当⊙O 的半径为1时，如图1.①在点P 1（-1，0），P 2（1，P 3（3，0）中，⊙O 的特征点是______________．②点P 在直线y b =+上，若点P 为⊙O 的特征点，求b 的取值范围．（2）如图2，⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，点A （-2，0），B （0，．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的特征点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．图2图1通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 312. 150，0.3513. ()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411+-， ………………… 4分 =11-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分 ∵OD ∥AC ，∴OD ⊥CB ，. ………………… 5分∴点D 平分BC . ………………… 6分 另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . (1)分∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. …………………2分∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD .…………………3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BF BDBD BC=. ………………… 4分=. ∴5BF =. …………………5分∵DC ∥AE ， ∴△DFC ∽△EFB . ∴CF DCBF BE=. ∴45AB BE =. ………………… 6分20. （1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD . ………………1分∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形DECO 是平行四边形.∴四边形DECO 是矩形. ………………2分（2）解： ∵四边形ABCD 是菱形，∴ AO OC =. ∵四边形DECO 是矩形， ∴DE OC =.∴2DE AO ==. (3)分∵DE ∥AC ， ∴OAF DEF ∠=∠. ∵AFO EFD ∠=∠，∴△AFO ≌△EFD .∴OF DF =. ……………… 4分 在Rt △ADO 中，tan OAADB DO∠=.∴2DO =.∴DO = (5)分∴FO .∴AF ===. ………………6分方法二：∴△AFO ≌△EFD .∴AF =FE.在Rt △ACE 中，AC =4，CE =OD =∴AE =∴AF =12AE 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. (1)分∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数ky x=中， ∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O'的坐标为（. ……………… 5分（3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .∴F BAD∠=∠. ………………4分在Rt△ABD中，∴3 sin sin5BDF=BADAB∠==.∴183 55 AB=.∴6AB=. ………………5分∴3OC=.在Rt△COF中，∴3 sin5OCFOF==.∴335 OF=.∴5OF=. ………………6分另解：过点O作OG⊥DB于点G.23. 解：（1）40，108︒；………………2分（2）条形统计图补充正确；………………4分（3）列表法或画树状图正确：………………5分∴P （AC ）=126=. ……………… 6分24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧，∴A ()10,，B ()30,把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，∴3m a =. ……………… 2分（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ………………3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分（3）32a -<-≤或2<3a ≤. ………………6分26. （1）BF =． ……………… 1分 （2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，y 2cm65432∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠. ∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分 ∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ………………5分∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ………………6分∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF .∴DF =. ………………7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F . ∴E （0，b ），F（3b ，0），OC ⊥EF .∴3tan 3OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==， ∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分 ∴b 的取值范围是44b -≤≤． ……………… 6分 （2）∴m 的取值范围为22m -<≤. ……………… 7分。
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初三第一学期期末学业水平调研数学2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线()213y x =-+的顶点坐标为A ．()1,3B ． ()1,3-C ．()1,3--D ．()3,12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()43P ，，OPA ．35B ．45 C3．方程230x x -+=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 当B ，C ，A ¢在一条直线上时，三角板ABC A ．150° B ．120°C ．60°D ．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数y 的面积为 A ．1 C ．3 6．如图，在△若:=2:3AD AB A ．2:3B 7．图1边缘的端点A 与B PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，图1 图2EDC BA．cmB．cm C ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy数一定小于1的是A ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程230x x -=的根为．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与y =取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点()24A ，△OAB 缩小得到△OA B ⅱ.若B '的坐标为()20，，则点A '的坐标为．14．已知1(1)y ，-，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y =上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：()cos452sin302-+-o o ．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ??，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．19．已知x n =是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y（1A ．1100y x =C ．13+2002y x =- （2）利用（121．① 作射线OP ；②在直线OP 外任取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ； ③连接并延长BA 与⊙A 交于点C ； ④作直线PC ； 则直线PC 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：OD C B A证明：∵ BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC =90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长．参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin 53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan 53° 1.33≈．23（1）求k （2）设点P ． ①若②若24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．25AB 交于点F ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n -． （1）当1a =时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB ②直接写出∠BDC 的度数（用含α（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 图1 图 2图328．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a =-，3b =时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．B图1 图2（1）图1（2 （3），若结论正②⊙T 的取值范围.初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分）ABCD第8题：二次函数a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a ︳越大，开口越小，显然a 1<a 2=a 3<a 4,，可知a 1最小。
2019年1月通州区初三期末数学试题及答案
2018-2019通州区初三数学期末考试试卷考生须知：1．本试卷共有四个大题，24个小题，共6页，满分100分． 2．考试时间为90分钟，请用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔答卷．一、精心选一选：（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1．如图，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ， 且OM : OP =4 : 5，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45D ．352．已知⊙O 的半径为5，A 为线段OP 的中点，若OP =10，则点A 在（ ） A ．⊙O 内 B ．⊙O 上 C ．⊙O 外 D ．不确定 3. 若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB =70°，则∠ACB 的度数为（） A ． 70° B ． 50° C ．40°D ．35°5．若一个正多边形的一个内角是144°，则这个多边形的边数为（ ） A. 12B. 11C.10D. 96．如图，在△OAB 中， CD ∥AB ，若OC : OA =1:2，则下列结论：（1）OD OCOB OA=； （2）AB =2 CD ；（3）2OAB OCD S S ∆∆=. 其中正确的结论是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3） 7. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离C ．与x 轴相切、与y 轴相离D ．与x 轴、y 轴都相切 8． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12B ．2C ．35D ．45第4题图CB AO 第1题图O M PBAα第6题图D C B AO9．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ） A ．32 B ．23 C ．12 D ．3410. 如图，⊙O 的半径为3厘米，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB =OA .动点P 从点A 出发，以π厘米/秒的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为（ ）秒时，BP 与⊙O 相切．A ．1B ．5C ．0.5或5.5D ． 1或5 二、细心填一填：（每题3分，共18分） 11．计算：tan45°cos45°= ．12. 如图，⊙O 的弦AB =8，OD ⊥AB 于点D ，OD = 3，则⊙O 的半径等于 ．13．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知方程20ax bx c ++=的解是________ ，___________.14. 如图，在⊙O 中，半径 OA ⊥BC ，∠AOB =50°，则∠ADC 的度数是________.15．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm ，母线长为30cm 的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为________cm 2 .（结果保留π）16．图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n 个圆中，m=__________（用含n 的代数式表示）．三、认真做一做：（共22分）17. （4分）如图，在△ABD 和△AEC 中，E 为AD 上一点，若∠DAC =∠B ，∠AEC =∠BDA . 求证：AE ACBD BA=. 证明：第17题图ECBA 第9题图60°PD CA第10题图第12题图第14题图第16题图∙∙∙∙m2n n 80358634221第8题图18.（6分）如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知2∠A +∠B =90︒． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若OA =6，BC =8，求BD 的长． （1）证明：（2）解：19. （6分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y mx nx =+-的图象过A （-1，-2）、B （1，0）两点．（1）求此二次函数的解析式；（2）点(),0P t 是x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交二次函数的图象于点N ．当点M 位于点N 的上方时，直接写出t 的取值范围． 解：（1） （2）20．(6分) 如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡AC 的坡度是3tan 4α=，在与滑沙坡底C 距离20米的D 处，测得坡顶A 的仰角为26.6°，且点D 、C 、B 在同一直线上，求滑坡的高AB （结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）． 解：四、解答题：（共30分）21. （6分）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接等边三角形ABC .黄皓、李明两位同学的作法分别是：第19题图第20题图黄皓：1. 作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点，2. 连结AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形.李明：1. 以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点， 2. 连结AB ，BC ，CA ，△ABC 即为所求的三角形.已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，并证明△ABC 是等边三角形.解：我选择___________的作法. 证明：22.（7分）已知：如图，在四边形ABCD 中，BC <DC ，∠BCD =60º，∠ADC =45º， CA 平分∠BCD，AB AD ==ABCD 的面积.23.（8分）将抛物线c 1：y=2x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示. （1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E . ①用含m 的代数式表示点A 和点E 的坐标；②在平移过程中，是否存在以点A ，M ，E 为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线c 2的表达式是__________________；（2）①点A 的坐标是（______，______），点E 的坐标是（______，______）.②第21题图第22题图B A24.（9分）在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CP∥y轴.（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D 在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标；（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上，求点C的坐标．解：（1）（2）备用图备用图第24题图通州区初三数学期末考试参考答案及评分标准2013．1 一、精心选一选：（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B 9. B 10. D 二、细心填一填：（每题3分，共18分）11. 2； 12. 5； 13. 11x =-，25x =； 14. 25o； 15. 270π； 16. 291n -. 三、认真做一做：（共22分）17. 证明：∵∠DAC =∠B ，∠AEC =∠BDA ， ……………… 2分；∴△AEC ∽△BDA . ……………… 3分；∴AE ACBD BA=. ……………… 4分. 18．（1）证明：连结OC . ………… 1分；∵»»CDCD =， ∴2COD A ∠=∠，∵290A B ∠+∠=o，∴90COD B ∠+∠=o . ……………… 2分； 在△OCB 中， ∴90OCB ∠=o，∴BC 是⊙O 的切线 . ……………… 3分；（2）解： 在⊙O 中，∴OC =OA =OD =6， ……………… 4分； ∵90OCB ∠=o， ∴222OB OC BC =+.∴10OB =. ……………… 5分； ∴1064BD OB OD =-=-=. ……………… 6分.19．解：（1）把A （-1,-2）、B （1,0）分别代入22y mx nx =+-中，∴2220m n m n --=-⎧⎨+-=⎩，；……………… 2分；解得：11.m n =⎧⎨=⎩ ……………… 3分；∴所求二次函数的解析式为22y x x =+-. ……………… 4分； （2）11t -<<. ……………… 6分. 20. 解：由题意可知：20DC =米，ADB ∠=26.6°，90B ∠=o.在Rt △ABC 中，∵3tan 4AB BC α==， ……………… 1分； ∴设3AB x =，4BC x =， ……………… 2分；在Rt △ABD 中，∴tan ABADB DB ∠=， ……………… 3分； ∴3tan 26.60.5420x x ==+o， ……………… 4分；解得：10x =， ……………… 5分； ∴330AB x ==.答：滑坡的高AB 为30米. ……………… 6分. 四、解答题：（共30分） 21. 解：我选择黄皓的作法.如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结OB 、OC .∵AD 为⊙O 的直径，BC 是半径OD 的垂直平分线，∴»»AB AC =，»»BD CD =， 1122OE OD OC ==， ……………… 3分； ∴AB AC =. ……………… 4分；在Rt △OEC 中， ∴ cos 12OE EOC OC ∠==， ∴60EOC ∠=o， ……………… 5分； ∴120BOC ∠=o.第21题图∴60BAC ∠=o.∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分. 我选择李明的作法.如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结DB 、DC .由作图可知： DB =DO =DC ， 在⊙O 中， ∴OB =OD =OC ，∴△OBD 和△OCD 都是等边三角形， ……… 3分；∴60ODB ODC ∠=∠=o， ……… 4分；∵»»AB AB =，»»AC AC =， ∴60ODB ACB ∠=∠=o，60ABC ODC ∠=∠=o ， ……………… 5分；∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分.22.解： 在CD 上截取CF =CB ，连结AF . 过点A 作AE ⊥CD 于点E . …… 1分；∵CA 平分∠BCD ，∠BCD =60º， ∴30BCA FCA ∠=∠=o， 在△ABC 和△AFC 中∵ .BC FC ACB ACF CA CA =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，=，∴△ABC ≌△AFC . ……………… 2分； ∴ AF =AB ， ∵AB AD =，∴AF AD =. ……………… 3分；在Rt △ADE 中，45D ∠=o，AB AD ==，∴ sin AE ADE AD ∠==， ∴AE =ED =2 . ……………… 4分； 在Rt △AEC 中，30ACE ∠=o， ∴ tan 3AE ACE EC ∠==， 第21题图FE第22题图DCB A∴CE = ……………… 5分； ∵AE ⊥CD ， ∴FE =ED =2 .1222ABCD ACE S S CE AE ==⨯⨯⨯V ……… 6分；= 1222⨯⨯=. ……………… 7分.注： 另一种解法见下图，请酌情给分.23. 解：（1）抛物线c 2的表达式是2y = ……………… 2分；（2）①点A 的坐标是（1m --，0）， ……………… 3分；点E 的坐标是（1m +，0）. ……………… 4分；②假设在平移过程中，存在以点A ，M ，E 为顶点的三角形是直角三角形.由题意得只能是90AME ∠=o. 过点M 作MG ⊥x 轴于点G .由平移得：点M 的坐标是（m -），……… 5分； ∴点G 的坐标是（m -，0），∴1GA =，MG = 21EG m =+， 在Rt △AGM 中， ∵tan MG MAG AG ∠==， ∴60MAG ∠=o， ……………… 6分；∵ 90AME ∠=o，∴30MEA ∠=o，FEAB D第22题图第23题图∴tan MG MEG EG ∠==， ∴213m =+， ……………… 7分；∴1m =. ……………… 8分.所以在平移过程中，当1m =时，存在以点A ，M ，E 为顶点的三角形是直角三角形. 24. 解：（1）过点D 分别作DG ⊥x 轴于G ，DH ⊥PC 于H . ……………… 1分；∴90OGD EHD ∠=∠=o，∵△ODE 是等腰直角三角形，∴OD =DE ，90ODE ∠=o ， ∵CP ∥y 轴，∴ 四边形DGCH 是矩形， ……………… 2分；∴90GDH ∠=o，DH =GC .∴90ODG GDE EDH GDE ∠+∠=∠+∠=o， ∴ODG EDH ∠=∠，∴△ODG ≌△EDH . ……………… 3分； ∴DG =DH . ∴DG =GC ，∴△DGC 是等腰直角三角形，∴45DCG ∠=o， ……………… 4分；∴tan 1OBDCG OC∠==， ∴OC =OB =3.∴点C 的坐标为（3,0）（2） 分两种情况：当60DOE ∠=o时， 过点D 分别作DG ⊥x 轴于G ， DH ⊥PC 于H .第24题图∴90OGD EHD ∠=∠=o ，∵△ODE 是直角三角形，∴tan OD DEO DE ∠==， 90ODE ∠=o ，∵CP ∥y 轴，∴ 四边形DGCH 是矩形，∴90GDH ∠=o ，DH =GC .∴90ODG GDE EDH GDE ∠+∠=∠+∠=o ， ∴ODG EDH ∠=∠，∴△ODG ∽△EDH . ……………… 6分；∴DG OD DH DE ==∴DG GC = ∴tan DG DCG GC ∠== ∴30DCG ∠=o ，∴tan OB DCG OC ∠==， ∴OC= ……………… 7分；当30DOE ∠=o 时，过点D 分别作DG ⊥x 轴于G ，DH ⊥PC 于H .∴90OGD EHD ∠=∠=o ，∵△ODE 是直角三角形，∴tan OD DEO DE ∠== 90ODE ∠=o ，∵CP ∥y 轴，∴ 四边形DGCH 是矩形，∴90GDH ∠=o，DH =GC .∴90ODG GDE EDH GDE ∠+∠=∠+∠=o ， ∴ODG EDH ∠=∠，∴△ODG ∽△EDH . ……………… 8分；∴DG OD DH DE==∴DG GC=∴tan DG DCG GC ∠==， ∴30DCG ∠=o ，∴tan OB DCG OC∠==，∴OC ……………… 9分.∴点C ）、（）.备注：点E 在x 轴下方，证法一样，不须分类讨论. （以上答案供参考，其它证法或解法酌情给分）。
北京市通州区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析
北京市通州区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．已知2a=3b，则的值为（）A．B．C．D．2．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0 D．全体实数3．下列图形中有可能与图相似的是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值为（）A．B．C．D．5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A． =B．＞C．＜D．无法确定6．如图，图象对应的函数表达式为（）A．y=5x B．C．D．7．在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（1，﹣5）D．（0，﹣2）8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC=75米，∠ACB=55°，那么A和B之间的距离是（）米．A．75•sin55°B．75•cos55° C．75•tan55° D．9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，则对系数a和b判断正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞010．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，AB=8，BE=1.5，将沿着AD对折，对折之后的弧称为M，则点O与M所在圆的位置关系为（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．无法确定二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．计算cos60°=．12．把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为．13．如图，A，B，C，D分别是∠α边上的四个点，且CA，DB均垂直于∠α的一条边，如果CA=AB=2，BD=3，那么tanα=．14．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠BOC=118°，∠A=°．15．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x﹣2=0的近似解为（精确到0.1）．16．数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：第一步：如图1，将残缺的纸片对折，使的端点A与端点B重合，得到图2；第二步：将图2继续对折，使的端点C与端点B重合，得到图3；第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．18．计算：（π﹣3）0+4sin45°﹣+|1﹣|．19．已知△ABC，求作△ABC的内切圆．20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证△ACD∽△EGH．21．二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A，B两个不同的点．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与y=﹣x+1及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C上方时，根据图形，直接写出n的取值范围．23．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB=8，∠A=22.5°，求CD的长．24．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．（1）你选用的工具为：；（填序号即可）（2）画出图形．25．如图，在△ABC中，F是AB上一点，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点G，AC∥OD，OD与GF交于点E．（1）求证：BC∥GF；（2）如果tanA=，AO=a，请你写出求四边形CGED面积的思路．26．有这样一个问题：探究函数y=x﹣的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x﹣的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x﹣的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（﹣2，﹣），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．27．已知：过点A（3，0）直线l1：y=x+b与直线l2：y=﹣2x交于点B．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C，D两点，当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，求a的取值范围．28．在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°，EF交△ABC外角平分线CD于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出的值，并判断AE与EF的数量关系；（2）当点E不是BC的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时AE与EF 的数量关系，并证明你的结论．29．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．（1）写出反比例函数y=图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数y=x2+mx+n，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．-学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．已知2a=3b，则的值为（）A．B．C．D．【考点】S1：比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：两边都除以2b，得=，故选：B．2．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0 D．全体实数【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】根据分式有意义，分母不等于0解答．【解答】解：函数y=中自变量x的取值范围是x≠0．故答案为：x≠0．3．下列图形中有可能与图相似的是（）A．B．C．D．【考点】S5：相似图形．【分析】根据相似图形的定义直接判断即可．【解答】解：观察图形知该图象是一个四边形且有一个角为直角，只有C符合，故选C．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值为（）A．B．C．D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】利用勾股定理求出AB的长度，然后根据sinB=代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠C=Rt∠，AC=4，BC=3，∴AB===5，∴sinB==．故选D．5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A． =B．＞C．＜D．无法确定【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，根据圆周角定理得=．【解答】证明：连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴=．故选：A．6．如图，图象对应的函数表达式为（）A．y=5x B．C．D．【考点】G2：反比例函数的图象．【分析】根据函数的图象的形状及位置确定函数的表达式即可．【解答】解：∵函数的图象为双曲线，∴为反比例函数，∵反比例函数的图象位于二、四象限，∴k＜0，只有D符合，故选D．7．在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（1，﹣5）D．（0，﹣2）【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验．【解答】解：A、x=2时，y=﹣2（x﹣1）2=﹣2≠3，点（2，3）不在抛物线上，B、x=﹣2时，y=﹣2（x﹣1）2=﹣18≠3，点（﹣2，3）不在抛物线上，C、x=1时，y=﹣2（x﹣1）2=0≠﹣5，点（1，﹣5）不在抛物线上，D、x=0时，y=﹣2（x﹣1）2=﹣2，点（0，﹣2）在抛物线上，故选D．8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC=75米，∠ACB=55°，那么A和B之间的距离是（）米．A．75•sin55°B．75•cos55° C．75•tan55° D．【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．【解答】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC=75，∠ACB=55°，且tanα=，则AB=AC×ta n55°=75•tan55°，故选C．9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，则对系数a和b判断正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．【解答】解：由题意知，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，则函数图象如图所示，∴a＞0，﹣＜0，∴b＞0，故选：A．10．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，AB=8，BE=1.5，将沿着AD对折，对折之后的弧称为M，则点O与M所在圆的位置关系为（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．无法确定【考点】M8：点与圆的位置关系；M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】作辅助线，根据垂径定理得：AF=FD=AD，根据直径得出半径的长为4，根据勾股定理计算得出ED和AD的长，接着计算OF和FH的长，做比较，O与新圆心的距离小于半径的长，得出结论．【解答】解：过O作OF⊥AD，交⊙O于G，交M于H，连接OD，∵AB为⊙O的直径，AB=8，∴OA=OB=OG=OD=4，∵BE=1.5，∴OE=4﹣1.5=2.5，在Rt△OED中，由勾股定理得：DE===，在RtAED中，AD====2，∵OF⊥AD，∴AF=AD=，由勾股定理得：OF===，由折叠得：M所在圆与圆O是等圆，∴M所在圆的半径为4，∴FH=FG=4﹣，∵4﹣＞，∴FH＞OF，∴O在M所在圆内，故选B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．计算cos60°=．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．【解答】解：cos60°=．故答案为：．12．把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为y=（x﹣1）2+2．【考点】H9：二次函数的三种形式．【分析】根据配方法的操作整理即可得解．【解答】解：y=x2﹣2x+3，=x2﹣2x+1+2，=（x﹣1）2+2，所以，y=（x﹣1）2+2．故答案为：y=（x﹣1）2+2．13．如图，A，B，C，D分别是∠α边上的四个点，且CA，DB均垂直于∠α的一条边，如果CA=AB=2，BD=3，那么tanα=．【考点】T7：解直角三角形．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴∠OAC=∠OBD=90°，∴tanα=，∵CA=AB=2，BD=3，∴，∴OA=4，∴tanα==；故答案为：．14．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠BOC=118°，∠A=56°．【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】先根据∠BOC=118°求出∠OBC+∠OCB的度数，再由角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC=118°，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣118°=62°．∵点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=124°，∴∠A=180°﹣124°=56°．故答案为：56．15．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x﹣2=0的近似解为x1=﹣1.3，x2=4.3（精确到0.1）．【考点】HB：图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的两个交点分别是（﹣1.3，0）、（4.3，0），又∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的两个交点，就是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，∴方程x2﹣x﹣2=0的两个近似根是4.3或﹣1.3故答案为x1=﹣1.3，x2=4.3．16．数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：第一步：如图1，将残缺的纸片对折，使的端点A与端点B重合，得到图2；第二步：将图2继续对折，使的端点C与端点B重合，得到图3；第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等．【考点】N3：作图—复杂作图；M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】由圆心到圆上各点的距离相等知圆心在AB和BC的中垂线上，再结合轴对称图形的性质知两条折痕即为AB、BC的中垂线，从而得出答案．【解答】解：如图，第一步对折由轴对称图形可知OC是AB的中垂线，点O在AB中垂线上；第二步对折由轴对称图形可知OD是BC的中垂线，点O在BC中垂线上；从而得出点O在AB、BC中垂线交点上，故答案为：轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°==．18．计算：（π﹣3）0+4sin45°﹣+|1﹣|．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：==1+2﹣2+﹣1=．19．已知△ABC，求作△ABC的内切圆．【考点】N3：作图—复杂作图；MI：三角形的内切圆与内心．【分析】圆心到各边的距离相等所以要作各角的角平分线的交点，交点就是圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离．【解答】解：20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证△ACD∽△EGH．【考点】S8：相似三角形的判定；S6：相似多边形的性质．【分析】根据四边形ABCD∽四边形EFGH相似的性质，得出对应边的必相等，对应角相等，从而得出△ACD∽△EGH．【解答】证明：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴，∴△ADC∽△EHG．21．二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A，B两个不同的点．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）根据二次函数与x轴有两个不同的交点结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将m=1代入原函数解析式，令y=0求出x值，进而即可找出点A、B的坐标，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A，B两个不同的点，∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）=4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）当m=1时，原二次函数解析式为y=x2+3x，令y=x2+3x=0，解得：x1=﹣3，x2=0，∴当m=1时，A、B两点的坐标为（﹣3，0）、（0，0）．22．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与y=﹣x+1及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C上方时，根据图形，直接写出n的取值范围0＜n ＜2，n＜﹣1．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求出m，把点A的坐标代入反比例函数解析式，计算即可；（2）根据题意画出图象；（3）结合图象解答．【解答】解（1）∵点A（m，2）在直线y=﹣x+1上，∴﹣m+1=2，解得，m=﹣1，∴A（﹣1，2），∵点A（﹣1，2）在双曲线y=上，∴k=﹣2，∴反比例函数的表达式为：y=﹣；（2）直线和双曲线的示意图如图所示：（3）由图象可知，当0＜n＜2，n＜﹣1时，点B位于点C上方．23．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB=8，∠A=22.5°，求CD的长．【考点】M2：垂径定理．【分析】根据圆周角定理得出∠COE的度数，在Rt△ACE中，由三角函数的定义得出CE，再由垂径定理得出CD即可．【解答】解：∵AB=8，∴OC=OA=4，∵∠A=22.5°，∴∠COE=2∠A=45°，∵直径AB垂直弦CD于E，∴，∴．24．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．（1）你选用的工具为：①③；（填序号即可）（2）画出图形．【考点】T8：解直角三角形的应用；SA：相似三角形的应用．【分析】（1）利用测角仪以及足够长的皮尺即可解决问题；（2）根据仰角的知识，确定测量方案，进而得出答案．【解答】解：（1）选用的工具为：①③；故答案为：①③；（2）如图所示：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．25．如图，在△ABC中，F是AB上一点，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点G，AC∥OD，OD与GF交于点E．（1）求证：BC∥GF；（2）如果tanA=，AO=a，请你写出求四边形CGED面积的思路．【考点】MC：切线的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据切线的性质，可得OD⊥BC，利用平行线的性质可证得∠C=90°，由AF为直径，可得∠AGF=90°，进而可得BC∥GF；（2）先证明四边形CGED为矩形，再根据锐角三角函数、勾股定理求GF，OE，DE的长，进而可求四边形CGED的面积．【解答】证明：（1）∵⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC，∵AC∥OD，∴∠C=∠ODB=90°，∵AF为⊙O直径，∴∠AGF=90°=∠C，∴BC∥GF．解：（2）∵AC∥OD，BC∥GF∴四边形CGED为平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形CGED为矩形，∵tanA=，∴sinA=，∵AF=2AO=2a，OF=a，∴GF=AF•sinA=2a×=，∵OD ⊥BC ， ∴GE=EF==，在Rt △OEF 中，OE===，∴DE=OD ﹣OE=a﹣=， ∴S 四边形CGED=GE•DE=×=．26．有这样一个问题：探究函数y=x﹣的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x﹣的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数y=x﹣的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值，求m 的值；点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（﹣2，﹣），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ．【考点】H3：二次函数的性质；62：分式有意义的条件；H2：二次函数的图象；H7：二次函数的最值．【分析】（1）由分母不为0，可得出自变量x的取值范围；（2）将x=4代入函数表达式中，即可求出m值；（3）连线，画出函数图象；（4）观察函数图象，找出函数性质．【解答】解：（1）∵x2在分母上，∴x≠0．故答案为：x≠0．（2）当x=4时，m=x﹣=×4﹣=．（3）连线，画出函数图象，如图所示．（4）观察图象，可知：当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．27．已知：过点A（3，0）直线l1：y=x+b与直线l2：y=﹣2x交于点B．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C，D两点，当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，求a的取值范围．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H9：二次函数的三种形式．【分析】（1）将点A的坐标代入直线l1，求出其函数表达式，联立直线l1、l2表达式成方程组，解方程组即可得出点B的坐标；（2）设抛物线y=ax2+bx+c的顶点式为y=a（x﹣h）2+k，由抛物线的顶点坐标即可得出y=a（x﹣1）2﹣2，再根据点C的坐标利用待定系数法即可得出结论；（3）根据两直线相交，求出点C、D的坐标，将其分别代入y=a（x﹣1）2﹣2中求出a的值，由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围．【解答】解：（1）将A（3，0）代入直线l1：y=x+b中，0=3+b，解得：b=﹣3，∴直线l1：y=x﹣3．联立直线l1、l2表达式成方程组，，解得：，∴点B的坐标为（1，﹣2）．（2）设抛物线y=ax2+bx+c的顶点式为y=a（x﹣h）2+k，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（1，﹣2），∴y=a（x﹣1）2﹣2，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A，∴a（3﹣1）2﹣2=0，解得：a=，∴抛物线的表达式为y=（x﹣1）2﹣2．（3）∵直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C、D两点，∴C、D两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（﹣1，2），当抛物线y=ax2+bx+c过点C时，a（﹣1﹣1）2﹣2=﹣4，解得：a=﹣；当抛物线y=ax2+bx+c过点D时，a（﹣1﹣1）2﹣2=2，解得：a=1．∴当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围为﹣≤a≤1且a≠0．28．在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°，EF交△ABC外角平分线CD于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出的值，并判断AE与EF的数量关系；（2）当点E不是BC的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时AE与EF 的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠EAC=30°，得到∠CEF=30°，求得∠ECF=120°，得到∠EFC=30°，推出AC垂直平分EF，得到△AEF是等边三角形，于是得到结论；（2）连接AF，EF与AC交于点G．由CD是它的外角平分线．得到∠ACF=60°=∠AEF，根据相似三角形的性质得到，∠AFE=∠ACB=60°，得到△AEF为等边三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）；∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，∴∠EAC=30°，∵∠AEF=60°，∴∠CEF=30°，∵CD平分△ABC外角，∴∠ECF=120°，∴∠EFC=30°，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF；∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF；（2）连接AF，EF与AC交于点G．∵在等边△ABC中，CD是它的外角平分线．∴∠ACF=60°=∠AEF，∵∠AGE=∠FGC∴△AGE∽△FGC，∴，∴，∵∠AGF=∠EGC，∴△AGF∽△EGC，∵∠AFE=∠ACB=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF．29．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q 是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．（1）写出反比例函数y=图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数y=x2+mx+n，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M 点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．【解答】解：（1）∵y=，∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；（2）①∵A（2，4）且A和B为和谐点对，∴B点坐标为（﹣2，﹣4），将A和B两点坐标代入y=x2+mx+n，可得，∴；②（ⅰ） M点在x轴上方时，若∠AMB 为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形，∵A（2，4）且A和B为和谐点对，∴原点O在AB线段上且O为AB中点，∴AB=2OA，∵A（2，4），∴OA=，∴AB=，在Rt△ABC中，∵O为AB中点∴MO=OA=，若∠AMB 为锐角，则；（ⅱ） M点在x轴下方时，同理可得，，综上所述，b的取值范围为或．年5月23日。
北京市通州区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱 C．球D．圆锥4．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．105．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利6．如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y27．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m8．如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．69．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C． D．10．如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．12．把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=．13．如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．14．学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2．（填相似或不相似）；理由是．15．小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：，理由是．16．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．三、解答题（共13小题，满分72分）17．如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．18．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c 的表达式．19．已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．20．如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．21．如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．22．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．23．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）2设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N 的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．26．根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O 与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．28．王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是，或．请回答：（1）王华补充的条件是，或．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．29．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a 与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把点P坐标点（﹣2，2）代入二次函数解析式计算即可求出a的值．【解答】解：∵点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，∴4a=2，解得a=．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式计算即可，比较简单．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱 C．球D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再根据左视图的形状，即可得出答案．【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．4．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．10【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】探究型．【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论．【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选A．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“利”是相对面，“你”与“试”是相对面，“考”与“顺”是相对面．【点评】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求得抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=1，利用二次函数的性质，点M、N在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，得出答案即可．【解答】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1，∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【考点】相似三角形的应用．【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．【解答】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．8．如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．6【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长公式l=进行计算即可．【解答】解：∵l=，∴r===18，故选A．【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l=是解题的关键．9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C． D．【考点】切线的性质．【分析】连接OB，则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，则AC即可求解．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选B．【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断△OAB是直角三角形是关键．10．如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图2，分三段考虑：当点P沿O→C运动时；当点P沿C→D运动时；当点P 沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系即可．【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于0．12．把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=4．【考点】二次函数的三种形式．【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出h，k的值，进而求出h+k的值．【解答】解：∵y=x2﹣4x+6=x2﹣4x+4﹣4+6=（x﹣2）2+2，∴h=2，k=2，∴h+k=2+2=4．故答案为4．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．13．如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．【考点】菱形的性质；正方形的性质．【专题】新定义．【分析】利用解直角三角形的知识，用a表示出h，继而可得k的值．【解答】解：由题意得，∠B=60°，在Rt△ABC中，∠B=60°，∴h=AC=ABsin∠B=a，∴k==．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是通过三角函数的知识求出h的值，难度一般．14．学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2相似．（填相似或不相似）；理由是==．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】由勾股定理求出A1B1=2，B1C1=2，A2B2=，B2C2=，证出===2，由三边成比例的两个三角形相似即可得出结论．【解答】解：由题意得：A1C1=4，A2C2=2，由勾股定理得：A1B1==2，B1C1==2，A2B2==，B2C2==，∴==2，==2，==2，∴===2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2．故答案为：相似，==．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握勾股定理，熟记三边成比例的两个三角形相似是解决问题的关键．15．小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：不正确，理由是弦AN与MN不相等，则≠．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，由此得出小明的作法不正确．【解答】解：小明的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠．故答案为不正确；弦AN与MN不相等，则≠．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．16．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．【分析】首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由弦AB的长等于⊙O的半径，可得△OAB是等边三角形，然后利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求得答案．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．三、解答题（共13小题，满分72分）17．如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出∠DAE=∠BAC，即可得出结论．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠AED=∠C，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．18．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c 的表达式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【分析】首先连接OA，OB，由∠ACB=45°，利用圆周角定理，即可求得∠AOB=90°，再利用勾股定理求解即可求得答案．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O的直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2（cm）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．20．如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．【考点】勾股定理．【专题】新定义．【分析】“有趣中线”分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为1．但是不符合较短的一条直角边边长为1，只能为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则△ABC的“有趣中线”的长等于．【点评】此题考查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题的关键，注意分类讨论．21．如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的性质．【分析】要证明=，则要证明∠DAF=∠GAD，由AB=AF，得出∠ABF=∠AFB，平行四边形的性质得出，AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出=．【解答】解：相等．理由：连接AF．∵A为圆心，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，∴∠DAF=∠GAD，∴=．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出∠DAF=∠GAD，题目比较典型，难度不大．22．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得相似比，继而求得DE：EC的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴△DEF∽△BAF．∴．∴．又∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）【考点】解直角三角形的应用．【分析】作CG⊥AE于点G，在直角△ACG中利用三角函数即可求得CG的长，再加上AD 的长度即可求解．【解答】解：作CG⊥AE于点G．在直角△ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm．sin∠CAG=，∴CG=AC•sin∠CAG=80×=40≈69.2（cm）．则拉杆把手处C到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．2设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=12．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N 的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3，再配成顶点式可得到P点坐标，然后计算自变量为0时的函数值即可得到C点坐标；（2）根据抛物线的几何变换得到抛物线m1与抛物线m2的二次项系数互为相反数，然后利用顶点式写出抛物线m2的解析式，再计算自变量为﹣3时的函数值；（3）先确定A点坐标，再根据平移的性质得到四边形AMKC为平行四边形，根据菱形的判定方法，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，接着计算出AC=，则CK=，然后根据平移的方向不同得到K点坐标．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则P（1，4），当x=0时，y=3，则C（0，3）；（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，所以y2=（x﹣1）2﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）2﹣4=（﹣3﹣1）2﹣4=12．故答案为（1，4），（0，3），12；（3）存在．当y1=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用数形结合的数学思想方法解决问题．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．【分析】连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，根据切线性质得出AB=AM=R，求出CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得出方程R2=（R﹣）2+（）2，求出方程的解即可．【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，∵⊙A与y轴相切于B，∴AB⊥y轴，∵点，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为，∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，R=2.5，∴CM=CN=2.5﹣=2，∴ON=+2+2=4，即N的坐标是（4，0）．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理的应用，关键是能根据题意得出关于R的方程．26．根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】①利用描点法即可作出函数的图象；②当y=0时，解方程求得x的值，当y＞0时，就是函数图象在x轴上方的部分，据此即可解得；③仿照上边的例子，首先作出函数y=x2﹣2x+1的图象，然后求得当y=4时对应的x的值，根据图象即可求解．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解函数的图象在x轴上方，则函数值大于0是本题的关键．27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O 与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．【考点】作图—复杂作图；直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．【分析】（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；（2）①由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；②设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S△ODB﹣S扇形ODE=2﹣π．【解答】解：（1）如图1；（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：如图1，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，。
2019-2020学年北京市通州区九年级上册期末数学试卷
2019-2020学年北京市通州区九年级上册期末数学试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，则sin A的值是()A. 513B. 1213C. 512D. 1252.抛物线y=ax2+4ax−5的对称轴为()A. x=−2aB. x=4C. x=2aD. x=−23.如图，AB//CD，AE∶DE=3∶2，BC=6，则BE长度为()A. 3.2B. 3.5C. 3.6D. 3.84.如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为()A. 2√3cmB. 4√3cmC. √3cmD. √2cm5.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则下列结论：①△ABC∽BCD；②AB:BC=BC:CD；③BC2=AC·CD；④AD:DC=AB:BC其中成立的有()个．A. 1B. 2C. 3D. 46.已知反比例函数y=k2x的图象经过点(1,−2)，则k的值为()A. 1B. −4C. −1D. 47.已知点A(1,−3)关于x轴的对称点A′在反比例函数y=kx的图象上，则实数k的值为()A. 3B. 13C. −3 D. −138.已知四点A(0,−2)，B(1,0)，C(2,2)，D(0,4)，若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二次函数图象的对称轴为()A. x=76B. x=−76C. x=−67D. x=67第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.抛物线y=3(x−1)2+8的顶点坐标为______．10.请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：______．11.如图，A、B、C是⊙O上三点，AC=BC，∠BOC=50°，则∠ACB的度数为______．12.如图，线段BD、CE相交于点A，DE//BC.如果AB=4，AD=2，DE=1.5，那么BC的长为______．13.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=α，则直角边BC的长是________.(用含有m，α的代数式表示)14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=______．15.如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx+3=0的根是______ ．16.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(1,√7)，则sinα=______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）)−2−√1217.3sin60°+(π−2)0−(−1218.已知．在△ABC中，BC=√2AC，∠BCA=135°，求tan A的值．19.将二次函数y=12x2−3x+32进行配方，化为顶点式的形式，并直接写出它的顶点坐标．20.如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点都在小方格的格点上．现以点D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形．(1)在图甲中画出一个三角形与△ABC相似且相似比为1：2．(2)在图乙中画出一个三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似．21.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x…−101234…y…1052125…求该二次函数的表达式；22.如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．(1)求证：△BFD是等腰三角形；(2)若BC=4，CD=2，求∠AFB的余弦值．23.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．(1)当⊙O的半径为1时，①分别判断在点D(12,14)，E(0,−√3)，F(4,0)中，是⊙O的相邻点有______；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P在直线y=−x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=−√33x+2√3与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．24.如图，已知A(n,−2)，B(1,4)是一次函数y=kx+b的的图象的两个交点，直线AB图象与反比例函数y=mx与y轴交于点C．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOC的面积．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm(当D与A 重合时，y=4；当D与B重合时y=0)．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.40.70补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈______．(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(−3,0)和B(0,2)．(1)当b=1时，求a，c的值；(2)若抛物线在A，B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；(3)抛物线能否同时经过点M(1−m,n)，N(m−4,n)？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．27.如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OB垂直时(如图1)，请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OB不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OB的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给于证明．28.在平面直角坐标系中，点P(2,a)到x轴的距离为4，且点P在直线y=−x+m上，求m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数定义，勾股定理有关知识，先利用勾股定理求出BC，再利用锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=12，AB=13，∴BC=√AB2−AC2=√132−122=5．故选A．2.【答案】D【解析】【试题解析】解：∵抛物线y=ax2+4ax−5，=−2．∴对称轴为：x=−4a2a故选D．根据抛物线的解析式，即可得解．本题考查二次函数的性质，解题的关键是知道求对称轴的公式．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的知识点，牢记相似三角形的判定定理和性质是解题的关键；根据AB//CD，可以证明△ABE∽△DCE，然后利用相似三角形的性质求出BE与BC 的数量关系，由此解答．【解答】解：∵AB//CD，∴∠BAE=∠EAD，∠ABE=∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴AE∶DE=BE∶CE=3:2，∵BC=BE+CE，∴BE：BC=3:5，∴BE=35×6=3.6，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利用数形结合解答．连接AO，过O作OD⊥AB，交AB⏜于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE=DE，再根据垂径定理可知AE=BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．【解答】解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交AB⏜于点D，交弦AB于点E，∵AB⏜折叠后恰好经过圆心，∴OE=DE，∵⊙O的半径为4，∴OE=12OD=12×4=2，∵OD⊥AB，∴AE=12AB，在Rt△AOE中，AE=√OA2−OE2=√42−22=2√3．∴AB=2AE=4√3．故选：B．5.【答案】D【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×72°=36°，∵∠A=∠DBC=36°，∠ABC=∠BCD，∴△ABC∽△BCD，故①正确；∴ABBC =BCCD，即BC2=AB⋅CD=AC⋅CD，故②③正确．∵∠A=∠DBC=36°，∠C=∠C，所以△ABC∽△BDC，∴AB:BC=BD:DC，又∵AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，∴BD=AD，即AB:BC=AD:DC，故④正确．故选D．先根据三角形内角和定理得出∠ABC的度数，逐一判断即可．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解：将点(1,−2)代入y=k2x得，−2=k2×1，k=2×1×(−2)=−4．故选B．将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．7.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A′的坐标为(1,3)，然后把A′的坐标代入y=kx中即可得到k的值．【解答】解：点A(1,−3)关于x轴的对称点A′的坐标为(1,3)，把A′(1,3)代入y=kx得k=1×3=3．故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数的解析式，属于中档题．根据点的坐标特点判定抛物线经过B(1,0)，C(2,2)，D(0,4)三点，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，根据对称轴的公式即可求得．【解答】解：∵点A(0,−2)，B(1,0)，C(2,2)在一条直线y=2x−2上，∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，∴根据点的特点，抛物线经过B(1,0)，C(2,2)，D(0,4)三点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∴{a+b+c=04a+2b+c=2c=4，解得{a=3b=−7c=4，∴对称轴x=−−72×3=76．故选A．9.【答案】(1,8)【解析】解：∵抛物线y=3(x−1)2+8是顶点式，∴顶点坐标是(1,8)．故答案为：(1,8)．已知抛物线顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)．本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．10.【答案】y=x2【解析】解：∵图象的对称轴是y轴，∴函数表达式y=x2(答案不唯一)，故答案为：y=x2(答案不唯一)．根据形如y=ax2的二次函数的性质直接写出即可．本题考查了二次函数的性质，牢记形如y=ax2的二次函数的性质是解答本题的关键．11.【答案】130°【解析】【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键是掌握圆周∠BOC=25°，因为AC=BC，角定理．因为∠BOC=50°，由圆周角定理可得∠BAC=12所以∠CBA=∠BAC=25°，在△ACB中，利用三角形内角和等于180°即可得出∠ACB的度数．【解答】解：∵A、B、C是⊙O上三点，∠BOC=50°，∴∠BAC=1∠BOC=25°，2∵AC=BC，∴∠CBA=∠BAC=25°，∴∠ACB=180°−∠CBA−∠BAC=180°−25°−25°=130°．故答案为130°．12.【答案】3【解析】解：∵DE//BC，∴△ABC∽△ADE，∴ABAD =BCDE，∴42=BC1.5，∴BC=3，故答案为：3根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．13.【答案】msinα【解析】【分析】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义.根据正弦定义：把锐角A的对边a 与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解答】解：sin∠A=BC AB，∵AB=m，∠A=α，∴BC=msinα．故答案为msinα．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查考查垂径定理，属于基础题．连接OC，如图，根据垂径定理得到CE=DE=12CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB−OE即可．【解答】解：连接OC，如图，∵弦CD⊥AB，∴CE=DE=12CD=4，在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=4，∴OE=√52−42=3，∴BE=OB−OE=5−3=2．故答案为2．15.【答案】x1=−1，x2=3【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，∴一元二次方程ax2+bx+3=0的根是：x1=−1，x2=3．故答案为：x1=−1，x2=3．利用二次函数图象与x轴交点即为y=0时，x的值，进而得出一元二次方程的根．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用y=0时求出x的值是解题关键．16.【答案】√144【解析】解：∵点P的坐标为(1,√7)，∴OP=√12+(√7)2=2√2，∴sinα=√72√2=√144，故答案为√144．根据点P坐标和勾股定理得出OP的长，再利用三角函数的定义即可得出sinα．本题考查了解直角三角形以及坐标与图形变换，掌握勾股定理和三角函数的定义是解题的关键．17.【答案】解：3sin60°+(π−2)0−(−12)−2−√12=3×√32+1−4−2√3=−3−√32．【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18.【答案】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，则∠BCD=45°，∴△DBC是等腰直角三角形，∴BD=CD=√22BC，∵BC=√2AC，∴BD=CD=AC，设AC=k，则BD=CD=k，AD=2k，tanA=BDAD =12．【解析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD=CD=√22BC，根据正切的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．19.【答案】解：y=12x2−3x+32=12(x2−6x+9−9)+32=12(x−3)2−92+32=12(x−3)2−3，∴顶点坐标为(3,−3)．【解析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，解题思路为：化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．20.【答案】解：(1)如图甲所示：(2)如图乙所示．【解析】(1)根据三角形与△ABC相似且相似比为1：2，得出对应边长度即可得出答案；(2)根据三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似，得出新三角形面积即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出新三角形的对应边长是解题关键．21.【答案】解：设函数的表达式为y=a(x−2)2+1，由题意得函数的图象经过点(0,5)，所以5=a×(−2)2+1，所以a=1，所以函数的表达式为y=(x−2)2+1(或y=x2−4x+5)．【解析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式.根据表中的数据，可得该二次函数图象的顶点坐标(2,1)，设函数的表达式为y=a(x−2)2+1，代入数据解得a，可得解析式；22.【答案】解：(1)依题意，∠1=∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴△BFD为等腰三角形；(2)由(1)可知BF=DF，设BF=x，则AF=4−x，在Rt△BAF中，(4−x)2+22=x2，解得：x=52，∴AF=4−52=32，∴cos∠AFB=35．【解析】(1)根据折叠的性质得到∠1=∠2，根据矩形的性质得到AD//BC根据平行线的性质得到∠2=∠3，等量代换得到∠1=∠3，于是得到结论；(2)由(1)可知BF=DF，设BF=x，则AF=4−x，根据勾股定理得到AF=4−52=32，由三角函数的定义即可得到结论．本题考查了翻折变换−折叠问题，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)由定义可知，当点P在⊙C内时，由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，此时，0≤PC<1；当点P在⊙C外时，设点A是PB的中点，连接PC交⊙C于点M，延长PC交⊙C于点N，连接AM，BN，∵∠AMP+∠NMA=180°，∠B+∠NMA=180°，∴∠AMP=∠B，∵∠P=∠P，∴△AMP∽△NBP，∴PAPM =PNPB，∴PA ⋅PB =PM ⋅PN ，∵点A 是PB 的中点，∴AB =PA ，又∵⊙C 的半径为1，∴2AB2=(PC −CM)(PC +CN)，∴2AB2=PC2−1，又∵AB 是⊙C 的弦，∴AB ≤2，∴2AB2≤8，∴PC2−1≤8，∴PC2≤9，∴PC ≤3，∵点P 在⊙C 外，∴PC >1，∴1<PC ≤3，当点P 在⊙C 上时，此时PC =1，但不符合题意，综上所述，半径为1的⊙C ，当点P 与圆心C 的距离满足：0≤PC ≤3，且PC ≠1时，点P 为⊙C 的相邻点；①∵D(12,14)，∴DO =√(12)2+(14)2=√54， ∵E(0,−√3)，∴OE =√3，∵F(4,0)，∴OF =4，∴D 和E 是⊙O 的相邻点；②连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于A 、B 两点；③令x =0代入y =−x +3，∴y =3，令y=0代入y=−x+3，∴x=3，∴y=−x+3与坐标轴的交点为(0,3)和(3,0)∵由于点P在直线y=−x+3上，且点P是⊙O的相邻点，∴0≤PO≤3，且PO≠1又∵点P在⊙O外，∴1<PO≤3，∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；(2)令x=0代入y=−√3x+2√3，3∴y=2√3，∴N(0,2√3)，x+2√3，令y=0代入y=−√33∴x=6，∴M(6,0)，∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，∴0≤PC≤3且PC≠1，∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，∵点C在x轴上，∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．【解析】(1)由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB2=PC2−1，其中A为PB的中点，且AB≤2，所以若半径为1的圆C有相邻点P，则PC的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1，分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断．求出直线y=−x+3与坐标轴的交点坐标分别为(0,3)和(3,0)，根据(1)问中结论可知，P 的横坐标的取值范围是：0≤x≤3；(2)根据(1)问中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因为点P在线段MN上移动，所以点C 在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，再根据点C在x轴上，即可得出C的横坐标取值范围．本题考查圆的综合问题，解题关键是根据相邻点的定义，得出点P与圆心C的距离范围，本题涉及相似三角形的性质与判定，圆的性质等知识，综合程度较高，需要学生认真理解题意．24.【答案】解：(1)∵A(n,−2)，B(1,4)是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =m x 的图象的两个交点， ∴4=m 1，得m =4，∴y =4x， ∴−2=4n ，得n =−2，∴点A(−2,−2)，∴{−2k +b =−2k +b =4，得{k =2b =2， ∴一次函数解析式为y =2x +2，即反比例函数解析式为y =4x ，一次函数解析式为y =2x +2；(2)当x =0时，y =2×0+2=2，∴点C 的坐标是(0,2)，∵点A(−2,−2)，点C(0,2)，∴△AOC 的面积是：2×22=2．【解析】(1)根据A(n,−2)，B(1,4)是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx 的图象的两个交点，可以求得m 的值，进而求得n 的值，即可解答本题；(2)根据函数图象和(1)中一次函数的解析式可以求得点C 的坐标，从而可以求得△AOC 的面积．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 25.【答案】(1)2.9；(2)根据已知数据描点连线得：(3)2.3【解析】解：(1)根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9(2)见答案(3)当DB=AE时，y与x满足y=x，在(2)图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3(1)按题意，认真测量即可；(2)利用数据描点、连线；(3)当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26.【答案】解：(1)由题意可得{c=0,9a−3b+c=0∴c=2，9a−3b=−2，当b=1时，a=1；9(2)由抛物线y=ax2+bx+c(a>0)在A，B两点间，≤−3，从左到右上升可知−b2a∵a>0，∴b≥6a，∵9a−3b=−2，∴a≤2，9∴0<a≤2；9(3)抛物线不能经过点M(1−m,n)，N(m−4,n)，理由如下：，若抛物线经过M(1−m,n)，N(m−4,n)，则抛物线的对称轴为x=−32由抛物线经过点A，可知抛物线经过点(0,0)，这与抛物线经过点B(0,3)矛盾．所以抛物线不能经过点M(−1+m,n),N(4−m,n)．【解析】本题考查的知识点是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，理清二次函数图象与系数的关系是解题的关键．(1)直接将A，B两点代入解析式可求c，以及ab之间的关系式，再将b=1代入即可得到a；(2)根据抛物线的性质可知，当a>0时，抛物线对称轴右边的y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x=−b2a和A，B两点位置列出不等式即可求解．(3)用反证法，先假设抛物线能同时经过点M(1−m,n)，N(m−4,n)，得出抛物线对称轴是x=−32，由抛物线对称性质可知，经过A点(−3,0)也必经过(0,0)这样与已知B(0,3)在抛物线上矛盾，从而命题得到证明．27.【答案】解：(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30∘，∵CD⊥OB，∴∠ODC=90∘，∴∠OCD=60∘，∴∠OCE=∠DCE−∠OCD=60∘，∴∠OEC=180∘−∠OCE−∠AOC=90∘，在Rt▵OCD中，OD=OC⋅cos30∘=√32OC，同理：OE=√32OC，∴OE+OD=√3OC；(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90∘，∵∠AOB=60∘，∴∠FCG=120∘，同(1)的方法得，OF=√32OC，OG=√32OC，∴OF+OG=√3OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120∘，∠FCG=120∘，∴∠DCG=∠ECF，在▵CFE和▵CGD中{∠EFC=∠DGC CF=CG∠ECF=∠DCG∴，∴EF=DG，∴OE=OF+EF=OF+OG，OD=OG−DG，∴OE+OD=OF+DG+OG−DG=OF+OG，∴OE+OD=√3OC；(3)(1)中结论不成立，结论为：OE−OD=√3OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90∘，∵∠AOB=60∘，∴∠FCG=120∘，同(1)的方法得，OF=√32OC，OG=√32OC，∴OF+OG=√3OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120∘，∠FCG=120∘，∴∠ECF=∠DCG，在▵CFE和▵CGD中{∠EFC=∠DGC CF=CG∠ECF=∠DCG∴，∴EF=DG，∴OF=OE−EF=OE−OG，OG=DG−OD，∴OF+OG=OE−DG+DG−OD=OE−OD，∴OE−OD=√3OC．【解析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形性质、全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键，属于中考压轴题．(1)根据OM是∠AOB的平分线，得到，根据CD⊥OB，得到∠ODC=90°，∠OCD=60°，∠OCE=∠DCE−∠OCD=60°，求出，同理可得OE=√32OC，即可得到OE+OD=√3OC；(2)过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，则∠OFC=∠OGC=90°，同(1)的方法，得OF=√32OC，OG=√32OC，OF+OG=√3OC，根据CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，得到CF=CG，证明△CFD≌△CGE，得到DF=EG，OF+OG= OD+EG+OE−EG=OD+OE，即可得到OE+OD=√3OC；(3)同(2)的方法即可得出结论．28.【答案】解：∵点P(2,a)到x轴的距离为4，∴|a|=４，∴a=±4，∴点P(2,4)或(2,−4)，∵点P在直线y=−x+m上，把点P(2,4)代入y=−x+m得4=−2+m，解得：m=6；把点P(2,−4)代入y=−x+m得−4=−2+m，解得：m=−2；∴m=6或−2．【解析】本题考查点到坐标轴的距离，一次函数的图象．根据点到x轴的距离为4，求得a值，从而得出点P的坐标，再因为点P在直线y=−x+m上，把点P的坐标分别代入y=−x+m，即可求得m的值．注意：点Ｐ到x轴的距离为4，则a=±4，即点P 在第一象限或在第四象限，因此有两解，不要漏解．。
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25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 4ax m a 0 与 x 轴的交点为 A、B，（点 A 在点 B 的左侧），
且 AB=2. （1）求抛物线的对称轴及 m 的值(用含字母 a 的代数式表示)；
（2）若抛物线 y ax2 4ax m a 0 与 y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求 a 的取值范围；
A． x 1 x 80 2
B．
x
x 80
1
C． x 2 x 80 2
D． x 3 x 80 3
7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛，要求每班选派
10 名队员参加．下面是一班和二班参赛队员定点投篮比赛成绩的折线
统计图（每人投篮 10 次，每投中 1 次记 1 分），请根据图中信息判断：
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． 若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 5 个整点，结合函数的图象，
直接写出 a 的取值范围．
26. 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，过点 F 作 EF⊥BC，且 FE=FC（CE<CB），连接 CE、AE，点 G 是 AE 的中点，连接 FG.
图书种类
频数
频率
科普常识
210
b
名人传记
204
0.34
中外名著
a
0.25
其他
36
0.06
13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2017 年年人均收入 300 美元，
预计 2019 年年人均收入将达到 y 美元. 设 2017 年到 2019 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x ，那么 y 与 x 的函数关系式是________________________.
23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学 生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且 只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问 题：
个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近 的时刻 x 是
A．4 B．4.5
C．5 D．6
二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）
9. 如图，线段 BD、CE 相交于点 A，DE∥BC．如果 AB=4，AD=2，DE=1.5， 那么 BC 的长为_________．
（2）如图 2，⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，点 A（-2，0），B（0， 2 3 ）．若线段 AB 上的所有点都是⊙C 的
特征点，直接写出圆心 C 的横坐标 m 的取值范围．
8 / 15
数学试题答案
一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
5. 如图，PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和点 B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 已知∠P=50°，那么∠ACB 的大小是
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
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6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 A，又在河的另一岸边取两点 B、C，测得∠ α=30°，∠β=45°，量得 BC 长为 80 米．如果设河的宽度为 x 米，那么下列关系式中正确的是
10.在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y x 12 4 的图象如图，将二次函数 y x 12 4 的图象平移， 使二次函数 y x 12 4 的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：
__________________________________________.
2019 北京通州区初三（上）期末 数学
2019 年 1 月
考 1. 本试卷共 8 页，共三道大题，27 个小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟． 生 须 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 知 3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
2
4
5
4．如图，数轴上有 A、B、C 三点，点 A、C 关于点 B 对称，以原点 O 为圆心作圆，如果点 A、B、C 分别在⊙O 外、 ⊙O 内、⊙O 上，那么原点 O 的位置应该在
A．点 A 与点 B 之间靠近 A 点
B．点 A 与点 B 之间靠近 B 点
C．点 B 与点 C 之间靠近 B 点
D．点 B 与点 C 之间靠近 C 点
x
22．如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上不同于 A、B 的两点，∠ABD=2∠BAC，连接 CD，过点 C 作 CE⊥DB，垂 足为 E，直径 AB 与 CE 的延长线相交于 F 点．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）当 BD= 18 ， sinF= 3 时，求 OF 的长．
5
5
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11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于 点 D、E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm，则直尺的宽度为____cm.
12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内 阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中 a、b 的值：a= ，b= ．
小雪根据学习函数的经验，分别对函数 y1 ， y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1 ， y2 与 x 的几组对应值，请将表格补充完
整；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1 /cm
5.20
4.36
3.60
2.65
7 / 15
27. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 r，点 P 与圆心 C 不重合，给出如下定义：若在⊙C 上存在一点 M，
使 MPC 30 ，则称点 P 为⊙C 的特征点．
（1）当⊙O 的半径为 1 时，如图 1. ①在点 P1（-1，0），P2（1， 3 ），P3（3，0）中，⊙O 的特征点是______________． ②点 P 在直线 y 3x b 上，若点 P 为⊙O 的特征点，求 b 的取值范围．
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21．如图，直线 y x 2 与反比例函数 y k k 0，x 0 的图象交于点 A（2，m），与 y 轴交于点 B.
x （1）求 m、k 的值；
（2）连接 OA，将△AOB 沿射线 BA 方向平移，平移后 A、O、B 的对应点分别为 A'、O'、B'，当点 O'恰好落在反比
（1）用等式表示线段 BF 与 FG 的数量关系是___________________； （ 2） 将 图 1 中 的△CEF 绕点 C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点 F 恰好在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，点 G 仍是
AE 的中点，连接 FG、DF. ①在图 2 中，依据题意补全图形； ②求证: DF 2FG .
4．考试结束，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分.每小题只有一个正确选项）
1．如图，点 D、E 分别在△ABC 的 AB、AC 边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；
②
AE
DE
；③
AD
AE
.
使△ADE 与△ACB 一定相似的是
AB BC AC AB
A．①②
2.65
y2 /cm
5.20
4.56
4.22
4.24
4.77
5.60
6.00
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x， y1 ），（x， y2 ），并画出函 数 y1 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 ECD 60 时，AD 的长度约为________cm．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点， CAB 30 ，D 是直径 AB 上一动点，连接 CD 并过点 D 作 CD
的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点 E（点 E 位于直线 CD 上方或左侧），连接 EC．已知 AB=6 cm，设 A、D 两点间的距离为 x cm，C、D 两点间的距离为 y1 cm，E、C 两点间的距离为 y2 cm．
B
C
A
D
A
B
二、
作弧，两弧相交于 B，C 两点，连接 BC 交 PA 于点 D；
（3）以点 D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线 a 于点 E（异
于点 A），作直线 PE．
所以直线 PE 就是所求作的垂线．
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请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________． 三、解答题（本题共 68 分，第 17—25 题，每小题 6 分，第 26—27 题，每小题 7 分）
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（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整； （3）学校为举办 2018 年度校园文化艺术节，决定从 A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择
其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．