高考概率分布类型题归纳

经典高考概率分布类型题归纳 高考真题

一、超几何分布类型 二、二项分布类型

三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法

五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年

22、（本小题满分10分）（相互独立事件）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=×=， P （X=5）=×=， P （X=2）=×=， P （X=-3）=×=。 由此得X 的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14

5

n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。

所求概率为3

344

0.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为。

（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．

【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力.

【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，

∴共有23

8C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =4

11

.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1

的共有6

对，故

(P ξ==

2

126C =111

, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-==4111111-

-=611

. ∴随机变量ξ的分布列是

∴6161111111

E ξ=⨯

=. （2014江苏）（古典概型）

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）． （2017年）23．（本小题满分

10分）

已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部

相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L ．

1

2 3

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；

（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的

数学期望，证明：()()(1)n

E X m n n <+-．

试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m

n n m n n p m n

-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为

X … … P

…

…

随机变量X 的期望为1

1

C 111(1)!

()C C (1)!()!n m n

m n

k n n

k n k n

m n

m n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1

(2)!

()C (1)!()!(1)C (2)!()!

m n

m n

n n k n k n m n

m n

k k E X n k n n n k n ++==++--<

=-----∑∑ 1

1

C (1)C ()(1)n m n n m n

n n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)

n

E X m n n <

+-．

【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示

的意义；

（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；

（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．

一、超几何分布

1.袋中有

4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取

到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．

【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.

P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 2

3

C 47＝1835，

P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03

C 47＝135

.

故所求的分布列为

肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克