【复习专题】中考数学复习：角与角平分线,平行线

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专题16 相交线与平行线-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(专题测试)(解析版)

专题专题16 相交线与平行线（满分：100分时间：90分钟）班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2020·四川广元市·中考真题）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（）.A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．【详解】解：过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°．故选B．2．（2020·河北中考真题）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】D在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D ．3．（2020·山东枣庄市·中考真题）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB//CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．18°D ．30°【答案】B【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB ∥CF ，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选B.4．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（）A ．38 B ．34 C D ．15【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．【详解】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴CE CG CF CB=，∵12 CECF=，∴12 CGCB=，∵BC＝3，∴GB＝32，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝BGAB=324=38，∴tanα的值为38，故选：A．5．（2020·贵州遵义市·中考真题）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图∵AB∥CD，∴∠1＝∠D＝45°，故选：B．6．（2020·山东济南市·中考真题）如图，AB//CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°【答案】C【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD ⊥AC ，∴∠ADC+∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣35°＝55°，故选：C ．7．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（）A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得,//AB BC AD BC =，再根据全等的性质可得1203AC AE cm ==，然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ∠=︒，最后根据平行线的性质即可得．【详解】如图，连接AC四边形ABCD 是菱形20,//AB BC cm AD BC ∴==如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AE cm =1203AC AE cm ∴== AB BC AC ∴==ABC ∴是等边三角形60B ∴∠=︒//AD BC180********DAB B ∴∠=︒=∠=︒-︒-︒故选：C ．8．（2020·河南中考真题）如图，1234//,//l l l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【分析】利用平行线的性质即可求解．【详解】如图，∵34//l l ，∴∠1+∠3=180º，∵∠1=70º，∴∴∠3=180º-70º=110º，∵12l l //，∴∠2=∠3=110º，故选：B ．9．（2020·海南中考真题）如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C【分析】先根据//AB CD 得到70CDE ABE ∠=∠=︒，再运用三角形内角和定理求出AEB ∠的度数即可．【详解】∵//AB CD ，∴CDE ABE ∠=∠，∵70ABE ∠=︒，∴70CDE ∠=︒∵180ECD CDE DEC ∠+∠+∠=︒，且40ACD ∠=︒，∴180180704070DEC ECD CDE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．10．（2020·山东淄博市中考真题）如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BC ，若∠B ＝50°，则∠DCA 等于（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】C【详解】由AC ⊥BC 可得∠ACB ＝90°，又∠B ＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB ＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA ＝∠CAB ＝40°．【解答】解：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，又∵∠B ＝50°，∴∠CAB ＝90°﹣∠B ＝40°，∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝40°．故选：C ．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F ．若∠E ＝30°，∠EFC ＝130°，则∠A ＝_____．【答案】20°【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF ＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠ABF +∠EFC ＝180°，∵∠EFC ＝130°，∴∠ABF ＝50°，∵∠A +∠E ＝∠ABF ＝50°，∠E ＝30°，∴∠A ＝20°．故答案为：20°．12．（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为________．【答案】3【分析】根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD OA ⊥，3PD =，∴PM=PD=3故答案为：313．（2020·新疆中考真题）如图，若AB ∥CD ，∠A ＝110°，则∠1＝_____°．【答案】70【分析】先根据平行线的性质求出∠2＝∠A ＝110°，再由平角的定义求出∠1的度数即可．【详解】如图，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠A ＝110°．又∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70．14．（2020·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，则BCD ∠=_____________度．【答案】30【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC ，继而根据邻补角定义求解∠CDE ，最后根据外角定义求解∠BCD ．【详解】令BC 与EF 相交于G 点，如下图所示：∵//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC ，∴∠BCD=75°-45°=30°，故答案：30．15．（2020·山东日照市·中考真题）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．【答案】25°【分析】延长EF 交BC 于点G ，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：如图，延长EF 交BC 于点G ，∵直尺，∴AD ∥BC ，∴∠2＝∠3＝65°，又∵30°角的直角三角板，∴∠1＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【分析】（1）由“SAS ”可证△BEF ≌△CDA ，可得∠D ＝∠2；（2）由（1）可得∠D ＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC ＝78°．【详解】证明：（1）在△BEF 和△CDA 中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CDA （SAS ），∴∠D ＝∠2；（2）∵∠D ＝∠2，∠D ＝78°，∴∠D ＝∠2＝78°，∵EF ∥AC ，∴∠2＝∠BAC ＝78°．17．（2020·湖北黄石市·中考真题）如图，,//,70,40AB AE AB DE DAB E =∠=︒∠=︒．（1）求DAE ∠的度数；（2）若30B ∠=︒，求证：AD BC =．【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．【分析】（1）根据AB ∥DE ，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE ；（2）证明△DAE ≌△CBA ，即可证明AD=BC ．【详解】（1）∵AB ∥DE ，∴∠E=∠CAB=40°，∵∠DAB=70°，∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，又∵AE=AB ，∠E=∠CAB=40°，∴△DAE ≌△CBA （ASA ），∴AD=BC ．18．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：//BC AD ；（2）若AB=4，BC=1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．【答案】（1）见解析；（2）53π 【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD 为等边三角形，则可证60DAB ︒∠=，即,CBE DAB ∠=∠再根据平行线的判定证明即可．（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．【详解】（1）证明：由旋转性质得：,60ABC DBE ABD CBE ︒∆≅∆∠=∠= ,AB BD ABD ∴=∴∆是等边三角形所以60DAB ︒∠=,CBE DAB ∴∠=∠∴//BC AD ；（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A ，C 两点经过的路径长之和为60460151801803πππ⨯⨯+=． 19．（2020·山东东营市·中考真题）如图，C 处是一钻井平台，位于东营港口A 的北偏东60方向上，与港口A 相距海里，一艘摩托艇从A 出发，自西向东航行至B 时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC 方向行进，此时C 位于B 的北偏西45方向，则从B 到达C 需要多少小时？【答案】从B 到达C 需要1.2小时．【分析】过点C 作CD AB ⊥于点D ，在Rt ACD △与Rt CDB 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 与BC 的长，进而求解．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由题意得：//AE CD ，//BF CD ，60ACD CAE ∴∠=∠=，45BCD CBF ∠=∠=︒，在Rt ACD △中，AC =，12CD AC ∴==，在Rt CDB 中，CD =，60BC ∴==，60 1.250∴=（小时）， ∴从B 到达C 需要1.2小时．20．（2020·山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出30CD cm =，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则DCE ∠必为90︒．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS MN =，得到点S ，作直线SC ，则90RCS ∠=︒．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS ∠=︒；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析【分析】（1）利用2223040=50+说明△DCE 是直角三角形，说明=90DCE ∠︒，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；（2）由作图的方法可以得出：QR QC =，QS QC =，得出QCR QRC ∠=∠，QCS QSC ∠=∠，利用三角形内角和得出90QCR QCS ∠+∠=︒，即90RCS ∠=︒，说明垂直即可；（3）①以点C 为圆心，任意长为半径画弧，与AB 有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P ，连接PC 即可；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；（2）证明：由作图方法可知：QR QC =，QS QC =，QCR QRC ∴∠=∠，QCS QSC ∠=∠．又180SRC RCS RSC ∠+∠+∠=︒，180QCR QCS QRC QSC ∴∠+∠+∠+∠=︒．2()180QCR QCS ∴∠+∠=︒．90QCR QCS ∴∠+∠=︒即90RCS ∠=︒．（3）解：①如图，直线CP 即为所求；图③②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．。

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。

2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。

3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。

②两直线平行，内错角相等。

③两直线平行，同旁内角互补。

④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即c b b a ∥，∥，则c a ∥。

4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角相等，两直线平行。

④垂直于同一直线的两直线平行。

即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。

5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。

练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。

山东省2023年中考备考数学一轮复习相交线与平行线练习题(含解析)

山东省2023年中考备考数学一轮复习相交线与平行线练习题一、单选题1．（2022·山东临沂·统考二模）如图，直线AB CD 、相交于点O ，射线OM 平分BOD ∠，若160AOM ∠=︒，则AOC ∠等于（）A ．20°B ．40°C ．45°D ．50°2．（2022·山东东营·校考一模）下列说法中正确的是（）A ．不相交的两条直线叫平行线B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C ．平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直D ．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．（2022·山东济南·统考一模）下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB ∠CD 的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·山东·统考一模）下列关于过直线l 外一点P 作直线l 的平行线的尺规作图错误的是（） A ． B ．C ．D ．5．（2022·山东淄博·统考二模）下列图形中，由12∠=∠能得到AB CD ∥的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2022·山东潍坊·中考真题）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒7．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在弯形管道ABCD 中，若AB CD ∥，拐角122ABC ∠=︒，则BCD ∠的大小为（）A ．58︒B ．68︒C ．78︒D ．122︒8．（2022·山东日照·统考一模）如图，在∠ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∠AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．（2022·山东淄博·统考一模）如图，直线//a b ，点,M N 分别在直线,a b 上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠等于（）A ．360︒B ．300︒C ．270︒D ．180︒10．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，//AB CD ，点E 在AB 上，EC 平分∠AED ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A ．45°B ．50°C ．57.5°D ．65°11．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，直线a b ∥，一个三角板的直角顶点在直线a 上，两直角边均与直线b 相交，140∠=︒，则2∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒12．（2022·山东东营·统考三模）如图，直线//a b ，将一个含30︒角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠的度数为（）124＝，则2∠︒A．120︒B．136︒C．144︒D．156︒13．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°14．（2022·山东济南·统考一模）如图所示，已知//C∠=︒，43AC ED，20∠的度数是（）CBE∠=︒，BEDA．63︒B．83︒C．73︒D．53︒15．（2022·山东烟台·统考一模）在下列命题中，为真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．平行于同一条直线的两条直线互相平行C．同旁内角互补D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行16．（2022·山东东营·统考一模）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：∠将含30︒角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30︒角的三角尺的最短边紧贴；∠将含30︒角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则a∠b，小明这样画图的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等17．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．18．（2022·山东枣庄·统考中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线变成FH，点G在射线EF上，45,20∠=︒∠=，FED HFB ∠=__°．则GFH19．（2022·山东烟台·统考一模）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．20．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为______cm2．21．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）如图，将周长为10的∠ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________．22．（2022·山东东营·校考一模）如图，直线AB∠CD，∠C=44°，∠E为直角，求∠1的度数.参考答案：1．B【分析】根据邻补角的定义求出∠BOM ，再根据角平分线的定义求出∠BOD ，然后根据对顶角相等求解即可．【详解】160AOM ∠=︒，18020BOM AOM ∴∠=︒-∠=︒，OM 平分BOD ∠，240BOD BOM ∴∠=∠=︒40AOC BOD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查了本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．2．D【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可．【详解】解：A ：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A 说法不符合题意；B ：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B 说法不符合题意；C ：平面内两条直线的位置关系有相交和平行，故C 说法不符合题意；D ：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D 说法符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．3．B【分析】根据平行线的判定定理即可判断求解．【详解】：A 、∠∠1=∠2，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；B 、由∠1=∠2，不能判断AB ∠CD ，该选项符合题意；C 、∠∠1=∠2，∠3=∠2，∠∠1=∠3，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；D 、∠∠1=∠2，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．4．C【分析】根据选项图像逐个分析，判断能否平行即可．【详解】A ．本选项作了角平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；B ．本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；C ．本选项只截取了两条线段相等，无法保证两直线平行的位置关系，故本选项符合题意；D ．本选项作了一个角与已知角相等，根据内错角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了尺规作图和平行线的判定定理，熟练掌握尺规作图的操作是解题的关键．5．B【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可．【详解】A.∠1＝∠2，不能判断//AB CD ，故A 不符合题意；B.∠∠1＝∠2，∠AB CD ∥（内错角相等，两直线平行），故B 符合题意；C.12∠=∠，//AC BD ∴，故C 不符合题意；D.∠1＝∠2，不能判断//AB CD ，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行，是解题的关键．6．C【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，∠14010'∠=︒∠24010'∠=︒∠518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠l //m∠659940'∠=∠=︒故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．7．A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到180∠+∠=︒，进而计算即可．ABC BCD∥，【详解】AB CD∴∠+∠=︒，180ABC BCDABC∠=︒，122∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，BCD ABC180********故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键．8．B【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．【详解】解：∠∠A+∠C=100°∠∠ABC=80°，∠BD平分∠BAC，∠∠ABD=40°，∠DE∠AB，∠∠BDE=∠ABD=40°，故答案为B．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．9．A【分析】过点P作PE∠a．则可得出PE∠a∠b，结合“两直线平行，内错角相等”可得出∠2=∠AMP+∠BNP，再结合邻补角的即可得出结论．【详解】解：过点P作PE∠a，如图所示．∠PE∠a，a∠b，∠PE∠a∠b，∠∠AMP=∠MPE，∠BNP=∠NPE，∠∠2=∠MPE+∠NPE=∠AMP+∠BNP．∠∠1+∠AMP=180°，∠3+∠BNP=180°，∠∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是找出∠2=∠AMP+∠BNP．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．10．B【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．AB CD，【详解】解：∠//∠∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），∠EC平分∠AED，∠∠A EC=∠CED=∠1，∠∠1=65°，∠∠CED =∠1=65°，∠∠2=180°-∠CED-∠1=180°-65°-65°=50°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．11．B【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：由题意得∠ABC=90°，∠∠1=40°，∠∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，∥，∠a b∠∠2=∠3=50°，故选B．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．12．C【分析】根据平行线的性质求解，找出图中1424∠=∠=︒，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．c a，【详解】解：如图，作//三角尺是含30︒角的三角尺，3460∴∠+∠=︒，a c，//∴∠=∠=︒，14243602436∴∠=︒-︒=︒，a b，//a c，//b c∴，//∴∠=︒-︒=︒，218036144故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．13．D【分析】根据平行线的性质即可解答．【详解】如图，由已知得∠3=60°，∥，因为AB CD所以∠2＋∠1+∠3=180°，∠2＝180°-（40°+60°）=80°；故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理解题．14．A【分析】过点B 作BM ∠AC ，求出∠EBM 即可．【详解】过点B 作BM ∠AC ，∠//AC ED ，∠////AC ED BM ，∠20CBM C ∠=∠=︒，EBM E ∠=∠，∠43CBE ∠=︒，∠63EBM CBE CBM ∠=∠+∠=︒，∠63E EBM ∠=∠=︒．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练添加辅助线，利用平行线的性质求角．15．B【分析】根据对顶角、平行公理的推论、平行线的判定、同旁内角逐项判断即可得．【详解】A 、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；B 、平行于同一条直线的两条直线互相平行，此项是真命题；C 、两直线平行，同旁内角互补，此项是假命题；D 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此项是假命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．16．A【分析】先利用平移的性质得到∠1=∠2=60°，然后根据同位角线段两直线平行可判断a ∠b ．【详解】利用平移的性质得到∠1=∠2=60°，所以a ∠b ．故选：A ．【点睛】此题考查作图-平移变换，平行线的判定，解题关键在于确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．17．5328'︒【分析】根据平行线的性质得23,34∠=∠∠=∠，根据等量等量代换得34∠∠=，进而根据邻补角性质即可求解．【详解】解：如图l1∥l 2，l 2∥l 3，23∴∠=∠，34∠∠=，24∴∠=∠，∠1＝12632'︒，2418012632∴∠=∠=-︒'︒17960126325328'''=︒-︒=︒，故答案为：5328'︒．【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．18．25【分析】根据平行线的性质知45GFB FED ∠=∠=︒，结合图形求得GFH ∠的度数．【详解】解：∠//AB CD ，∠45GFB FED ∠=∠=︒．∠20HFB ∠=︒，∠452025GFH GFB HFB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：25．【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 19．7或17．【分析】分两种情况讨论，EF 在AB ，CD 之间或EF 在AB ，CD 同侧，进而得出结论．【详解】解：分两种情况：∠当EF 在AB ，CD 之间时，如图：∠AB 与CD 的距离是12cm ，EF 与CD 的距离是5cm ，∠EF 与AB 的距离为12﹣5＝7（cm ）．∠当EF 在AB ，CD 同侧时，如图：∠AB 与CD 的距离是12cm ，EF 与CD 的距离是5cm ，∠EF 与AB 的距离为12+5＝17（cm ）．综上所述，EF 与AB 的距离为7cm 或17cm ．故答案为：7或17．【点睛】此题主要考查线段之间的距离，解题的关键是根据题意分情况作图进行求解．20．20【分析】如图，向下平移2cm ，即AE=2，再向左平移1cm ，即CF=1，由重叠部分为矩形的面积为DE•DF ，即可求两个正方形重叠部分的面积【详解】解：如图，向下平移2cm，即AE=2，则DE=AD-AE=6-2=4cm向左平移1cm，即CF=1，则DF=DC-CF=6-1=5cm则S矩形DEB'F=DE•DF=4×5=20cm2故答案为20【点睛】此题主要考查正方形的性质，平移的性质，关键在理解平移后，图形的位置变化．21．14【分析】利用平移的性质求解即可．【详解】∠△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，∠AD=CF=2，∠四边形ABFD的周长=AB+BC+DF+CF+AD=△ABC的周长+AD+CF=10+2+2=14．故答案为：14．【点睛】本题考查了平移的性质，抓住平移后对应线段相等是解题的关键．22．134°.【分析】过E作EF∠AB，可得AB∠CD∠EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．【详解】过E作EF∠AB，∠AB∠CD，∠AB∠CD∠EF，（平行于同一直线的两直线平行）∠∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，（两直线平行，内错角相等）∠∠C=44°，∠AEC为直角，∠∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∠∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．。

2023年中考数学一轮复习课件：线段、角、相交线与平行线(含命题)

在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一互逆命题
个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
随堂练习
1. 如图，A，B两点之间的距离为8，①，②，③，④分别代表从点A到
点B的不同路线，点C是线段AB的中点，点D在AB上，且AD＝3.(1)从点
A到点B的4条不同路线中，最短的是________；②(2)BD＝______，CD＝
______． 5
1
第1题图
2.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12 cm，
则线段BD的长为( C )A. 10 cm
B. 8 cmC. 10 cm或8 cm
D. 2 cm或4 cm
3. 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E是OD上一点，过点
E作EF⊥AB于点F.(1)若∠AOD＝28°30′，则∠AOD的余角为________，
平行
【知识拓展】平行线求角度的辅助线作法：情形一： ∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
情形二： ∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
情形三： ∠ABE－∠DCE＝∠BEC
考点5 命题
命题判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分真命题如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题假命题如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
同位角 ∠1与___∠__5___，∠2与∠6，∠4与_∠__8___，∠3与___∠__7___ 内错角 ∠2与__∠__8____，∠3与∠5 同旁内角 ∠2与∠5，∠3与__∠__8____
2. 垂线及性质垂线段
过直线外一点，作已知直线的垂线，该点与垂足之间的线段

中考数学复习之线与角、平行线的性质及判定,考点过关与基础练习题

第二部分图形与几何19.线段、角、相交线与平行线知识过关1.直线、射线、线段(1)直线上一点和它____的部分叫做射线；直线上两点和它们____的部分叫做线段，这两点叫做线段的_______.(2)两点_____一条直线，两点之间线段最短，两点之间_____的长度，叫做两点间的距离.(3)线段的中点把线段_______等分.2.角(1)角：有_____端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条_____绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)余角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为余角._____或等角的余角相等.(3)补角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为补角._____或等角的补角相等.(4)一条射线把一个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.相交线(1)对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的_____延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角______.(2)垂直：在同一平面内，两条直线相交成90，叫做两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线.(3)垂直的性质：同一平面内，过一点_____一条直线与已知直线垂直，直线外一点和直线上所有点的连接中，_______最短.(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的_____的长度，叫做点到直线的距离.4.平行线(1)平行线：平面内，_______的两条直线叫做平行线.(2)平面内两条直线的位置关系:_________和_________.(3)平行公理：过直线外一点，有且______一条直线与已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______.(4)平行线的性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，_____相等，同旁内角_______.(5)平行线的判定：如果同位角相等，或______或______互补，那么两直线平行.5.命题的概念(1)命题：______的语句叫做命题.(2)命题的组成：命题由______和______两部分组成.(3)命题的形成：命题可以写成“如果.......,那么.......”的形式，以如果开头的部分是_____,以那么开头的部分是________.(4)命题的真假：_______的命题叫做真命题,______的命题叫做假命题.6.尺规作图(1)在几何里，把用没有刻度的____和____这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.(2)常见的五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；①作一个角等于已知角；①作一个角的平分线；①过一个点作已知直线的垂线；①作线段的垂直平分线.➢考点过关考点1 线段长度的有关计算例1已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC＝．考点2对顶角、邻补角的相关计算如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠BOE，若∠AOC＝α，则∠COE 的度数为（）A．3αB．120°−43αC．90°D．120°−13α考点3平行线的性质例3如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝54°，则∠2等于（）A．108°B．117°C．126°D．54°考点4平行线的判定与性质综合例4如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点B是直线HD、GE之间的一点．（1）过点B作BF∥GE，试说明：∠ABC＝∠HAB+∠BCG；（2）如图2，RC平分∠BCG，BM∥CR，BN平分∠ABC，当∠HAB＝40°时，点C在直线AB右侧运动的过程中，∠NBM的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明理由．考点5命题的真假例5下列结论中，正确的有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等；④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点6尺规作图例6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．➢真题演练1.如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（）A．50°B．75°C．60°D．55°2．如图，OC、OD为∠AOB内的两条射线，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠COD，若∠COD ＝10°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（）A．15°B．35°C．40°D．55°4．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中不正确的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED=12CD•OE5．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．内错角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．一个角的补角一定是钝角6．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线7.如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6cm，DB＝4cm，则CD的长度为______cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．9．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝10，则DE＝．10．如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．11．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．12．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝°．➢课后练习1．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．22°B．33°C．44°D．55°2．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（）A．45°B．60°C．73°D．90°4．如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61°B．60°C．59°D．58°5．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到CB．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C ．两点确定一条直线D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6．下列说法正确的是（）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法中错误的是（）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线相交，有且只有一个交点D ．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．下列说法正确的是（）A ．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．不相交的两条直线叫做平行线C ．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行9．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若△CDB 的面积为12，△ADE 的面积为9，则四边形EDBC 的面积为（）A ．15B ．16C ．18D ．2010．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD ＝∠DAB 的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS11．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，点D 为BC 的中点，点P 为AC 延长线上一动点（AD ≠DP ），点E 为AP 的中点，则AC−BP DE 的值是．12．如图，点D是线段AB上一点，点C是线段BD的中点，AB＝8，CD＝3，则线段AD长为．13.如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围．14．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．15．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．➢冲击A+在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．。

初中数学复习几何模型专题讲解29--- 平行线中和角平分线有关的图形

初中数学复习几何模型专题讲解专题29 平行线中和角平分线有关的图形一、单选题1．在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解．【详解】解析：依据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠B =∠DAE=∠CAE=∠C故选C．【点睛】此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．2．如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠F AD＝45°，则∠ACE＝（）A．45°B．67.5°C．112.5°D．135°【答案】C【分析】先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．【详解】解：∵∠F AD＝45°，∴∠BAD＝180°-45°＝135°．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝12BAD∠＝67.5°．∵AD∥BE，∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．故选：C．【点睛】本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．3．如图，已知BM平分∠ABC，且BM//AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．70°【答案】B【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．【详解】解：∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝12∠ABC＝35°．∵BM∥AD，∴∠A＝∠MBA＝35°．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．二、解答题4．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE 的平分线相交于点K．（1）求∠EKF的度数；（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．【答案】（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，证明见解析；（3）∠K4＝5.625°．【分析】（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，从而得出结论；（2）根据角平分线的定义可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，结合（1）的结论可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，从而求出∠K1，即可得出结论；（3）根据（2）中的规律即可得出结论．【详解】（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，∵AB∥CD，∴AB∥KG∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，∴∠BEK+∠DFK＝90°，则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，理由为：∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，则∠K＝2∠K1；（3）如图（3），根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝12∠K1＝22.5°，∠K3＝12∠K2＝11.25°，∠K4＝12∠K3＝5.625°．【点睛】此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．5．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠ABN的度数是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是．【答案】（1）①116,︒②CBN；（2）58︒；（3）不变，:2:1APB ADB∠∠=，理由见解析；（4）29.︒【分析】（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；（2）由角平分线的定义可以证明∠CBD＝12∠ABN，即可求出结果；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；（4）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．【详解】解：（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为：116°；②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，故答案为：CBN；（2）∵AM//BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD ＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC ＝∠DBN ，由（1）∠ABN ＝116°，∴∠CBD ＝58°，∴∠ABC+∠DBN ＝58°，∴∠ABC ＝29°，故答案为：29°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．6．如图1，在平面直角坐标系中，(,0),(,2)A a C b ，且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB x ⊥轴于B ．（1）求ABC ∆的面积．（2）若过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，求AED ∠的度数．（3）在y 轴上存在点P 使得ABC ∆和ACP ∆的面积相等，请直接写出P 点坐标．【答案】（1）4；（2）45︒；（2）(0,3)P 或(0,1)-．【分析】（1）根据非负数的性质易得2a =-，2b =，然后根据三角形面积公式计算；（2）过E 作//EF AC ，根据平行线性质得////BD AC EF ，且1312CAB ∠=∠=∠，1422ODB ∠=∠=∠，所以112()2AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠；然后把90CAB ODB ∠+∠=︒ 代入计算即可；（3）分类讨论：设(0,)P t ，当P 在y 轴正半轴上时，过P 作//MN x 轴，//AN y 轴，//BM y 轴，利用4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形可得到关于t 的方程，再解方程求出t ；当P 在y 轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t ．【详解】解：（1）2(2)20a b ++-=，20a ∴+=，20b -=，2a ∴=-，2b =，CB AB ⊥(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(2,2)C ，ABC ∆∴的面积12442=⨯⨯=；（2）解：//CB y 轴，//BD AC ，5CAB ∴∠=∠，又∵590ODB ∠+∠=︒，∴90CAB ODB ∠+∠=︒，过E 作//EF AC ，如图①，//BD AC ， ////BD AC EF ∴， 31∴∠=∠，42∠=∠ AE ∵，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，即：132CAB ∠=∠，142ODB ∠=∠， 112()452AED CAB ODB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒；（3）(0,1)P -或(0,3)．解：①当P 在y 轴正半轴上时，如图②，设(0,)P t ，过P 作//MN x 轴，//AN y 轴，//BM y 轴，4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴4(2)(2)42t t t t -+---=，解得3t =， ②当P 在y 轴负半轴上时，如图③4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形 ∴4(2)(2)42t t t t -+-+--=，解得1t =-，综上所述：(0,3)P 或(0,1)-．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．构造矩形求三角形面积是解题关键．7．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ．彤彤是这样做的：过点E 作EF //AB ，则有∠BEF ＝∠B ．∵AB //CD ，∴EF//CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．【答案】（1）65°；（2）11 18022αβ︒-+【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF=∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．即∠BED=∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=12∠ABC=30°，∠EDC=12∠ADC=35°，∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．答：∠BED的度数为65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA=180°．∴∠BEF=180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∴∠EBA =12∠ABC =12α，∠EDC =12∠ADC =12β， ∴∠BED =180°﹣∠EBA +∠EDC =180°﹣12α +12β．答：∠BED 的度数为180°﹣12α +12β．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．8．如图，已知//AM BN ，60A ∠=︒，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC ，BD 分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）求CBD ∠的度数（2）当点P 运动时，:APB ADB ∠∠的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P 运动到某处时，ACB ABD =∠∠，求此时ABC ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）不变，∠APB ：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=12∠ABN 即可；（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN ，∠ADB=∠DBN=12∠PBN ．（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN 即可解决问题；【详解】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN=180°-∠A=120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12（∠ABP+∠PBN）=12∠ABN=60°，（2）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB=∠DBN=12∠PBN=12∠APB，∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，∴∠ABC=14∠ABN=30°，【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDE=160°，求∠C的度数【答案】140°【分析】先根据邻补角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠ADB及∠ABC的度数，由平行线的性质可得出∠C的度数．【详解】解：∵∠CDE=160°，∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．10．如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求证：∠1=∠E．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，∴∠ADC=∠EGC=90∘（），∴AD∥EG（），∴∠2=______，( )∠3=______(两直线平行，同位角相等) ．又∵AD平分∠BAC（），∴∠2=∠3（），∴∠1=∠E（）【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠E；已知；角平分线的定义；等量代换【分析】根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可．【详解】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴AD//EG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=1，(两直线平行，内错角相等)∠3=∠E(两直线平行，同位角相等) ．又∵AD平分∠BAC（已知），∴∠2=∠3（角平分线的定义），∴∠1=∠E（等量代换）．【点睛】本题主要考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质及判定是解题的关键．AB CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，11．已知直线//CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB =36°，求∠MCD的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明：2∠MCD+∠GAB=90°．【答案】（1）63°；（2）见解析【分析】（1）依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；（2）结合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．【详解】（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，∴∠CAH=90°-36°=54°，∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAH=180°，∴∠ACD=126°，∵CM是∠ACD的平分线，∴∠ACH=∠DCM=63°；（2）∵∠ACH=∠DCM，∴∠ACD=2∠MCD，由（1）得ACD+∠CAH=180°，∵AG⊥AC，∴∠CAG=90°，∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，∴2∠MCD+∠GAB=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．12．阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．请阅读下面的推理过程：如图①，过点A作DE//BC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三个内角的和为180°．阅读反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．方法运用：如图②，已知AB//DE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF//AB）深化拓展：如图③，已知AB//CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．【答案】方法运用：360°；深度拓展：65°【分析】方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．【详解】方法运用：解：过点C作CF∥AB∴∠B=∠BCF∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360°深化拓展：过点E作EF∥AB∴∠BEF=∠ABE又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=12∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=12∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．13．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B 重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；结论应用（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．【答案】（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3【分析】（1）利用三角板的度数，求出∠DBC的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN的度数，由此得到∠1的度数；（2）过B点作BG∥直线m，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代换得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性质得到∠LAB＝90°-∠2，由此证明结论；（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．【详解】（1）∵直线n∥直线l，∴∠DBC＝∠BDN，又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，∴∠BDN＝15°，∴∠1＝90°﹣15°＝75°．（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，∵BG∥m，l∥m，∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），∵BG∥m，∴∠3＝DBG，又∵BG∥l，∴∠LAB＝∠ABG，∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，又∵∠2和∠LAB互为余角，∴∠LAB ＝90°﹣∠2，∴∠3+90°﹣∠2＝75°，∴∠2﹣∠3＝15°．（3）结论：∠2＝3∠3．理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，又∵CN 平分∠BCA ，∴∠BCN ＝∠CAN ＝22.5°，又∵直线n ∥直线l ，∴∠2＝22.5°，∴∠3＝7.5°，∴∠2＝3∠3．【点睛】考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键． 14．如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，100EOF ∠=︒．（1）求BEO DFO ∠+∠的值；（2）如图2，直线MN 交BEO ∠、CFO ∠的角平分线分别于点M 、N ，求EMN FNM∠-∠的值；（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG n OEG ∠=∠，FK 在DFO ∠内，DFK n OFK ∠=∠．直线MN 交FK 、EG 分别于点M 、N ，若50FMN ENM ∠-∠=︒，则n 的值是__________．【答案】（1）260° ；（2）40°；（3）53【分析】（1）如下图，过点O 作OG AB ，可得出AB OG CD ，然后利用平行的性质进行角度转换可得出答案；（2）如图，过点M 作MK AB ，过点N 作NH CD ∥，然后设BEM OEM x ∠=∠=，CFN OFN y ∠=∠=，利用方程思想进行角度推导，可得出答案；（3）如下图，过点O 作AB 的平行线OQ ，同样利用方程思想进行推导转化，可得出n 的值．【详解】（1）证明：过点O 作OG AB∵AB CD ∥∴AB OG CD∴180BEO EOG ∠+∠=︒，180DFO FOG ∠+∠=︒∴360BEO EOG DFO FOG ︒∠+∠+∠+∠=即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒∵100EOF ∠=︒∴260BEO DFO ︒∠+∠=（2）解：过点M 作MK AB ，过点N 作NH CD ∥，∵EM 平分BEO ∠，FN 平分CFO ∠设BEM OEM x ∠=∠=，CFN OFN y ∠=∠=∵260BEO DFO ︒∠+∠=∴21802260BEO DFO x y ︒︒∠+∠=+-=∴40x y -=︒∵MK AB ，NH CD ∥，AB CD ∥ ∴AB MK NH CD∴EMK BEM x ∠=∠=，HNF CFN y ∠=∠=，KMN HNM ∠=∠∴()EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠∠=∠+∠-∠+∠-x KMN HNM y =+∠-∠-40x y ︒=-=（3）如下图，过点O 作AB 的平行线OQ设∠NEO=x ，则∠AEN=nx设∠OFM=y，则∠MFD=ny∵AB∥CD，AB∥OQ∴AB∥OQ∥CD∴∠EOQ=∠AEO=(n+1)x，∠QOF=180°－(n+1)y∵∠EOF=100°∴∠EOQ+∠QOF=100°，化简得：(n+1)(y－x)=80°在△NPE中，∠ENP=180°－x－∠NPE在四边形POFM中，∠PMF=360°－y－100°－∠OPM∵∠PMF－∠ENP=50°∴∠PMF－∠ENP=50=360°－y－100°－∠OPM－(180°－x－∠NPE) ∵∠NPE=∠OPM∴∠PMF－∠ENP化简后得：150°+(y－x)=180°∴y－x=30°∵(n+1)(y－x)=80°∴解得：n=53．【点睛】本题考查平行线的综合应用，解题关键是构造平行线，然后利用方程思想进行角度转化求解．15．如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．（1）猜想DOP是三角形；（2）补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB∴＝∵DN∥EM∴＝∴＝∴＝【答案】等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，见解析【分析】（1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察此三角形即可大体猜想出三角形的类型；（2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠DOP＝∠DPO，即可判断三角形的形状．【详解】解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；（2）补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB，∴∠DOP ＝∠BOP ，∵DN ∥EM ，∴∠DPO ＝∠BOP ，∴∠DOP ＝∠DPO ，∴OD ＝PD ．故答案为：等腰，∠DOP ，∠BOP ，∠DPO ，∠BOP ，∠DOP ，∠DPO ，OD ，PD ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找到相等的角．16．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示．例：如图1中的三角形可记作“ABC ”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．（1）如图1，ABC ∠的角平分线交AC 于D ，//DE BC 交AB 于E ，①请在图1中依题意补全图形；②判断EBD △是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．（2）如图2，AF 是GAC ∠的角平分线，//BC AF ．判断ABC 是不是等角三角形，并说明理由．（3）如图3，BM ，CM 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．【答案】（1）①见解析；②△EBD 是等角三角形；（2）△ABC 是等角三角形，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据角平分线定义可得∠ABD ＝∠DBC ，根据平行线的性质可得∠EDB ＝∠DBC ，进而可得∠EBD ＝∠EDB ，从而可得△EBD 是等角三角形；（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；（3）过点M 作GH ∥BC ，交AB 于点G ，交AC 于点H ，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．【详解】解：（1）①补全图形如图4所示．②△EBD是等角三角形．理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形．理由如下：如图5，∵AF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵AF是∠GAC的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等角三角形．（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．下面说明△GBM是等角三角形．理由：∵GH∥BC，∴∠1＝∠2，∵BM是∠ABC角平分线，∴∠GBM＝∠2，∴∠1＝∠GBM，所以△GBM是等角三角形．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．17．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ．（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = °；（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE 1C 的度数；（3）猜想：若∠BEC ＝α度，则∠BE n C = °．【答案】（1）75；（2）70°；（3）2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先过E 作EF ∥AB ，根据AB ∥CD ，得出AB ∥EF ∥CD ，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1，运用（1）中的结论，得出∠BE 1C=∠ABE 1+∠DCE 1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC ；（3）根据∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2，得出∠BE 2C=14∠BEC ；根据∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，得出∠BE 3C=18∠BEC ；…据此得到规律∠E n =12n ∠BEC ，最后求得∠BE n C 的度数．【详解】解：（1）如图①，过E 作EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；故答案为：75；（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC；∵∠BEC=140°，∴∠BE1C=70°；（3）如图2，∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE 2C=∠ABE 2+∠DCE 2=12∠ABE 1+12∠DCE 1=12∠CE 1B=14∠BEC ； ∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，∴∠BE 3C=∠ABE 3+∠DCE 3=12∠ABE 2+12∠DCE 2=12∠CE 2B=18∠BEC ； …以此类推，∠E n =12n ∠BEC ， ∴当∠BEC=α度时，∠BE n C 等于2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭°．故答案为：2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．18．完成下面的证明．如图：BAP ∠与APD ∠互补，BAE CPF ∠=∠，求证：E F ∠=∠．对于本题小明是这样证明的，请你将他的证明过程补充完整．证明：BAP ∠与APD ∠互补，（已知）//AB CD ∴．( )BAP ∴∠= ．(两直线平行，内错角相等)BAE CPF ∠=∠，（已知）BAP BAE APC CPF ∴∠-∠=∠-∠，（等量代换）即EAP ∠= ．∴ ．(内错角相等，两直线平行)E F ∴∠=∠．( )19．如图，//AB CD ，点C 在点D 的右侧，ABC ∠，ADC ∠的平分线交于点E （不与B ，D 点重合），70ADC ∠=︒．设BED n ∠=︒．（1）若点B 在点A 的左侧，求ABC ∠的度数（用含n 的代数式表示）（2）将（1）中的线段BC 沿DC 方向平移，当点B 移动到点A 右侧时，请画出图形并判断ABC ∠的度数是否改变．若改变，请求出ABC ∠的度数（用含n 的代数式表示）；若不变，请说明理由．【答案】同旁内角互补，两直线平行；APC ∠；APF ∠；//AE FP ；两直线平行，内错角相等．【分析】已知∠BAP 与∠APD 互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB ∥CD ，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．【详解】证明：BAP ∠与APD ∠互补，（已知）//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行）．BAP ∴∠=APC ∠（两直线平行，内错角相等）， BAE CPF ∠=∠，（已知）BAP BAE APC CPF ∴∠-∠=∠-∠，即EAP ∠=APF ∠，//AE FP ∴（内错角相等，两直线平行），E F ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；APC ∠；APF ∠；//AE FP ；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质和等式的性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．20．如图，AC ∥DE ，BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D ，∠A 的度数．【答案】95,60D A ∠=︒∠=︒【分析】根据BD 平分∠ABC ，∠ABC=70°得出1352ABF DBC ABC ∠=∠=∠=︒,再根据//,50AC CE E ∠=︒得出50∠=°ACB ,从而计算,D A ∠∠．【详解】∵根据BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70° ∴1352ABF DBC ABC ∠=∠=∠=︒ 又∵//,50AC CE E ∠=︒∴50∠=°ACB∴180705060A ∠=︒-︒-︒=︒180355095BFC ∠=︒-︒-︒=︒∴95D BFC ∠=∠=︒综上所述：95,60D A ∠=︒∠=︒【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键． 21．直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CM 是ACD ∠的平分线，CM 交AB 于点N ．（1）如图①，过点A 作AC 的垂线交CM 于点M ，若55MCD ∠=，求MAN ∠的度数；（2）如图②，点G 是CD 上的一点，连接MA 、MG ，180MGD EAB ∠+∠=，MC 平分AMG ∠．①AMG ∠和EAB ∠满足怎么样的数量关系时EC AM ⊥？②若36AMG ∠=，求ACD ∠的度数．【答案】（1）20°；（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，EC AM ⊥；②108°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=110°，然后根据垂直的定义求出∠MAE=90°，即可求出结论；（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，根据平行线的性质可推出∠AMG ＋∠ACD=180°，然后根据角平分线的定义可得出∠ACM ＋∠AMC=90°，利用三角形的内角和即可求出∠MAC=90°，从而得出EC AM ⊥；②设∠ACD=x ，根据角平分线的定义可得∠GCM=12ACD ∠=12x ，∠GMC=12∠AMG =18°，根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=x ，从而得出∠MGD=180°－x ，然后根据三角形外角的性质列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵CM 是ACD ∠的平分线，55∠=︒MCD∴∠ACD=2∠MCD=110°∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD=110°∵MA ⊥AC∴∠MAE=90°∴∠MAN=∠EAB －∠MAE=20°（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，EC AM ⊥ ∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD∴∠AMG ＋∠ACD=180°∵CM 是ACD ∠的平分线，MC 平分AMG ∠∴∠ACM=12ACD ∠，∠AMC=12∠AMG ∴∠ACM ＋∠AMC=12ACD ∠＋12∠AMG =()12∠∠+ACD AMG =90° ∴∠MAC=180°－（∠ACM ＋∠AMC ）=90° ∴EC AM ⊥；②设∠ACD=x∵CM 是ACD ∠的平分线，MC 平分AMG ∠，36∠=︒AMG∴∠GCM=12ACD ∠=12x ，∠GMC=12∠AMG =18° ∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD=x∵180MGD EAB ∠+∠=∴∠MGD=180°－x∵∠MGD=∠GCM ＋∠GMC即180－x=12x ＋18 解得：x=108即∠ACD=108°【点睛】此题考查的是平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键．22．已知AB//CD，点E是平行线之间一点．（测量发现）连结EA，EC，分别做∠EAB与ECD的角平分线交于点F，通过测量我们发现∠AEC=2∠AFC．（探索新知）如图，若∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，试探索∠AFC与∠AEC之间的关系，请说明理由．（合理猜想）若∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，请猜想∠AFC与∠AEC之间的关系，不必说明理由．【答案】∠AFC=34∠AEC，理由见解析；∠AFC=1nn∠AEC【分析】探索新知：过点F作FH//AB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD即可证明；合理猜想：过点F作FH//AB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，即可证明.【详解】探索新知：过点F作FH//AB，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，∵∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，∴∠FAB+∠FCD=34∠AEC，∴∠AFC=34∠AEC；合理猜想：过点F作FH//AB，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，∵∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，∴∠FAB+∠FCD=1nn-∠AEC，∴∠AFC=1nn-∠AEC．【点睛】本题是对平行线性质的考查，熟练掌握平行线的性质定理是解决本题的关键．23．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC 的度数；（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC ＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含n的代数式表示）．【答案】（1）35︒（2）50︒（3）12152n ︒-︒ 【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点E 作//EF AB ，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；（3）过点E 作//EF AB ，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．【详解】解：（1）∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒；（2）过点E 作//EF AB ，如图：∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒；BE 平分ABC ∠，30ABC ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒，1152ABE ABC ∠=∠=︒ ∵//AB CD ，//EF AB∴////AB EF CD∴35FED CDE ∠=∠=︒，15FEB ABE ∠=∠=︒∴50BED FED FEB ∠=∠+∠=︒；（3）过点E 作//EF AB ，如图：∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒；BE 平分ABC ∠，ABC n ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒，1122ABE ABC n ∠=∠=︒ ∵//AB CD ，//EF AB∴////AB EF CD∴35FED CDE ∠=∠=︒，11801802FEB ABE n ∠=︒-∠=︒-︒ ∴113518021522BED FED FEB n n ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒-︒．故答案是：（1）35︒（2）50︒（3）12152n ︒-︒ 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质，难度中等．24．如图①，BE 、DF 分别平分四边形ABCD 的外角MBC ∠和NDC ∠，设BAD ∠=α，BCD β∠=．（1）若110αβ+=︒，则MBC NDC ∠+∠= ︒；（2）若BE 与DF 相交于点G ，且25BGD ∠=︒，求α、β所满足的等量关系式，并说明理由；（3）如图②，若αβ=，试判断BE 、DF 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）110；（2）50βα-=︒，理由见解析；（3）BE DF ∥，理由见解析【分析】（1）根据四边形的内角和与邻补角的性质即可求解；（2）连接BD ，先得到1()2CBG CDG αβ∠+∠=+，再根据三角形的内角和得到角度的关系即可求解；（3）由（1）有，∠MBC ＋∠NDC ＝αβ+，BE 、DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，则∠CBE ＋∠CDH ＝12（αβ+），∠CBE ＋β−∠DHB ＝12（αβ+），根据α＝β，则有∠CBE ＋β−∠DHB ＝12（β＋β）＝β，得到∠CBE ＝∠DHB ，故可得到BE ∥DF ．【详解】解：（1）∵∠ABC ＋∠ADC ＝360°−（αβ+）＝250°，∴∠MBC ＋∠NDC ＝180°−∠ABC ＋180°−∠ADC ＝360°-（∠ABC ＋∠ADC ）=αβ+＝110°．故答案为：110；（2）50βα-=︒．理由如下：如解图①，连接BD ，由（1）知，MBC NDC αβ∠+∠=+， BE 、DF 分别平分四边形ABCD 的外角MBC ∠和NDC ∠， ∴12CBG MBC ∠=∠，12CDG NDC ∠= ()1111()2222CBG CDG MBC NDC MBC NDC αβ∴∠+∠=∠+=∠+=+．在△BCD 中，∠BDC ＋∠CBD ＝180°−∠BCD ＝180°−β，在△BDG 中，∠GBD ＋∠GDB ＋∠BGD ＝180°，∴∠CBG ＋∠CBD ＋∠CDG ＋∠BDC ＋∠BGD ＝180°，∴（∠CBG ＋∠CDG ）＋（∠BDC ＋∠CBD ）＋∠BGD ＝180°， ∴12（αβ+）＋180°−β＋25°＝180°，整理得50βα-=︒；（3）BE DF ∥．理由如下，如解图②所示，延长BC 交DF 于点H ，由（1）、（2）可知，MBC NDC αβ∠+∠=+，1()2CBE CDH αβ∠+∠=+．BCD CDH DHC ∠=∠+∠，CDH BCD DHC DHC β∴∠=∠-∠=-∠，1()2CBE DHC βαβ∴∠+-∠=+． αβ=，1()2CBE DHB ββββ∴∠+-∠=+=， CBE DHB ∴∠=∠，BE DF ∴∥．【点睛】此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式倒角为解题关键．25．已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD=∠C ；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E.F 在DM 上，连接BE.BF.CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB+∠NCF=180°，∠ABF=2∠ABE ，求∠EBC 的度数.【答案】(1)90°；(2)详见解析;(3)105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.。

【2020中考数学专项复习】角平分线模型探究

【中考专项复习】角平分线模型【回归概念】（一）定理：角平分线定义（Angle bisector definition）从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。

（定义）2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

（二）与角平分线相关的模型1.角平分线+平行线—等腰三角形（见下图1）2.过角平分线上的点作角两边的垂线（见下图2）3.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形（见下图3）4.过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形（见下图4）【规律探寻】1.两个内角平分线的夹角：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和。

2.一个内角平分线和一个外角平分线的夹角三角形一内角与另外一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半。

3.两个外角平分线的夹角三角形两个外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差。

【典例解析】例题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？【点拨】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.【解析】解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.【例题2】已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【达标检测】1. （2018·湖南省常德·3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．2. （2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．3. （2019•广西北部湾经济区•3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．【解析】解：由作法得CG⊥AB，∵AB=AC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，∴∠BCG=∠ACB=50°．故选：C．4. （2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．5. （2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= 2 ．【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°，∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2，故答案为：2．6. （2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．7. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D 到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．8. 如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O 作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的面积为32，求△ABC的周长.解：连接OC1112221()21432642ABC AOC BOC AOBS S S S AB OE BC ON AB OM OM AB BC OM ∆∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++=⨯⨯=9. （2018•宜昌）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）求∠CBE 的度数；（2）过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．10. 如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．分析：（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．。

中考数学复习考点知识专题讲义第14讲线段、角、相交线与平行线

4．平行线的判定： (1)同位角相相等等，两直线平行． (2)内错角相相等等，两直线平行． (3)同旁内角互互补补，两直线平行．
(4)平行于同一条直线的两直线平行．
考点五定义、命题、定理 1．判断一件事情的语句叫做命题．命题由题设和结论两部分组成．正确的命题叫做真真命命题题，错误的命题叫做假假命命题题 . 2．一切公理(即基本事实)和定理都是真命题．除基本事实外，其他真命题的正确性都是通过推理的方法得到证实的，推理的过程叫做证证明明 .经过证明的真命题叫做定定理理 . 3．在两个命题中，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就是它的逆逆命命题题 .
定理于点 E，则 OP 平分∠AOB
平分线上
考点四平行线(高频考点 ) 1．在同一平面内，不不相相交交的两条直线叫做平行线． 2．基本事实：过直线外一点，有且只有一一条条直线与已知直线平行．
3．平行线的性质(如图)： (1)两直线平行，同位角相等，即若 a∥b，则∠1＝ ∠∠2 2 . (2)两直线平行，内错角相等，即若 a∥b，则∠2＝ ∠∠3 3 ． (3)两直线平行，同旁内角互补，即若 a∥b，则∠3＋ ∠∠44 ＝180°.
如图 2，在直线 l 上画线段 AB＝a，在 AB 上画线段 AD＝b，则线段 DB 就是线段 a 与 b 的差，即 DB＝ aa－－b b ．
4．线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中中点点．即如
图，线段 AB 上的一点 M，把线段 AB 分成两条线段 AM 与 BM.如果 AM＝BM，那么点 M 就叫做线段 AB 的中点，此时有 AAMM＝＝BBMM＝＝12AB，ABA，B＝A2BA＝M2＝AM2B＝M2BM ．

2023年中考数学二轮复习之相交线与平行线(含解析)

2023年中考数学二轮复习之相交线与平行线一．选择题（共10小题）1．（2022秋•鄞州区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角2．（2022秋•慈溪市期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（）A．1B．2C．3D．43．（2022秋•南安市期末）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．B．C．D．4．（2022秋•微山县期末）下列说法：①把一个角分成两个角的射线叫角的平分线；②两点确定一条直线；③若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点；④垂线段最短．其中正确的是（）A．①③B．②④C．②③D．①④5．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，则∠ECD 的度数为（）A．39°B．29°C．38°D．28°6．（2022秋•宜阳县期末）下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，内错角相等C．立方等于本身的数只有两个D．两点之间线段最短7．（2022秋•孟村县校级期末）平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（）A．12B．16C．20D．228．（2022秋•榕城区期末）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°9．（2022秋•龙华区期末）如图，A，B，C，D，E分别在∠MON的两条边上，若∠1＝20°，∠2＝40°，∠3＝60°，AB∥CD，BC∥DE，则下列结论中错误的是（）A．∠4＝80°B．∠BAO＝100°C．∠CDE＝40°D．∠CBD＝120°10．（2022秋•抚州期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，若∠AEC＝66°，则∠C的度数为（）A．42°B．44°C．46°D．48°二．填空题（共8小题）11．（2022秋•宜阳县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠EOB＝25°，则∠AOD＝．12．（2022秋•丰泽区期末）如图，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，若∠BOF＝20°，则∠EOF的度数为．13．（2022秋•岳阳县期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到AB的距离为．14．（2022秋•卫辉市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝度．15．（2022秋•徐州期末）如图，将长方形纸条折叠，若∠1＝50°，则∠2＝ °．16．（2022秋•镇平县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，则∠BOD ＝度．17．（2022秋•海口期末）如图，直线l2、l3被直线l1所截，∠CAB和∠DAB的角平分线与直线l3分别交于点E、F，若l2∥l3，∠AEF＝56°，则∠AFE＝度．18．（2022秋•湘潭县期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠2＝67°30'，那么∠1＝．三．解答题（共3小题）19．（2022秋•连平县校级期末）填空，将本题补充完整．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝，又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝（等量代换），∴AB∥GD（），∴∠BAC+ ＝180°（），∵∠BAC＝75°（已知），∴∠AGD＝ °．20．（2022秋•海口期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O．（1）若∠COF＝2∠DOF，求∠BOE的度数；（2）试说明∠AOF＝∠BOC．21．（2023•市北区校级开学）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．2023年中考数学二轮复习之相交线与平行线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022秋•鄞州区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角【考点】对顶角、邻补角；两点间的距离；余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【分析】根据对顶角相等，线段中点及垂线与余角和补角的关系依次判断即可．【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，选项错误，不符合题意；B．若AB＝BC，则点B不一定是线段AC的中点，当点A、B、C不在同一直线上时，选项错误，不符合题意；C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，正确，符合题意；D．一个锐角的补角大于该锐角的余角，选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查对顶角相等，线段中点及垂线与余角和补角的关系，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．2．（2022秋•慈溪市期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】点到直线的距离；直线的性质：两点确定一条直线；垂线；垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，逐项分析即可求解．【解答】解：①两点确定一条直线，正确，符合题意；②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，不正确，不符合题意；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，掌握以上知识是解题的关键．3．（2022秋•南安市期末）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．B．C．D．【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】根据同位角的概念求解即可．【解答】解：A选项中∠1和∠2是同位角，故选：A．【点评】本题主要考查同位角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．4．（2022秋•微山县期末）下列说法：①把一个角分成两个角的射线叫角的平分线；②两点确定一条直线；③若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点；④垂线段最短．其中正确的是（）A．①③B．②④C．②③D．①④【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；两点间的距离；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】由线段中点，角平分线的概念，直线的性质，垂线的性质，即可判断．【解答】解：①把一个角分成两个相等角的射线叫角的平分线，故①不符合题意；②两点确定一条直线，正确，故②符合题意；③若线段AM等于线段BM，则点M不一定是线段AB的中点，故③不符合题意；④垂线段最短，正确，故④符合题意．∴其中正确的是②④．故选：B．【点评】本题考查线段中点，角平分线的概念，直线的性质，垂线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．5．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，则∠ECD 的度数为（）A．39°B．29°C．38°D．28°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝58°，然后再利用角平分线的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝58°，∴∠ABC＝∠BCD＝58°，∵CE平分∠BCD，∴∠ECD＝∠BCD＝29°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（2022秋•宜阳县期末）下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，内错角相等C．立方等于本身的数只有两个D．两点之间线段最短【考点】平行线的性质；线段的性质：两点之间线段最短；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据平行线的性质，线段的性质，对顶角、邻补角，逐一判断即可解答．【解答】解：A、对顶角相等，故A不符合题意；B、两直线平行，内错角相等，故B不符合题意；C、立方等于本身的数有三个：0和±1，故C符合题意；D、两点之间线段最短，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，线段的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．7．（2022秋•孟村县校级期末）平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（）A．12B．16C．20D．22【考点】相交线．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】根据直线相交的情况判断出m和n的值后，代入运算即可．【解答】解：当六条直线相交于一点时，交点最少，则m＝1，当任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，∵且任意三条直线不过同一点，∴此时交点为：6×（6﹣1）÷2＝15，∴n＝15，∴m+n＝1+15＝16．故选：B．【点评】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键．8．（2022秋•榕城区期末）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【考点】平行线的性质；余角和补角．【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】先根据互余计算出∠3＝90°﹣40°＝50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2＝180°﹣∠3＝130°．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1+90°＝90°+40°＝130°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．9．（2022秋•龙华区期末）如图，A，B，C，D，E分别在∠MON的两条边上，若∠1＝20°，∠2＝40°，∠3＝60°，AB∥CD，BC∥DE，则下列结论中错误的是（）A．∠4＝80°B．∠BAO＝100°C．∠CDE＝40°D．∠CBD＝120°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠BAC＝∠3＝60°，根据平角180度，得出∠BAO＝180°﹣60°＝120°；根据三角形的内角和定理求出∠ACB，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠4＝∠ACB，然后根据三角形内角和定理求出∠CDE，根据平角的定义列式计算求出∠CBD即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠3＝60°，∴∠BAO＝180°﹣60°＝120°，故B选项错误，符合题意；∵∠2＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵BC∥DE，∴∠4＝∠ACB＝80°，故A选项正确，不符合题意；∵∠3＝60°，∴∠CDE＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故C选项正确，不符合题意；∠CBD＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣20°﹣40°＝120°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．（2022秋•抚州期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，若∠AEC＝66°，则∠C的度数为（）A．42°B．44°C．46°D．48°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据平行线的性质，得到：∠EAB＝∠AEC＝66°，根据角平分线平分角，得到∠BAC＝2∠EAB，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠C的度数即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠AEC＝66°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAB＝132°，∵AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠CAB＝48°；故选：D．【点评】本题考查利用平行线的性质求角度．熟练掌握平行线的性质以及角平分线平分角，是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•宜阳县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠EOB＝25°，则∠AOD＝　115°　．【考点】垂线；对顶角、邻补角．【专题】几何图形；应用意识．【分析】先根据垂直的定义求出∠AOE＝90°，然后求出∠DOB度数，再根据邻补角的定义求出∠AOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠BOE＝25°，∴∠DOB＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣25°＝65°，∴∠AOD＝180°﹣∠DOB＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．【点评】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．12．（2022秋•丰泽区期末）如图，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，若∠BOF＝20°，则∠EOF的度数为　115°　．【考点】垂线；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】先根据AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC得出∠COE的度数，再由∠BOF＝20°求出∠COF的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵AB⊥CD于点O，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝45°．∵∠BOF＝20°，∴∠COF＝90°﹣20°＝70°，∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝45°+70°＝115°．故答案为：115°．【点评】本题考查了垂直、角平分线的的定义及角的和差关系，掌握垂直的定义、角平分线的的定义是关键．13．（2022秋•岳阳县期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到AB的距离为　4.8　．【考点】点到直线的距离．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】设点C到AB的距离为h，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：设点C到AB的距离为h，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴10h＝6×8，∴h＝＝4.8．故答案为：4.8．【点评】本题考查的是点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．14．（2022秋•卫辉市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝　70　度．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠FEG，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝55°，∵沿EF折叠D到D′，∴∠FEG＝∠DEF＝55°，∴∠AEG＝180°﹣55°﹣55°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质，折叠性质，矩形的性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．15．（2022秋•徐州期末）如图，将长方形纸条折叠，若∠1＝50°，则∠2＝　80　°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力．【分析】根据平行线的性质、折叠的性质解答即可．【解答】解：根据平行线的性质、折叠的性质可得：∠1+∠2＝180°﹣∠1，∵∠1＝50°，∴50°+∠2＝180°﹣50°，∠2＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了角的计算、平行线的性质、折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（2022秋•镇平县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，则∠BOD ＝　35　度．【考点】垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝125°，∴∠BOC＝180°﹣125°＝55°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣55°＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．17．（2022秋•海口期末）如图，直线l2、l3被直线l1所截，∠CAB和∠DAB的角平分线与直线l3分别交于点E、F，若l2∥l3，∠AEF＝56°，则∠AFE＝　34　度．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】由角平分线定义得到∠EAF＝∠CAD＝×180°＝90°，而∠AEF＝56°，即可求出∠AFE的度数．【解答】解：∵AE，AF分别平分∠CAB，∠BAD，∴∠EAB＝∠CAB，∠BAF＝，∴∠EAB+∠BAF＝（∠CAB+∠BAD），∴∠EAF＝∠CAD＝×180°＝90°，∵∠AEF＝56°，∴∠AFE＝90°﹣56°＝34°．故答案为：34．【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线的定义．18．（2022秋•湘潭县期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠2＝67°30'，那么∠1＝　22°30'　．【考点】平行线的性质；度分秒的换算．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据余角的定义计算即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝67°30'，∴∠1＝22°30'．故答案为：22°30'．【点评】本题考查了余角的计算，熟练掌握余角计算的要领是解题的关键．三．解答题（共3小题）19．（2022秋•连平县校级期末）填空，将本题补充完整．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝　∠3　，又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝　∠3　（等量代换），∴AB∥GD（　内错角相等，两直线平行　），∴∠BAC+　∠AGD　＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　），∵∠BAC＝75°（已知），∴∠AGD＝　105　°．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】先利用平行线的性质可得∠2＝∠3，从而利用等量代换可得∠1＝∠3，然后利用平行线的判定可得AB∥GD，从而利用平行线的性质可得∠BAC+∠AGD＝180°，进行计算即可解答．【解答】解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥GD（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝75°（已知），∴∠AGD＝105°．故答案为：∠3；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；105．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．20．（2022秋•海口期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O．（1）若∠COF＝2∠DOF，求∠BOE的度数；（2）试说明∠AOF＝∠BOC．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【分析】（1）用∠COF＝2∠DOF和折两角之和是平角，算出两角的度数，然后用平分和垂直计算即可；（2）计算出所求角的度数，进行比较即可．【解答】解：（1）∠COF＝2∠DOF，∠COF+∠DOF＝180°，∴∠DOF＝60°，∠COF＝120°，∵OF⊥OE于点O，∴∠DOE＝90°﹣∠DOF＝90°﹣60°＝30°，∵，OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝30°；（2）∵∠BOE＝∠DOE＝30°，∴∠DOB＝30°+30°＝60°，∠AOD＝180°﹣∠DOB＝180°﹣60°＝120°，∵∠DOF＝60°，∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣60°＝60°，∴∠AOF＝∠AOD∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），∴∠AOF＝∠BOC．【点评】本题考查的是垂直，角平分线，对顶角和邻补角，解题的关键是用∠COF和∠DOF的关系，算出度数．21．（2023•市北区校级开学）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】（1）依据平行线的判定与性质，即可得到∠1与∠ABD的数量关系；（2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出∠2的度数，再根据∠ACB为直角，即可得出∠ACF．【解答】解：（1）CF∥DB，理由：∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠CBD＝180°，又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝∠CBD，∴CF∥DB．（2）∵∠1＝70°，CF∥DB，∴∠ABD＝70°，又∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝35°，∴∠2＝∠DBC＝35°，又∵BC⊥AG，∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．考点卡片1．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．2．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．3．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．4．度分秒的换算（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．5．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．6．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．7．相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．8．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．9．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．10．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．11．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．12．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．13．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．14．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．。

初中数学中考复习几何辅助线规律总结(共102条)

初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。

【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。

【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。

【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。

【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。

【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。

【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。

【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。

【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。

【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。

【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。

三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。

【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。

【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 线段【命题规律】主要考查：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线这两个基本事实．【命题预测】与图形的变换中立体图形的侧面展开结合，求两点之间的最短距离，另外也会与对称性结合，考查两线段和的最小值．1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A. 垂线段最短B. 经过一点有无数条直线C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 两点之间，线段最短1. D第1题图第2题图2. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条2. D【解析】AD是点A到直线BC的距离；BA是点B到直线AC的距离；BD是点B到直线AD的距离；CA是点C到直线AB的距离；CD是点C到直线AD的距离，共5条，故答案为D.命题点2 角、余角、补角及角平分线【命题规律】主要考查：①角度的计算(度分秒之间的互化)；②余角、补角的计算；③角平分线的性质．【命题预测】角、余角、补角及角平分线等基本概念是图形认识的基础，应给予重视．3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )3. B4. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．4. 3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.5. 1.45°＝________′.5. 87【解析】∵1°＝60′，∴0.45°＝27′，∴1.45°＝87′.6. 已知∠A＝100°，那么∠A的补角为________度．6. 80【解析】用180度减去已知角，就得这个角的补角．即∠A的补角为：180°－100°＝80°.命题点3 相交线与平行线【命题规律】考查形式：①三线八角中同位角、内错角、同旁内角的识别或计算，有时综合对顶角、邻补角求角度；②综合角平分线、垂线求角度；③综合三角形的相关知识求角度；④根据角的关系判断两直线的关系．【命题预测】平行线性质是认识图形的基础知识，也是全国命题的潮流和方向．7. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角7. B【解析】根据相交线的性质及角的定义可知∠1与∠2的位置关系为内错角，故选B.第7题图第8题图第9题图8. 如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°8. B【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＋∠4＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠2＝180°－∠1＝70°，故本题选B.9. 如图，在下列条件中，不能．．判定直线a与b平行的是( )A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠3＝∠5D. ∠3＋∠4＝180°9. C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵∠1＝∠2，即同位角相等，两直线平行，∴a∥b √B∵∠2＝∠3，即内错角相等，两直线平行，∴a∥b √∵∠3、∠5既不是a与b被第三直线所截的同位角，也不是内错角，×C∴∠3＝∠5，不能够判定a与b平行D∵∠3＋∠4＝180°，即同旁内角互补，两直线平行，∴a∥b √10. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10. B 【解析】如解图，∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－50°＝40°，由平行线性质得∠2＝∠3＝40°.11. 如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A . 50°B . 40°C . 45°D . 25°11. B 【解析】∵EF ⊥BD ，∠1＝50°，∴∠D ＝90°－50°＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠D ＝40°.第10题图第11题图第12题图第13题图12. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( )A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPGD . ∠DNG ＝∠AME12. D 【解析】A.两直线平行，同位角相等，∴∠EMB ＝∠END ；B.两直线平行，内错角相等，∴∠BMN ＝∠MNC ；C.两直线平行，同位角相等，∴∠CNH ＝∠APH ，又∠BPG ＝∠APH ，∴∠CNH ＝∠BPG ；D.∠DNG 和∠AME 无法推导数量关系，故不一定相等，答案为D.13. 如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝________°.13. 75 【解析】如解图，过点P 作PH ∥a ∥b ，∴∠FPH ＝∠1，∠EPH ＝∠2，又∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPF ＝∠EPH ＋∠HPF ＝30°＋45°＝75°.命题点4 命题【命题概况】命题考查的知识点比较多，一般几个知识点结合考查，考查形式有：①下面说法错误(正确)的是；②写出命题…的逆命题；③能说明…是假命题的反例．【命题趋势】命题为新课标新增内容，考查知识比较综合，是全国命题点之一．14. (2016宁波)能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( )A . a ＝－2B . a ＝13C . a ＝1D . a ＝ 214. A 【解析】由于一个正数的绝对值是它本身，它的相反数是一个负数，所以当a ＝13，1，2时，|a |>－a 总是成立，当a ＝－2时，|－2|＝2＝－(－2)，此时|a |＝－a ，故本题选A.15. 写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题．．．：________________________． 15. 如果3a ＝3b ，那么a ＝b 【解析】命题由条件和结论构成，则其逆命题只需将原来命题的条件和结论互换即可，即将结论作为条件，将条件作为结论. ∵命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ，”中条件为“如果a ＝b ”，结论为“那么3a ＝3b ”，∴其逆命题为“如果3a ＝3b ，那么a ＝b ”．中考冲刺集训一、选择题1. 如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°第1题图第2题图第3题图2. 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( )A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′二、填空题4. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝________.第4题图第5题图第6题图5. 如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1＝30°，则∠2＝________．6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB＝75°，则∠PNM等于________度．7. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.第7题图第8题图第9题图8. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________．9.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________．答案与解析：1. B【解析】∵DA⊥AC，∠ADC＝35°，∴∠ACD＝90°－∠ADC＝90°－35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故选B.2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝12∠CAB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠AED＋∠EAB＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAB＝180°－65°＝115°.3. B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC＝∠ODE，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOE，∴∠ODE＝∠AOE＝37°36′，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOE＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.4. 50°5. 30°6. 307. 72【解析】∵CD∥AB，∴∠CBA＝∠1＝54°，∠ABD＋∠CDB＝180°，∵CB平分∠ABD，∴∠DBC＝∠CBA＝54°，∴∠CDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠2＝∠CDB＝72°.8. 15°【解析】由两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠AFE＝30°，∠C＝∠CFE，由∠AFC＝15°，可得∠CFE＝∠C＝∠AFE－∠AFC＝15°.第9题解图9. 2【解析】如解图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∠AOB＝2∠AOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PE＝12PC＝2，∴PD＝PE＝2.。

中考数学复习线段角相交线与平行线PPT

第16课时线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点三
误区警示
平行线的判定与性质
在运用同位角、内错角、同旁内角判定直线是否平行时，一定要搞清楚这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的，从而才能确定这两条直线是平行的．
第16课时线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点三平行线的判定与性质
例4 ( ·莆田)已知直线a∥b，一块直角三角尺按如图所示的方式放置．若∠1＝37°，则∠2＝__5_3_°____．
考点一度、分、秒的运算
例1 ( ·厦门)1°等于( C) A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
思路点拨
根据度、分、秒之间的单位转换可得答案． 1°=60′，故选C.
第16课时线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点二与角有关的概念和计算
例2 ( ·恩施州)已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使 ∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为( C )
A. 28° B. 112°
思路点拨
C. 28°或112°
D. 68°
根据题意画出图形，利用数形结合及角的和、差求解即可．
第16课时线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点二与角有关的概念和计算
解：如图，当点C与点C1重合时， ∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°－42°＝28°；当点C与点C2重合时，∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝70°＋42°＝ 112°. 故选C.
第16课时线段、角、相交线与平行线
知识梳理
3.尺规作图： (1) 限定只能使用没有___刻__度___的直尺和___圆__规___作图称为尺规作(2图) 5．种基本作图包括：

中考数学二轮复习专题角平分线问题(1)(师)

1.7 角平分线问题（1）一、角平分线+边的垂线→双垂直思考1 如图，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，我们可以得到哪些结论？例1 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,求DE的长. （限时训练第4题）【变式练习1】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y 轴的正半轴上, OA=12,OC=9,连接AC.若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.二、角平分线+角平分线的垂线→等腰三角形思考2 当题目中有垂直于角平分线的线段PA 时,如图,延长AP 交ON 于点B,你可以得到什么结论？例2 如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 平分∠BAC ,且BD ⊥AD 于点D. 求证:()AB AC DM -=21.（限时训练第5题）【变式练习2】如图,在△ABC 中,∠C=90°, AC=BC,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD,若BD=2,则AE= ___________.三、角平分线+平行线→等腰三角形思考3 如图,OP平分∠MON,PQ∥ON,你可以得到什么结论？例3 如图,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=___________ .（限时训练第2题）【变式练习3】如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边上的中点,AD为∠BAC的平分线,过点E作AD的平行线,交AB于点F,交CA的延长线于点G.求证:BF=AC+AF.【拓展提升】探究1 如图①，AD为等边△ABC的内角平分线，显然有AC CD AB DB=.探究2 如图②，若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，AC CDAB DB=一定成立吗？证明你的判断.应用：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线AD于F. 试求DFFA的值.1.7 角平分线问题（1）限时训练命制：熊琦审核：罗熠班级：______ 学号：____ 姓名：__________1.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若CD=3,则点D 到AB 的距离DE 是( ) A.5 B.4 C.3 D.2第1题第2题第3题 2.如图,AC 是正方形ABCD 的对角线,∠DCA 的平分线交BA 的延长线于点E,若AB=3,则AE=___________ .3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的角平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DE=___________cm.4.如图,在△ABC 中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E,求DE 的长.5.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 平分∠BAC ,且BD ⊥AD 于点D.求证：()AB AC DM -=21.6．如图所示，CD 为⊙O 的直径，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于点D 、E 、C （AD ＜BC ）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB．若DE•OB＝40，求AD•BC的值.7.探究1 如图①，AD为等边△ABC的内角平分线，显然有AC CD AB DB=.探究2 如图②，若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，AC CDAB DB=一定成立吗？证明你的判断.应用：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线AD于F. 试求DFFA的值.（此部分课堂完成）【变式练习1】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y 轴的正半轴上, OA=12,OC=9,连接AC.若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.【变式练习2】如图,在△ABC中,∠C=90°, AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,则AE= ___________.【变式练习3】如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边上的中点,AD为∠BAC的平分线,过点E作AD的平行线,交AB于点F,交CA的延长线于点G.求证:BF=AC+AF.。

中考数学专题复习三角形问题(双角平分线型)

中考数学专题复习三角形问题（双角平分线型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒2．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°3．如图所示，在ABC 中，,ABC ACB ∠∠的平分线,BE CD 相交于点F ，若且∠ABC =42°，60A ∠=︒，则BFC ∠等于（）．A ．121︒B ．120︒C ．119︒D ．118︒4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：∠BDF 和CEF △都是等腰三角形 ∠DE BD CE =+； ∠BF CF >；∠若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有（）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC ∆中，70A ∠=︒ ，若B C ∠∠、的平分线BE CF 、交于点O ，则BOC ∠的度数是（） A ．115︒ B ．125︒C ．135︒D ．110︒评卷人得分二、填空题 6．如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=_______．7．如图，五边形ABCDE 在,BCD EDC ∠∠处的外角分别是,,,FCD GDC CP DP ∠∠分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P ．若160,80,90A B E ∠=︒∠=︒∠=︒，则CPD ∠=________．8．如图，在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____9．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）10．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=________︒．11．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．12．如图在∠ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论∠122∠=∠，∠32BOC ∠=∠，∠901BOC ∠=︒+∠，∠902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）13．∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点An ．设∠A ＝θ．则1A ∠＝_________，∠A 2021＝____________．评卷人得分三、解答题 14．如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合），AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．（1）若∠MON =60°，则∠ACG = ；（直接写出答案）（2）若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∠OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．15．如图，在∠ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？16．已知BC∠OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图（1），求证：OB∠AC．（2）如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．（3）在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB∠∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．17．（1）如图所示，在ABC中，,BO CO分别是ABC∠和ACB∠的平分线，证明：1902BOC A∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：1902BDC A-︒∠=∠．（3）如图所示，ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：12D A∠=∠．18．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，EF 为一镜面,AO 为入射光线，入射点为点O ，ON 为法线（过入射点O 且垂直于镜面EF 的直线），OB 为反射光线,此时反射角BON ∠等于入射角AON ∠，由此可知BOF ∠等于AOE ∠．（1）两平面镜OP 、OQ 相交于点O ，一束光线从点A 出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B ．∠如图2，当POQ ∠为多少度时，光线//AM NB ？请说明理由．∠如图3，若两条光线AM 、NB 所在的直线相交于点E ，延长MN 发现MO 和NO 分别为MEN 一个内角和一个外角的平分线，则POQ ∠与MEN ∠之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）（2）三个平面镜PM 、MN 、NQ 相交于点M 、N ，一束光线从点A 出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E ，请直接写出M ∠、N ∠、BCD ∠与BFD ∠之间满足的等量关系．19．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．20．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE BE、分别是BAO∠和ABO∠角的平分线，点A B、在运动的过程中，AEB∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB∠的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD AD BC，、分别是BAP∠和ABM∠的角平分线，又DE CE、分别是ADC∠和BCD∠的角平分线，点A B、在运动的过程中，CED∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED∠的度数．（3）如图3，延长BA至G，已知BAO OAG∠∠、的角平分线与BOQ∠的角平分线及反向延长线相交于E F、，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO∠的度数为____（直接写答案）（2）如图∠，,AP CP分别平分,BAD BCD∠∠，若36,16ABC ADC∠=︒∠=︒，求P∠的度数．（3）如图∠，直线AP平分BAD∠的外角,FAD CP∠平分BCD∠的外角BCE∠，若,ABC ADCαβ∠=∠=，则P∠=________用αβ、的代数式表示）22．如图1，,AD BD分别是ABC的内角,BAC ABC∠∠的平分线，过点A作AE AD⊥，交BD的延长线于点E．（1）求证：12E C∠=∠；（2）如图2，如果AE AB=，且:2:3BD DE=，求cos ABC∠的值；（3）如果ABC∠是锐角，且ABC与ADE相似，求ABC∠的度数，并直接写出ADEABCSS∆∆的值．23．（1）如图∠，∠ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD∠BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：∠∠CAE的度数；（2）如图∠，若把（1）中的条件“AD∠BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD∠BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．（3）在∠ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD∠BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．24．如图∠所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：ADC DAB DCB ABC∠∠∠∠=++；（2）如图∠所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若120EDF∠=︒，求A B C G E F∠∠∠∠∠∠+++++的度数．25．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．求∠ANC ．26．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．27．如图，已知ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点O ，EF 过点O 且//EF BC ．（1）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）若130BOC ∠=︒，1:22:3∠∠=，求ABC ∠、ACB ∠的度数．28．如图，∠CBF ，∠ACG 是∠ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数；（2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ．29．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．30．如图，ABC ∆的角平分线BD CE 、相交于点P ．（1）若50,70ABC ACB ∠=︒∠=︒，则A ∠=________︒；（2）试探究DPC ∠与A ∠之间的数量关系并说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF ＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋12∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∠∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∠∠AFB＝∠PFC，∠∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∠∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∠∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∠2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∠PB、PC是角平分线∠∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∠2∠P＝∠A−∠D∠∠A＝48°，∠D＝10°，∠∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∠∠ACD 是∠ACE 的外角，∠A ＝48°，∠∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．∠∠AEC 是∠BDE 的外角，∠∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∠∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∠∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 2．C【解析】【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠ 再求解,GBC GCB ∠+∠ 可得,GBD GCD ∠+∠ 再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠ 从而可得：,ABC ACB ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.【详解】解：连接,BC 140,BDC ∠=︒18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒BE 平分ABD∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()18060.A ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒故选：.C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.3．B【解析】【分析】由∠ABC =42°，∠A =60°，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACB 的度数，又因为∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ，所以可以求得∠FBC 和∠FCB 的度数，从而求得∠BFC 的度数．【详解】解：∠4260180ABC A ABC A ACB ∠=︒∠=︒∠+∠+∠=︒，，．∠180426078ACB ∠=︒-︒-︒=︒．又∠∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ． ∠1212FBC ABC ∠=∠︒＝，1392FCB ACB ∠=∠︒＝．又∠180FBC FCB BFC ∠+∠+∠=︒．∠1802139120BFC ∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．4．C【解析】【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【详解】解：∠∠BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∠DE∠BC，∠∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），∠∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∠DB=DF，EF=EC，∠∠BDF和△CEF都是等腰三角形，∠∠选项正确，符合题意；∠∠DE=DF+FE，∠DB=DF，EF=EC，∠DE=DB+CE，∠∠选项正确，符合题意；∠根据题意不能得出BF＞CF，∠∠选项不正确，不符合题意；∠∠若∠A=80°，∠∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，×100°=50°，∠∠CBF+∠BCF=12∠∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∠∠选项正确，符合题意；故∠∠∠正确．【点睛】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．5．B【解析】【分析】由A∠的度数可以求出ABC∠与ACB∠的和，由角平分线的性质可以得出1=2∠∠，3=4∠∠，即可得出2∠与4∠的和，即可得出BOC∠的度数．【详解】∠70A∠=︒，∠ABC∠+ACB∠=110°，∠BE CF、为ABC∠与ACB∠的平分线，∠1=2∠∠，3=4∠∠，∠2∠+4∠=110÷2=55°，∠BOC∠=180°－55°=125°．故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键．6．20202α【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∠∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∠12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=212α，根据规律推导，∠2020A ∠=20202α，故答案为20202α．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．7．105°【解析】【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD ＋∠CDE 的度数，从而求出∠PCD ＋∠PDC 的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD 的度数．【详解】解：∠∠A ＝160°，∠B ＝80°，∠E ＝90°，∠∠BCD ＋∠CDE ＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，∠∠PCD ＋∠PDC ＝12（180°×2−210°）＝75°，在∠CPD 中，∠CPD ＝180°−（∠PCD ＋∠PDC ）＝180°−75°＝105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD ＋∠CDE 的度数是解题的关键．8．40°【解析】【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∠∠ACO=12∠ACB ，∠CD 平分∠ACE ，∠∠ACD=12∠ACE ，∠∠ACB+∠ACE=180°，∠∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°， ∠∠BOC ＝130°，∠∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．9．20202【解析】【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得．【详解】∠A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ， ∠∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，∠∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ）， ∠∠A+∠ABC=∠ACD ，∠∠A=∠ACD-∠ABC ，∠∠A 1=12∠A ，以此类推∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=212∠A, ∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312∠A ，……，所以∠A n =12n A ∠， 202020202020122A A θ∴∠=∠=．故答案为：20202θ．【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A n =12nA ∠. 10．36【解析】【分析】首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∠CG 是ACM ∠的角平分线，∠2ACM GCM ∠=∠，∠2A ABC GCM ∠+∠=∠，∠BG 是ABC ∠的角平分线，∠12GBC ABC ∠=∠， ∠GBC G GCM ∠+∠=∠，即12ABC G GCM ∠+∠=∠， ∠22ABC G GCM ∠+∠=∠，∠2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∠2A G ∠=∠，∠ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∠CE AB ⊥，BD AC ⊥，∠90AEF ADF ∠=∠=︒，∠在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∠DFE BFC ∠=∠，∠180A BFC ∠+∠=︒，∠18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠， ∠45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠180536A ︒∠=÷=︒．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．11．110︒．【解析】【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∠OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∠∠OBC+∠OCB= 111() 222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∠∠A=40°，∠∠OBC+∠OCB= 1(18040)2︒︒-=70°，∠∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°．故答案是110．【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．12．∠∠【解析】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋12∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∠CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∠∠DCE＝12∠ACD，∠DBE＝12∠ABC，又∠∠DCE是∠BCE的外角，∠∠2＝∠DCE−∠DBE＝12（∠ACD−∠ABC）＝12∠1，故∠正确；∠BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∠∠OBC＝12ABC，∠OCB＝12∠ACB，∠∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故∠、∠错误；∠OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∠∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ， ∠∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°， ∠∠BOC 是∠COE 的外角，∠∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故∠正确；故答案为：∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．13． 2θ 20212θ 【解析】【分析】据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可求出∠A 1的度数，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】解：∠A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∠∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，又∠∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∠12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∠∠A 1=12∠A ，∠∠A=θ， ∠∠A 1=2θ，同理可得：∠A n =2n θ， ∠∠A 2021=20212θ，故答案为：2θ，20212θ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．14．（1）60°；（2）90°-12n °；（3）∠BGO -∠ACF =50° 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据（2）的结论解答．【详解】解：（1）∠∠MON =60°，∠∠BAO +∠ABO =120°， ∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=60°， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；（2）∠∠MON =n °，∠∠BAO +∠ABO =180°-n °，∠AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∠∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ， ∠∠CBA +∠CAB =12（∠ABO +∠BAO ）=90°-12n °， ∠∠ACG =∠CBA +∠CAB =90°-12n °；（3）∠CF ∠OA ，∠∠ACF =∠CAG ，∠∠BGO -∠ACF =∠BGO -∠CAG =∠ACG ，由（2）得：∠ACG =90°-12×80°=50°． ∠∠BGO -∠ACF =50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．15．（1）115︒；（2）36A ∠=︒【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°， 1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， 1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠， 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠， 180()BPC PBC PCB1180(90)2A =︒-︒-∠ 1902A =+∠︒∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠， 36A ∴∠=︒．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．16．（1）见解析；（2）40°；（3）不发生变化，12【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明；（2）由∠FOC =∠AOC ，并且OE 平分∠BOF 得到∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA ，算出结果；（3）先得出结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化，理由为：由BC 与AO 平行，得到一对内错角相等，由∠FOC =∠AOC ，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证．【详解】解：（1）∠BC ∠OA ，∠∠B +∠O =180°，又∠∠B =∠A ，∠∠A +∠O =180°，∠OB ∠AC ；（2）∠∠B +∠BOA =180°，∠B =100°，∠∠BOA =80°，∠OE 平分∠BOF ，∠∠BOE =∠EOF ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠EOC =∠EOF +∠FOC =12（∠BOF +∠FOA ）=12∠BOA =40°；（3）结论：∠OCB ：∠OFB 的值不发生变化．理由为：∠BC ∠OA ，∠∠FCO =∠COA ，又∠∠FOC =∠AOC ，∠∠FOC =∠FCO ，∠∠OFB =∠FOC +∠FCO =2∠OCB ，∠∠OCB ：∠OFB =1：2=12．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．∠由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．∠由∠得180x y BOC +=-∠︒．∠ 把∠代入∠，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒ （2）∠BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∠BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∠∠1=∠2，∠5=1（∠A+2∠1），∠3=∠4，2在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∠∠1+∠3=180°-∠A∠（∠A+2∠1），在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A∠，∠A．把∠代入∠得∠D=12【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．18．（1）∠90°，理由见解析；∠∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD 【解析】【分析】（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根据三角形外角性质可得∠MEN=2（β-α），再根据三角形外角性质可得∠POQ=β-α，进而得出∠MEN=2∠POQ；（2）分别表示出∠M，∠N，∠BCD，利用四边形内角和表示出∠BFD，再将∠M，∠N，∠BCD进行运算，变形得到∠BFD，即可得到关系式．【详解】解：（1）∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，当AM∠BN时，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，∠180°=2（α+β），∠α+β=90°，∠∠MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，∠当∠POQ为90度时，光线AM∠NB；∠设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∠∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，∠∠AMN是∠MEN的外角，∠∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），∠∠MNQ是∠MNO的外角，∠∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∠∠MEN=2∠POQ；（2）设∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，∠∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∠∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°又∠2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD∠2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BF D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质以及多边形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 19．553+ 【解析】【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【详解】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴ DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∠DEF C DE EF AF AE DE =++=+△ ∠60BAC ∠=︒，AD 是角平分线 ∠30DAE ∠=︒ ∠10AD =∠5DE =，53AE = ∠553DEF C =+△ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．20．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【解析】【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠P AB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在∠AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∠∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∠∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∠∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∠直线MN与直线PQ垂直相交于O，∠∠AOB=90°，∠∠OAB+∠OBA=90°，∠∠P AB+∠MBA=270°，∠A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∠∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∠∠BAD+∠ABC=12（∠P AB+∠ABM）=135°，∠∠F=45°，∠∠FDC+∠FCD=135°，∠∠CDA+∠DCB=225°，∠DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∠∠CDE+∠DCE=112.5°，∠∠CED =67.5°；（3）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∠∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∠∠EAF=90°．在∠AEF中，∠有一个角是另一个角的3倍，故有：∠∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；∠∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；∠∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；∠∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∠∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．21．（1）证明见解析；（2）26P ∠=︒；（3）1()2P αβ∠=+．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（3）表示出∠P AD 和∠PCD ，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解．【详解】解：（1）∠∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180゜， ∠∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ． ∠∠AOB =∠COD ， ∠∠A +∠B =∠C +∠D ；（2）∠,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠，设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，∠∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∠11()(3616)2622P ABC ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）如图，∠AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠∠P AD =180°-∠2=180°-∠1，∠PCD =180°-∠3，∠∠P +（180°-∠1）=∠ADC +（180°-∠3）， ∠P +∠1=∠ABC +∠4， ∠2∠P =∠ABC +∠ADC ， ∠,ABC ADC αβ∠=∠=，∠11()()22P ABC ADC αβ∠=∠+∠=+．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 22．（1）证明见解析；（2）23；（3）30ABC ∠=︒，23ADEABCS S∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-．【解析】【分析】（1）由题意：90E ADE =︒-∠∠，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得11()9022ADE ABC BAC C ∠=∠+∠=︒-∠，由此即可解决问题．（2）延长AD 交BC 于点F ．证明//AE BC ，可得90AFB EAD ==︒∠∠，BF BD AE DE=，由:2:3BD DE =，可得2cos 3BF BF ABC AB AE ===∠．（3）因为ABC 与ADE 相似，90DAE ∠=︒，所以ABC ∠中必有一个内角为90︒因为ABC ∠是锐角，推出90ABC ∠≠︒．接下来分两种情形分别求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，AE AD ⊥，90DAE ∴∠=︒，90E ADE =︒-∠∠，AD平分BAC∠，BD平分ABC∠的，12BAD BAC∴∠=∠，12ABD ABC∠=∠，ADE BAD DBA∠=∠+∠，180BAC ABC C+=︒-∠∠∠，11()9022ADE ABC BAC C∴∠=∠+∠=︒-∠，1190(90)22E C C∴∠=︒-︒-∠=∠．（2）解：延长AD交BC于点F．AB AE=，ABE E∴∠=∠，又∠ABE EBC∠=∠，E CBE∴∠=∠，//AE BC∴，90AFB EAD∴∠=∠=︒，BF BDAE DE=，:2:3BD DE=，2cos3BF BFABCAB AE∴∠===．（3）ABC与ADE相似，90DAE∠=︒，ABC∴∠中必有一个内角为90︒ABC∠是锐角，90ABC∴∠≠︒．∠当ABC AED时，90BAC DAE∠=∠=︒，12E C∠=∠，12ABC E C∴∠=∠=∠，90ABC C∠+∠=︒，30ABC ∴∠=︒，如图，过B 点作BH ∠AE ，∠90BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC ， ∠∠BAH =45°，∠AH =BH ，2AB BH =， ∠E 30∠=︒， ∠3tan BHHE BH E==∠，∠(31)AE HE AH BH =-=-， ∠ABCAED ，∠2231232ADE ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫-⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∠当ABC EDA ~时，即90C DAE ==︒∠∠时，1452E C ==︒∠∠，45EDA ∴=︒∠，45ABC EDA ∴∠=∠=︒，如解图（3）-2；过B 点作BH ∠AE ，45ABC BAC ∠==︒，,AD BD 分别是ABC 的内角,BAC ABC ∠∠的平分线，∠ABD BAD ∠=∠，∠BD =AD ，又∠45E ∠=︒，∠2DE AE =，2BE HE =， ∠(12)BE BD BE AE =+=+， ∠222HE AE +=， ∠22AH HE AE AE =-=， ∠在Rt ABH 中，()2222222222222AB BH AH AE AE AE ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠()()22222222ADE ABC AES DE S EA AB ∆∆⎛⎫=+=⎪⎭=⎝- 综上所述，30ABC ∠=︒，23ADEABCS S ∆∆=-或45ABC ∠=︒，22ADEABCS S ∆∆=-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．（1）∠40°；∠10°；（2）10°；（3）∠DFE ＝12（β﹣α），见解析【解析】【分析】（1）如图1中，求出∠BAD ，∠BAE ，根据∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD 即可解决问题．（2）如图2中，作AH∠BC 于H ．利用（1）中结论，再证明∠DFE ＝∠HAE 即可．（3）结论：∠DFE ＝12（∠B ﹣∠C ）．如图3中，作AH∠BC 于H ，FD∠BC 于D ．由∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）推出∠HAE＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ），由AH∠FD ，推出∠DFE ＝∠HAE ，即可解决问题．【详解】解：（1）如图（1）．∠AD∠BC，∠∠ADB＝90°，∠∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∠∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，而AE平分∠BAC，∠∠CAE=∠BAE＝12∠BAC＝12×80°＝40°，∠∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；（2）如图2中，作AH∠BC于H．由（1）可知∠HAE＝10°，∠AH∠EF，∠∠DFE＝∠HAE＝10°（3）结论：∠DFE＝12（∠B﹣∠C）．理由如下：如图3中，作AH∠BC于H，FD∠BC于D．∠∠HAE ＝∠EAB ﹣∠BAH ，∠BAH ＝90°﹣∠B ，∠BAE ＝12（180°﹣∠B ﹣∠C ）， ∠∠HAE ＝90°﹣12∠B ﹣12∠C ﹣（90°﹣∠B ）＝12（∠B ﹣∠C ）， ∠AH∠FD ， ∠∠DFE ＝∠HAE ， ∠∠DFE ＝12（β-α）．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质． 24．（1）见解析；（2）240° 【解析】【分析】（1）延长CD 交AB 于点E ，根据三角形外角性质可证ADC DAE AED ∠=∠+∠，AED DCB ABC ∠=∠+∠，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证A B C BDC ∠+∠+∠=∠，E G F EDF ∠+∠+∠=∠，BDC ∠和EDF ∠是对顶角，可推出A B C G E F ∠∠∠∠∠∠+++++的度数等于2倍EDF ∠的度数，计算得出答案．【详解】（1）证明：延长CD 交AB 于点E ，如图：∠ADC ∠是ADE 的外角，∠ADC DAE AED ∠=∠+∠．∠AED ∠是CEB △的外角，∠AED DCB ABC ∠=∠+∠，∠ADC DAE DCB ABC DAB DCB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠．（2）解：∠EDF ∠和BDC ∠是对顶角，∠120BDC EDF ∠=∠=︒．由（1）的结论可知BDC A B C ∠=∠+∠+∠，EDF E G F ∠=∠+∠+∠，∠240A B C E G F DCB EDF ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．25．（1）33°；（2）123°【解析】【分析】（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：∠MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，∠∠BEM 是∠ABE和∠MCE 的外角，∠∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，即：∠M+b=24°+a∠，又∠∠MFD 是∠MAF 和∠CDF 的外角，可得∠M+a=42°+b∠，∠式＋∠式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∠=33AMC ∠︒．（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:∠NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，∠设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ， ∠∠BFD 是∠ABF 和∠FCD 的外角，∠∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，可得m+n=81°∠，又∠∠AGC 是∠NGC 和∠ABG 的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m ），得∠N=204°-（m+n ）∠，∠式代入∠式，得∠N=204°-81°=123°，∠123ANC ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．26．（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∠∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∠∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°，∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=111(221)1206220AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ， ∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒∠360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠∠OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∠∠OBC+∠OCB=1111((222)180)2ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∠180(1)()2O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．27．（1）125° （2）60°；40°【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC ，∠OCB 的度数，利用角平分线的定义可求解；解：（1）∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠12EBO OBC ABC ∠=∠=∠，12FCO OC ACB ∠=∠=∠，又50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∠25OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，∠180125BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=︒︒；（2）∠130BOC ∠=︒，∠1250∠+∠=︒，∠1:23:2∠∠=，∠3150305∠=⨯︒=︒，2250205∠=⨯︒=︒，∠//BF BC ，∠130OBC ∠=∠=︒，220OCB ∠=∠=︒，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∠60ABC ∠=︒，40ACB ∠=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．28．（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG ，∠DBC=12∠ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC ，∠CBE=12∠CBF ，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A ，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC ，∠DAM=12∠MAC ，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∠CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∠∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∠∠ACG=∠A+∠ABC，∠2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∠∠DCG=∠D+∠DBC，∠2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∠∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∠∠D=12∠A=35°；（2）∠BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∠∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∠∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∠∠DBE=90°，∠∠D=12∠A，∠A=α，∠∠D=12α，∠∠DBE=90°，∠∠E=90°-12α；（3）如图，∠BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∠AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∠∠DAM=12∠MAC，∠∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∠∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．29．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠ 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∠40A ∠=︒，∠18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∠ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∠12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=， ∠()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒ 故答案为110° （2）12BPC A ∠=∠，证明：∠ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∠ACE ABC A ∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∠BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∠1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∠1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠， ∠()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠， ∠12BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=∠；（3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．30．（1）60；（2）1902︒-∠A ，见解析．【解析】【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-12（∠ABC+∠ACB ），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，易得∠BPC=90°+12∠A ，再根据平角的定义解答即可．【详解】（1）∠∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为60．（２）∠DPC=90°-12∠A ，理由：,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点P ，111,222ABC ACB ∴∠=∠∠=∠， ()11118012180180222BPC ABC ACB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠ 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠()111801809022BPC A ∴∠=︒-︒-∠A =︒+∠，。

【数学中考一轮复习】角平分线常考模型(含答案)

专项训练角平分线常考模型模型一角平分线＋垂直一边方法点拨:若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB＝PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线，垂线段相等”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；注意:题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线，甚至只给一条角平分线，自行添加两条垂线.1.如图所示，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A.3B.4C.5D.62.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD ：S△ACD为（）A.5:4B.5:3C.4:3D.3:43.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠AFD＝90°，AB＝10，DF＝2，则S△ABD＝_________.模型二角平分线＋斜线方法点拨:若点A是射线OM上任意一点，如图，可以在ON上截取OB＝OA，连接PB，构变式模型:采用截长补短法构造全等三角形如图所示，在△ABC中，BC＞BA，BO是∠ABC的平分线.（截长法）在BC上截取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO；（补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO.解题通法:遇到角平分线时，通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截长或补短）构造全等三角形.4.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证:AB＝AC＋CD.5.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，∠ABD＝∠DBC.（1）点D到∠ABC的两边BA，BC的距离是否相等？（2）求∠A＋∠C的度数.模型三角平分线＋垂线方法点拨:若AP⊥OP于点P如图所示，可延长AP交ON于点B构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形.6.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°、D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF＝3，则线段BE的长为（）A.3B.2C.3D.237.如图所示，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则CD的长是___________.8.如图所示，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E.（1）若AD＝1，求DC；（2）求证:BD＝2CE.模型四角平分线＋平行线方法点拨:若过点P作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线＋平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形很常见，其变式有以下四种:解题通法:遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到等腰三角形.9.如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，若AB＝7cm，AE＝4cm.则DE的长为_________cm.10.如图所示，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，则FG＝___________.11.如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由.（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长.模型五角平分线＋对角互补方法点拨:若∠A＋∠C＝180°，BD是∠ABC的平分线，则AD＝CD.12.已知:如图所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°,∠B＜90°，求证:DB＝DC.13.感知:如图1所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知:DB＝DC.探究:如图2所示，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证:DB＝DC.14.如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD.试说明:（1）△CBE≌△CDF；（2）AB＋DF＝AF.模型六夹角模型方法点拨:BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线，则:∠P ＝90°＋21∠A. BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACE 的角平分线，则:∠P ＝21∠A. BP ，CP 分别是∠CBD ，∠BCE 的角平分线，则:∠P ＝90°-21∠A.15.如图所示，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等.若∠A ＝40°，则∠BOC 等于（）A.110°B.115°C.125°D.130°16.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AB ＝CB ，BD ＝ED ，若∠ABC ＝54°，则∠E ＝_________.17.如图所示，点O 是△ABC 边AC 上的一个动点，过O 点作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F. （1）求证:OE ＝OF ；（2）若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长.跟踪训练1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则＝（）S△ABDA.56B.28C.14D.122.如图所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A.6B.2＋4C.2＋23D.2＋233.如图所示，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D.若OD＝2，则△ABC的面积是（）A.20B.12C.10D.84.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.若BD＝5，DC＝3，则AC的长为A.6B.43C.53-2D.85.已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示.若DE＝2，则DF＝__________.6.如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB边上有一点E，CE，DE分别是∠BCD 和∠ADC的角平分线，如果△CDE的面积是12，CD＝8，那么AB的长度为__________.7.如图所示，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，DE过点I，且DE∥BC.BD＝8cm，CE＝5cm，则DE等于__________.8.如图所示，点E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD交OE于点F，∠AOB＝60°.（1）求证:△OCD是等边三角形；（2）若S＝83，EF＝2，求DF的长.△ODE9.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E. （1）求证:∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长.10.（1）如图①所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试猜想EF，BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，请直接写出EF，BE，CF之间的关系____________.11.如图所示，在平行四边形ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M.（1）若CD＝2，求DM的长；（2）若M是AD的中点，连接BM，求证:BM平分∠ABC.参考答案1.D2.B3.104.证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接 DE ，∵AB ＝AE ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED （SAS ）.∴∠B ＝∠E ，∵∠ACD ＝∠E ＋∠CDE ，∠ACD ＝2∠B ，∴∠ACD ＝2∠E. ∴∠E ＝∠CDE.∴CD ＝CE.∴AB ＝AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD. 5.解:（1）过D 作出DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F.如图所示.结论:DE ＝DF.理由:∵∠ABD ＝∠DBC ，DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴DE ＝DF.（2）在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧，DF ＝DE ，DC ＝AD ∴Rt △DEA ≌Rt △DFC （HL ）∴∠C ＝∠EAD.∵∠BAD ＋∠EAD ＝180°，∴∠BAD ＋∠C ＝180°. 6.C 7.228.解:（1）如图1所示，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠BCA ＝45°.∴DH ＝CH.（2）证明：如图2所示，延长CE ，BA 相交于点F ，∵∠EBF ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠＝90°，∴∠EBF ＝∠AC.在△ABD 和△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧，CAF ＝∠BAC ∠AC ＝AB ，ACF ＝∠EBF ∠∴ABD ≌ACF （ASA ）∴BD ＝CF.在△BCE 和△BF 中，⎪⎩⎪⎨⎧，FEB ＝∠CEB ∠，BE ＝BE ，CBF ＝∠EBF ∠∴△BCE ≌△BFE （ASA ）.∴CE ＝EF.∴BD ＝2CE.9.3 10.611.解:（1）△BDO 是等腰三角形∵BO 平分∠ABC ，∴∠DBO ＝∠CBO∵DE ∥BC ，∴∠CBO ＝∠DOB.∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝DO.∴△BDO 是等腰三角形；（2）同理△CEO 是等腰三角形，∵BD ＝OD ，CE ＝OE ，∴△ADE 的周长＝AD ＋AE ＋DE ＝AB ＋AC ＝10＋6＝16.12.证明:作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，B ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.13.证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，EBD ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.14.解:（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF.∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠EBC ＝180°，∴∠EBC ＝∠D.在△CBE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠，CF ＝CE 90＝CFD ＝CEB ∠，D ＝EBC ∠，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）；（2）在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎨⎧，AC ＝AC CF ＝CE ∴△CE ≌△ACF （HL ）.∴AE ＝AF.∴AB ＋DF ＝AB ＋BE ＝AE ＝AF.15.A 16.27°17.解:（1）证明:∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴EO ＝CO ，FO ＝CO.∴OE ＝OF ；（2）∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE ＝8，CF ＝6，∴EF ＝2268+＝10.∴OC ＝21EF ＝5. 跟踪训练1.B2.D3.C4.A5.46.67.3cm8.解:（1）证明:∵点E 是∠AOB 平分线上的一点， EC ⊥OB ， ED ⊥OA ，∴ED ＝CE.在Rt △ODE 与Rt △OCE 中，⎩⎨⎧，OE ＝OE ，CE ＝ED ∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （HL ）.∴OD ＝OC. ∴∠AOB ＝60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是∠COD 的平分线，∴OE ⊥DC ，∴∠AOB ＝60°，∴∠AOE ＝∠BOE ＝30°.∵∠ODF ＝60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF ＝30°.∴DE ＝2EF ＝4.∵∠AOE ＝30°， DE ⊥AO ，∴OE ＝2DE ＝8.∵S △ODE ＝83＝21×OE ×DF ，∴DF ＝23. 9.解:（1）证明:∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝∠B ＋∠A ＝90°. ∴∠ACD ＝∠B.∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE.∴∠B ＋∴BCE ＝∠ACD ＋∠DCE.即∠AEC ＝∠ACE ；（2）∵∠AEC ＝∠B ＋∠BCE ，∠AEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCE.又∵∠ACD ＝∠B ，∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ＝∠DCE.又∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠B ＝30°.∴Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝2.∴Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝4.∴BD ＝AB-AD ＝4-1＝3.10.解: （1）EF ＝BE ＋CF ，理由: ∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB.∵EF//BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO. ∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF ；（2）EF ＝BE-CF ，理由:∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACD ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCD. ∵EF// BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCD.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO.∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE-OF ＝BE-CF.故答案为:EF ＝BE-CF.11.解:（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD// BC.∴∠BCM ＝∠DMC.∵CM 平分∠BCD ，∴∠BCM ＝∠DCM.∴∠DMC ＝∠DCM.∴DM ＝DC ＝2；（2）如图，延长BA ， CM ，交于点E ，则∠AME ＝∠DMC ，∵BE// CD ，∴∠D ＝∠EAM ，∠E ＝∠DCM.∵M 是AD 的中点，∴DM ＝AM.∴△CDM ≌△EAM （ASA ）.∴E М＝CM.∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM.∴∠E＝∠BCM.∴BE＝BC. ∴BM平分∠ABC.。

(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C 为圆心，任意长为半径画弧交直线与A ，B 两点，再分别以点A ，B为圆心，大于的长为半径画圆弧，分别交直线l 两侧于点M ，N ，连接MN ，则MN 即12AB为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A ，B 为圆心，大于的长为半径画圆弧，分别交12AB 直线AB 两侧于点C ，D ，连接CD ，则CD 即为所求的线段AB 的垂直平分线.3.角平分线的画法l l【分析】1.选角顶点O 为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A ，B 点，再分别以A ，B 为圆心，大于的长为半径画圆弧，交H 点，连接OH ，并延长，则射线OH 即为12AB 所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O 为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B 两点，连接AB ；画一条射线l ，以上面的那个半径为半径，l 的顶点K 为圆心画圆，交l 与L ，以L 为圆心，AB 为半径画圆，交以K 为圆心，KL 为半径的圆与M 点，连接KM ，则角LKM 即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解AB=BC=AC=a.例题1.已知线段a，求作△ABC，使解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC要求作三角形.，∠A=∠α.例2.已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A为圆心，a为半径画弧，分别交射线AM，AN于点B，C.③连接B，C.△ABC即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项中，正确的是(D)【解析】由题意知，做出AB的垂直平分线和BC的交点即可。

中考复习微专题与角平分线有关的四种方法

2021 江西
数学
微专题与角平分线有关的四种方法
微专题与角平分线有关的四种方法
微专题与角平分线有关的四种方法
方法一过角平分线上的点向角两边作垂线
方法解读
(2019.22(2)②，2015.9，2011.13)
如图，点 P 是∠MON 的平分线上一点，PA⊥OM 于点 A.
结论：PB＝___P_A____，Rt△ BOP≌_R__t△__A__O_P__．
第1题图
微专题与角平分线有关的四种方法
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC 的度数．解：∵△BDE≌△CDF，∠BDE＝40°，∠BED＝90°， ∴∠B＝∠C＝90°－50°＝40°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝80°.
第1题图
微专题与角平分线有关的四种方法
2. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，AB 上一点，连接 AE，CF 交于点 G，
第7题解图
微专题与角平分线有关的四种方法
综合训练
1. (2020 衡阳)如图，在△ ABC 中，∠B＝∠C，过 BC 的中点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为点 E、F. (1)求证：DE＝DF；证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵点 D 是 BC 的中点， ∴BD＝DC， ∵∠B＝∠C， ∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE＝DF；
方法应用
5. 如图，在△ ABC 中，AD 平分∠CAB，BD⊥AD.已知 S△ ADC＝14，S△ ABD＝10，求 S△ ABC
的值．解：如解图，延长 BD 交 AC 于点 E，
∵AD 平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠BAD.
又∵AD＝AD，∠EDA＝∠BDA＝90°， ∴△ABD≌△AED(ASA)．

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【复习专题】中考数学复习：角与角平分线，平行线
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。

一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。

可是我有点担心，你走完三千两百
万次以后，恐怕会吃不消的。

”“天哪！三千两百万次。

”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行
了。

”“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。

”小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。

成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。

例1把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度．
例2命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”）
例3已知∠A=67°，则∠A的余角等于度.
例4如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4㎝，则点P到边BC的距离为㎝.
练习一角与角平分线
A组
1．如图，表示下列各角：
（1）（2）（3）
2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。

（1）（2）
3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个的是（）
4.计算：① 57.3°=______°=______′；②18°15′= °；
③ 33°52′+21°54′=__________；④28°23′×2－ 6°2′= __________；
⑤ 90°—43°18′= __ ；⑥360°÷7 ___ （精确到分）
5.按图填空：
6.下列四个图形中大于的是（）
7.如图，OC平分∠AOB，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________°
B组
8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB，不写作法，保留作图痕迹。

结论：
9.尺规作图：已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线。

不写作法，保留作图痕迹。

结论：
10. 的角平分线AD交BC于点D，，
则点D到AB的距离是（）
A．1B．2 C．3D．4
11.已知：如图，是的角平分线，且，则与的面积之比为（）
A．B． C.D．
12．已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
13.如图，已知直线相交于点，平分，，则的度数是（）
A．
B．
C．
D．
14.如图，若，与分别相交于点,与的平分线相交于点，且，度．
15.如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（）
A．110°B．115°C．120°D．130°
16.如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长.
练习二相交线与平行线
A组
1.若∠A＝50°30′，则它的余角度数为________________．
2.如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数。

3.
4.如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，求∠BOE和∠AOC的度数。

5.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行使，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄.
⑴设汽车行使到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行使到点Q位置时，距离
村庄N最近.请你在图中公路AB上分别画出点P、Q的位置.（保留画图痕迹）
⑵当汽车从A出发向B行使时，在公路AB的哪一段上距离M、N两村都越来越近？在哪一段上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字语言表示你的结论，不必证明）
6．如右图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则 .
7．到平面上三点A，B，C距离相等的点（）
A．只有一个B．有二个C．三个或三个以上D．一个或没有
8．如果一个三角形的三边中垂线的交点恰好在三角形的一边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形
9．如图，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线上m的两点，(1)请写出图中面积相等的各对三角形: (2)若A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，
无论P点移动到任何位置，总有与ΔABC的面积相等，
理由是 .
10．如图，平行四边形ABCD中，P为AC对角线上一点，PE∥BC交 AB于点E，PF ∥AB交AD于点F.若=20(cm2),则图中阴影部分的面积=(cm2).
B组
11.用三角尺和直尺过点P作直线AB的平行线
结论：
12.在下列三个图中，请用三角尺或和量角器过点A作直线BD的垂线
13.如图，在ΔABC中，AB=AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求ΔBCN的周长。

14.一条公路两次转弯后又。

回到原来的方向（即，如图）．如果第一次转弯时的。

那么，应是（）
A．B．C．D．
15.如图，中，，过点且平行于，若，则的度数为（）A．B．C．D．
16．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
17.如图所示，，∠E＝27°，∠C＝52°，则的度数为( )
A．25°B．63°C．79°D．101°
角与角平分线
例1【解析】15°30′=15°+错误！未找到引用源。

=15．5°，故填15.5
【方法指导】本题考查了角的单位：度分秒的换算。

由高级单位变成低级单位乘以进率，由低级单位变成高级单位除以进率。

例2【答案】假．
【解析】相等的角是对顶角不成立，是假命题.
【方法指导】判断一个命题真假，可以举反例，原命题与反例矛盾，说明原命题是假命题.
例3如果两角互余，那么这两个角的和为90°，所以∠A的余角等于90°－67°
=23°.
例4答案：4
【详解】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以为4cm
练习一角与角平分线
1.（1）∠AOB或∠O；（2）∠；（3）∠1.
2.答案：（1）3个，分别是：∠(或∠AOB)、∠（或∠BOC）、∠AOC；
（2）7个，分别是：∠A、∠ABD、∠DBC、∠C、∠CDB、∠BDA、∠CDA.
3. 答案：D
4.答案：① 57° 18′②18.25°③55°46′
④50°44′⑤46°42′⑥51°26′
5.答案：∠AOC; ∠AOD;∠BOC;∠BOD.
6.答案：B
7.答案：84°
10答案：B
11.答案：B
12.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E 使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
图4-2
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,
∴△AFD≌△ACD（SAS）,
∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，
图4-3 ∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.
13.答案：C
14.答案：60
15.答案：B
16.
∴∠EDB=40°，DE=6cm.
练习二相交线与平行线
1.答案：39°30′（或39.5°）
2.答案：126°43′
3.答案：C
4.答案：
5.答案：（1）如图。

（2）在AP 段上距离M 、N 两村都越来越
近，
在PQ 段上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 却越来越远。

6．答案：CD=3 7．答案：A 8．答案：B
9．答案：(1)△CAB 和△PAB, △ACP 和△BCP
(2)平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等。

10．答案：10 11. 12.答案： 13.答案：A 14.答案：C 15．答案：A 16.答案：A 17.答案：C
M
A
B
P
Q。