数学的魅力-例子ppt课件

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三、圆的魅力
• 车轮，是历史上最伟大的发明之一 • 圆，是平面图形中对称性最强的图形 • 周长与直径之比是一个常数 • 这个常数是无理数、超越数 • 面积相等的图形中圆的周长最短 • 规尺作图化圆为方不可做
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四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
• 这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演 讲中说的，后来又多次说过。
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• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论 文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中 有严重错误。
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难 ，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。
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• 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不 重要,重要的是它们的相互位置。
• 德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜 色。下图就表明三种颜色是不够的。
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• 但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他 数学家,其中包括著名数学家哈密顿。
• 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后
，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦 敦数学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才 引起了更大的注意。
不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
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五、四色问题
• 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年 首先由一位英国大学生F．古色利提出。
• 他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公 共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。
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• 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德 里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数 学家德·摩根，希望帮助给出证明。
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• 例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存在性 命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性的证明，在 证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方 法。(例：（210，1950）= 30 )
• 再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在 零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂 上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但 并不给出找到零点的方法。
数学史与数学文化
主讲人：王爱齐 E-MAIL:waq1979@163.com
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第一章 概 述
第二节 数学的魅力
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数学的魅力
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图 画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更 喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而 且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律 ，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
• 1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 • 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。
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• 1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可 以用四种颜色着色。
• 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。 • 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出
算法的基础上，开始用计算机进行证明。 • 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台IBM360
型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想 。
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• 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮 局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩 尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了 人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面 对“证明”的思考。
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二、大连至少有两个人头发根数一样多
• “存在性命题” ：大连市一定存在两个头发根数一样多的 人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法： • 一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事物构造
出来，便完成了证明； • 一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完
全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
• 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上 看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
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合理的退让——不得已而求其次
加强命题的条件 或者减弱命题的结论
希伍德证明了“五色定理”
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• 一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获 得了一系列成果。
• 1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色 猜想是正确的。
拓展了人们对“证明”的理解
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六、素数的奥秘
• 自然数是整个数学最重要的元素。 • 自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。 • 素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数； • 大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”； • 1则既不是素数也不是合数。
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• 由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是 特别简单的数。
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大连至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ： 一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根数，一定 可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的 头发根数一样多，便完成了证明。
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大连至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ： • “抽屉原理” • 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” • 证明“大连市一定存在两个头发根数一样多的人”
• 所以，这不是随便说的一句话。 • 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命
题不对”，而是说“这个命题不好”。
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三角形三内角之和 = 180 度 • n 边形 n 内角之和 = ？
• n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
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• n 边形 n 外角之和 = 360 度
数学，有无穷的魅力！
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一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你 织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都 必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
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• 多面体的欧拉公式 • V + F– E =2
数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变 得简明，把看起来混乱的事物理出规律。