第四章——地球的正常重力场

第四章 地球的正常重力场

重力测量结果表明，地球在其表面上的重力分布是有规律的；总的说来，它由赤道向两极逐渐增加，由赤道上的978Gal 逐渐增加到两极的983Gal 。在大地测量中，参数合适的旋转椭球是地面点坐标的参考架，当参考椭球选定后，大地水准面相对参考椭球面的起伏不超过110m ，起伏只占参考椭球赤道半径的2×10-6。因而自然想到，用质量等于地球总质量、以地球自转角速度绕其极半径旋转的旋转椭球来模拟真实地球，用这种地球模型（正常场地球模型），在其表面上和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场。当正常场地球模型在地球内部定位后，地球的重力场可以分解为两部分，一部分是正常场地球模型在该点产生的重力场，第二部分为真实地球与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生的重力场；前者称为地球在该点产生的正常重力场，后者称为地球在该点产生的重力异常场。重力测量结果表明，当正常场地球模型选择合适后，大地水准面上的重力异常场不超过150 mGal ，约占地球正常重力场的1×10-4~2×10-4。地球的重力异常场虽只占地球重力场的万分之一二，但它却包含了有关地球内部结构和大地水准面形状的重要信息，因而研究地球重力异常场空间分布规律以及它们与地球内部结构和大地水准面形状之间的关系已成为重力测量的重要目的之一。根据第三章的结果，本章给出正常场地球模型在旋转椭球面上产生的重力、正常重力位二次导数张量以及它在其外部空间产生的大地位球函数展开系数。

4.1 旋转椭球的几何参数

引入笛卡尔直角坐标系123Ox x x ，坐标原点O 置于旋转椭球的中心，3Ox 沿其极半径，

12Ox x 在其赤道平面内，则旋转椭球面的方程为

其子午椭圆的方程为

其中a 、c 分别为旋转椭球的赤道半径和极半径，它们是决定旋转椭球形状的两个几何参数。

考虑到参考椭球的赤道半径a 和极半径c 相差很小，其扁率 约为3×10-3量级，因而参考椭球的子午椭圆与圆非常接近，为了讨论问题方便，对子午椭圆常引入下面几个几何参数：

子午椭圆的扁率α、第一偏心率e、第二偏心率'e有下述关系

如图4.1.1所示，OA与Ox轴之间的角度0ϕ为A点的地心纬度，A点子午椭圆的法线

与Ox轴之间的角度B称为A点的大地纬度，因为子午椭圆与圆非常接近，A点的地心纬度和大地纬度相差很小，其差约为子午椭圆扁率的量级。在图4.1.1中，有

根据（4.1.2）式，有

因而有

将上式代入（4.1.5）式，得

大地纬度和地心纬度相差很小，根据（3.2-1.6）式可以求出它们之间的相互换算关系，与（4.1.6）式相对应的（3.2-1.6）式中的p 、q 分别为

因而有

考虑到子午椭圆的扁率α约为为3×10-3量级，有时将子午椭圆的方程写成极坐标的方式比较方便。将（4.1.6）式代入（4.1.2）式，把子午椭圆的直角坐标方程（4.1.2）写成极坐标的形式，考虑到(1)c a α=-，有

因为

将（4.1.11）式代入（4.1.10）式，化简，舍去高于3

α的项，即舍去小于30×10-9的项，得

在（4.1.12）式中用大地纬度代替地心纬度，根据（4.1.9）式，舍去含高于3

α的项，即舍去小于30×10-9的项，有

参考椭球面上大地纬度为B 的子午椭圆的曲率半径M 和卯酉圈的曲率半径N 的数学表达

式分别为

4.2 索米格兰纳（Somigliana ）正常重力公式

正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量是正常重力位在此表面上的梯度，考虑到旋转椭球面是正常场地球模型的一个重力等位面，因而正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量应垂直于旋转椭球面，亦即

其中u e 、u h 分别为坐标u 的单位坐标基矢量和它的拉梅系数，根据（3.2.9）式，旋转椭球面上u c =上的拉梅系数为

其中τθ、τϕ分别为改化余纬和改化纬度。习惯上正常重力矢量的方向约定为u -e ，即约定它指向旋转椭球内部为正，则参考椭球在其表面上产生的正常重力等于正常重力矢量在u -e 方向上的投影，即

（4.2.3）式称为正常重力公式。在旋转椭球体的重力位表达式（3.3.25）式中用改化纬度代替改化余纬，考虑到2(sin )P τϕ为sin τϕ的二阶勒让德多项式，可以把（3.3.25）式写成

根据（3.3.25）式，有

将（4.2.2）、（4.2.4）式代入（4.2.3）式，得

用e γ、p γ分别表示赤道上和两级的正常重力，根据（4.2.6）式，有

将（4.2.7）式代入（4.2.6）式，得

根据（3.2-1.3）式、（4.1.7）式，可以求出大地纬度B 和改化纬度τϕ之间的关系，它们是

将（4.2.9）式代入（4.2.8）式，化简得到以带地纬度B 为变量的正常重力公式，它为

（4.2.10）式是意大利人索米格兰纳于1929年导出的，它称为索米格兰纳正常重力公式。

4.3展成级数形式的正常重力公式，克雷诺（Clairaut ）定理

斯托克斯定理表明，正常场地球模型的赤道半径a 、扁率α、总质量M 和旋转角速度ω唯一地决定了旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。正常重力公式（4.2.10）式给出了以大地纬度为变量、以赤道上和两极重力为参数的正常场地球模型在其表面上的重力分布；因而赤道上和两极的正常重力应决定于它的总质、赤道半径、扁率及其自转角速度这四个参数。

将（4.2.5）式中()f u \()g u 的表达式代入（4.2.7）式，得

根据（4.2.5）式，有

根据（3.3.19）式，有

=时，即在旋转椭球面上，有

当u c

'e为子午椭圆的第二偏心率，将（4.3.4）式代入（3.3.19）式、（4.3.3）式，化简得

q c q c，社区其中的高于2'e的项，得

根据（4.3.5）式，可以求出()/'()

将（4.3.2）、（4.3.6）式代入（4.3.1）式，化简得到赤道上和两极处的正常重力，即

其中m约等于赤道上的离心力与地球重力的比值，它的量级与旋转椭球的扁率相当，约为3×10-3，考虑到

α的项，得

将（4.3.8）式代入（4.3.7）式，社区含高于2